2020高考数学文科刷题(2019真题+2019模拟)讲练(课件+优选练)素养提升练(4)(教师版)

素养提升练(四)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2019·福州一中二模)已知i为虚数单位，则i1＋i的实部与虚部之积等于()A．－14 B.14 C.14i D．－14i答案B解析因为i1＋i＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝12＋12i，所以i1＋i的实部与虚部之积为12×12＝14.故选B.2．(2019·天津高考)设x∈R，则“0<x<5”是“|x－1|<1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由|x－1|<1可得0<x<2，所以“|x－1|<1的解集”是“0<x<5的解集”的真子集．故“0<x<5”是“|x－1|<1”的必要而不充分条件．故选B.3．(2019·全国卷Ⅲ)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.8答案C解析解法一：设调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为x，则x ＋80－60＝90，解得x ＝70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.解法二：用Venn 图表示调查的100位学生中阅读过《西游记》和《红楼梦》的人数之间的关系如图，易知调查的100位学生中阅读过《西游记》的学生人数为70，所以该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为70100＝0.7.故选C.4．(2019·郴州三模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－x ，则函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＋2＝0 答案 C解析 因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝x 2＋x ，f ′(x )＝2x ＋1，则f ′(－1)＝－1.因为f (－1)＝0，所以函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线方程是x ＋y ＋1＝0.故选C.5．(2019·盐城二模)刘徽《九章算术·商功》中将底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为( )A.3πB.3π2 C ．3π D ．4π答案 B解析 由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球；由三视图可知四棱锥的底面是边长为1的正方形，四棱锥的高为1，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为1,1,1，∴长方体的对角线为3，∴外接球的半径为32，∴外接球的体积为V ＝4π3·⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝3π2.故选B. 6．(2019·安阳二模)如图，原点O 是△ABC 内一点，顶点A 在x 上，∠AOB ＝150°，∠BOC ＝90°，|OA →|＝2，|OB →|＝1，|OC →|＝1，若OC →＝λOA →＋μOB →，则μλ＝( )A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 3 答案 D解析 建立如图所示的直角坐标系，则A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，因为OC→＝λOA →＋μOB →，由向量相等的坐标表示可得：⎩⎪⎨⎪⎧2λ－3μ2＝－12，μ2＝－32，解得⎩⎨⎧λ＝－1，μ＝－3，即μλ＝ 3.故选D.7．(2019·德州模拟)P 是双曲线x 23－y 24＝1的右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则△PF 1F 2的内切圆的圆心横坐标为( )A. 3 B ．2 C.7 D ．3 答案 A解析 如图所示，F 1(－7，0)，F 2(7，0)，内切圆与x 轴的切点是点H ，PF 1，PF 2与内切圆的切点分别为M ，N ，由双曲线的定义可得|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝23，由圆的切线长定理知，|PM |＝|PN |，故|MF 1|－|NF 2|＝23，即|HF 1|－|HF 2|＝23，设内切圆的圆心横坐标为x ，则点H 的横坐标为x ，故(x ＋7)－(7－x )＝23，∴x ＝ 3.故选A.8．(2019·德阳联考)执行如图所示的程序框图，若输入m ＝1，n ＝3，输出的x ＝1.75，则空白判断框内应填的条件为( )A ．|m －n |<1?B ．|m －n |<0.5?C ．|m －n |<0.2?D ．|m －n |<0.1?答案 B解析 输入m ＝1，n ＝3.第一次执行，x ＝2,22－3>0，n ＝2，返回； 第二次执行，x ＝32，⎝ ⎛⎭⎪⎫322－3<0，m ＝32，返回；第三次执行，x ＝3＋44＝74，⎝ ⎛⎭⎪⎫742－3>0，n ＝74.输出x ＝1.75，故第三次执行后应满足判断框，此时m －n ＝32－74＝－14，故选B.9．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1 答案 D解析 y ′＝a e x ＋ln x ＋1，k ＝y ′|x ＝1＝a e ＋1，∴切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x －1)，即y ＝(a e ＋1)x －1.