成都市一诊考试数学试题及答案理科

合集下载

2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)

2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或23.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√524.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.805.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.2756.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−58.将函数y＝sin(4x−π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（）A.f(x)=sin(2x+π6) B.f(x)=sin(2x−π3)C.f(x)=sin(8x+π6) D.f(x)=sin(8x−π3)9.已知抛物线y2＝4x的焦点为F，M，N是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN的中点到y轴的距离为（）A.3B.32C.5 D.5210.已知a=212,b=313,c=ln32，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P 1，P 3重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P −ABC ．现有以下结论： ①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13．则正确的结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________．设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________．已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________．已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．bc．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2−a2=4√23 (Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)若△ABC的面积为√2，且√2sinB＝3sinC，求△ABC的周长某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．附：K2=n(ad−bc)2，其中n＝a+b+c+d．(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．已知函数f(x)＝(a−1)lnx+x+ax，a∈R．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a<−1时，证明∀x∈(1, +∞)，f(x)>−a−a2．已知椭圆C:x 22+y2＝1的右焦点为F，过点F的直线（不与x轴重合）与椭圆C相交于A，B两点，直线l:x＝2与x轴相交于点H，过点A作AD⊥l，垂足为D．(Ⅰ)求四边形OAHB（O为坐标原点）面积的取值范围；(Ⅱ)证明直线BD过定点E．并求出点E的坐标请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1＝（）A.−3iB.−3+iC.3+iD.3−i【解答】∵复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2＝−3−i（i为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z1＝−3+i．2.已知集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，若A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，则实数m的值为（）A.−1或0B.0或1C.−1或2D.1或2【解答】集合A＝{−1, 0, m}，B＝{1, 2}，A∪B＝{−1, 0, 1, 2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m＝1或2，3.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ＝（）A.−√53B.√53C.−√52D.√52【解答】若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50, 100]内，按得分分成5组：[50, 60),[60, 70),[70, 80),[80, 90),[90, 100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为（）A.72.5B.75C.77.5D.80【解答】由频率分布直方图得：[50, 70)的频率为：(0.010+0.030)×10＝0.4，[70, 80)的频率为：0.040×10＝0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.(5)5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5＝3a3，则S9S5=()A.95B.59C.53D.275【解答】依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是（）A.若m // α，n // β，且α // β，则m // nB.若m // α，n // β，且α⊥β，则m // nC.若m⊥α，n // β，且α // β，则m⊥nD.若m⊥α，n // β且α⊥β，则m⊥n【解答】由m // α，n // β，且α // β，得m // n或m与n异面，故A错误；由m // α，n // β，且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α // β，得m⊥β，又n // β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n // β且α⊥β，得m // n或m与n相交或m与n异面，故D错误．7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为（）A.25B.−25C.5D.−5【解答】(x−1x )6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r＝(−1)r∁6r x6−2r，r＝0，1，2， (6)则(x 2+2)(x −1x )6的展开式的常数项须6−2r ＝0或者6−2r ＝−2⇒r ＝3或者r ＝4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40＝−(25)8.将函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为（） A.f(x)=sin(2x +π6) B.f(x)=sin(2x −π3) C.f(x)=sin(8x +π6) D.f(x)=sin(8x −π3)【解答】函数y ＝sin(4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y ＝sin(2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)＝sin(2x +π6)的图象， 9.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|＝5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为（） A.3 B.32C.5D.52【解答】由抛物线方程得，准线方程为：x ＝−1，设M(x, y)，N(x ′, y ′)，由抛物线的性质得，MF +NF ＝x +x ′+p ＝x +x ′+2＝5，中点的横坐标为32，线段MN 的中点到y 轴的距离为：32， 10.已知a =212,b =313,c =ln 32，则（） A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >c D.b >c >a【解答】∵a =√2=√86，b =√33=√96，∴1<a <b ． c ＝ln 32<(1) ∴c <a <b ．故选：C．11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2−x)＝f(2+x)，当x≤2时，f(x)＝(x−1)e x−1．若关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A.(−2, 0)∪(0, 2)B.(−2, 0)∪(2, +∞)C.(−e, 0)∪(0, +∞)D.(−e, 0)∪(0, e)【解答】②令f′(x)<0，解得x<0(1)③令f′(x)>0，解得0<x≤(2)∴f(x)在(−∞, 0)上单调递减，在(0, 2]上单调递增，在x＝0处取得极小值f(0)＝−(2)且f(1)＝−1；x→−∞，f(x)→(0)又∵函数f(x)在R上满足f(2−x)＝f(2+x)，∴函数f(x)的图象关于x＝2对称．∴函数y＝f(x)的大致图象如下：关于x的方程f(x)−kx+2k−e+1＝0可转化为f(x)＝k(x−2)+e−(1)而一次函数y＝k(x−2)+e−1很明显是恒过定点(2, e−1)．结合图象，当k＝0时，有两个交点，不符合题意，当k＝e时，有两个交点，其中一个是(1, −1)．此时y＝f(x)与y＝k(x−2)+e−1正好相切．∴当0<k<e时，有三个交点．同理可得当−e<k<0时，也有三个交点．实数k的取值范围为：(−e, 0)∪(0, e)．故选：D．12.如图，在边长为2的正方形AP1P2P3中，线段BC的端点B，C分别在边P1P2，P2P3上滑动，且P2B＝P2C＝x．现将△AP1B，△AP3C分别沿AB，AC折起使点P1，P3重合，重合后记为点P，得到三棱锥P−ABC．现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π；③x 的取值范围为(0, 4−2√2)； ④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13．则正确的结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【解答】当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，PB ＝PC ＝1，BC =√2，所以PB 2+PC 2＝BC 2，又AP ⊥平面PBC ，所以PA ，PB ，PC 两两垂直，所以三棱锥P −ABC 的外接球与以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等．设半径为r ，所以(2r)2＝22+12+12＝6，S ＝4πr 2＝6π．即三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π，②正确（1）因为P 2B ＝P 2C ＝x ，所以PB ＝PC ＝2−x ，而BC =√2x ，故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确（2）因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×√(2−x)2−(√22x)2=12√x 4−8x 3+8x 2 设f(x)＝x 4−8x 3+8x 2，f′(x)＝4x 3−24x 2+16x ＝4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f m ax ＝f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12． V P−ABC ＝V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误．故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 ，则z ＝x +2y 的最大值为________．【解答】作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0 对应的平面区域如图：（阴影部分）由z ＝x +2y 得y =−12x +12z ，平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大，此时z 最大．由{x +y −4=0x −2y +2=0，解得A(2, 2)，代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6设正项等比数列{a n }满足a 4＝81，a 2+a 3＝36，则a n ＝________．【解答】依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36 ，解得{a 1=3q =3 ，∴a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1＝3n ，已知平面向量a →，b →满足|a →|＝2，|b →|=√3，且b →⊥(a →−b →)，则向量a →与b →的夹角的大小为________．【解答】∵平面向量a →，b →满足|a →|＝2，b →=√3，且b →⊥(a →−b →)， ∴b →⋅(a →−b →)=b ¯⋅a →−b →2=0，∴a →⋅b →=b →2．设向量a →与b →的夹角的大小为θ，则2⋅√3⋅cosθ＝3，求得cosθ=√32，故θ=π6，已知直线y ＝kx 与双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|＝3|BF|，|OA|＝b （O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为________．【解答】设|BF|＝m ，则|AF|＝3|BF|＝3m ，取双曲线的右焦点F ′，连接AF ′，BF ′，可得四边形AF ′BF 为平行四边形，可得|AF ′|＝|BF|＝m ，设A 在第一象限，可得3m −m ＝2a ，即m ＝a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得(2b)2+(2c)2＝2(a 2+9a 2)，化为c 2＝3a 2，则e =ca =√3．三、解答题：本大题共5小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−a 2=4√23bc ． (Ⅰ)求sinA 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为√2，且√2sinB ＝3sinC ，求△ABC 的周长【解答】（1）∵b 2+c 2−a 2=4√23bc ， ∴由余弦定理可得2bccosA =4√23bc ， ∴cosA =2√23， ∴在△ABC 中，sinA =√1−cos 2A =13．（2）∵△ABC 的面积为√2，即12bcsinA =16bc =√2， ∴bc ＝6√2，又∵√2sinB＝3sinC，由正弦定理可得√2b＝3c，∴b＝3√2，c＝2，则a2＝b2+c2−2bccosA＝6，∴a=√6，∴△ABC的周长为2+3√2+√6．某公司有l000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．(Ⅰ)完成下列2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；(Ⅱ)已知被抽取的这l00名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．，其中n＝a+b+c+d．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)【解答】（1）由题，2×2列联表如下：∵K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关；（2）由题，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X＝0)=C30C73C03=724，P(X＝1)=C31C72C103=2140，P(X＝2)=C32C71C103=740，P(X＝3)=C33C103=1120，∴X的分布列为：∴E(X)＝1×2140+2×740+3×1120=910．如图，在四棱锥P−ABCD中，AP⊥平面PBC，底面ABCD为菱形，且∠ABC ＝60∘，E分别为BC的中点．(Ⅰ)证明：BC⊥平面PAE；(Ⅱ)若AB＝2．PA＝1，求平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）如图，连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60∘，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE；（2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB=√3，由(Ⅰ)得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC=√3，EC＝1，所以PE =√2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE →,PQ →,PA →的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0, 0, 0)，A(0, 0, 1)，B(√2, −1, 0)，C(√2, 1, 0)，D(0, 2, 1)，设平面BAP 的一个法向量m →=(x, y, z)，又PA →=(0, 0, 1)，PB →=(√2, −1, 0)，由{m →⋅PA →=0m →⋅PB →=0，得√2x −y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m →=(1, √2, 0)，设平面CDP 的一个法向量n →=(a, b, c)，又PC →=(√2, 1, 0)，PD →=(0, 2, 1)，由{m →⋅PC →=0m →⋅PD →=0，得√2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n →=(1, −√2, 2√2)，所以cos <m →,n →>=√3⋅√11=−√3333，即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．已知函数f(x)＝(a −1)lnx +x +ax ，a ∈R ． (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a <−1时，证明∀x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2．【解答】（1）f′(x)=a−1x+1−ax 2=x 2+(a−1)x−ax 2=(x−1)(x+a)x 2，因为x >0，a ∈R ，所以当a ≥0时，x +a >0，所以函数在(0, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当−1<a <0时，0<−a <1，函数f(x)在(0, −a)上单调递增，在(−a, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增；当a ＝−1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0, +∞)上单调递增；当a <−1时，−a >1，函数f(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；（2）当a <−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1, −a)上单调递减，在(−a, +∞)上单调递增；函数f(x)在(1, +∞)上的最小值为f(−a)＝(a −1)ln(−a)−a −1，欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln(−a)−a −1，即证明a 2+(a −1)ln(−a)−1>0，因为a <−1，所以只需证明ln(−a)<−a −1，令ℎ(x)＝lnx −x +1(x ≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1, +∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)＝0，因为a <−1，所以−a >1，所以ℎ(−a)＝ln(−a)+a +1<0，即当a <−1时，ln(−a)<−a −1成立，所以当a <−1时，任意x ∈(1, +∞)，f(x)>−a −a 2．已知椭圆C:x 22+y 2＝1的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l:x ＝2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D ．(Ⅰ)求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； (Ⅱ)证明直线BD 过定点E ．并求出点E 的坐标【解答】（1）由题意F(1, 0)，设直线AB 的方程：x ＝my +1，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，与抛物线联立(m 2+2)y 2+2my −1＝0，因为△＝4m 2+4(m 2+2)>0，y 1+y 2=−2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以|y 1−y 2|=√(y 1−y 2)2−41yy 2=2√2√1+m 22+m 2，所以四边形OAHB 的面积S =12|OH|⋅|y 1−y 2|＝|y 1−y 2|=2√2⋅√1+m 22+m 2，令t =√1+m 2≥1，S =2√2t1+t =2√2t+1t≤√2，当且仅当t ＝1时，即m ＝0时取等号，所以0<S ≤√2，所以四边形OAHB 的面积的取值范围为(0, √2,](2) B(x2, y2)，D(2, y1)，k BD=y1−y22−x2，所以直线BD的方程：y−y1=y1−y2 2−x2(x−2)，令y＝0，得x=x2y1−2y2y1−y2=my1y2+y1−2y2y1−y2由(Ⅰ)得，y1+y2=−2m2+m2，y1y2=−12+m2，所以y1+y2＝2my1y2，化简得x=12(y1+y2)+y1−2y2y1−y2=32(y1−y2)y1−y2=32，所以直线BD过定点E(32, 0)．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，已知P是曲线C1:x2+(y−2)2＝4上的动点，将OP绕点O顺时针旋转90∘得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C1，C2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3, π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C1，C2分别相交于异于极点O的A，B两点，求△MAB的面积．【解答】（1）由题意，点Q的轨迹是以(2, 0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C2：(x−2)2+y2＝4，∵ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，∴曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A，B的极径分别为ρ1，ρ2，∴|AB|＝|ρ1−ρ2|＝4|sinπ6−cosπ6|=2(√3−1)．又∵M(3, π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sinπ3=3√32．∴△MAB的面积S=12|AB|⋅ℎ=9−3√32．[选修45：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x−3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x+l|；(Ⅱ)若1m +4n=2(m>0, n>0)，求证：m+n≥|x+32|−f(x)．【解答】（I ）原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4，当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23；当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3；当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3；综上，不等式的解集为(−∞, −23]∪[0, +∞)； (II)因为f(x)＝|x −3|，所以|x +32|−f(x)＝||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号，又1m +4n =2(m >0, n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2＝9，当且仅当m ＝2n 时，取得等号，故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．。

