东北大学 过控 第七章 第八章
东北大学自控课后习题.
1-1试举几个开环与闭环自动控制系统的例子，画出它们的框图，并说明它们的工作原理，讨论其特点。
1-2闭环自动控制系统是由哪些环节组成的？各环节在系统中起什么作用？1-3图P1-1所示，为一直流发电机电压自动控制系统。
图中，1为发电机；2为减速器；3为执行机构；4为比例放大器；5为可调电位器。
（1）该系统由哪些环节组成，各起什么作用？（2）绘出系统的框图，说明当负载电流变化时，系统如何保持发电机的电压恒定。
（3）该系统是有差还是无差系统？（4）系统中有哪些可能的扰动？U的极性接反，成为正反馈系统，对1-4图1-6所示闭环调速系统，如果将反馈电压f系统工作有什么影响？此时各环节工作于什么状态？电动机的转速能否按照给定值运行？1-5图P1-2为仓库大门自动控制系统。
试说明自动控制大门开启和关闭的工作原理。
如果大门不能全开或全关，则怎样进行调整？图P1-1 电压自动控制系统图P1-2 仓库大门控制系统2-1 试求出图P2-1中各电路的传递函数。
图P2-12-2 试求出图P2-2中各有源网络的传递函数。
图P2-22-3 求图P2-3所示各机械运动系统的传递函数。
（1）求图（a ）的 ()()?=s X s X r c （2）求图（b ）的()()?=s X s X r c （3）求图（c ）的()()?12=s X s X （4）求图（d ）的 ()()?1=s F s X图P2-32-4 图P2-4所示为一齿轮传动机构。
设此机构无间隙、无变形，求折算到传动轴上的等效转动惯量、等效粘性摩擦系数和()()()s M s s W 2θ=。
图P2-4 图P2-52-5 图P2-5所示为一磁场控制的直流电动机。
设工作时电枢电流不变，控制电压加在励磁绕组上，输出为电机角位移，求传递函数()()()s u s s W r θ=。
2-6 图P2-6所示为一用作放大器的直流发电机，原电机以恒定转速运行。
试确定传递函数()()()s W s U s U r c =，设不计发电机的电枢电感和电阻。
自动控制原理第八章课件
东北大学王建辉顾树生主编杨自厚主审东北大学《自动控制原理》课程组2线性离散系统的基本概念离散时间函数的数学表达式及采样定理Z变换线性常系数差分方程脉冲传递函数采样控制系统的时域分析采样控制系统的频域分析小结88东北大学《自动控制原理》课程组3了解线性离散系统的基本概念和基本定理把握线性连续系统与线性离散系统的区别与联系熟练掌握Z变换、Z变换的性质和Z反变换方法了解差分方程的定义掌握差分方程的解法了解脉冲传递函数的定义熟练掌握开环与闭环系统脉冲传递函数的计算方法掌握线性离散系统的时域和频域分析方法和原则。
88东北大学《自动控制原理》课程组48.1 8.1 1.模拟信号即连续信号时间上连续幅值上也连续的信号。
2.离散的模拟信号时间上离散幅值上连续的信号。
3.数字信号时间上离散幅值上也是离散的信号或者说时间上离散幅值是用一组数码表示的信号。
东北大学《自动控制原理》课程组58.1 8.1 4.采样将模拟信号按一定时间采样成离散的模拟信号。
5.量化采用一组数码来逼近离散模拟信号的幅值将其转化成数字信号。
东北大学《自动控制原理》课程组66. 自动控制系统的分类及特点8.1 8.1连续控制系统离散控制系统按包含的信号形式分类东北大学《自动控制原理》课程组78.1 8.11连续控制系统——系统中均为模拟信号东北大学《自动控制原理》课程组88.1 8.1 2离散控制系统系统中既含有连续信号又含有离散模拟信号的混合系统。
采样控制系统是由连续的控制对象、离散的控制器、采样器和保持器等几个环节所组成。
rxtetutcxtetut东北大学《自动控制原理》课程组91在连续系统中的一处或几处设置采样开关对被控对象进行断续控制2通常采样周期远小于被控对象的时间常数3采样开关合上的时间远小于断开的时间4采样周期通常是相同的。
8.1 8.1 7. 采样系统的特点东北大学《自动控制原理》课程组108.2 8.2离散时间函数的数学表达式及采样定理离散时间函数的数学表达式及采样定理1.离散时间函数的数学表达式2. 采样函数的频谱分析3. 采样定理4.信号的复现ft东北大学《自动控制原理》课程组118.2 8.2离散时间函数的数学表达式及采样定理离散时间函数的数学表达式及采样定理开关打开时没有输出开关闭合时才有输出其值等于采样时刻的模拟量。
东北大学线性代数_第七章课后习题详解线性空间与线性变换
教学基本要求：1.了解线性空间、线性子空间、基、维数、坐标等概念.2.了解基变换和坐标变换，会求过渡矩阵.3.了解线性变换的概念，了解线性变换的矩阵.4.了解内积、欧几里得空间的概念.5.了解规范正交基，会用施密特(Schmidt)正交化法把欧几里得空间中的线性无关向量组规范正交化.第七章线性空间与线性变换(P151)线性空间的理论具有高度的概括性和广泛的应用性，是线性代数的中心内容之一.本章将把在第四章中介绍的R n中的有关概念推广，给出更具一般性的线性空间定义，并讨论线性空间中的“极大线性无关组”与“秩”，介绍线性变换的概念和线性变换的矩阵.一、线性空间的概念及其性质空间是集合，线性空间则是存在“封闭的”线性运算、符合“八条”的集合.线性空间的线性运算与数域密切相关.1. 数域数域K K是一个数集，且(1)0,1∈K；(2) K关于“+,-,×,÷运算”封闭.大家熟知的数域：有理数域Q，实数域R，复数域C.不熟悉的数域：Q(√2)={a+b√2|a,b∈Q}是数域.任意数域都包含有理数域.数域无穷多.2. 线性空间的定义和例子(P152)数域K上的线性空间V K若在非空集合V和数域K上定义了加法“⊕”和数乘法“⊗”两种线性运算：对∀α,β,γ∈V,∀k,l∈K，有唯一的α⊕β∈V和唯一的k⊗α∈V(即运算封闭)，且满足以下八条规律：“⊕”满足交换律α⊕β=β⊕α,∀α,β∈V；“⊕”满足结合律(α⊕β)⊕γ=α⊕(β⊕γ),∀α,β,γ∈V；“⊗”满足分配律k⊗(α⊕β)=(k⊗α)⊕(k⊗β),(k+l)⊗α=(k⊗α)⊕(l⊗α), (kl)⊗α=k⊗(l⊗α),∀α,β∈V,∀k,l∈K；V中有零元素“ο”α⊕ο=α,∀α∈V；每个元素有负元素∀α∈V,∃β∈V,∂α⊕β=ο，并记β=-α；“1⊗V ”的不变性1⊗α=α,∀α∈V ， 则称V 是数域K 上的一个线性空间，记作V K .线性空间也称为向量空间，其中的元素(不论其含义如何)也称为向量. P 151第四章提到的向量空间R n 、齐次线性方程组的解空间V 和L(α1,α2,…,αm )都是线性空间.大家应该知悉的线性空间：1. 矩阵集合R m×n ={(a ij )m×n |a ij ∈R}关于通常的矩阵加法和数与向量的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.1 P 152)2. 次数小于n 的所有一元多项式的集合{}n 1in i01n 1i 0R[x]a xa ,a ,,a R --==∈∑关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.2 P 152)3. 一元多项式的集合{}ii i i 0R[x]a x a R +∞==∀∈∑关于通常的函数加法和数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. P 1524. 区间[a,b]上所有连续函数的集合C[a,b]关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间. (例7.3 P 152)5. 区间[a,b]上具有一阶连续导数的函数的集合C 1[a,b]关于通常的函数加法与数与函数的乘法是数域R 上的线性空间.6. 数域R 按照数的加法和乘法构成数域R 上的线性空间R n . (例7.4 P 152)大家不熟悉的线性空间：7.正实数集合R +={a|a ∈R 且a>0}是数域R 上的线性空间.这里加法“⊕”和数量乘法“⊗”分别定义为：a ⊕b=ab,k ⊗a=a k ,∀a,b ∈R +,∀k ∈R . (例7.5 P 153)两种运算的封闭性易见，“⊕”的交换律、结合律，“⊗”的分配律易验证. R +有零元素1，每个元素a 有负元素a -1，“1⊗R +”具有不变性：1⊗a=a.3. 线性空间的基本性质(P 153)性质1线性空间中的零向量是唯一的.性质2线性空间中的每一个向量的负向量是唯一的. 性质3 0⊗α=ο, (-1)⊗α=-α,∀α∈V ；k ⊗ο=ο,∀k ∈K . 性质4 若k ⊗α=ο，则k =0或α=ο.* 定义和性质的直接意义：若某个集合不符合定义或性质中的任何一条，则它必不是线性空间.哪些集合不是线性空间？1. 数域R上的所有一元二次多项式的集合2ii0122i0V a x a,a,a R a0==∈≠⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑且不是线性空间.因为V没有零元素.因为V关于函数的加法运算与数乘法运算均不封闭.2. n元非齐次线性方程组的解集合U={x|A x=β}(A∈R m×n)不是线性空间.因为U没有零元素.因为U没有负元素.因为U关于向量的加法运算与数乘法运算均不封闭.3. n阶实可逆矩阵的集合U={(a ij)n×n|a ij∈R且|(a ij)n×n|≠0}不是线性空间.因为U没有零元素.因为U关于矩阵的加法运算与数乘法运算均不封闭.4. 线性子空间(P154)线性空间V的子空间U若(1)U是V的非空子集；(2)U有与V相同的加法运算和数乘法运算；(3) U是线性空间，则称U是V的一个线性子空间，简称子空间. (定义7.2 P154)线性空间V的两个特殊的子空间：零子空间——只由V中零元素构成的子空间；全空间——V自身.零子空间和全空间称为V的平凡子空间，其他的叫V的非平凡子空间. P154定理7.1设U是线性空间V的非空子集，则U是V的子空间的充分必要条件是U对于V的加法和数乘运算是封闭的. (定理7.1 P154)例如，R n×n中的全体对称矩阵(反对称矩阵、上三角矩阵、下三角矩阵、对角矩阵)构成R n×n的一个子空间，但n阶可逆矩阵(或不可逆矩阵)的集合不是R n×n的子空间.(例7.6 P154)R[x]n是R[x]m(m≥n)的子空间，R[x]m是R[x]的子空间. P155在区间[a,b]上的函数集合C1[a,b]是C[a,b]的子空间. P155这里直接指出：在第三章中讨论n元数组时用到的线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组和秩等概念都可以推广到线性空间中，由这些定义出发所得到的结论在线性空间中也都成立.