22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
人教版数学九年级上册22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-课件
练一练 填表：
y=-x2+2x y=-2x2-1 y=9x2+6x-5
顶点坐标 (1,3) (0,-1)
( 1 ,-6)
3
对称轴
x=1 y轴 直线x= 1
3
最值 最大值1 最大值-1
最小值-6
一 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数a,b,c的关系
例2 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结
配方可得
y 1 x2 6x21 2
1(x2 12x42) 2
1(x212x626242) 2
1[(x212x62)6242] 2
1[(x6)2 6] 2
想一想：配方的方法及
1 (x 6)2 3. 2
步骤是什么？
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/152021/8/152021/8/158/15/2021 1:19:21 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/152021/8/152021/8/15Aug-2115-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/152021/8/152021/8/15Sunday, August 15, 2021
增大而减小，则实数b的取值范围是（ D ）
A．b≥－1
B．b≤－1
C．b≥1
22.1.4二次函数的图像与性质
（配方）
y 1 x2 6x 21 2
你知道是怎样配 方的吗？
配
(1)“提”：提出二次项系数；
方
( 2 )“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式。
y= —1 (x―6)2 +3 2
老师提示:
配方后的表达 式通常称为配 方式或顶点式
直接画函数 y 1 x2 6x 21 的图象
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标
b 2a
,
4ac 4a
b2
b 2a
,
4ac 4a
b2
对称轴
开口方向 增减性
直线x b 2a
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
2 将这种商品的售价降低多少时，能使销售利 润最大？最大利润是多少？
2
如何将 y 1 x2 6x 21 转化成y =a（x - h）2 +k 的形
式？
2
y 1 x2 6x 21 2
= （12 x2-12x）+ 21
(提取二次项系数)
= （12 x2-12x+36-36） +21
= 12（x – 6）2 -18+21 = 12（x - 6）2 +3
a b c 10， a b c 4， 4a 2b c 7.
解这个方程组，得
a＝2，b＝－3，c＝5．
所求二次函数是y＝2x2－3x＋5．
数学人教版九年级上册22.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质.1.4二次函数y=ax2 bx c的图像与性质(胪中王伟
向上
向下
直线x=–3 直线x=1
活动2：创设情Leabharlann ，导入新课思考：我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,容 1 2 y x 6x21 能否利用这些知识来讨论二次函数 的图象和性 2 质？ 即怎样把函数 y 1x2 6x21 转化成 y=a(x-h） 2+k的形式? 2
ax bx c • 一般地，我们可以用配方法将 y 配方成
2
2 b b ac b b 2b b 2 2 24 a ( x x ) c a x x () () c a ( x ) a a 2 a 2 a 4 a a2 2
由此可见函数的图像与函数的图像的形状、开口方向均相同，只是位置不同，可以 通过平移得到。
草图略
y
1 2 (x 4 x) 1 2
1 2 1 ( x 4 x 4 ) ×4 1 2 2 1 ( x 2)2 3 2
对称轴为直线x=-2 顶点坐标为（-2，-3） 当x=-2时，y最小值=-3
草图略
活动3：探究新知
22.1.4 二次函数
2 y ax bx c 的图像
y x2 6x21 2 1 2 12 x 21 提取二次项系数 x 2 1 2 1 x 12x 36 ×36 21 配方 2 2 配方后的表达 1 2 . 整理 x6 3 式通常称为配 2 方式或顶点式
用配方法。 1
1 2 描点、连线，画出函数 y x 6 3 2
二次本节课我们学习了哪些知识？ 函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质第一课时课件
第一课时
1.二次函数 y ax2的图像和性质：
2.二次函数y ax2 k 的图像和性质： 3.抛物线 y a(x h)2的图像和性质： 4.抛物线y a(x h)2 k的图像和性质： 5.抛物线 y ax2 k 、y a(x h)2 、y a(x h)2 k 与抛物线 y ax2 有怎样的关系？
象的最高点，也就是说，当l取顶点的横
坐标时，这个函数有最大值．由公式可求
出顶点的横坐标．
5 10 15 20 25 30 l
S＝－l 2 +30l ( 0 < l < 30 )
因此，当
l
b 2a
30
2 1
15
时，
S有最大值
4ac ，b2 4a
302
4 1
225
也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大 （S＝225m2）
在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升.
y
当x<6时，y随x的增大而减小； 10 当x>6时，y随x的增大而增大.