高2021届成都“一诊”理科数学(word版含答案)

高2021届成都“一诊”理科数学第I 卷 (选择题，共60分)一、选择题:本大题共12小题, 每小题5分,共60分.1.设集合A={}2340,x x x --< B={}13,x x x N -<∈，，则AB=(A) {}1,2,3 (B) {}0,1,2,3 (C) {}14x x -<< (D) {}24x x -<<2.复数12(iz i i+=为虚数单位),则z 的共轭复数是 (A) 2i -- (B) 2i -+ (C) 2i - (D) 2i +3.若等比数列{}n a 满足23242,6a a a a +=-=,则6a =(A) 32- (B) 8 (C) 8 (D) 64 4.甲乙两台机床同时生产-种零件,10天中,两台机床每天出的次品数分别是:1x 、2x 分别表示甲乙两组数据的平均数，S 1、S 2分别表示甲乙两组数据的方差,则下列选项正确的是(A)1212,x x S S => (B) 1212,x x S S >> (C) 1212,x x S S <> (D) 1212,x x S S >< 5.若函数32()3f x x x a =-+有且仅有一个零点,则实数a 的取值范围为 (A) (,0)(4,)-∞+∞ (B) (,8)(0,)-∞-+∞(C) [0,4] (D) (8,0)-6.若向量,a b 满足2,(2)6a a b b =+=,则b 在a 方向上的投影为 (A) 1 (B) 12 (C) 12- (D) 1- 7.设1202120202020ln ,20212021a b c === ,则a 、b 、c 的大小关系是(A)a >b .>c (B) a >c > b (C)c >a >b (D)c >b >a 8.若α、β、γ是空间中三个不同的平面，=,,l m n αβαγγβ==,则l m 是n m 的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件9.已知平行于x 轴的一条直线与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>相交于P 、Q 两点，4,(3PQ a PQO O π=∠=为坐标原点) ，则该双曲线的离心率为(A)2(B) 2(C)(D)10.已知锐角ϕcos 1ϕϕ-=.若要得到函数21()sin ()2f x x ϕ=-+的图象,则可以将函数1sin 22y x =的图象 (A)向左平移712π个单位长度 (B)向左平移12π个单位长度， (C)向右平移712π个单位长度 (D)向右平移12π个单位长度11.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线相交于A ， B 两点，P(0, 7)2- 若PB ⊥AB ，则AF = (A)32 (B)2. (C) 52(D) 3 12.已知函数()ln ,()ln f x x x g x x x =+= .若12()ln ,()f x t g x t ==，则122()ln x x x t -的最小值为 (A)21e (B) 2e (C) 12e- (D) 1e - 第II 卷(非选择题,共90分) 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.71)x的展开式中1x -的系数是______________（用数字做答案）14.若x 、y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则23z x y =-的最小值为_________。

四川省成都市2020届高考一诊试卷数学(理科)(含答案)