设α1,α2,…,αs∈V K是线性空间V K的一组向量，那么集合L(α1,α2,…,αs)={k1α1+k2α2+…+k sαs|k1,k2,…,k s∈K}是线性空间V K的一个子空间，称为由α1,α2,…,αs生成的子空间. P155二、基维数坐标这里直接指出：在第三章中讨论n元数组时用到的线性表示、线性相关、线性无关、极大线性无关组和秩等概念都可以推广到线性空间中，由这些定义出发所得到的结论在线性空间中也都成立.线性空间要么只有零向量，要么有无穷多个向量.有无穷多个向量的线性空间有“极大线性无关组”、“秩”、“坐标”等概念.1. 基维数线性空间的基、维数、坐标的含义如下：基线性空间的“极大线性无关组”. (定义7.3 P155)维数线性空间的“极大线性无关组”中的向量个数. (定义7.3 P155)规定：仅含零向量的线性空间维数为0.如果线性空间有任意多个线性无关的向量，则称为无限维线性空间，维数为+∞. P155例如，R[x],C[a,b]都是无限维的线性空间.n 维数线性空间记为V n .以下仅讨论有限维的线性空间.例如，n 元齐次线性方程组A x =ο的基础解系是其解空间V={x |A x =ο}的基，维数为n-R(A).1,x,x 2,…,x n-1、1,1+x,1+x+x 2,…,1+x+…+x n-1和1,x-1,(x-1)2,…,(x-1)n-1等都是线性空间R[x]n 的基，R[x]n 的维数为n . (例7.7 P 155)100010001000000,,,,,000000000100010⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭000001⎛⎫ ⎪⎝⎭是线性空间R 2×3的一组基，100110,,000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111111111,,,000100110111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭是R 2×3的另一组基， R 2×3的维数为6. (例7.8 P 156)一般地，R m×n 是m×n 维线性空间.向量组α1,α2,…,αs 的一个“极大线性无关组”是生成空间L(α1,α2,…,αs )的一组基，R(α1,α2,…,αs )是该生成空间的维数.关于基、维数有以下结论：定理7.2设V n 是n 维线性空间，如果V n 中的向量组α1,α2,…,αm 线性无关，那么在V n 中必有n-m 个向量αm+1,αm+2,…,αn ，使得α1,α2,…,αm ,αm+1,αm+2,…,αn 是V n 的一组基. (定理7.2 P 156)定理7.2既说明基的存在性，同时给出得到基的一种方法.推论1 含有非零向量的线性空间存在基. (倒数第12行 P 156) 推论2 非空的欧氏空间存在规范正交基. (正数第11行 P 167)推论3 如果线性空间U 是线性空间V 的子空间，那么R(U)≤R(V).且若R(U)=R(V)，则必有U=V. (推论 P 156)2.坐标坐标 向量由基线性表示的一组有序数. (定义7.4 P 156)同一个向量会随基的不同而有不同的坐标.例如，1,x,x 2是线性空间R[x]3的一组基，f(x)=-5x 2+3x-2在基1,x,x 2下的坐标为(-2,3,-5)T .而g(x)=2(x+1)2-3(x-4)-2=2x 2+x+12在基1,x,x 2下的坐标是(12,1,2)T ，在另一个基1,x-4,(x+1)2下的坐标则是(-2,-3,2)T . P 157向量111111⎛⎫⎪⎝⎭在R 2×3中基100020,,000000-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭001000000,,,000400020⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭0000010⎛⎫ ⎪⎝⎭下的坐标为(-1,1/2,1,1/4,-1/2,1/10)T ，即11110002000111110000000002000000000111 .40002000104210-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭如果向量ξ在基α1,α2,…,αn 下的坐标为(x 1,x 2,…,x n )T ，仿照矩阵乘法，可以“形式地”记为1212n n x x (,,,)x =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ξααα.3.线性空间的同构(P 157)坐标的引入，使得n 维抽象空间V n 中的元素与n 元有序数组(即通常意义上的向量)一一对应起来，且元素之间的线性运算也保持对应，这称为同构现象.线性空间U 与V 同构线性空间U 与V 的元素之间存在一一对应关系，且元素之间的线性运算也保持对应. (定义7.5 P 157)设U(11,⊕⊗)与V(22,⊕⊗)同构，且α1,α2∈U, β1,β2∈V,k ∈R ，则11221112221122, k k ↔↔⊕↔⊕⊗↔⊗αβαβαβαβαα线性空间的同构关系具有反身性、对称性、传递性. P 157可见，同一数域上的同维线性空间都同构. 同构的线性空间有相同的线性运算性质. P 158例如，R 2×3与R 6同构，有111211121313212223212223a a a a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔ ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 111112121111121213131313212122222323212122222323111211121313212223212223a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b a +b ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ka ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫↔⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎝⎭，.⎪⎪由此可见，R 2×3中向量的线性相关性与在R 6中所对应的向量的线性相关性一致，R 2×3的基与R 6的基对应.三、基变换和坐标变换如果线性空间有非零向量，那么它就有无穷多元素，从而有不同的基，一个元素也会有不同的坐标，由此就有了以下概念.1.基变换(P 158)设α1,α2,…,αn 和β1,β2,…,βn 是线性空间V n 的两组基.基变换基之间的“线性表示”.即(β1,β2,…,βn )=(α1,α2,…,αn )C ， P 144该式称为基变换公式.过渡矩阵构成基变换的矩阵.上式中的C 称为由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定义7.6 P 159)过渡矩阵是可逆矩阵，因为n=R(β1,β2,…,βn )≤min{R(α1,α2,…,αn ),R(C)}=R(C)≤n.例7.1(例7.9 P 159) 在线性空间R[x]3中，由基1,x,x 2到基1,1+2x,1+2x+3x 2的过渡为(1,1+2x,1+2x+3x 2)=(1,x,x 2)111022003⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 111022003⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即是由基1,x,x 2到基1,1+2x,1+2x+3x 2的过渡矩阵.例7.2 在线性空间R 2×2中，由基11121001E =,E ,0000=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21220000E ,E 1001==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭到基121011B ,B ,0000==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341111B ,B 1011==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的过渡为 (B 1,B 2,B 3,B 4)=(E 11,E 12,E 21,E 22)1111011100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，1111011100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭即是由基E 11,E 12,E 21,E 22到基B 1,B 2,B 3,B 4的过渡矩阵.2.坐标变换(P 159)坐标变换同一个向量在两组基下的坐标之间的变换.定理7.3 如果向量ξ在基α1,α2,…,αn 与基β1,β2,…,βn 下的坐标分别为x 和y ，那么x =C y ，其中C 是由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定理7.3 P 159)证 12n 12n 1212n(,,,)(,,,)Cn 1212n n y y (,,,)y x x(,,,)x βββαααβββξααα=⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭=⇒⎨⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎩x =C y .例7.3 向量(1,2,1)T 在基e 1=(1,0,0)T ,e 2=(0,1,0)T ,e 3=(0,0,1)T 下的坐标为1,2,1，而基e 1,e 2,e 3到基η1=(1,1,1)T ,η2=(1,1,-1)T ,η3=(1,-1,-1)T 的过渡矩阵为111C 111111=---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 即(η1,η2,η3)=(e 1,e 2,e 3)C ，于是(1,2,1)T 在基η1,η2,η3下的坐标(x 1,x 2,x 3)T 满足(1,2,1)T =C(x 1,x 2,x 3)T .