5
y 1 x2 6x 2
O
x5 6 10 x
一般地，我们可以用配方求抛物线y=ax2+bx+c
(a≠0)的顶点与对称轴
y ax2 bx c
a x
b
2
4ac
b2
2a 4a
因此，抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是
顶点坐标是
b 2a
,
4ac 4a
b2
x b 2a
这是确定抛物线顶 点与对称轴的公式
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)
配方
y
a
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册教案22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》这一节是人教版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是让学生了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数图象的特点，理解二次函数的性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次函数的定义和一般形式，对二次函数有了初步的认识。
但是，学生对二次函数的图象和性质可能还比较陌生，需要通过本节课的学习来进一步理解和掌握。
同时，学生可能对一些概念和性质的理解还不够深入，需要通过教师的引导和学生的自主探索来加深理解。
三. 教学目标1.了解二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
2.能够运用二次函数的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.二次函数的图象和性质的理解和掌握。
2.运用二次函数的性质解决实际问题的能力的培养。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题引导学生思考和探索。
2.采用案例分析的教学方法，通过具体的例子来讲解和展示二次函数的性质。
3.采用小组合作的学习方式，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例，用于讲解和展示二次函数的性质。
2.准备教学课件和板书，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“二次函数的图象和性质有哪些？”引导学生思考和探索。
2.呈现（10分钟）通过教学课件和板书，呈现二次函数的图象和性质，包括开口方向、对称轴、顶点、增减性、对称性和周期性等。
同时，通过具体的例子来讲解和展示这些性质。
3.操练（10分钟）让学生通过观察和分析一些具体的二次函数图象，来识别和判断其性质。
22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》ppt课件
5 2 3 x 2 x 1 1 3
配方:加上再减去一次项 系数绝对值一半的平方
2 2 3x 1 配方后的表达 3
式通常称为配 方式或顶点式
整理:前三项化为平方形 式,后两项合并同类项
3x 1 2.
2
化简:去掉中括号
例7 已知抛物线
和
y x
1
2
(m 4) x 2(m 1)
x 4x 6 2 (1)求证:不论m取何值,抛物线y1的顶点 总在y2抛物线上;
y
2
(2)当抛物线经过原点时,求y1的解析式, 在同一坐标系中作出两个图象;
指出下列抛物线的开口方向、求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交 点坐标、与x轴的交点坐标。并画出 草图。
b 4ac b a x .化简:去掉中括号 2a 4a
配方:加上再 减去一次项系 数绝对值一半 的平方
顶点坐标公式
b 它的对称轴是直线 : x . 2a
b 4ac b2 y a x . 2a 4a
2
因此,二次函数y=ax² +bx+c的图象是一条抛物线.
由a,b和c的符号确定
向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
增减性 最值
b 4ac b 2 当x 时, 最小值为 2a 4a
b 4ac b 2 当x 时, 最大值为 2a 4a
二次函数y=ax2+bx+c的图象和性 质
函数y=ax²+bx+c的图象
22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质(一) 公开课精品课件
点M(-2,y1),N(-1,y2),K(8,y3)也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上,则下
列结论正确的是
( B)
A.y1<y2<y3
B.y2<y1<y3
C.y3<y1<y2
D.y1<y3<y2
〔解析〕因为A(1,2),B(3,2)在抛物线上,所以该抛物线的对称轴为 直线x=2,且C(5,7)在该抛物线上,所以抛物线的开口向上.因为抛物 线上到对称轴的距离越大的点,其纵坐标越大,又因为点M到对称 轴的距离为2-(-2)=4,点N到对称轴的距离为2-(-1)=3,点K到对称轴 的距离为8-2=6,所以y2<y1<y3.