四川省成都市2020届高考一诊模拟试卷数学（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x∈N|x＞1}，B={x|x＜5}，则A∩B=（）A. {x|1＜x＜5}B. {x|x＞1}C. {2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2.已知复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数=（）A. 1+iB. 1-iC.D. -1-i3.若等边△ABC的边长为4，则•=（）A. 8B. -8C.D. -84.在（2x-1）（x-y）6的展开式中x3y3的系数为（）A. 50B. 20C. 15D. -205.若等比数列{a n}满足：a1=1，a5=4a3，a1+a2+a3=7，则该数列的公比为（）A. -2B. 2C. ±2D.6.若实数a，b满足|a|＞|b|，则（）A. e a＞e bB. sin a＞sin bC.D.7.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=4，AB=2，点E，F分别为棱BB1，CC1上两点，且BE=BB1，CF=CC1，则（）A. D1E≠AF，且直线D1E，AF异面B. D1E≠AF，且直线D1E，AF相交C. D1E=AF，且直线D1E，AF异面D. D1E=AF，且直线D1E，AF相交8.设函数，若f（x）在点（3，f（3））的切线与x轴平行，且在区间[m-1，m+1]上单调递减，则实数m的取值范围是（）A. m≤2B. m≥4C. 1＜m≤2D. 0＜m≤39.国际羽毛球比赛规则从2006年5月开始，正式决定实行21分的比赛规则和每球得分制，并且每次得分者发球，所有单项的每局获胜分至少是21分，最高不超过30分，即先到21分的获胜一方赢得该局比赛，如果双方比分为20：20时，获胜的一方需超过对方2分才算取胜，直至双方比分打成29：29时，那么先到第30分的一方获胜．在一局比赛中，甲发球赢球的概率为，甲接发球赢球的概率为，则在比分为20：20，且甲发球的情况下，甲以23：21赢下比赛的概率为（）A. B. C. D.10.函数f（x）=的图象大致为（）A. B.C. D.11.设圆C：x2+y2-2x-3=0，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则线段PC长度的最大值为（）A. B. 2 C. 4 D.12.设函数f（x）=cos|2x|+|sin x|，下述四个结论：①f（x）是偶函数；②f（x）的最小正周期为π；③f（x）的最小值为0；④f（x）在[0，2π]上有3个零点．其中所有正确结论的编号是（）A. ①②B. ①②③C. ①③④D. ②③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若等差数列{a n}满足：a1=1，a2+a3=5，则a n=______．14.今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉等其它肉类．某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为______．15.已知双曲线C：x2-=1的左，右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l分别与两条渐进线交于A，B两点，若•=0，=λ，则λ=______．16.若函数f（x）=恰有2个零点，则实数a的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某汽车美容公司为吸引顾客，推出优惠活动：对首次消费的顾客，按200元/次收费，并注册成为会员，消费次第第1次第2次第3次第4次≥5次收费比例10.950.900.850.80该公司从注册的会员中，随机抽取了100位进行统计，得到统计数据如表：消费次第第1次第2次第3次第4次第5次频数60201055假设汽车美容一次，公司成本为150元，根据所给数据，解答下列问题：（1）估计该公司一位会员至少消费两次的概率；（2）某会员仅消费两次，求这两次消费中，公司获得的平均利润；（3）以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，设该公司为一位会员服务的平均利润为X元，求X 的分布列和数学期望E（X）．18.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（Ⅰ）求sin B；（Ⅱ）若△ABC的周长为8，求△ABC的面积的取值范围．19.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ADC=60°，，．（Ⅰ）证明：平面CDD1⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角D1-AD-C的余弦值．20.设椭圆，过点A（2，1）的直线AP，AQ分别交C于不同的两点P，Q，直线PQ恒过点B（4，0）．（Ⅰ）证明：直线AP，AQ的斜率之和为定值；（Ⅱ）直线AP，AQ分别与x轴相交于M，N两点，在x轴上是否存在定点G，使得|GM|•|GN|为定值？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．21.设函数，，．（Ⅰ）证明：f（x）≤0；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求m的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l：（t为参数）与曲线C：（m为参数）相交于不同的两点A，B．（Ⅰ）当α=时，求直线l与曲线C的普通方程；（Ⅱ）若|MA||MB|=2||MA|-|MB||，其中M（，0），求直线l的倾斜角．23.已知函数f（x）=|x+1|+|ax-1|．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤4的解集；（Ⅱ）当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，证明：a+b≥0．答案和解析1.【答案】C2.【答案】A3.【答案】A4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】A8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】D11.【答案】C12.【答案】B13.【答案】n14.【答案】0.415.【答案】116.【答案】[，1）∪{2}∪[e，+∞）17.【答案】解：（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，∴估计一位会员至少消费两次的概率为．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），∴公司这两次服务的平均利润为（元）．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，X的分布列为：X5045403530P0.60.20.10.050.05X数学期望为E（X）=50×0.6+45×0.2+40×0.1+35×0.05+30×0.05=46.25（元）．【解析】（1）100位会员中，至少消费两次的会员有40人，即可得出估计一位会员至少消费两次的概率．（2）该会员第一次消费时，公司获得利润为200-150=50（元），第2次消费时，公司获得利润为200×0.95-150=40（元），即可得出公司这两次服务的平均利润．（3）由（2）知，一位会员消费次数可能为1次，2次，3次，4次，5次，当会员仅消费1次时，利润为50元，当会员仅消费2次时，平均利润为45元，当会员仅消费3次时，平均利润为40元，当会员仅消费4次时，平均利润为35元，当会员仅消费5次时，平均利润为30元，故X的所有可能取值为50，45，40，35，30，即可得出X的分布列．本题考查了频率与概率的关系、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵且sin（A+C）=sin B∴，又∵∴，∴，∴，∴，∴．（2）由题意知：a+b+c=8，故b=8-（a+c）∴，∴∴，，∴∴，或（舍），即∴（当a=c时等号成立）综上，△ABC的面积的取值范围为．【解析】（1）直接利用三角函数关系式的变换的应用和倍角公式的应用求出结果．（2）利用余弦定理和不等式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．19.【答案】（1）证明：令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，∵，∴D1O⊥DC且又∵底面ABCD为边长为2的菱形，且∠ADC=60°，∴AO=，又∵，∴，∴D1O⊥OA，又∵OA，DC⊆平面ABCD，OA∩DC=O，又∵D1O⊆平面CDD1，∴平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，∵D1O⊥平面ABCD，∴D1O⊥AD，∴AD⊥平面OHD1，∴AD⊥HD1，∴∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，又∵OD=1，∠ODA=60°，∴，∴，∴．【解析】（1）令CD的中点为O，连接OA，OD1，AC，证明D1O⊥DC，D1O⊥OA，然后证明平面CDD1⊥平面ABCD．（2）过O作直线OH⊥AD于H，连接D1H，说明∠D1HO为二面角D1-AD-C所成的平面角，通过求解三角形，求解即可．本题考查平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，由得（1+4k2）x2-32k2x+64k2-8=0，△＞0，可得：，，，==；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，得x3=2-，即M（2-，0），同理，即N（2-，0），设x轴上存在定点G（x0，0），=|（x0-2）2+（x0-2）（）+|=，要使|GM|•|GN|为定值，即x0-2=1，x0=3，故x轴上存在定点G（3，0）使|GM|•|GN|为定值，该定值为1．【解析】（Ⅰ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线y=k（x-4）和椭圆方程，运用韦达定理，直线PQ、AP、AQ的斜率分别为k，k1，k2，运用直线的斜率公式，化简整理即可得到得证；（Ⅱ）设M（x3，0），N（x4，0），由y-1=k1（x-2），令y=0，求得M的坐标，同理可得N的坐标，再由两点的距离公式，化简整理可得所求乘积．本题考查椭圆的方程和运用，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，考查直线的斜率公式，以及存在性问题的解法，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=-cos x在x∈[0，]上单调递增，f′（x）∈[-1，]，所以存在唯一x0∈（0，），f′（x0）=0．当x∈（0，x0），f′（x）＜0，f（x）递减；当x∈（x0，），f′（x）＞0，f（x）递增．所以f（x）max=max=0，∴f（x）≤0，0≤x≤；（Ⅱ）g′（x）=-sin x+m（x-），g″（x）=-cos x+m，当m≥0时，g′（x）≤0，则g（x）在[0，]上单调递减，所以g（x）min=g（）=，满足题意．当-＜m＜0时，g″（x）在x上单调递增．g''（0）=+m＞0，所以存在唯一x1∈（0，），g″（x1）=0．当x∈（0，x1），g″（x）＜0，则g′（x）递减；当x∈（x1，），g″（x）＞0，则g′（x）递增．而g′（0）=-m＞0，g′（）=0，所以存在唯一x2，g′（x2）=0，当x∈（0，x2），g′（x）＞0，则g（x）递增；x，g′（x）＜0，则g（x）递减．要使g（x）≥恒成立，即，解得m≥，所以≤m＜0，当m≤-时，g″（x）≤0，当x∈[0，]，g′（x）递减，又，g′（x）≥0，所以g（x）在递增．则g（x）≤g（）=与题意矛盾．综上：m的取值范围为[，+∞）．【解析】（Ⅰ）利用f（x）的导数可先判断出其单调区间，比较可求出函数的最大值，即可证；（Ⅱ）对g（x）二次求导判断出m≥0时，可求出g（x）min=g（）=，当-＜m＜0时，与题意矛盾，综合可求出m的取值范围．本题考查利用导数求函数单调区间，求函数最值问题，还涉及函数恒成立问题，属于中档题．22.【答案】解：（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程为y=x-；由曲线C：（m为参数），消去参数m，可得曲线C的普通方程为y2=2x；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，得．，．由|MA||MB|=2||MA|-|MB||，得|t1t2|=2|t1+t2|，即，解得|cosα|=．∴直线l的倾斜角为或．【解析】（Ⅰ）当α=时，直线l：（t为参数）化为，消去参数t，可得直线l的普通方程；直接把曲线C的参数方程消去参数m，可得曲线C的普通方程；（Ⅱ）将直线l：（t为参数）代入y2=2x，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系结合已知等式列式求得|cosα|=，则直线l的倾斜角可求．本题考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t的几何意义的应用，是中档题．23.【答案】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-1|=．∵f（x）≤4，∴或-1≤x≤1或，∴1＜x≤2或-1≤x≤1或-2≤x＜-1，∴-2≤x≤2，∴不等式的解集为{x|-2≤x≤2}．（Ⅱ）证明：当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，则x+1+|ax-1|≤3x+b，∴|ax-1|≤2x+b-1，∴-2x-b+1≤ax-1≤2x+b-1，∴，∵x≥1，∴，∴，∴a+b≥0．【解析】（Ⅰ）将a=1代入f（x）中，然后将f（x）写出分段函数的形式，再根据f（x）≤4分别解不等式即可；（Ⅱ）根据当x≥1时，不等式f（x）≤3x+b成立，可得|ax-1|≤2x+b-1，然后解不等式，进一步得到a+b≥0．本题考查了绝对值不等式的解法和利用综合法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