所以(x 1,x 2,x 3)T =C -1(1,2,1)T =(1,1/2,-1/2)T ，其中11011C 0112110-=--⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭.也可以直接求向量(1,2,1)T 在基η1,η2,η3下的坐标.设(1,2,1)T =(η1,η2,η3)(x 1,x 2,x 3)T ，得 (x 1,x 2,x 3)T =(η1,η2,η3)-1(1,2,1)T111111111212111112-=-=---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.例7.4(例7.10 P 159) 设121011B ,B ,0000==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭341111B ,B 1011==⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是线性空间R 2×2中的一组基，求向量12A 34=⎛⎫⎪⎝⎭在基下的坐标.解 方法一 向量A 在R 2×2中基11121001E =,E ,0000=⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21220000E ,E 1001==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭下的坐标为(1,2,3,4)T，及基B 1,B 2,B 3,B 4由1112212210010000E =,E ,E ,E 00001001===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭过渡的过渡矩阵为11110111C 00110001=⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，所以向量A 在基B 1,B 2,B 3,B 4下的坐标(y 1,y 2,y 3,y 4)T =C -1(1,2,3,4)T =(-1,-1,-1,4)T ，即A=-B 1-B 2-B 3+4B 4.方法二 设A=y 1B 1+y 2B 2+y 3B 3+y 4B 4，则1234y 11111y 20111y 30011y 40001=⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11234y 111111y 011121y 001131y 000144---==-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故向量A 在基B 1,B 2,B 3,B 4下的坐标为(-1,-1,-1,4)T .四、线性变换及其矩阵表示线性空间V 到自身的映射称为V 的变换，能够保持线性运算关系的变换是线性变换，它反映线性空间的向量之间重要的、最基本的联系.1.线性变换线性空间V K 的线性变换T 满足线性运算的映射T: V K →V K ：T(α⊕β)=T(α)⊕T(β), T(k ⊗α)=k ⊗T(α),∀α,β∈V K ,∀k ∈K.(定义7.7 P 160)例7.5(例7.11 P 160) 线性空间R n×n 中的映射：T(A)=A T , A ∈R n×n ，是R n×n 中的一个线性变换.例7.6(例7.12 P161) 设A∈R n×n，线性空间R n中的映射：T(α)=Aα, α∈R n是R n中的一个线性变换.例7.7(例7.13 P161) 线性空间R[x]n中的微商运算：D(f(x))=f’(x), f(x)∈R[x]n是R[x]n中的一个线性变换.微商运算不是线性空间C1[a,b]的线性变换.例7.8(例7.14 P161) 设λ∈R，线性空间V n中的映射：T(α)=λα, α∈V n是V n中的一个线性变换. 当λ=1，称T是恒等变换；当λ=0，称T是零变换.线性变换的性质：P161(1)T(ο)=ο；(2)T(-α)=-T(α)；(3)T(k1α1+k2α2+…+k sαs)=k1T(α1)+k2T(α2)+…+k s T(αs).* T(α)=ο推不出α=ο.2.线性变换的矩阵线性变换的像线性空间的元素经线性变换映射的结果.T(α)是元素α经线性变换T : α→T(α)的像.线性变换在基下的矩阵以基表示基的像的矩阵(下式中的A称为线性变换T在基α1,α2,…,αn下的矩阵). (定义7.8 P162)(T(α1),T(α2),…,T(αn))=(α1,α2,…,αn)A.记(T(α1),T(α2),…,T(αn))T(α1,α2,…,αn)，那么 T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A .像在基下的坐标设α=x 1α1+x 2α2+…+x n αn ，并记x =(x 1,x 2,…,x n )T ，则T(α)=T(x 1α1+x 2α2+…+x n αn )=x 1T(α1)+x 2T(α2)+…+x n T(αn )=(T(α1),T(α2),…,T(αn ))x =(α1,α2,…,αn )A x ，所以像T(α)在基下的坐标为A x .例7.9(例7.15 P 162) 在线性空间R[x]n 中，求微商变换D 在基1,x,x 2,…,x n-1下的矩阵. 解 由D(1)=0, D(x)=1,D(x 2)=2x,…,D(x n-1)=(n-1)x n-2，有(D(1),D(x),D(x 2),…,D(x n-1))=(0,1,2x,…,(n-1)x n-2)=(1,x,x 2,…,x n-1)01000020000n 1000-⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 故微商变换D 在基1,x,x 2,…,x n-1下的矩阵为01000020000n 1000-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.类似地可得微商变换D 在基1,x,x 2/2!,…,x n-1/(n-1)!下的矩阵为10000100001000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.例7.10(例7.16 P 163) 求线性空间R 2×2中的线性变换：T(X)=X T , X ∈R 2×2在基111221100100E =,E ,E ,000010==⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2200E 01=⎛⎫⎪⎝⎭下的矩阵. 解 由T(E 11)=E 11, T(E 12)=E 21, T(E 21)=E 12, T(E 22)=E 22，得 T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(E 11,E 21,E 12,E 22)=(E 11,E 12,E 21,E 22)100000101000001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭.100000101000001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭即为线性变换T 在基E 11,E 12,E 21,E 22下的矩阵.例7.11(例7.17 P 163)定理7.4(同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系) 设T 是线性空间V n 的线性变换，A,B 分别是T 在基α1,α2,…,αn 和β1,β2,…,βn 下的矩阵，那么B=C -1AC ，其中C 是由基α1,α2,…,αn 到基β1,β2,…,βn 的过渡矩阵. (定理7.4 P 164)证 由 T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A ，T(β1,β2,…,βn )=(β1,β2,…,βn )B ， (β1,β2,…,βn )=(α1,α2,…,αn )C ，得T(β1,β2,…,βn )=T((α1,α2,…,αn )C)=T(α1,α2,…,αn )C=(α1,α2,…,αn )AC =(β1,β2,…,βn )C -1AC.由于线性变换在基下的矩阵唯一，所以B=C -1AC.定理7.4表明，一个线性变换在不同的基下的矩阵相似.例7.12(例7.18 P 165) 设线性空间V 2中的线性变换T 在基α1,α2下的矩阵为12A 05=⎛⎫⎪⎝⎭，求线性变换T 在基β1=α1+2α2,β2=2α1+5α2下的矩阵.解 方法一 因为(β1,β2)=(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭, T(α1,α2)=(α1,α2)A ，所以T 在基β1,β2下的矩阵为 112121251025052501B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.方法二因为(β1,β2)=(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭, T(α1,α2)=(α1,α2)A，所以T(β1,β2)=T(α1,α2)1225⎛⎫⎪⎝⎭=(α1,α2)A1225⎛⎫⎪⎝⎭=(β1,β2)-1121212250525⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(β1,β2)51001⎛⎫⎪⎝⎭，所以T在基β1,β2下的矩阵为51001⎛⎫ ⎪⎝⎭.五、欧氏空间具有度量性质的实线性空间——EuclidV空间(欧氏空间).1.定义和例子首先给出线性空间上的度量定义——内积.内积设V是实数域R上的一个线性空间，在V上定义一个二元函数，记作[α,β]，如果它满足：对∀α,β,γ∈V,∀k∈R，有(1) [α,β]=[β,α](对称性)；(2) [α+β,γ]=[α,γ]+[β,γ], [kα,β]=k[α,β](线性性)；(3) [α,α]≥0.且仅当α=ο时，[α,α]=0(正定性)，则称这个二元函数[α,β]是V上的内积. (定义7.9 P165)Euclid空间定义了内积的实线性空间. (定义7.9 P165)例如，向量空间R n中的内积，除了在第三章已定义的形式：[α,β]=a1b1+a2b2+…+a n b n，(这是常用形式)还可以定义为[α,β]=a1b1+2a2b2+…+na n b n.