学公式的推导与应用,或提供新闻背景材料等.考查内
容既有考查基础知识的试题,又有考查自学能力和探
索能力等综合素质的试题.解决阅读理解题的关键是
把握实质,并在其基础上作出回答,首先仔细阅读信息, 收集处理信息,以领悟数学知识或感悟数学思想方法, 然后运用新知识解决新问题,或运用范例形成科学的 思维方式和思维策略,或归纳与类比作出合情判断和
∴得到的图象对应函数的特征数为[2,-3]
②∵一个函数的特征数是[2,3],
∴y=x2+2x+3=(x+1)2+2,
∵另一个函数的特征数是[3,4],
∴y=x2+3x+4=
x
3 2
2
+
7 4
=
x
1
1 2
2
+2
1 4
.
1
∴将抛物线y=x2+2x+3先向左平移
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
人教版数学九年级上册说课稿22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》一. 教材分析人教版数学九年级上册第22章是关于二次函数的学习，而22.1.4《二次函数y=ax^2+bx+c的图象和性质》是这一章的重要内容。
这部分教材主要通过分析二次函数的图象和性质，使学生能够理解和掌握二次函数的基本特征，以及如何运用这些特征解决实际问题。
教材通过详细的理论推导和丰富的例题，引导学生掌握二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等关键性质，并能够运用这些性质对二次函数进行分析和判断。
二. 学情分析在九年级的学生已经具备了一定的函数基础，他们已经学习了线性函数和一些非线性函数的知识，对函数的概念和性质有一定的理解。
但是，对于二次函数的图象和性质，他们可能还存在一些困惑和误解。
因此，在教学过程中，我需要关注学生的认知基础，通过复习和引导，帮助他们巩固已有的知识，并建立起二次函数图象和性质的知识体系。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质，培养他们的抽象思维和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：学生通过学习二次函数的图象和性质，增强对数学的兴趣和自信心，培养他们的探索精神和合作意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够理解和掌握二次函数的图象和性质，并能够运用这些性质解决实际问题。
2.教学难点：学生对于二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质的理解和运用。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，通过引导学生观察、分析、归纳等方法，探索二次函数的图象和性质。
同时，我将利用多媒体教学手段，展示二次函数的图象和性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习一次函数和二次函数的知识，引导学生进入对二次函数图象和性质的学习。
2.探究：学生分组讨论，观察和分析二次函数的图象，归纳出二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴等性质。
22.1.4二次函数的图像和性质 1
课题22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质1主备人签字课型新授授课人学案编号授课日期核心素养通过探究活动体验数学活动充满着探索与创新,培养学生的创新精神和实践能力,感受数学的严谨性.2.通过学生共同观察和讨论,培养合作交流意识.重点二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质.难点二次函数y=ax2+bx+c的性质.学习过程及内容备注一、复习回顾1.完全平方公式是什么?2.利用完全平方公式将下列代数式配方.(1)x2+2x+=()2;(2)x2-x+=()2;(3)2x2-4x+=()2.二．共同探究1二次函数y=x2-6x+21的图象和性质1.思考回答下列问题(1)你能说出二次函数y=(x-6)2+3的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性吗?(2)二次函数y=(x-6)2+3的图象与二次函数y=x2的图象有什么位置关系?(3)不画图象,你能直接说出二次函数y=x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?万全区第三初级中学2018—2019学年第二学期初二数学导学案2.利用描点法画出图像(1)画出二次函数y=x2-6x+21的图象.(2)通过观察函数图象,这个函数具有哪些性质?三、合作交流你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗?(1)如何把一个二次三项式配方?(2)你能将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)配方吗?y=ax2+bx+c=a +c=a +c=a +c=a.(3)你能说出抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?(当a>0时,抛物线的开口 ,当a<0时,抛物线的开口.对称轴是直线x= ,顶点坐标是.（4）你能说二次函数图像的增减性吗？四、拓展延伸已知二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1.如果直线y=x+1经过二次函数y=x2+2(m+1)x-m+1的图象的顶点P,求m的值.源:学科五、展示帮扶1.二次函数y=-x2-4x-3图象的顶点坐标是()A.(2,-1)B.(-2,1)C.(-2,-1)D.