成都市一诊考试数学试题及答案理科

理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U =R ，集合{}2=≤-A x x {}1,,=≥-B x x 则()=U A BA.[]21,- B.21(,)-- C.(][)21,,-∞--+∞ D.21(,)-2.复数21iz =+在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图.则下列说法错误．．的是 A.该地区在12月2日空气质量最好B.该地区在12月24日空气质量最差C.该地区从12月7日到12月12日AQI 持续增大D.该地区的空气质量指数AQI 与日期成负相关4.已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,,A B C 则“sin >sin A B ”是“tan >tan A B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. “更相减损术”是我国古代数学名着《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k 的值分别为4，6，1，则输出的k 的值为6.若关于x 的不等式2210x ax ++≥在[)0+∞，上恒成立，则实数a 的取值范围为A.0+∞(,)B.[)1-+∞, C.[]11-, D.[)0+∞,[)[)[][)26210001110.,()(,)(),(),(),x a A B C D ++≥+∞+∞ -+∞ - +∞若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为x ax7．如图，已知双曲线2222100x y E a b a b-=:(,)>>，长方形ABCD 的顶点A ，B分别为双曲线E 的左，右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上．若6AB =，52BC =，则此双曲线的离心率为A.2B.32 C.52D.522228100562.:(,),,,,,,,ABCD A B E C D E AB BC -===如图已知双曲线长方形的顶点分别为双曲线的左、右焦点且点在双曲线上若则双曲线的离心率为x y E a b a b>>8.已知3sin 0652ααππ-=∈(),(,)，则cos α的值为 A.43310- B.43310+ C.43310- D.33410- 9．在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥底面ABC ，1202BAC PA AB AC ︒∠====,.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A.103πB.18πC.20πD.93π10.已知定义在R 上的奇函数f x ()满足20f x f x ++=()()，且当[]01x ∈,时，2log 1f x x =+()().则下列不等式正确的是A. ()()()2log 756f f f <-<B. ()()()2log 765f f f <<-C. ()()()25log 76f f f -<<D. ()()()256log 7f f f -<< 11.设函数sin 23f x x π=+()()，若12x x 0,<且120f x f x +=()()，则21x x -的取值范围为 A.6π∞(,+)B.3π∞(,+) C.23π+∞(,)D.43π+∞(,)12.已知关于x 的方程e 0e exx x++-x m =x 有三个不相等的实数根123x x x ,,,且1230x x <x <<，其中m ∈R ，e 271828=⋅⋅⋅.为自然对数的底数.则1232312111e e e x x x ---()()()x x x 的值为 A.e B. 1 C. 1m + D. 1m -第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13.52()y x+的展开式中的第三项系数为.14.若实数x y ,满足线性约束条件124+≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩x y y x x y ，则2+x y 的最大值为.15.如图，在直角梯形ABDE 中，已知90ABD EDB ︒∠=∠=,C 是BD 上一点，315,AB ACB ︒=-∠=60,ECD ︒∠=45EAC ︒∠=，则线段DE 的长度为.16.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D的中点，12AD AA =,，点Q 是正方形ABCD 所在平面内．．．的一个动点，且=QC ，则线段BQ 的长度的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn，24316a S ==,,*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =,求数列{}n b 的前n 项和nT.18. （本小题满分12分）某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量的该企业的日用水量的统计数据.从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位:吨）. 若用水量不低于95（吨），则称这一天的用水量超标.（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概率；（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数.记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图①，在边长为5的菱形ABCD 中，6AC =.现沿对角线AC 把ADC ∆翻折到APC ∆的位置得到四面体P ABC -，如图②所示.已知PB =（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若Q 是线段AP 上的点，且13AQ =AP ，求二面角Q BC A --的余弦值.图① 图②20.（本小题满分12分）已知椭圆222210x y C a b a b+=:()>>的右焦点0F )，长半轴与短半轴之比等于2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不经过点01(,)B 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M N ,.若线段MN 的中点H 满足2MN =BH ，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标.21.（本小题满分12分）已知函数e xf x =()，其中e 271828=⋅⋅⋅.为自然对数的底数.（1）若曲线()=y f x 在点00e xP x (,)处的切线方程为y kx b =+，求k b -的最小值；AA（2）当常数()2,+m ∈∞时，已知函数212g x x f x mx =--+()()()在0(,)+∞上有两个零点()1212x x x x ,<.证明：214ln e<-<x x m .请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12222x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(为参数）.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4sin ρθθρ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点M 的直角坐标为22(,).若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A B ,，求MA MB ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数21f x x k x k =-++∈(),R .（1）当1k=时，若不等式4f x ()<的解集为{}12x x x x |<<，求12x x +的值；（2）若关于x 的不等式f x k ≥()当x ∈R 时恒成立，求k 的最大值.数学（理科）参考答案及评分意见第I 卷（选择题，共60分）一．选择题：(每小题5分，共60分)；；；；；；；；；；；.第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：(每小题5分，共20分)；；；.三．解答题：(共70分)17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d .24316a S ==,，1134616a d a d ∴+=+=,.解得121d a ==,. ………4分21n a n ∴=-. ………6分（2）由题意，212n n b n =-⨯().1211232232212n n n T n n -∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯()().21212232212n n n T n n +=⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯()().由-，可得1231122222212n n n T n +-=⨯+⨯++⋅⋅⋅+--⨯()().………9分311122212126232n n n n T n n -++∴-=+---⨯=-+-+⨯()()().………11分16232n n T n +∴=+-⨯(). ………12分18.解：（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天是用水量超标” 为事件A .则123488331212C C C 16842C C 22055P A =+==(). ………4分（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为13.随机变量X 表示未来三天用水量超标的天数，∴X 的取值分别为：0123,,,. 易知3311230123333k k k XB P X kC k -===(,),()()(),,,,.则84210123279927P X P X P X P X ========()(),(),().， ………8分 ∴随机变量X 的分布列为………10分数学期望1313E X =⨯=(). ………12分19.解：（1）取AC 的中点O ,连接,PO BO 得到∆PBO .ABCD 是菱形，∴=PA PC ，PO AC ⊥.5634DC AC OC PO OB ==∴===,,，,42PB =， 222PO OB PB ∴+=.PO OB ∴⊥.BOAC O =，∴⊥PO 平面ABC .⊂PO 平面PAC ， ∴平面ABC ⊥平面PAC . ………4分（2）AB BC BO AC =∴⊥.，易知,,OB OC OP 两两相互垂直.以O 为坐标原点，OB OC OP ,,分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示.则400030004030B C P A -(,,),(,,),(,,),(,,). 设点(,,)Q x y z . 由13AQ AP =，得4023Q -(,,).………6分 4430423BC BQ ∴=-=--(,,),(,,).设1111x y z =(,,)n 为平面BCQ 的一个法向量.X 01 2 3P827 49 29 127由111111143044203x yBCx y zBQ-+=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨--+⋅=⎪⎪⎩⎩.=nn解得111134415x yy z⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩.=取115z=，则13415 =(,,).n………8分取平面ABC的一个法向量2001 =(,,)n.121212cos,⋅===n nn nn n………11分∴二面角--Q BC A………12分20.解：（1）22232ac a b cb===+,，，∴21,==a b.∴椭圆的标准方程为2214xy+=.………4分（2）易知当直线l的斜率不存在时，不合题意.设直线l的方程为1)y kx m m=+≠(，点1122M x y N x y(,),(,).联立2244y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，消去y可得222418440k x kmx m+++-=().2212221224108414441k mkmx xkmx xk⎧⎪∆=+->⎪-⎪∴+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.由2MN=BH，可知点B在以MN 为直径的圆上.BM BN∴⊥.0BM BN∴⋅=.………7分112211(,)(,)⋅=+-⋅+-BM BN x kx m x kx m2212121110k x x k m x x m=++-++-=()()()()，2222244811104141m kmk k m mk k--∴++-+-=++()()().整理，得25230m m --=. 解得35=-m 或1=m （舍去）. ∴直线l 的方程为35y kx =-. 故直线l 经过定点，且该定点的坐标为305-(,).………12分21.解：（1）曲线在点00e xP x (,)处的切线为0000e e e x x x y x x =-+.0000e e e x x x k b x ∴==-+,. 00e x k b x ∴-=.………3分设e x H x x =().由1e 0x H x x '=+=()()，解得1x =-.当x >-1时，0H x '()>，∴H x ()单调递增; 当x <-1时, 0H x '<()，∴H x ()单调递减.H x ∴()的极小值（也是最小值）为11eH -=-().∴-k b 的最小值为1e -.………5分（2）当0>x 时，由e 20x g x x m '=-=()()，解得ln 2.x m = 当ln 2x m >时，()0g x '>，∴()g x 在(ln 2,)+∞m 上单调递增；当0ln 2x m <<时，()0g x '<，∴()g x 在(0,ln 2)m 上单调递减.∴()g x 的极小值为(ln 2).g m ………7分∵(1)20g m =-<,ln 2ln 41x m =>>，(ln 2)0.g m ∴< 又010120(),(),=>=-<g g m ∴101(,),∃∈x 使得10g x =(). 2ln 2ln 4,x m >>214ln 41ln .e x x ∴->-=………9分当x m =时，31e 22m g m m m m =--+()(),.>2e 3e 3m m g m m m m m '∴=-=-()().设e 32m G m m m =-(),.>e 30m G m '=-(),>()∴G m 在2(,)+∞上单调递增. 22e 60G m G ∴=-()().>>0()g m '∴>恒成立.22e 60g m g ∴=-()().>>2(ln 2,),x m m ∴∃∈使得20g x =(). 2m x ∴.>21m x x ∴-.>故214lne<-<x x m 成立. ………12分 22.解：（1）由12222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去参数t可得22y x =-+). ∴直线l20y -+-=. ………2分2222sin 4sin sin 4sin .ρθθρρθρθρ+=∴+=， 222sin ,y x y ρθρ==+，故曲线C 的直角坐标方程为24x y =. ………4分（2）将1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入抛物线方程24x y =，可得2124222t +=+()().即28160t t +--=(. ………8分设点,A B 对应的参数分别为12,t t .则12120,+8,16,∆>==-t t t t∴1216MA MB t t ==.………10分23.解：（1）由题意，得214x x -++<.i ()当2x >时，原不等式即25x <.∴522x <<； ii ()当x <-1时,原不等式即23x -<.∴312-<<-x ；iii ()当2x -1≤≤时，原不等式即3<4.∴12x -≤≤.综上，原不等式的解集为3522x |x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，即123522x x =-=,. 121x x ∴+=.………5分（2）由题意，得21x k x k -++≥. 当2=x 时,即不等式k k ≥3成立.0.k ∴≥ i ()当2-≤x 或0≥x 时,11x +≥，∴不等式k x k x ≥++-|1||2|恒成立.ii ()当12-≤<-x 时,原不等式可化为2---≥x kx k k .可得241.22x k x x -≤=-+++ 3.k ∴≤iii ()当01<<-x 时,原不等式可化为2.x kx k k -++≥可得21.k x ≤- 3.k ∴≤综上，可得03k ≤≤，即k 的最大值为3. ………10分。