对应不同内积的欧氏空间被认为是不同的欧氏空间. P166例7.13(例7.19 P166) 在线性空间R[x]n中，定义[f(x),g(x)]=∫-11 f(x)g(x)dx, f(x),g(x)∈R[x]n.[f(x),g(x)]是R[x]n 中的内积，因此R[x]n 是欧氏空间.例7.14 在线性空间R m×n 中，定义mnij ij i 1j 1[A,B]a b ===∑∑, A=(a ij )n ,B=(b ij )n ∈R m×n .[A,B]是R m×n 中的内积，因此R m×n 是欧氏空间. P 166有了内积，在欧氏空间中就可以引入向量长度、向量的夹角等度量性的概念，而且有与R n 中的对应概念完全类似的性质.向量的长(或范数) |α. (定义7.10 P 166)|k α|=k|α|,∀α∈V n ,∀k ∈R .单位向量|α|=1.若α∈V n 且α≠ο，则α/|α|是单位向量. (规范性)向量的夹角<α,β>=arcos([α,β]/|α|·|β|), 0≤<α,β>≤π, α≠ο,β≠ο.(定义7.11 P 166) 易见，<α,β>=π/2 ⇔[α,β]=0, α≠ο,β≠ο.向量正交[α,β]=0. (定义7.12 P 166) 零向量与任意向量正交. 2.规范正交基在Euclid 空间中还有以下概念及结论： 规范向量组 向量长度皆为1的向量组.正交向量组/规范正交向量组向量均非零且互相正交(/既规范又正交)的向量组. (定义7.13 P 167)定理7.5 正交向量组必线性无关. (定理7.5 P 167)正交基/规范正交基 由正交(/规范正交)向量组成的基. (定义7.14 P 167)定理7.6 在欧氏空间中，如果向量组α1,α2,…,αm 线性无关，则有规范正交向量组ε1,ε2,…,εm 与之等价. (定理7.6 P 167)定理7.6表明：任意非零欧氏空间都存在规范正交基.得到规范正交基的方法——Schmidt 正交化法.在欧氏空间中，规范正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵.例7.15(例7.20 P 167) 在线性空间R[x]3中，按例7.13定义内积，求R[x]3的一个规范正交基. 解 取R[x]3中的一个基：α1=1,α2=x,α3=x 2，令 β1=α1=1，β2=α2-([α2,β1]/[β1,β1])β1=x ，β3=α3-([α2,β1]/[β1,β1])β1-([α2,β2]/[β2,β2])β2=x 2-1/3. 再规范化，得规范正交基：ε1=√2/2,ε2=√6x/2,ε3=3√10(x 2-1/3)/4.六、应用实例[实例7-1]线性变换在二维计算机图形学中的应用 1. 旋转变换x cos sin x y sin cos y 'θ-θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'θθ⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即coc sin 0x x sin coc 0y y 00111'θ-θ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=θθ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 表示点(x,y)绕原点逆时针旋转θ角得到点(x ,,y ,)，换句话说，坐标系绕原点顺时针旋转θ角，点(x,y)在新坐标系下即为点(x ,,y ,).旋转变换是正交变换.2.伸缩变换x c x y c y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即c0x x c 0y y 111'⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪'=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3.平移变换00x x x y y y '+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'+⎝⎭⎝⎭， 即00001x x x x x 1y y y y y 111 1'+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪'==+⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.线性变换的复合是线性变换.[实例7-2]调味品配制问题七、习题(P 173) 选择题： 1. A提示：线性空间必有零元素，所以R n 的子空间必包含原点. 2. A提示：(α1+α2,α2+α3,α3+α1)=(α1,α2/2,α3/3)101220033⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭.3. A提示：T(α1,α2,…,αn )=(α1,α2,…,αn )A.4.C (注意：当n>2，B 选项也不正确.)5.D (参见例7.20) 填空题：1. a=6提示：α1,α2线性无关，且121012101210110211021102211a 330a 000a 6---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭2. 3提示：3阶反对称矩阵1213122313230a a a 0a a a 0⎛⎫⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭中不同的数有3个. 3.-6,1,1提示：f(x)=x 2+2x-3=(x 2+x+2)+(x+1)-64.2312⎛⎫⎪--⎝⎭提示：(β1,β2)=(α1,α2)C ，即1111C 1201⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.5.012122111⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭提示：T(α1,α2,α3)=(000111,,010101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭) =(101111,,000001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭)012122111⎛⎫ ⎪--- ⎪⎪⎝⎭解答题：1.(1)V={P(x)|P(x)=ax 2+bx+cx,a,b,c ∈R,a≠0}不是线性空间.因为若P(x)∈V ，则-P(x) ∈V ，但P(x)+(-P(x))=0∉V ，即V 关于多项式的加法运算不封闭. 因为P(x)∈V,0∈R ，但0·P(x)=0∉V ，即V 关于数与多项式的乘法运算不封闭. 因为V 没有零元素：P(x),-P(x)∈V ，但P(x)+(-P(x))=0∉V.(2)V={x |A x =β,β≠ο}不是线性空间.因为x ,y ∈V ，但x +y ∉V ，即V 关于向量的加法运算不封闭.因为x ∈V,0∈R ，但0x =ο∉V ，即V 关于数与向量的乘法运算不封闭. 因为V 没有负元素：x ∈V ，但-x ∉V. 因为V 没有零元素：A ο≠β，故ο∉V.(3)V={A|A ∈R n×n 且|A |≠0}不是线性空间.因为若A ∈V ，则-A ∈V ，但A +(-A)=O ∉V ，即V 关于矩阵的加法运算不封闭. 因为A ∈V,0∈R ，但0A=O ∉V ，即V 关于数与矩阵的乘法运算不封闭. 因为V 没有零元素：A ∈V ，则-A ∈V ，但A +(-A)=O ∉V .(4)V 1={A|A ∈R 3×3且A=A T }是线性空间. 因为V 1⊂R 3×3，R 3×3是线性空间，且A,B ∈V 1, k ∈R ⇒ A+B ∈V 1, kA ∈V 1，所以V 1是R 3×3的子空间.因此V 1是线性空间.V 2={A|A ∈R 3×3且A=-A T }是线性空间. 因为V 2⊂R 3×3，R 3×3是线性空间，且A,B ∈V 2, k ∈R ⇒ A+B ∈V 2, kA ∈V 2，所以V 2是R 3×3的子空间.因此V 2是线性空间.(5) V={X|XA=AX, A=1002⎛⎫⎪⎝⎭, X ∈R 2×2}是线性空间. 设X=a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭，则由XA=AX ⇒X=a d ⎛⎫⎪⎝⎭.由于R 2×2是线性空间，且A,B ∈V, k ∈R ⇒ A+B ∈V, kA ∈V ，所以V 是R 2×2的子空间. 因此V 是线性空间.2. (4)V 1的一组基为100000000000,010,000,000000001⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 010*********,001,000000010100⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， R(V 1)=6.V 2的一组基为010*********,001000000010100--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，R(V 2)=3.(5)V 的一组基为10,01⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，R(V)=2.3. 提示：即求α1,α2,α3,α4的“极大线性无关组”及其“秩”.4. (1) V1是R n的子空间.因为V1⊂R n，且∀x=(0,x2,…,x n)T,y=(0,y2,…,y n)T∈V1, k∈R，有x+y=(0,x2+y2,…,x n+y n)T∈V1,k x=(0,kx2,…,kx n)T∈V1.(2)V2不是R n的子空间.因为x=(1,x2,…,x n)T,y=(1,y2,…,y n)T∈V2，但x+y=(2,x2+y2,…,x n+y n)T∉V2.因为x∈V2, k∈R，但0x=(0,0,…,0)T∉V2.因为V2没有零元素：(0,0,…,0)T∉V2.因为V2没有负元素：x=(1,x2,…,x n)T∈V2，但-x=(-1,-x2,…,-x n)T∉V2.(3)V3是R n的子空间.