(2,1)2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象上,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x<1B.x>1C.x<-1D.x>-13.已知抛物线y=-x2+4x-4,则下列说法正确的是()A.当x=-2时,y有最大值B.当x=2时,y有最大值C.当x=-2时,y有最小值D.当x=2时,y有最小值3.将二次函数y=x2+2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,结果为()A.y=(x+1)2+4B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2+4D.y=(x-1)2+24.二次函数y=-x2+2x的图象可能是下列选项中的()5.二次函数y=x2+bx+c的图象上有(3,4)和(-5,4)两点,则此拋物线的对称轴是直。
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的函数图象和性质(1)
a+b+c>0
点在x轴下方
a+b+c<0
点在x轴上
a+b+c=0
（8）a-b+c的符号：
由x=-1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上
a-b+c>0 a-b+c<0 a-b+c=0
练习
11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ D ）
根据图形填表：
抛物线
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
顶点坐标 对称轴 位置
b
4ac b2 ,
2a 直线x
4ab
2a
由a,b和c的符号确定
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
配方: y 3x2 6x 5
3 x2 2x 5
3
提取二次项系数
老师提示:
3
x2
2x11
5 3
配方:加上再减去一次 项系数绝对值一半的 平方
3x
12
2 3
整理:前三项化为平方形 式，后两项合并同类项
配方后的表达 3x 12 2. 化简:去掉中括号
式通常称为顶
点式
简单说成：一提、二配、三化简
【左同右异】
⑶ c决定抛物线与y轴交点的位置：
① c＞0 ↔图象与y轴交点在x轴上
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质课件 2024-2025学年人教版数学九上
大而增大，则实数a的取值范围是( B )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
知识讲解
知识点1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
【例 2】已知抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象
面积．
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝
4
＝4，
1
A．(－3，－6)
B．(1，－4)
C．(1，－6)
D．(－3，－4)
再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为
y＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，
此时二次函数图象的顶点为(1，－6).
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
项目
a
b
字母的符号
图象的特征
确的结论的序号是________；
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；
由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；
由抛物线的顶点在第四象限，得
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；
知识讲解
知识点3 抛物线y=ax2+bx+c与系数的关系
【例 4】如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过
2
2
b
c
b
b
b
c
2
2
2
y ax bx c a x x a x x
a
人教版九年级数学上册22.1 二次函数的图象和性质 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质②
当已知抛物线的顶点坐标或对称 轴和最值时，通常设函数的解析式为 项点式，然后代入另一点的坐标，解 关于a的一元一次方程
(a,x1,x2为 常数，a≠0)，其中是抛物 线与x轴两个交点的横坐标
当已知抛物线与x轴的两交点坐标 或一个交点的坐标和对称轴时,通常设 函数的解析式为交点式，然后代入另 一点的坐标,解关于a的一元一次方程
情景引入
请你回忆:确定一次函数的解析式需要函数图象上几 个点的坐标?这几个点需要满足什么条件? 请你猜想:确定二次函数的解析式需要几个点的坐标? 这几个点需要满足什么条件?
1
人教版九年级数学上册 第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.4 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质②
15
知识点二：根据 y=a(x -h)2+k(a≠0)求二次函数解析式
学以致用
1.二次函数 y=x²+px+q的最小值是4,且当 x=2时，y=5，则p,q
的值为（ ）.
A.p=-2，q=15
B.p=-2，q=5或 p=-6，q=13
C.p=-6，q=13
D.p=2，q=-5或 p=6，q=-13
对于二次函数，我们先探究下面问题.