成都市届高中毕业班第一次诊断性检测数学理科试卷和参考答案

�� ４分
(II)由f(x)＜０,得 (x ＋１)a ＞xln(x ＋１)＋１２x ＋２．
当x
≥ ０时 ,上式等价于a
＞
xln(x
＋１)＋
１２x
x ＋１
＋２
．
�� ５分
xln(x 令h(x)＝
∴g′(x)＝ln(x ＋１)＋２－a ．
�� １分
∴ 当２－a ≥０,即a ≤２时,g′(x)＞０对x ∈ (０,＋ ∞)恒成立．
此时,g(x)的单调递增区间为 (０,＋ ∞),无单调递减区间．
�� ２分
�� １分
∴PD ⊥ 平面 PEF ．
�� ３分
在图１中,∵E,F 分别是AB,BC 的中点,∴EF ∥ AC ．∴GB ＝２GH ．
又 ∵G 为BD 的中点,∴DG ＝２GH ．
在图
２
中 ,∵
PR RH
∴ 甲、乙两校的合格率均为９６％．
�� ５分
(II)样本中甲校 C 等级的学生人数为０．０１２×１０×５０＝６．
而乙校 C 等级的学生人数为４．
∴ 随机抽取３人中,甲校学生人数 X 的可能取值为０,１,２,３．
∴P(X
＝０)＝CC３１３４０
１＝３０
则
x１
＋x２
１０k２＝４＋５k２
,x１x２

2024年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷(含解析)