因为V3⊂R n，且∀x=(x1,x2,…,x n)T,y=(y1,y2,…,y n)T∈V3, k∈R，有x+y=(x1+y1,x2+y2,…,x n+y n)T,k x=(kx1,kx2,…,kx n)T,其中x1+y1+x2+y2+…+x n+y n=0, kx1+kx2+…+kx n=0，所以kx1,kx2,…,kx n∈V3, k x∈V3.(4)V4不是R n的子空间.因为x=(1,0,…,0)T, y=(0,1,…,0)T∈V4，但x+y=(1,1,…,0)T∉V4.因为x∈V4, k∈R，但0x=(0,0,…,0)T∉V4.因为V4没有负元素：例如x=(1,0,…,0)T∈V4，但-x=(-1,0,…,0)T∉V4.(5)V5是R n的子空间.因为V5⊂R n，且∀x=(x,2x,…,nx)T, y=(y,2y,…,ny)T∈V5, k∈R，有x+y=(x+y,2(x+y),…,n(x+y))T∈V5,k x=(kx,2kx,…,nkx)T∈V5.(6)V6是R n的子空间.因为V6⊂R n，且∀x=(x1,y1,…,y1)T, y=(x2,y2,…,y2)T∈V6, k∈R，有x+y=(x1+x2,y1+y2,…,y1+y2)T∈V6,k x=(kx1,ky1,…,ky1)T∈V6.5. (1) V1是n-1维线性空间.e2,e3,…,e n是V1的一组基.因为x=(0,x2,…,x n)T=x2e2+ x3e3+…+x n e n.(3)V3是n-1维线性空间.(1,0,…,0,-1)T, (0,1,…,0,-1)T,…, (0,0,…,1,-1)T是V3的一组基.因为x=(x1,x2,…,x n)T∈V3，总有(x1,x2,…,x n)T=x1(1,0,…,0,-1)T+x2(0,1,…,0,-1)T+…+x n-1(0,0,…,1,-1)T.(5)V5是1维线性空间，x=(1,2,…,n)T是V5的一组基.因为x=(x,2x,…,nx)T=x(1,2,…,n)T.(6) V6是2维线性空间，(1,0,…,0,0)T, (0,1,…,1,1)T是V6的一组基.因为x=(x,y,…,y)T=x(1,0,…,0,0)T+y(0,1,…,1,1)T.6. 提示：(1)由于α1,α2,α3,α4∈R4，且(α1,α2,α3,α4)11111111212101411110020101110111----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎪ ⎪=→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111111110111011100230023007400013----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪→→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭所以R(α1,α2,α3,α4)=4，故α1,α2,α3,α4是线性空间R4的一组基.(2)设β=(α1,α2,α3,α4)x.由于(α1,α2,α3,α4,β)10001010020010100013⎛⎫⎪⎪→⎪-⎪⎝⎭行变换，所以β在基α1,α2,α3,α4下的坐标为(1,2,-1,3)T.7. 提示：1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1∈R[x]n.令k1+k2(x-a)+…+k n(x-a)n-1=0，显然有k1,k2,…,k n=0，故1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1线性无关.设∀f(x)=a0+a1x+…+a n-1x n-1∈R[x]n，则f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+…+f(n-1)(a)(x-a)(n-1)/n!.因此，1,(x-a),(x-a)2,…,(x-a)n-1是线性空间R[x]n的一组基，且f(x)=1+x+…+x n-1在此基下的坐标为(1+a+…+a n-1, 1+2a+…+(n-1)a n-2,…,1)T.8. 提示：(1)设(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)C，则过渡矩阵C=(α1,α2,α3)-1(β1,β2,β3)=…(2)设α=(α1,α2,α3)x，则α在基α1,α2,α3下的坐标为x=(α1,α2,α3)-1α=…设α=(β1,β2,β3)y，则α在基β1,β2,β3下的坐标为y=(β1,β2,β3)-1α=……或y=(β1,β2,β3)-1α=C-1(α1,α2,α3)-1α=C-1x=……9. 提示：(1)(α1,α2,α3)=(1,1+x,1+x+x2)=(1,x,x2)111 011 001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⇒过渡矩阵C=111011001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭.(2)因为3+2x+x 2=(1,x,x 2)321⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(α1,α2,α3)1111310112100111-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以向量3+2x+x 在基α1,α2,α3下的坐标为(1,1,1)T .10. 提示：(1)、(3)、(4)是；(2)不是.(注：当n≠2时，(4)不是.)(2)因为T(A+B)=A+B+1101⎛⎫ ⎪⎝⎭=T(A)+T(B)-1101⎛⎫⎪⎝⎭≠T(A)+T(B).因为T(kA)=kA+1101⎛⎫ ⎪⎝⎭≠k A+k 1101⎛⎫ ⎪⎝⎭=kT(A) (当k≠1).(4)设A=11122122a a a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,B=11122122b b b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则A *=22122111a a a a -⎛⎫⎪-⎝⎭,B *= 22122111b b b b -⎛⎫ ⎪-⎝⎭,(A+B)*=2222121221211111a b (a b )(a b )a b +-+⎛⎫ ⎪-++⎝⎭，且T(A+B)=(A+B)*=A *+B *,T(kA)=(kA)*=kT(A).11. 提示：首先求基在线性变换T 下的像：T(E 11),T(E 12),T(E 21),T(E 22)，然后将其表示为T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(E 11,E 12,E 21,E 22)C ，那么C 即为所求矩阵.(1)T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(1111⎛⎫ ⎪--⎝⎭,0101⎛⎫ ⎪-⎝⎭,1111⎛⎫ ⎪⎝⎭,0101⎛⎫⎪⎝⎭)=(E 11,E 12,E 21,E 22)1010111110101111---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭， 所以线性变换T 在该基下的矩阵为1010111110101111---⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭.(3) T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(2000⎛⎫ ⎪⎝⎭,0110⎛⎫ ⎪⎝⎭,0110⎛⎫ ⎪⎝⎭,0002⎛⎫⎪⎝⎭)=(E 11,E 12,E 21,E 22)2000011001100002⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭. 所以线性变换T 在该基下的矩阵为2000011001100002⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭.(4)T(E 11,E 12,E 21,E 22)=(0001⎛⎫⎪⎝⎭,0100-⎛⎫ ⎪⎝⎭,0010⎛⎫ ⎪-⎝⎭,1000⎛⎫⎪⎝⎭) =(E 11,E 12,E 21,E 22)000010000101000⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎪-⎝⎭１. 所以线性变换T 在该基下的矩阵为000010000101000⎛⎫⎪-⎪ ⎪-⎪-⎝⎭１.12. 提示：T(ε1)=(1,1,1)T , T(ε2)=(2,-1,1)T , T(ε3)=(0,0,1)T ，T(ε1,ε2,ε3)=( (1,1,1)T , (2,-1,1)T , (0,0,1)T )=(ε1,ε2,ε3)120110111⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.则120110111⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵.13. 提示：(1)因为T(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)120111011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，所以线性变换T 在基ε1,ε2,ε3下的矩阵为120111011-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭.(2)因为(η1,η2,η3)=(ε1+ε2+ε3,ε1+ε2,ε1)=(ε1,ε2,ε3)111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，所以T(η1,η2,η3)=T(ε1,ε2,ε3)111 110 100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)120111011-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=(η1,η2,η3)1111110100-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭120111011-⎛⎫⎪-⎪⎪-⎝⎭111110100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=010 111 012⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭，所以线性变换T在基η1,η2,η3下的矩阵为010 111 012⎛⎫ ⎪ ⎪⎪--⎝⎭.14. 