5
知识点一：根据y= ax2 +bx+c(a≠0)求二次函数解析式
新知探究
(1)由几个点的坐标可以确定二次函数?这几个点 应满足什么条件? (2) 如果一个二次函数的图象经过(-1, 10)，(1, 4), (2, 7)三 点，能求出这个二次函数的解析式吗?如果能，求出这个 二次函数的解析式.
21
知识点三：根据 y=a(x - x1)(x- x2)(a≠0)求二次函数解析式
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质(教案)
本节课的核心素养目标包括：
1.培养学生的逻辑推理能力，通过观二次函数图像，推理出二次函数的性质，理解并掌握二次函数图像与系数之间的关系；
2.增强学生的数据分析观念，通过解析二次函数图像数据，培养学生对数据的敏感性和分析问题的能力；
3.提升学生的空间想象力和几何直观，借助二次函数图像，训练学生从二维图像中抽象出几何性质和关系，形成直观的数学理解；
举例：讲解图像的平移（左加右减，上加下减）和缩放（横向缩放：x轴方向除以a；纵向缩放：y轴方向乘以a）对二次函数的影响。
（4）对于不同系数的二次函数图像的识别和分析。
举例：通过多个具有不同系数的二次函数图像，训练学生快速识别并分析其性质。
在教学过程中，教师应针对这些教学难点和重点，有针对性地进行讲解和强调，采用适当的教学方法，如实例演示、互动讨论、小组合作等，帮助学生突破难点，确保学生对核心知识理解透彻。
- b、c的值影响抛物线的位置。
2.探索并掌握二次函数图像的性质，包括对称轴、顶点、最小（大）值等；
-对称轴：x=-b/2a；
-顶点坐标：(-b/2a, (4ac-b^2)/(4a))；
-最值：当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
3.通过图像和性质的学习，解决实际问题，如最值问题、交点问题等。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像和性质的重要性及其应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
22.1.4 第1课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
数学九年级上册[RJ版] 简 答
【当堂测评】 1．A 2.D 3.－1(答案不唯一) 【分层作业】 1．C 2.D 3.B 4．1 5 5．y2<y1<y3
数பைடு நூலகம்九年级上册[RJ版] 简 答
6．(1)开口向上，对称轴 x＝2，顶点(2,1)，y 有最小值． (2)开口向下，对称轴 x＝－3，顶点－3，245，y 有最大值． (3)开口向下，对称轴 x＝－13，顶点－13，43，y 有最大值． (4)开口向下，对称轴 x＝2，顶点(2,3)，y 有最大值． 7．A
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8．(1)函数的顶点 C 的坐标为(2，－1)，当 x≤2 时，y 随 x 的增大而减小；当 x>2 时，y 随 x 的增大而增大．
(2)当点 A 在点 B 左侧时，A(1,0)，B(3,0)；当点 A 在点 B 右侧时，A(3,0)，B(1,0)； S△ABC＝1.
9．D
全 效学 习
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22．1.4 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质 第 1 课时 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象和性质 【知识管理】 2.－2ba，4ac4－a b2 x＝－2ba 【归类探究】 【例 1】 抛物线的对称轴是 x＝－54，顶点坐标是－54，481. 【例 2】 当窗的高为 1.8 m，宽为 0.9 m 时，窗的面积最大．
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22．1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
第1课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象．
2．熟记二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴公式．
3．用配方法求二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标与对称轴．
一、情境导入
火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h＝－5t2＋150t ＋10表示．那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？
二、合作探究
探究点一：二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质
【类型一】二次函数图象的位置与系数符号互判
如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，图象经过点(－1，2)和(1，0)且与y轴交于负半轴．
(1)给出四个结论：①a＞0；②b＞0；③c＞0；④a＋b＋c＝0.其中正确的结论的序号是________；
(2)给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；③a＋c＝1；④a＞1.其中正确的结论的序号是________．
解析：由抛物线开口向上，得a＞0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c＜0；由抛物线的顶点在第四象限，得－
b
2a
＞0，又a＞0，所以b＜0；由抛物线与x轴交点的横坐标是1，得a＋b＋c＝0.因此，第(1)问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a＞0、b＜0、
c＜0，可得abc＞0；由－
b
2a
＜1、a＞0，可得2a＋b＞0；由点(－1，2)在抛物线上，可知a －b＋c＝2，又a＋b＋c＝0，两式相加得2a＋2c＝2，所以a＋c＝1；由a＋c＝1，c＜0，可得a＞1.因此，第(2)问中正确的结论是②③④.