2024年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）1．（4分）﹣2024的绝对值是（）A．2024B．﹣2024C．D．2．（4分）提高交通安全意识是每一位青少年的“必修课”，以下有关交通安全的标识图，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（4分）据统计，仅2024年大年初一这一天，我国全社会跨区域人员流动量约为1.9亿人次．将1.9亿用科学记数法表示为（）A．19×108B．1.9×109C．0.19×1010D．1.9×1084．（4分）下列各式计算正确的是（）A．（x+y）2＝x2+y2B．（2x2）3＝6x6C．4x3÷2x＝2x2D．x2﹣4y2＝（x+4y）（x﹣4y）5．（4分）在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（2，4）B．（0，﹣4）C．（﹣2，4）D．（2，﹣4）6．（4分）2024年，中国将迎来一系列重要的周年纪念活动，某校开展了主题为“牢记历史•吾辈自强”的演讲比赛，九年级8名同学参加该演讲比赛的成绩分别为76，78，80，85，80，74，78，80．则这组数据的众数和中位数分别为（）A．80，79B．80，78C．78，79D．80，807．（4分）如图，点E是▱ABCD的边AD上一点，且AE：DE＝1：2，连接CE并延长，交BA的延长线于点F．若AE＝4，AF＝6，则▱ABCD的周长为（）A．21B．34C．48D．608．（4分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①当x＜0时，y随x增大而增大；②该抛物线一定过原点；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＜0；⑤b＞0．其中结论正确的个数有（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．（4分）分解因式：3a3﹣12a＝．10．（4分）如图，直线：y＝2x+4与直线l2：y＝kx+b相交于点P（1，m），则方程组的解为．11．（4分）一个箱子装有除颜色外都相同的3个蓝球，3个灰球和一定数量的粉球．从中随机抽取1个球，被抽到粉球的概率是，那么箱内粉球有个．12．（4分）如图，经过原点的直线交反比例函数的图象于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，当S△ABC＝2时，k的值为．13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，按以下步骤作图：①分别以点A和点C 为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交BC于点D，连接AD．若AB＝BD＝2，则△ACD的面积为．三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．（12分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．15．（8分）为提升同学们的综合素质，丰富课余生活，某校举行了“爱新都”为主题的视频制作评比活动．某兴趣小组同学积极参与，计划制作有代表性景点的城市宣传短片，现抽样调查了部分学生，从A锦门民国小镇，B桂湖公园，C宝光寺，D新繁东湖，E泥巴沱公园五个景点中，选出最具有新都代表性的地方，并将调查情况绘制成如图两幅不完整统计图．根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生有人，扇形统计图中表示A的扇形圆心角α的度数等于度，并把条形图补充完整；（2）该校学生共计1500人，请估算出该校认为最具有新都代表性的是宝光寺的学生人数；（3）该兴趣小组准备从校内四位“优秀共青团员”（两男两女）中，挑选两人作为宣传片中的讲解员，请利用列表或画树状图的方法，求所选两人恰好是1名男生和1名女生的概率．16．（8分）某校学生利用课余时间，使用卷尺和测角仪测量某公园古城门的高度．如图所示，他们先在公园广场点M处架设测角仪，测得古城门最高点A的仰角为22°，然后前进20m到达点N处，测得点A的仰角为45°；已知测角仪的高度为1.4m．求古城门最高点A距离地面的高度．（结果精确到0.1m；参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）17．（10分）如图，已知矩形ABCD和矩形AEFG共用顶点A，点E在线段BD上，连接EG，DG，且．（1）求证：∠ABE＝∠ADG；（2）若，，，求EG的长．18．（10分）在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于A （3，m），B两点．（1）求直线AB的函数表达式及点B的坐标；（2）如图1，过点A的直线分别与x轴，反比例函数的图象（x＜0）交于点M，N，且，连接BM，求△ABM的面积；（3）如图2，点D在另一条反比例函数的图象上，点C在x轴正半轴上，连接DC交该反比例函数图象于点E，且DE＝2EC，再连接AD，BC，若此时四边形ABCD 恰好为平行四边形，求k的值．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．（4分）满足的整数x有个．20．（4分）x1，x2为一元二次方程x（3x﹣1）﹣1＝0的两个实数根，则x1+x2﹣3x1x2＝．21．（4分）将抛物线C1：y＝x2向左平移a（a＞0）个单位长度后，再向下平移b个单位长度，得到新的抛物线C2，若A（﹣a﹣2，y1），B（﹣a+1，y2），C（﹣a+3，y3）为抛物线C2图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系 .（请用“＜”表示）22．（4分）如图1，以矩形ABCD的宽BC为边在其内部作正方形BCFE，若，则称矩形ABCD为“黄金矩形”，＝称为“黄金比率”，如图2，以矩形ABCD 的宽BC为边在其内部作两个正方形BCHG，GHFE，若，则称矩形ABCD为“白银矩形”，＝称为“白银比率”，则该比率为；如图3，A4纸的长与宽的比值近似可以看作，若沿某条直线裁剪一次，使得A4纸剩下部分为一个“白银矩形”，则该“白银矩形”的面积是．23．（4分）如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB，点M，N为直线AD上的两个动点，且∠MBN ＝30°，将线段BM关于BN翻折得线段BM′，连接CM′．当线段CM′的长度最小时，∠MM'C的度数为度．24．（10分）为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置OA高2米，点A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．O位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与OA的水平距离为1米时，喷出的水柱可以达到最大高度3米．（1）求出该抛物线的函数表达式；（2）为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+c，经过点M（2，3），与y轴交于点A（0，﹣1），直线BC与抛物线交于异于点A的B，C两点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若三角形BOM是以OM为底的等腰三角形，试求出此时点B的横坐标；（3）若BA⊥CA，探究直线BC是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．26．（10分）如图1，在四边形ABFE中，∠F＝90°，点C为线段EF上一点，使得AC⊥BC，AC＝2BC＝4，此时BF＝CF，连接BE，BE⊥AE，且AE＝BE．（1）求CE的长度；（2）如图2，点D为线段AC上一动点（点D不与A，C重合），连接BD，以BD为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD．①当DG∥AB时，试求AD的长度；②如图3，点H为AB的中点，连接HG，试问HG是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．2024年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个答案是符合题目要求的，并将自己所选答案的字母涂在答题卡上）1．【分析】根据绝对值的意义解答即可．【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．故选：A．【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．2．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．【解答】解：A．该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B．该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，常见的中心对称图形有平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．常见的轴对称图形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．3．【分析】将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．【解答】解：1.9亿＝190000000＝1.9×108，故选：D．【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．4．【分析】计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：（x+y）2＝x2+2xy+y2，故选项A错误，不符合题意；（2x2）3＝8x6，故选项B错误，不符合题意；4x3÷2x＝2x2，故选项C正确，符合题意；x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y），故选项D错误，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查整式的混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．5．【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点解答即可．【解答】解：点P（﹣2，﹣4）关于x轴对称的点的坐标是（﹣2，4）．故选：C．【点评】本题考查的是关于x轴对称的点的坐标，熟知关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．6．【分析】将数据重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．【解答】解：将这组数据重新排列为74，76，78，78，80，80，80，85，所以这组数据的众数为80，中位数为＝79，故选：A．【点评】本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．7．【分析】由平行四边形的性质推出CD∥AB，DC＝AB，AD＝BC，得到△FAE∽△CDE，推出FA：CD＝AE：DE＝1：2，求出CD＝12，由AE＝4，AE：DE＝1：2求出DE＝8，得到AD＝AE+ED＝12，即可求出▱ABCD的周长＝2（AD+CD）＝48．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，DC＝AB，AD＝BC，∴△FAE∽△CDE，∴FA：CD＝AE：DE＝1：2，∵FA＝6，∴CD＝12，∵AE＝4，AE：DE＝1：2，∴DE＝8，∴AD＝AE+ED＝12，∴▱ABCD的周长＝2（AD+CD）＝2×（12+12）＝48．故选：C．【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由△FAE∽△CDE，得到FA：CD＝AE：DE＝1：2，求出CD的长．8．【分析】①根据函数图象变化趋势进行解答；②根据对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，便可判断；③根据由函数图象可知，与x轴有两个交点；④根据当x＝﹣1时，y的函数值的位置进行判断；⑤根据开口方向和对称轴的位置解答即可．【解答】解：①由函数图象可知，当﹣2＜x＜0时，y随x增大而减小，则此小题结论错误；②∵对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），∴另一个交点为（0，0），即抛物线一定过原点，则此小题结论正确；③∵由函数图象可知，与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0；则此小题结论正确；④由函数图象可知，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，则此小题结论错误；⑤∵开口向下，∴a＜0，对称轴为直线x＝﹣2，∴b＜0，则此小题结论错误；故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式的关系，二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）9．【分析】先提取公因式3a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：3a3﹣12a＝3a（a2﹣4），＝3a（a+2）（a﹣2）．故答案为：3a（a+2）（a﹣2）．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．10．【分析】首先利用待定系数法求出m的值，进而得到P点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案．【解答】解：∵直线y＝2x+4经过点P（1，m），∴m＝2+4＝6，∴P（1，6），∴方程组的解为．故答案为：．【点评】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点的坐标就是两函数组成的二元一次去方程组的解．11．【分析】设箱内粉球有x个，根据概率公式列出方程，解方程即可．【解答】解：设箱内粉球有x个，由题意得：＝，解得：x＝6，经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，即箱内粉球有6个，故答案为：6．【点评】此题考查了概率公式：概率＝所求情况数与总情况数之比，熟记概率公式是解题的关键．12．【分析】根据反比例函数图象的对称性可得出A，B两点关于点O对称，进而得出△AOC 与△BOC的面积相等，据此可解决问题．【解答】解：因为反比例函数是中心对称图形，且坐标原点是对称中心，所以点A和点B关于点O对称，则OA＝OB．又因为S△ABC＝2，所以．因为AC⊥x轴，所以，则x A y A＝2，所以k＝x A y A＝2．故答案为：2．【点评】本题考查反比例函数与一次函数图象交点问题，熟知反比例函数图象的对称性是解题的关键．13．【分析】只要证明△ABD是等边三角形，推出BD＝AD＝DC，可得S△ADC＝S△ABC即可解决问题．【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，∴DA＝DC∴∠DAC＝∠C，∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠C＝90°，即2∠C+∠C＝90°，∴∠C＝30°，∴AC＝AB＝2．∴△ACD的面积＝S△ABC＝××2×2＝，故答案为：．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．三、解答题（本大题共5小题，共48分，解答过程写在答题卡上）14．【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、二次根式的性质、零指数幂计算；（2）根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，把a的值代入计算，得到答案．【解答】解：（1）原式＝3×﹣﹣×+1＝﹣2﹣1+1＝﹣；（2）原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝﹣1时，原式＝＝＝．【点评】本题考查的是实数的运算、分式的化简求值，掌握实数的运算法则、分式的混合运算法则是解题的关键》15．【分析】（1）用条形统计图中B的人数除以扇形统计图中B的百分比可得本次被调查的学生人数；用360°乘以本次调查中选择A景点的人数所占的百分比，可得扇形统计图中表示A的扇形圆心角α的度数；求出选择D景点的人数，补全条形统计图即可．