提示：依题意有T(ε1,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a aa a aa a a⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.(1)因为(ε3,ε2,ε1)=(ε1,ε2,ε3)001010100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭，所以T(ε3,ε2,ε1)=T(ε1,ε2,ε3)001 010 100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭001010100⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)1111213212223313233001a a a001 010a a a010 100a a a100-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)111213212223313233001a a a 001010a a a 010100a a a 100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=(ε3,ε2,ε1)333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵. (2)因为(ε1,k ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)1000k 0001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，所以T(ε1,k ε2,ε3)=T(ε1,ε2,ε3)1000k 0001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)11000k 0001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)10001k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭1000k 0001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,k ε2,ε3)111213212223313233a ka a a k a a k a ka a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以111213212223313233a ka a a k a a k a ka a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵. (3)因为(ε1+ε2,ε2,ε3)=(ε1,ε2,ε3)100110001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，所以T(ε1+ε2,ε2,ε3)=T(ε1,ε2,ε3)100110001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=(ε1,ε2,ε3)111213212223313233a a a a a a aa a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)1100110001-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)100110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭100110001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=(ε1+ε2,ε2,ε3)11121213211122122212231331323233a a a a a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-+--- ⎪ ⎪+⎝⎭， 所以11121213211122122212231331323233a a a a a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪-+--- ⎪ ⎪+⎝⎭即为所求矩阵.15.提示：T(x 2e x ,2xe x ,e x )=((x 2+2x)e x ,(x+1)e x ,e x )=(x 2e x ,xe x ,e x )100210011⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，100210011⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即为所求矩阵.16.提示：(α1,α2,α3,α4)=2141r r r 2r 11101110102101110111011123110111--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()3242123r r r r r r r 11110121011101110000000000000000++-⨯-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪---- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故由α1,α2,α3,α4生成的子空间V 的一组基为(1,1,0,2)T ,(1,0,1,3)T .正交化：(1,0,1,3)T -7(1,1,0,2)T /6=(-1,-7,6,4)T /6 // (-1,-7,6,4)T 单位化：√6(1,1,0,2)T /6,√102(-1,-7,6,4)T /102.故空间V 的一组规范正交基为√6(1,1,0,2)T /6, √102(-1,-7,6,4)T /102.17. 提示：先求出一个基础解系，然后正交化、规范化.18. 证明 []T A A ,A (A )A α=αα=ααT T T (A A)=αα=αα=α.19. 提示：(1)关于y 轴对称；(2)投影到x 轴； (3)关于直线y=x 对称； (4)逆时针旋转900.20. 提示：由T(A,B,C,D)=(A ’,B ’,C ’,D ’)，有T((x,y)T )=A(x,y)T .(1)T((x,y)T )=(-x,y)T =10x 01y -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(2)T((x,y)T )=(x,2y)T =10x 02y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭； (3)T((x,y)T )=(2x+2y,-x+y)T =22x 11y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-⎝⎭⎝⎭.21. 参见P 171页上的例7.21.八、计算实践实践指导：(1)理解线性空间、线性子空间、基、维数和坐标等概念，会求线性空间的基、维数和坐标；(2)了解基变换和坐标变换，会求基的过渡矩阵； (3)了解线性变换的概念，会求线性变换的矩阵；(4)了解内积、Euclid 空间的概念，会用施密特（Schmidt ）方法将线性无关的向量组正交标准化； (5)了解标准正交基、正交矩阵的概念及它们的性质，会求标准正交基.例7.1 设A,B 都是n 阶正交矩阵，证明： (1) A T 是正交矩阵；(2)A -1是正交矩阵； (3)AB 是正交矩阵；(4)A O O B ⎛⎫ ⎪⎝⎭是正交矩阵.提示：(1)A 是正交矩阵 ⇒A T A=E ⇒A T (A T )T =E ⇒A T 是正交矩阵. (2)A 是正交矩阵⇒A -1(A T )-1=A -1(A -1)T =E ⇒A -1是正交矩阵. (3) AB 是正交矩阵⇒AB(AB)T =ABB T A T =E ⇒AB 是正交矩阵.(4) AB 是正交矩阵⇒TT T A O A O A O A O E O B O B O B OB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⇒A O O B ⎛⎫⎪⎝⎭是正交矩阵.例7.2 设A=(a ij )n 为正交矩阵，证明： (1)det(A)=1或det(A)=-1；(2)当det(A)=1时，a ij =A ij ；当det(A)=-1时，a ij =-A ij ，其中A ij (i, j=1,2,…,n )是元素a ij 的代数余子式. 提示：A 是正交矩阵 ⇔A T A=E ⇒det 2(A)=1⇒det(A)=±1. 另一方面，由A *A=det(A)E ，得A *=det(A)A -1=det(A)A T ，故ij ij ijij A a , A 1,A a ,A 1.⎧==⎪⎨=-=-⎪⎩当当例7.3 设A,B 都是n 阶正交矩阵，且det(A)+det(B)=0，证明：det(A+B)=0. 提示：det(A)+det(B)=0 ⇒det(A)·det(B)=-1. 再由 B T (A+B)A T =B T +A T =(A+B)T⇒det(B)·det (A+B)·det(A)=det (A+B) ⇒-det (A+B)=det (A+B) ⇒det (A+B)=0。
东北大学过程控制系统第一章 过程控制系统发展及组成分类概念
1.1 过程控制系统的发展状况及特点
20世纪60年代： 过程控制系统：串级、比值、均匀、前馈和选择性等多种 复杂控制系统。 自动化仪表：单元组合仪表（气动Ⅱ型和电动Ⅱ型）成为 主流产品。60年代后期，出现了专门用于过程控制的小型 计算机，直接数字控制系统和监督计算机控制系统开始应 用于过程控制领域。 控制理论：出现了以状态空间方法为基础，以极小值原理 和动态规划等最优控制理论为基本特征的现代控制理论, 传统的单输入单输出系统发展到多输入多输出系统领域。
说明