方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a 的符号．开口向上，a＞0；开口向下，a＜0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号．顶点在第一、四象限，－
b
2a
＞0，由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，－
b
2a
＜0，由此得a、b同号．再由①中a的符号，即可确定b的符号．
【类型二】二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质
(2014·广西南宁)如图，已知二次函数y＝－x2＋2x，当－1＜x＜a时，y随x的增大而增大，则实数a的取值范围是( )
A．a＞1
B．－1＜a≤1
C．a＞0
D．－1＜a＜2
解析：抛物线的对称轴为直线x＝－
2
2×（－1）
＝1，∵函数图象开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，∴a≤1.∵－1＜x＜a，∴a>－1，∴－1<a≤1，故选择B.
方法总结：抛物线的增减性：当a＞0，开口向上时，对称轴左降右升；当a＜0，开口向下时，对称轴左升右降．
【类型三】二次函数与一次函数的图象的综合识别
y＝ax＋b在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )
解析：∵A图和D图中直线y＝ax＋b过一、三、四象限，∴a＞0，b＜0，∴抛物线y ＝ax2＋bx的开口向上，对称轴x＝－
b
2a
＞0，∴选项A错，选项D正确；B图和C图中直线y＝ax＋b过二、三、四象限，∴a＜0，b＜0，∴抛物线的开口向下，且对称轴x＝－
b
2a
＜0，∴选项B，C错．故选择D.
方法总结：多种函数图象的识别，一般可以先确定其中一种函数的图象(如一次函数)，再根据函数图象得到该函数解析式中字母的特点，最后结合二次函数图象的开口方向、对称轴或图象经过的特殊点对选项进行逐一考察，得出结论．
【类型四】抛物线y＝ax2＋bx＋c的平移
(2014·浙江丽水)在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )
A．(－3，－6) B．(1，－4)
C．(1，－6) D．(－3，－4)
解析：二次函数y＝2x2＋4x－3配方得y＝2(x2＋2x)－3＝2(x2＋2x＋1－1)－3＝2(x＋1)2－5，将抛物线y＝2(x＋1)2－5向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝2(x＋1－2)2－5＝2(x－1)2－5，再将抛物线y＝2(x－1)2－5向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y ＝2(x－1)2－5－1＝2(x－1)2－6，此时二次函数图象的顶点为(1，－6)，故选择C.
方法总结：二次函数的平移规律：将抛物线y＝ax2(a≠0)向上平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2＋k，向下平移k(k>0)个单位所得的函数关系式为y＝ax2－k；向左平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x＋h)2；向右平移h(h>0)个单位所得函数关系式为y＝a(x－h)2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”．
【类型五】二次函数的图象与几何图形的综合应用
如图，已知二次函数y＝－
1
2
x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)、B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
解：(1)把A(2，0)、B(0，－6)代入y＝－
1
2
x2＋bx＋c得：
⎩⎪
⎨
⎪⎧－2＋2b＋c＝0，
c＝－6，
解得
⎩⎪
⎨
⎪⎧b＝4，
c＝－6.
∴这个二次函数的解析式为y＝－
1
2
x2＋4x－6.
(2)∵该抛物线的对称轴为直线x＝－
4
2×（－
1
2
）
＝4，∴点C的坐标为(4，0)．∴AC＝OC－OA＝4－2＝2，∴S△ABC＝
1
2
×AC×OB＝
1
2
×2×6＝6.
三、板书设计
教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.。