又∵切线方程为y ＝2x ＋b ，∴⎩⎨⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，即a ＝e －1，b ＝－1.故选D.10．(2019·汉中质检)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A.π2B.π3C.π4D.π6 答案 B解析 取B 1C 1的中点D 1，连接A 1D 1，CD 1，DD 1，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 为BC 的中点，∴AA 1＝DD 1且AA 1∥DD 1，∴AD ∥A 1D 1且AD ＝A 1D 1，∴∠CA 1D 1就是异面直线AD 与A 1C 所成的角，AB ＝AC ＝2，BC ＝2可以求出AD ＝A 1D 1＝1，在Rt △CC 1D 1中，由勾股定理可求出CD 1＝3，在Rt △AA 1C 中，由勾股定理可求出A 1C ＝2，显然△A 1D 1C 是直角三角形，sin ∠CA 1D 1＝CD 1A 1C ＝32，∴∠CA 1D 1＝π3，故选B.11．(2019·四川绵阳二诊)已知椭圆C ：x 2m ＋y 2m －4＝1(m ＞4)的右焦点为F ，点A (－2,2)为椭圆C 内一点．若椭圆C 上存在一点P ，使得|P A |＋|PF |＝8，则m 的取值范围是( )A ．(6＋25，25]B ．[9,25]C ．(6＋25，20]D ．[3,5] 答案 A解析 由椭圆方程，得：c ＝m －(m －4)＝2，所以，椭圆的左焦点为E (－2,0)，点A 在点E 的正上方，所以，AE ＝2，由椭圆的定义，得：2a ＝|PE |＋|PF |≤|P A |＋|AE |＋|PF |＝10，即a ≤5，所以，m ＝a 2≤25当P ，A ，E 在一条直线上，且PE 垂直x 轴时，取等号，2a ＝|PE |＋|PF |≥|P A |－|AE |＋|PF |＝6，即a ≥3，所以，m ＝a 2≥9，但因为点A (－2,2)在椭圆内部，所以，当x ＝－2时，|y |＞2，即由4m ＋y 2m －4＝1，得|y |＝m －4－4(m －4)m＞2，化简，得m 2－12m ＋16＞0，解得m ＞6＋2 5.所以m 的取值范围是(6＋25，25]．故选A.12．(2019·镇海中学一模)已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝16a 21，则1m ＋9n 的最小值为( )A.32B.114C.83D.103 答案 B解析 设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7＝a 6＋2a 5，得a 6q ＝a 6＋2a 6q ，化简得q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，因为a m a n ＝16a 21，所以(a 1q m －1)·(a 1q n －1)＝16a 21，则q m ＋n －2＝16，解得m ＋n ＝6，所以1m ＋9n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋9n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋n m ＋9m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫10＋2n m ·9m n ＝83，当且仅当n m ＝9m n 时取等号，此时⎩⎪⎨⎪⎧n m ＝9m n ，m ＋n ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝32，n ＝92，因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1m ＋9n ＞83，验证可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值为114，故选B.第Ⅱ卷 (选择题，共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2019·江苏高考)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是________．答案 53解析 这组数据的平均数为8，故方差为s 2＝16×[(6－8)2＋(7－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(10－8)2]＝53.14．(2019·郑州一模)不等式x (sin θ－cos 2θ＋1)≥－3对任意θ∈R 恒成立，则实数x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12解析 当x ＝0时，x (sin θ－cos 2θ＋1)≥－3恒成立； 当x ＞0时，sin θ＋sin 2θ≥－3x ，由sin θ＋sin 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ＋122－14，可得sin θ＝－12时，取得最小值－14，sin θ＝1时，取得最大值2， 即有－14≥－3x ，解得0＜x ≤12； 当x ＜0时，可得sin θ＋sin 2θ≤－3x ，即有2≤－3x ，解得－32≤x ＜0，综上可得，实数x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12.15．(2019·佛山二模)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ≥0，x ＋2，x ＜0，若函数y ＝f (x )－a 有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．