稳： (基本要求)系统响应要收敛； 准：（稳态要求）稳态输出与给定信号间的误差（稳态误差）要小； 快: (动态要求）过渡过程要平稳，迅速。
（1）衰减比
衰减比（Subsidence Ratio)它是相邻 的同向波峰值之比，即
n B1 B2
衰减比越大系统越稳定，一般认为，随动系统n:1=10:1时稳定性好， 定值系统4:1为好，应根据实际情况灵活处理。
根据偏差值、经一定算法得到的输出值。调节器输出亦称控制作用。
1.2 过程控制系统的组成
示例1：锅炉过热蒸汽温度控制系统
1-温度检测元件 2-温度变送器
3-控制器
4-调节阀
锅炉工作过程： • 燃料的燃烧 • 烟气向水的传热过程 • 水的汽化过程
广义对象
设定值 E(s) 控制器 R(s) 测量值
U(s) 执行器 检测变送
控制理论：人工智能、神经网络控制
自动化技术的应用范畴
宇航方面： 同步卫星（随动控制系统）卫星的发射与回收（神州
5号飞船，航天飞机）自动关机、点火系统. 军事方面：
火炮自动点火、巡航导弹. 其他方面：农业（病虫害防治、专家系统）
东北大学理论力学第八章 刚体的平面运动
E
30
vE
B
60
vD vB
C
A
O
vA
vB cos30 vA vB 0.23 m/s
Northeastern University
第八章 刚体的平面运动1Leabharlann 刚体平面运动的概述和运动分解
2 3
求平面图形内各点速度的基点法 求平面图形内各点速度的瞬心法 用基点法求平面图形内各点的加速度
4
5
运动学综合应用举例
Northeastern University
§8-1
刚体平面运动的概述和运动分解
§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
例8-3 图示曲柄连杆机构,OA=r,AB= 3r。如曲柄OA以匀角速 度ω转动,求当α=60°,0°和90°时滑块B的速度。
α=90°
大小 方向
vB v A vBA
？ √ √ √ ？ √
vA
A
O
v A r
vBA 0
vA vB
Northeastern University
§8-2
求平面图形内各点速度的基点法
一、基点法
基点：O' 平移坐标系：O'x'y' 牵连运动：随O'点的平移 相对运动：绕O'点的圆周运动
O
y
y'
vMO'
vM
vO '
M
vO '
O'
x'
x
绝对运动： 两个运动的合成
v O'M va ve vr vM vO' vMO' O '
东北大学自动控制原理第七章课件(非线性系统分析)教材
描述函数法的定义是：输入为正弦函数 时，输出的基波分量与输入正弦量的复数 比。其数学表达式为
N
X
R
X
Y1
sin(t X sint
1)
Y1 X
1
A12 B12 arctan A1
X
B1
式中：A1
1
2
y(t) cos ntdt
0
B1
1
2
y(t) sin ntdt
0
典型非线性环节的描述函数
稳定性 运动形式 自振
第二节 非线性环节及其对系 统结构的影响
常见的非线性元件及特性
饱和特性
饱和特性的影响
使系统开环增益下降，对动态响应的平 稳性有利。
使系统的快速性和稳态跟踪精度下降
死区（不灵敏区）特性
死区（不灵敏区）特性的影响
增大了系统的稳态误差，降低了定位精 度。
饱和特性
KX sint
y(t) Ks
0 t 1 1 t / 2
B1
4
1 KX sin2 tdt
0
1
/
2
Ks
sin
td
t
4KX
1 2
t
1 4
sin
2
t
1 0
s X
(
cos
t
)
/
1
2
2KX
ss
B1
arcsin
X
X
1
(
s X
)2
Xs
N ( X ) B1 2K [arcsin s s 1 ( s )2 ] X s
)2
X
间隙特性
K ( X sin t b)
东北大学《自动控制原理》王建辉主编 课后简答及简答补充
在分析稳态性能时不能抵消 ， 在分析系统动态性能时可以近似认为他们的影响相互抵消 ．．．． ．．．．
第五章 频率法
1.用时域与频域法分析设计和设计系统的主要区别是什么？
时域法： 可以直观的看出输出随时间的变化， 但用微分方程求解系统的动态过程比 较麻烦。 频域法：1）由系统的频率特性间接的揭示了系统的动态特性和稳态特性 2）可以简单迅速的判断某个环节或者参数对系统的动态特性和稳态特性 的影响，指明改进系统的方向
系统特征方程的根全部为负实数或具有负实部的共轭复数， 也就是所有闭环特征跟分布 在 s 平面虚轴的左侧。
11.什么是稳态误差，如何消除
当系统从一个稳态过渡到新的稳态或受到扰动又重新平衡后， 系统可能出现偏差， 这种 偏差定义为稳态误差。 消除方法： 1）增大系统的开环增益或扰动作用点之前的前向通道增益。
6.二阶系统是一个振荡环节，这种说法对么？为什么？
当阻尼比 0 到 1 时是一个振荡环节，否则不是一个振荡环节。
7.什么是系统的动态结构图？它等效变换的原则是什么？系统的动态结构图有 哪几种典型的连接？将它们用图形的形式表示出来，并列写出典型连接的传递 函数。
将系统中所有的环节用方框图表示， 图中表明其传递函数， 并且按照在系统中各环 节之间的关系，将各方框图连接起来。 变换的原则：保持输出量不变
5.试述反ห้องสมุดไป่ตู้原理
系统的输出量经过测量和变换后反馈到输入端， 与给定的输入信号相比较得到偏差信号， 偏差信号经控制器产生控制作用使输入量按要求变化， 这就是反馈控制原理。 反馈控制的特 点是利用产生的偏差来控制和消除偏差，抗扰性较好，控制精度高。
6.试述正反馈控制系统的特点
正反馈控制可以增大开环放大系数，但是容易导致系统不稳定
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7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
4.摩擦特性
Mf
M1 •
M2
•
M f 摩擦力矩
转速
M1 静摩擦力矩
M2 动摩擦力矩
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7.2 非线性环节及其对系统结构的影响
摩擦特性的影响
(1)对随动系统而言，摩擦会增加静差，降低精度。 (2)在复现缓慢变化的低速指令时，会造成爬行现象，
的利用 相平面法 小结
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第7章 非线性系统分析
学习重点
❖ 了解非线性系统的特点，掌握非线性系统与线性系 统的本质区别；
❖ 了解典型非线性环节的特点； ❖ 理解描述函数的基本概念，掌握描述函数的计算方
法； ❖ 掌握分析非线性系统的近似方法——描述函数法，
能够应用描述函数法分析非线性系统的稳定性。
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7.3 非线性特性的描述函数法
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7.3 非线性特性的描述函数法
输出 y(t )的傅立叶(Fourier)级数形式：
y(t)4M(sint13sin3t15sin5t)
推论：
4M sin2n(1)t
n0 2n1
① 方波函数可以看作无数个正弦分量的叠加。 ② 正弦分量中，有一个与输入信号频率相同的分量，
（2）非线性系统的分类 非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 不能用小偏差线性化方法解决的非线性。
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7.1 非线性系统动态过程的特点
东北大学计算机控制系统大纲
东北大学计算机控制系统大纲专业课三：计算机控制系统重点知识点：第一章计算机控制系统概述：1.计算机控制系统的组成————★★★2.计算机控制系统的性能指标3.D/A转换器、A/D转换器————★★★4.计算机控制系统的基本类型————★★★第二章信号转换与z变换：1.信号变换原理（采样函数的数学表示、采样定理、采样周期T的讨论）————★★★2.采样信号恢复与保持器（零阶保持器、一阶保持器）————★★★3.z变换（z变换方法、z变换的基本定理）————★★★4.z反变换（z反变换方法）————★★★第三章计算机控制系统数学描述与性能分析：1.线性常系数差分方程（差分方程求解）————★★★2.脉冲传递函数————★★★3.计算机控制系统的稳定性（离散系统的稳定性条件、s平面与z 平面的映射分析、采样周期与系统稳定性的关系）————★★★4.计算机控制系统的代数稳定性判据（劳斯判据、朱利判据）————★★★5.计算机控制系统稳态过程分析（稳态误差、采样周期对稳态误差的影响）——★★★6.计算机控制系统暂态过程分析（z平面极点分布与暂态响应的关系、采样周期对稳态误差的影响）————★★★7.计算机控制系统的频域特性分析第四章数字控制器的模拟化设计方法：1.模拟化设计方法基本原理2.连续控制器的离散化方法（z变换法、差分变换法、双线性变换法、零极点匹配法）—★★★3.数字PID控制器（基本数字PID控制算法——位置式与增量式、工程化改进）——★★★4.Smith预估控制第五章数字控制器的直接设计方法：1.直接设计方法的基本原理2.最小拍控制器的设计方法（简单对象、复杂对象）——★★★3.最小拍无纹波控制器的设计——★★★4.大林算法5.数字控制器的程序实现（直接、串联、并行）第六章基于状态空间模型的极点配置设计方法1.状态空间描述的基本概念2.离散系统的状态空间模型（由连续状态空间模型、差分方程、脉冲传递函数建立离散状态空间模型）——★★★3.系统的能控性与能观性4.状态可测时按极点配置设计控制规律5.按极点配置设计观测器6.状态不可测时控制器的设计7.随动系统的设计。
最新考研东北大学自控冲刺班重点习题及答案-没必要打印
第一章：例1试举几个工业生产中开环与闭环自动控制系统的例子，画出它们的框图，并说明它们的工作原理，讨论其特点。
答图1-1所示为直流电动机的开环控制系统示意图。
图1-1 直流电动机开环控制系统示意图该系统的结构图可用图1-2表示。
图1-2 开环系统结构图在本系统中，要控制的是直流电动机的转速，所以直流电动机是控制对象，直流电动机的转速是系统的输出量。
在励磁电流I f与负载恒定的条件下，当电位器滑动端在某一位置时U表示），电动机就以一定的转速n运转。
如果由于外部或内部（电位器对应的输出电压用g扰动，例如由于负载突然增加，使电动机转速下降，那么电动机在无人干预的情况下将偏离给定速度。
也就是说开环控制系统只有输入量对输出量产生作用，而没有输出对输入的反作用。
图1-3所示为直流电动机的闭环控制系统示意图。