（2）根据用样本估计总体，用1500乘以样本中选择C的学生人数所占的百分比，即可得出答案．（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及所选两人恰好是1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次被调查的学生有18÷22.5%＝80（人）．扇形统计图中表示A的扇形圆心角α的度数等于360°×＝72°．故答案为：80；72．选择D景点的人数为80﹣16﹣18﹣20﹣8＝18（人）．补全条形统计图如图所示．（2）1500×＝375（人）．∴该校认为最具有新都代表性的是宝光寺的学生人数约375人．（3）将2名男生分别记为甲，乙，2名女生分别记为丙，丁，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中所选两人恰好是1名男生和1名女生的结果有：甲丙，甲丁，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丁甲，丁乙，共8种，∴所选两人恰好是1名男生和1名女生的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．16．【分析】过A作AD⊥PM于D，延长BC交AD于E，则四边形BMNC，四边形BMDE 是矩形，于是得到BC＝MN＝20m，DE＝CN＝BM＝1.4m，求得CE＝AE，设AE＝CE＝x，得到BE＝20+x，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过A点作AE⊥BC，交BC延长线于点E，交MP于点F，则BMNC，四边形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，ED＝BM，设AE＝xm，在Rt△ACE中，∠ACE＝45°，∴AE＝CE＝xm，∵BC＝20m，∴BE＝x+20，在Rt△ABE中，∠ABE＝22°，∴tan22°＝，∴0.40＝，解得：x≈13.33，∴ED＝BM＝1.4m，∴AF＝13.33+1.4＝14.73≈14.7（m）．答：古城门最高点A距离地面的高度约为14.7m．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键．17．【分析】（3）利用同角的余角相等可得∠BAE＝∠DAG，结合条件即可证明△ABE∽△ADG，以此即可得证；（2）易得∠ADB＝∠CBD，结合（1）中结论并根据等角加等角相等得∠EDG＝90°，再由勾股定理求得BD的长，于是得出BE的长，由△ABE∽△ADG可求出DG的长，最后再利用勾股定理即可求解．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG均为矩形，∴∠BAD＝∠EAG＝90°，即∠BAE+∠DAE＝∠DAG+∠DAE＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，又∵，∴△ABE∽△ADG，∴∠ABE＝∠ADG．（2）解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ABC＝∠ABE+∠CBD＝90°，∴∠ADB＝∠CBD，∵∠ABE＝∠ADG，∴∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠CBD＝90°，即∠EDG＝90°，在Rt△ABD中，AB＝，AD＝，∴＝＝，∴BE＝BD＝，DE＝，由（1）知，△ABE∽△ADG，∴，∠ABE＝∠ADG，∴，∴DG＝，在Rt△DEG中，EG＝＝＝．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理，解题关键：（1）由同角的余角相等得到∠BAE＝∠DAG；（2）根据角之间的关系推理证明∠EDG＝90°．18．【分析】（1）将A（3，m）代入直线y＝﹣x+b与反比例函数y＝，可得答案；（2）过点A作AP⊥x轴于P，过点N作NQ⊥AP于Q，根据平行线分线段成比例得，可得N（﹣4，﹣3），从而得出直线AM的解析式为y＝x+1，M（﹣1，0），再计算S△ABM＝S△AHM﹣S△BHM即可；（3）利用平行四边形的性质可得AB∥CD，设直线CD的解析式为y＝﹣x+t，可得C（t，0），则D（t﹣3，2），过D作DG⊥x轴于G，过点E作EF⊥x轴于F，则DG∥EF，可得△CEF∽CDG，利用相似三角形的性质得，可得出EF＝，OF＝t﹣1，则E（t﹣1，），根据反比例函数图象上点的坐标特征可得t＝，即可解决问题．【解答】解：（1）将A（3，m）代入反比例函数y＝得，m＝4，∴A（3，4），将点A（3，4）代入y＝﹣x+b得，b＝6，∴直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6，联立直线y＝﹣x+6与反比例函数y＝得，，解得，∴点B的坐标为（6，2）；（2）过点A作AP⊥x轴于P，过点N作NQ⊥AP于Q，设AB与x轴交于H，∴MP∥NQ，∴，∵A（3，4），∴AP＝4，∴PQ＝3，∴N（﹣4，﹣3），设线AM的解析式为y＝k′x+b′，∴，解得，∴直线AM的解析式为y＝x+1，令y＝0，则x＝﹣1，∴M（﹣1，0），∵直线AB的函数表达式为y＝﹣x+6，令y＝0，则x＝9，∴H（9，0），∴S△ABM＝S△AHM﹣S△BHM＝×4×（1+9）﹣×2×（1+9）＝10；（3）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴设直线CD的解析式为y＝﹣x+t，令y＝0，则x＝t，∴C（t，0），∵A（3，4），B（6，2），∴D（t﹣3，2），∵DE＝2EC，∴，过D作DG⊥x轴于G，过点E作EF⊥x轴于F，∴DG∥EF，∴△CEF∽CDG，∴，∴，，∴EF＝，OF＝t﹣1，∴E（t﹣1，），∵D，E都在另一条反比例函数（k＞0）的图象上，∴k＝（t﹣1）＝2（t﹣3），∴t＝，∴k＝×（×﹣1）＝2．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造相似三角形是解题的关键．一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）19．【分析】求出﹣，的取值范围，进而可得出答案．【解答】解：∵﹣2＜﹣＜﹣1，2＜＜3，∴满足＜x＜的整数x有﹣1，0，1，2共4个，故答案为：4．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是确定﹣，的取值范围．20．【分析】先把方程整理为一元二次方程的一般形式，再求出x1+x2与x1•x2的值，代入代数式进行计算即可．【解答】解：一元二次方程x（3x﹣1）﹣1＝0可化为3x2﹣x﹣1＝0，∵x1，x2为一元二次方程x（3x﹣1）﹣1＝0的两个实数根，∴x1+x2＝，x1•x2＝﹣，∴x1+x2﹣3x1x2＝﹣3×（﹣）＝+1＝．故答案为：．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键．21．【分析】求出A，B，C三个点离抛物线对称轴的远近，结合抛物线的开口方向即可解决问题．【解答】解：由题知，平移后的抛物线函数解析式为：y＝（x+a）2﹣b，则此抛物线的对称轴为直线x＝﹣a，且开口向上，所以抛物线上的点离对称轴越近，其纵坐标越小．因为﹣a﹣（﹣a﹣2）＝2，﹣a+1﹣（﹣a）＝1，﹣a+3﹣（﹣a）＝3，且1＜2＜3，所以y2＜y1＜y3．故答案为：y2＜y1＜y3．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．22．【分析】根据“白银矩形”的定义，列出方程即可求出“白银比率”，再利用求出的“白银比率”即可解决问题．【解答】解：令BC＝x，由得，，解得AE＝（舍负），所以AB＝2x+AE＝，则“白银比率”为：．如图所示，，x＝，经检验x＝是原方程的解，且符合题意．所以该“白银矩形”的面积为：．故答案为：，．【点评】本题考查矩形的性质及黄金分割，理解题中所给定义是解题的关键．23．【分析】将线段BA绕点B顺时针旋转60°后点A落在点E，连接BE，得到△ABM≌△EBM′，再由当CM⊥EF时，CM'有最小值，可得△EBG与△M′CG均为30°、60°、90°直角三角形，再证明△ABM为等腰直角三角形，△MBM是等边三角形，进而得到∠EM'B＝∠AMB＝60°，最后当CM′⊥EF于H时，CM′有最小值，由此可以求出∠MM'C ＝∠EM'C﹣∠EM'M＝90°﹣15°＝75°．【解答】解：将线段BA绕点B顺时针旋转60°后点A落在点E，连接BE，设EM交BC于G点，如下图所示：在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝BC，根据折叠可知，∠MBM'＝60°，BM＝BM'，∴∠ABM＝∠ABE﹣∠MBE＝60°﹣∠MBE，∠EBM'＝∠MBM'﹣∠MBE＝60°﹣∠MBE，∴∠ABM＝∠EBM′，∵BA＝BE，BM＝BM′，∴△ABM≌△EBM′（SAS），∵AM＝EM′，∠E＝∠A＝90°，∵∠EBG＝90°﹣60°＝30°，∴∠BGM'＝∠EBG+∠BEG＝90°+30°＝120°，∴∠EGC＝120°，∴∠CGM'＝∠EGB＝180°﹣120°＝60°，∴点M在EF上，∵垂线段最短，∴当CM′⊥EF时，CM′有最小值，∴△EBG与△M′CG均为30°、60°、90°直角三角形，设EG＝x，BC＝2y，则BG＝2EG＝2x，CG＝BC﹣BG＝2y﹣2x，，∴，∵BC＝2AB，，∴EM′＝AB，∵AM＝EM′，∴AB＝AM，∴△ABM为等腰直角三角形，∴∠EM′B＝∠AMB＝45°，∵∠MBM'＝60°，BM＝M′B，∴△MBM是等边三角形，∴∠BM'M＝60°，∴∠EM'M＝∠BM'M﹣∠EM'B＝60°﹣45°＝15°，∴∠MM'C＝∠EM'C﹣∠EM'M＝90°﹣15°＝75°，故答案为：75．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法、矩形的性质、旋转的性质、轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，属于四边形的综合题，难度较大，熟练掌握各图形的性质是解题的关键．24．【分析】（1）易得抛物线的顶点坐标为（1，3），用顶点式设出抛物线解析式，把点A 的坐标代入可得抛物线二次项系数的值，即可求得抛物线的解析式；（2）水流落回水面，即抛物线与x轴相交，那么纵坐标为0求得符合题意的x的值，再加上预留的一米即为该圆形喷水池的半径最少的米数．【解答】解：（1）由题意得：抛物线的顶点坐标为（1，3）．∴设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）2+3（a≠0）．∵抛物线经过点（0，2），∴a+3＝2．解得：a＝﹣1．∴该抛物线的函数表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+3；（2）∵水流落回水面，∴抛物线与x轴相交．∴﹣（x﹣1）2+3＝0．（x﹣1）2＝3，x﹣1＝，x﹣1＝﹣．∴x1＝+1，x2＝1﹣（不合题意，舍去）．∴该圆形喷水池的半径至少设计为：+1+1＝（+2）米．答：该圆形喷水池的半径至少设计为（+2）米．【点评】本题考查二次函数的应用．根据题意设出符合题意的函数解析式是解决本题的关键．用到的知识点为：若二次函数有顶点坐标，设二次函数的解析式为：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）计算比较简便．25．【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）求出OM中垂线表达式中的k值为﹣，得到直线OM中垂线的表达式，即可求解；（3）证明tan∠ACN＝tan∠BAM，得到，整理得：mn＝﹣1，进而求解．【解答】解：（1）将点A、M的坐标代入函数表达式得：，解得：，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣1；（2）由点O、M的坐标得，直线OM的表达式为：y＝x，则OM中垂线表达式中的k值为﹣，OM的中点坐标为：（1，），则直线OM中垂线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）+，联立上式和抛物线的表达式得：x2﹣1＝﹣（x﹣1）+，解得：x＝，即点B的横坐标为：；（3）直线BC过定点（0，0），理由：过点A作x轴的平行线交过点B和y轴的平行线于点M，交过点C和y轴的平行线于点N，设点B（m，m2﹣1）、C（n，n2﹣1），∵BA⊥CA，∴∠BAM+∠CAN＝90°，∵∠ACN+∠CAN＝90°，∴∠ACN＝∠BAM，∴tan∠ACN＝tan∠BAM，即，即，整理得：mn＝﹣1，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝（m+n）（x﹣m）+m2﹣1＝（m+n）x﹣mn ﹣1＝（m+n）x，当x＝0时，y＝（m+n）x＝0，即直线BC过定点（0，0）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、中垂线的性质，数据处理是本题的难点，题目有一定的综合性，难度适中．26．【分析】（1）取AB的中点为H，连接EH、HC，证明△BCF是等腰直角三角形，∠BCF ＝45°，得BF＝CF＝，再证明△AEB是等腰直角三角形，得∠ABE＝45°，然后证明∠BAC＝∠BEF，即可解决问题；（2）①过点D作DM⊥EF于点M，DK⊥AB于点K，证明△CMD是等腰直角三角形，得CD＝DM，再证明△DBC∽△GBF，得∠BCD＝∠BFG＝90°，＝＝，进而证明△BKD是等腰直角三角形，得DK＝BK，然后证明DK＝AB，求出DK＝，即可解决问题；②过点H作HP⊥EF于点P，连接EH，由①得点G在EF上运动，当G、P重合时，HG值最小，HP的长即为HG的最小值，设AC交BE于点N，即N与①中的D重合，由等腰直角三角形的性质得AE＝，再由锐角三角函数定义得sin∠ENA＝，设∠BEF＝∠BAC＝α，则∠HEF＝α+45°，然后证明∠HEF＝∠EAN，即可得出结论．【解答】解：（1）如图1，取AB的中点为H，连接EH、HC，设AC交BE于点N，∵AC＝2BC＝4，∴BC＝2，∵∠F＝90°，BF＝CF，∴△BCF是等腰直角三角形，∠BCF＝45°，∴BF＝CF＝BC＝×2＝，∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB﹣∠BCF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∵BE⊥AE，AE＝BE，∴△AEB是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABN＝∠NCE，∵∠ANB＝∠CNE，∴∠BAC＝∠BEF，∴tan∠BAC＝tan∠BEF，∵tan∠BAC＝＝＝，∴tan∠BEF＝＝，∴EF＝2BF＝2，∴CE＝EF﹣CF＝2﹣＝；（2）①如图2，过点D作DM⊥EF于点M，DK⊥AB于点K，则∠DMG＝90°，由（1）得：∠ACE＝45°，∴△CMD是等腰直角三角形，∴CD＝DM，∵△BCF、△BGD都是等腰直角三角形，∴DG＝BG，∠BGD＝90°，∠DBG＝∠CBF＝45°，＝＝，∴∠DBG﹣∠CBG＝∠CBF﹣∠CBG，即∠DBC＝∠GBF，＝，∴△DBC∽△GBF，∴∠BCD＝∠BFG＝90°，＝＝，∴CD＝FG，∴DM＝FG，∵∠BFE＝90°，∴点G在EF上，∵DG∥AB，∠BGD＝90°，∴∠GBA＝90°，∵∠ABE＝45°，∠DBG＝45°，∴D在BE上，∵tan∠BAC＝，∴＝，∴AK＝2DK，∴AD＝＝＝DK，∵DK⊥AB，∠ABE＝45°，∴△BKD是等腰直角三角形，∴DK＝BK，∵AK＝2DK，AB＝AK+BK，∴DK＝AB，在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝2，∴DK＝AB＝×2＝，∴AD＝DK＝×＝；②HG存在最小值，理由如下：如图3，过点H作HP⊥EF于点P，连接EH，由①得：点G在EF上运动，当G、P重合时，HG值最小，HP的长即为HG的最小值，设AC交BE于点N，则N与①中的D重合，由①得：AN＝，∵△AEB是等腰直角三角形，∴AE＝AB＝×2＝，∵点H为AB的中点，∴EH＝AB＝×2＝，∠BEH＝45°，∴sin∠ENA＝＝＝，设∠BEF＝∠BAC＝α，则∠HEF＝α+45°，∵∠EAN＝∠ABE+∠BAC＝45°+α，∴∠HEF＝∠EAN，在Rt△PEH中，PH＝EH•sin∠HEF＝EH•sin∠ETA＝×＝，∴HG的最小值为．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，难度较大，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质和锐角三角函数定义，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．。