答案 [0,2)解析 若函数y ＝f (x )－a 有两个不同的零点， 得y ＝f (x )－a ＝0，即f (x )＝a 有两个不同的根，即函数f (x )与y ＝a 有两个不同的交点， 作出函数f (x )的图象如图：当x ≥0时，f (x )≥0， 当x ＜0时，f (x )＜2，则要使函数f (x )与y ＝a 有两个不同的交点， 则0≤a ＜2，即实数a 的取值范围是[0,2)．16．(2019·佛山二模)某工厂现将一棱长为3的正四面体毛坯件切割成一个圆柱体零件，则该圆柱体体积的最大值为________．答案 2π27解析 圆柱体体积最大时，圆柱的底面圆心为正四面体的底面中心O ′，圆柱的上底面与棱锥侧面的交点N 在侧面的中线AM 上．∵正四面体棱长为3，∴BM ＝32，O ′M ＝12，BO ′＝1， ∴AO ′＝2，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，则0＜r ＜12. 由三角形相似得：r12＝2－h 2，即h ＝2－22r ，圆柱的体积V ＝πr 2h ＝2πr 2(1－2r )， ∵r 2(1－2r )≤⎝⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋1－2r 33＝127， 当且仅当r ＝1－2r 即r ＝13时取等号． ∴圆柱的最大体积为2π27.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：60分．17．(本小题满分12分)(2019·泸州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知a ＝6，cos A ＝18.(1)若b ＝5，求sin C 的值；(2)△ABC 的面积为1574，求b ＋c 的值． 解 (1)由cos A ＝18，则0＜A ＜π2，且sin A ＝378，由正弦定理可得，sin B ＝b a sin A ＝5716， 因为b ＜a ， 所以0＜B ＜A ＜π2， 所以cos B ＝916，可得sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝74. (2)S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×378＝1574， ∴bc ＝20，可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2×20×18＝36，∴b2＋c2＝41，可得(b＋c)2＝b2＋c2＋2bc＝41＋40＝81，∴b＋c＝9.18．(本小题满分12分)(2019·海淀区一模)据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．(造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和) 单位：公顷(1)请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；(2)在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？(3)从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．解(1)人工造林面积与造林总面积的比值最大的地区为甘肃省，人工造林面积与造林总面积的比值最小的地区为青海省．(2)设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值不足50%为事件A，在十个地区中，有3个地区(重庆、新疆、青海)人工造林面积占总面积比不足50%，则P(A)＝3 10.(3)设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B，新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为a1，a2，a3，a4，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙，河北，即a1，a2.从4个地区中任取2个地区共有6种情况，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a3，a4)其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a2，a3)，(a2，a4)，则P(B)＝5 6.19．(本小题满分12分)(2019·昆明一模)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，M是AB的中点．(1)证明：BC1∥平面MCA1；(2)若AB＝A1M＝2MC＝2，BC＝2，求点C1到平面MCA1的距离．解(1)证明：如图，连接AC1，设AC1与A1C的交点为N，则N为AC1的中点，连接MN，因为M是AB的中点，所以MN∥BC1，又MN⊂平面MCA1，BC1⊄平面MCA1，所以BC1∥平面MCA1.(2)因为AB＝2MC＝2，M是AB的中点，所以∠ACB＝90°，在直三棱柱中，A 1M ＝2，AM ＝1，所以AA 1＝3，又BC ＝2，所以AC ＝2，A 1C ＝5，所以∠A 1MC ＝90°.设点C 1到平面MCA 1的距离为h ，因为AC 1的中点N 在平面MCA 1上，所以点A 到平面MCA 1的距离也为h ，三棱锥A 1－AMC 的体积V ＝13S △AMC ·AA 1＝36，△MCA 1的面积S ＝12A 1M ·MC ＝1，则V ＝13Sh ＝13h ＝36，得h ＝32，故点C 1到平面MCA 1的距离为32.20．(本小题满分12分)(2019·深圳一模)设抛物线C ：y 2＝4x ，直线l ：x －my －2＝0与C 交于A ，B 两点．(1)若|AB |＝46，求直线l 的方程；(2)点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ，求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．