图1-3 直流电动机闭环控制系统示意图该系统的结构图如图1-4所示。
图1-4 闭环控制结构图这里，用测速发电机将输出量n 检测出来，并转换成与给定电压物理量相同的反馈电压f U ，然后反馈到输入端与给定电压g U 相比较，其偏差U 经过运算放大器放大后，用来控制功率放大器的输出电压U 和电动机的转速n 。
当电位器滑动到某一位置时，电动机就以一个指定的转速转动。
由于外部或内部扰动，例如，由于负载突然增加，使电动机转速降低，那么这一速度的变化，将由测速机检测出来。
此时反馈电压相应降低，与给定电压比较后，偏差电压增大，再经过功率放大器放大后，将功率放大器输出电压U 升高，从而减小或消除电动机的转速偏差。
这样，不用人的干预，系统就可以近似保持给定速度不变。
由此可看出，闭环系统是把输出量反馈到输入端形成闭环，使得输出量参与系统的控制。
例2 图P1-3为液位自动控制系统示意图。
在任何情况下，希望液面高度h 维持不变。
试说明系统工作原理，并画出系统结构图。
图P1-3 液位自动控制系统示意图答（1）工作原理：闭环控制方式。
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自动控制
自动控制是在没有人的直接干预下，利用物 理装置对生产设备和工艺过程进行合理的控制， 使被控制的物理量保持恒定，或者按照一定的规 律变化，例如矿井提升机的速度控制、轧钢厂加 热炉温度的控制等等。
自动控制系统
自动控制系统是为实现某一控制目标所需要 的所有物理部件的有机组合体。
1.1 开环控制系统和闭环控制系统
Ug
▪调节过程
+
Uf
（过渡过程）
(+) (-) ▪功能框图
uc
1 2
～220V
1-热电偶 2-加热器
1.1 开环控制系统和闭环控制系统
例1-4 闭环调速系统
▪工作过程 ▪调节过程 ▪功能框图
1.1 开环控制系统和闭环控制系统
闭环控制系统结构示意图
正向通道
反向通道
1-控制器 2-控制对象 3-检测装置 反馈/偏差控制系统
1.3 自动控制系统类型
1. 按照系统结构分
开环 闭环
2. 按照信号传递方式分 ▪ 连续数据系统 ▪ 离散数据系统
1.3 自动控制系统类型
3. 给定量变化规律分
恒值系统
➢ 给定量恒定
随动系统
➢ 给定量随时间变化，预先未知
程序控制系统
➢ 给定量有规律地随时间变化，预先已知
1.3 自动控制系统类型
1.4 自动控制系统的性能指标
反馈控制系统存在两种状态： 暂态（动态）
➢ 输出量处于变化状态的过
1.4 自动控制系统的性能指标
1. 稳定性
稳定性是自动控制系统能工作的 首要条件，对于一个闭环控制系统， 如果其暂态过程不稳定，系统是根本 无法工作的。
振
过
东北大学过程控制系统第二章1 被控过程的数学模型-单容多容
F ( s ) L[ f (t )] f (t )e st dt 0
（a）无时延的阶跃响应
（b）有时延阶跃响应
2.2 物理机理方法建模
例2 右图为由电炉和加热容器组成的温度过程。 容器内水温T1保持恒定，为被控参数，即输出量。电炉
连续给水供热Q1为输入量（控制参数）。盛水容器向室内散 发热量Q2，室温为T2，试建立温度过程的数学模型。 解：根据能量动态平衡关系：
（1）
传递函数列写大致步骤： 方法一：列写系统的微分方程； 消去中间变量； 在零初始条件下取拉氏变换； 求输出与输入拉氏变换之比。
方法二：列写系统中各元件的微分方程； 在零初始条件下求拉氏变换； 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量； 整理成传递函数的形式。
2.1 概述
(c) 频率特性 频域模型主要描述系统的频率特性。
l
Q0
l
Q1
Q0
Q1
Q1
0th来自h h2Q2
解：根据动态物料平衡，有
Q2 0, 增量微分方程
传递函数：
0
t
Q2
图5 无自衡过程及其响应曲线
（有时延）
2.2 物理机理方法建模
(2) 多容过程的建模
多容过程：过程控制中由多个容积和阻力件构成。
例4 ：
图7为有自衡能力双容过程及阶跃响应曲线。
以h2为被控参数， Q1为控制参数。
如果过程为n个容积相接，多容过程的模型为
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❖ （3）发现不合标准的偏差时，立即采取纠正 措施。
❖ 现场控制是控制工作的基础。
11
❖ 2、成果控制（反馈控制、事后控制）： ❖ 主要是分析工作的执行情况。是在
一个时期的工作结束以后，对该期的工 作成果进行总结。
12
❖ 3、预先控制（前馈控制、事先控制）： ❖ 在企业经营活动开始之前进行的控
制。面向未来，克服时滞。 ❖ 重点在防止使用的资源在质和量上
21
❖ 三、纠正偏差——关键
❖ （一）找出偏差产生的原因
❖
方法如质量管理的鱼刺图、巴雷
特图等。
❖ （二）确定纠偏措施的实施对象
❖
根据问题的原因是主观还是客观
来定。
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❖ （三）选择恰当的纠偏措施
❖
1、使纠偏措施双重优化。
❖
2、充分考虑原计划实施的影响。
❖
3、注意消除人们对纠偏措施的
疑虑。
①失败——挫折感；②对以形成结果怀 有感情。
出现偏差。 ❖ 内容：设立标准、预算、修改计划
13
❖ （二）按控制的原因或结果分 ❖ 1、间接控制 ❖ 以事实为依据，将事实与计划和标
准相比较，考核实际结果，追查出偏差 的原因和责任，然后去进行纠正。 ❖ 2、直接控制 ❖ 通过提高主管人员的素质来进行控 制。
14
❖ （三）根据确定控制标准 Z 值的方法分
9
控制的类型及要求
❖ 一、控制的类型 ❖ （一）按纠正措施的环节分
现场控制
输入
执行过程
输出
前馈控制 信息流向
反馈控制 纠正措施 10
❖ 1、现场控制（事中控制）：
❖
纠正措施是用于正在进行的计划执行
过程。
东北大学过程控制系统课设
炉温的单闭环控制系统设计作者姓名：学号：指导教师：学院名称：专业名称：东北大学2016年12月过程控制系统课程设计课程设计（论文）任务书课程设计（论文）任务书炉温的单闭环控制系统设计摘要炉温控制系统是工业控制中比较典型的控制系统，但是温度系统惯性大、滞后现象严重，难以建立精确的数学模型，给控制过程带来很大难题。
因此，针对每个不同的系统需要单独研究一种最佳的控制方案，以达到系统稳定、调节时间短且超调量小的性能指标。
本次课程设计是以电烤箱为控制对象，利用PID控制算法实现电烤箱的恒温控制。
通过组态王软件编写PID控制程序以及实际调节PID参数，深刻理解控制系统的构建与调试以及PID各项参数的意义。
本次设计是基于组态王的软件平台进行的，借此熟悉组态软件的使用。
关键词：电烤箱温度控制系统，组态王，PID整定，温度曲线目录课程设计（论文）任务书 (I)摘要 (II)第一章绪论 (1)1.1 课题的提出与意义 (1)1.2 设计目的 (1)1.3 课程设计任务和要求 (2)第二章炉温控制系统工作原理 (3)2.1 炉温控制系统原理图 (3)2.2 实验操作方法与步骤 (4)2.2.1 连线 (4)2.2.2 设置仪表 (4)第三章炉温控制系统的硬件组成 (5)3.1 炉温控制系统 (5)3.2 智能控制仪表CD901 (5)3.2.1 智能控制仪表CD901简介 (5)3.2.2 智能控制仪表CD901的规格型号说明 (6)3.2.3 CD901工作原理 (8)3.3 热电阻pt100 (8)3.4 固态继电器 (9)3.4.1 固态继电器简介 (9)3.4.2 固态继电器工作原理 (9)3.4.3 固态继电器特点及用途 (10)3.5 RS-232/RS-485转换器 (10)3.5.1 RS-232 (11)3.5.2 RS-485 (12)3.6 电烤箱 (13)第四章人机界面制作 (14)4.1 软件设计目标 (14)4.2 人机界面制作 (14)4.2.1 建立新工程 (14)4.2.2 画面的制作 (16)4.2.3 建立数据词典 (16)4.2.4 建立动画连接 (17)第五章PID控制算法 (18)5.1 PID控制器的参数整定 (18)5.2 一般PID控制算法 (18)第六章参数整定 (21)6.1 浅谈参数整定 (21)6.2 PID参数整定调试过程 (21)参考文献 (25)心得体会 (26)第一章绪论1.1课题的提出与意义在工业生产过程中，控制对象各种各样，温度是生产过程和科学实验中普遍而且重要的物理参数之一。
东北大学自动控制原理第一章120917
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1.4 自动控制系统的性能指标
有差系统（图a）
若稳态误差不为零，则系统称为有差系统。
无差系统（图b）
若稳态误差为零，则系统称为无差系统。
东北大学《自动控制原理》课程组
(a)
(b)
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1.4 自动控制系统的性能指标
3. 暂态性能指标
东北大学《自动控制原理》课程组
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自动控制原理
【课件（2）】1868年，马克斯威尔 （J.C.Maxwell）提出了低阶系统的稳定性代数判 据。 1875年和1896年，数学家劳斯（Routh）和赫尔 威茨（Hurwitz）分别独立地提出了高阶系统的稳 定性判据，即Routh和Hurwitz判据。 二战期间（1938-1945年）奈奎斯特 （H.Nyquist）提出了频率响应理论 1948年，伊 万斯（W.R.Evans）提出了根轨迹法。至此，控 制理论发展的第一阶段基本完成，形成了以频率法
第二次世界大战结束时，经典控制技术和理论基本建立。1948年伊文斯（W.Evans）又进一步提出了属于经典方法的根轨迹设计法，它给出了系统参数 变换与时域性能变化之间的关系。至此,复数域与频率域的方法进一步完善。
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自动控制原理
第1章 自动控制系统的基本概念
东课程组
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自动控制原理
课程的性质和特点
自动控制是一门技术学科，从方法论的 角度来研究系统的建立、分析与设计《自动 控制原理》是本学科的技术基础课。
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自动控制原理
本课程与其它课程的关系
信号与系统 电路理论
复变函数 拉氏变换模拟电子技术
电机与拖动
线性代数