解 (1)由⎩⎨⎧x ＝my ＋2，y 2＝4x ，消去x 并整理可得y 2－4my －8＝0， 显然Δ＝16m 2＋32＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8，∴|AB |＝1＋m 2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝1＋m 2·4m 2＋2＝46，∴m 2＝1，即m ＝±1，∴直线l 的方程为x －y －2＝0或x ＋y －2＝0.(2)证明：设AB 的中点M 的坐标为(x M ，y M )，则y M ＝12(y 1＋y 2)＝2m ，∴x M ＝my M ＋2＝2m 2＋2，∴M (2m 2＋2,2m )，由题意可得N (0,2m )，设MN 为直径的圆经过点P (x 0，y 0)，∴PM →＝(2m 2＋2－x 0,2m －y 0)，PN →＝(－x 0,2m －y 0)， 由题意可得PM →·PN→＝0， 即(4－2x 0)m 2－4y 0m ＋x 20＋y 20－2x 0＝0，由题意可得⎩⎨⎧ 4－2x 0＝0，4y 0＝0，x 20＋y 20－2x 0＝0，解得x 0＝2，y 0＝0，∴定点(2,0)即为所求． 21．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝(x －1)ln x －x －1. 证明：(1)f (x )存在唯一的极值点；(2)f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．证明 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x －1x ＋ln x －1＝ln x －1x .因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以f ′(x )在(0，＋∞)上单调递增．又f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2－12＝ln 4－12>0，故存在唯一x 0∈(1,2)，使得f ′(x 0)＝0.又当x <x 0时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x >x 0时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，因此，f (x )存在唯一的极值点．(2)由(1)知f (x 0)<f (1)＝－2，又f (e 2)＝e 2－3>0，所以f (x )＝0在(x 0，＋∞)内存在唯一根x ＝α.由α>x 0>1得1α<1<x 0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1α－1ln 1α－1α－1＝f (α)α＝0， 故1α是f (x )＝0在(0，x 0)的唯一根．综上，f (x )＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．(二)选考题：10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程](2019·长春二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋12t ，y ＝32t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝31＋2cos 2θ. (1)求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；(2)当a ＝1时，P 为曲线C 上动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解 (1)直线l 的普通方程为y ＝3(x －a )，曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＋2ρ2cos 2θ＝3，化简可得x 2＋y 23＝1. 曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)． (2)当a ＝1时，直线l 的普通方程为3x －y －3＝0.由曲线C 的直角坐标方程x 2＋y 23＝1，可设点P 的坐标为P (cos θ，3sin θ)， 因此点P 到直线l 的距离可表示为d ＝|3cos θ－3sin θ－3|2＝32|cos θ－sin θ－1|＝32⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－1， 当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1，d 取最大值为6＋32. 23．(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲](2019·长春二模)设函数f (x )＝|x ＋2|.(1)求不等式f (x )＋f (－x )≥6的解集；(2)若不等式f (x －4)－f (x ＋1)＞kx ＋m 的解集为(－∞，＋∞)，求k ＋m 的取值范围．解 (1)f (x )＋f (－x )＝|x ＋2|＋|－x ＋2|＝⎩⎨⎧ －2x (x ＜－2)，4(－2≤x ≤2)，2x (x ＞2)，由f (x )≥6，得⎩⎨⎧ x ＜－2，－2x ≥6或⎩⎨⎧ －2≤x ≤2，4≥6或⎩⎨⎧x ＞2，2x ≥6，解得x ∈(－∞，－3]∪[3，＋∞)．则不等式f (x )＋f (－x )≥6的解集为(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(2)f (x －4)－f (x ＋1)＝|x －2|－|x ＋3| ＝⎩⎨⎧ 5(x ＜－3)，－2x －1(－3≤x ≤2)，－5(x ＞2)，由f (x －4)－f (x ＋1)＞kx ＋m 的解集为(－∞，＋∞)，可知k ＝0，即k ＋m ＜－5.。