成都市2019级高中毕业班第一次诊断性检测数学(理)参考答案

x)＝cos
x －２a
∵２
a ≥１,∴ 当 x ∈ [
０,
π]时,f′ (
x)≤０恒成立
∴f(
x)在 [
０,
π]上单调递减
９分
１１分
１２分
１分
２分
∴ 当 x ＝０时,f(
x)取得最大值为０;当 x ＝π 时,f(
x)取得最小值为－２aπ
(Ⅱ )不等式 f(
４分
∴ 平面 A′DB ⊥ 平面 BDEC
５分
∵ A′D ⊥ BD ,DE ⊂ 平面 BDEC ,DB ⊂ 平面 BDEC ,DE ∩ DB ＝D ,
又 A′D ⊂ 平面 A′DB ,
(Ⅱ )选 ①
∵BM ＝BE ,∠BDM ＝ ∠BDE ＝９０
°,
∴ △ BDM ≌△ BDE∴ DE ＝DM ＝２
．
＝８(
２
２
５
１分
i
２
)
－x
＝４＋１＋０＋１＋４＝１０,
５
∑ (x
^ ＝ i＝１
∴b
i
５
∑
i＝１
)(
)
yi －y
－x
２
)
(
xi －x
^ ＝０
∴y
８５x ＋０
６

^ ＝４－０
８５,
a
８５×４＝０
６

＝０
数学(理科)“一诊”参考答案第
１页(共６页)
３分
５分
x ≥１
ìï３x ＋１,
ï
(Ⅱ )由(Ⅰ ),得 f(
x)＝ íx ＋３,－１＜ x ＜１
ïï
x ≤－１

2022届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学(理)试题解析

2022届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学（理）试题一、单选题1．设集合{}2|0A x x x =->，{}|e 1x B x =≥，则A B =（） A ．(),1-∞B ．()1,1-C ．()1,+∞D ．[)1,+∞答案：C 解一元二次不等式化简集合A ，解指数函数不等式化简集合B ，再求集合的交集. 解：{}(){}{20101A x x x x x x x x =->=->=>或}0x <， {}{}{}0|e 1|e e |0x x B x x x x =≥=≥=≥，所以{}()|11,A B x x =>=+∞.故选：C.2．已知复数z =i 2i 1-（i 为虚数单位），则|z |=（）A B ．15 C ．125 D 答案：A 化简得2i 5z -+=，即得解. 解：解：由题得z =i i(2i 1)2i 2i 1(2i 1)(2i 1)5+-+==--+-，所以|z 故选：A 3．函数()()sin sin cos f x x x x =+的最小正周期是（）A ．3πB ．2πC ．πD ．2π答案：C将函数解析式化简，利用正弦函数的周期公式可得.解：因为()21cos 2sin 2()sin sin cos sin sin cos 22x x f x x x x x x x -=+=+=+1224x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 所以最小正周期22T ππ==. 故选：C4．若实数x ，y 满足约束条件03250210x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩，则z =3x +y 的最大值为（）A ．3-B ．3C ．4-D ．4答案：D画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可．解：解：可行域如图所示，作出直线3y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C ．解方程组3250x y x y =⎧⎨+-=⎩得(1C ，1)，所以3114max z =⨯+=．故选：D ．5．在△ABC 中，已知AB ⊥BC ，AB =BC =2.现将△ABC 绕边AC 旋转一周，则所得到的旋转体的表面积是（）A ．2πB ．2C ．2πD ．2答案：D由题知该旋转体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，根据圆锥的侧面积S RL π=计算公式可得．解：解：由题知该几何体为两个倒立的圆锥底对底组合在一起，其中圆锥母线长2L =，圆锥底面半径2R =22242S ππ∴=⨯= 故选：D ．6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为（）AB C ．2 D ．3答案：B 根据渐近线方程，即可求得,a b 之间关系，将其转化为,a c 关系，即可求得.解：双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为b y x a =±因为渐近线方程为y =，所以b a=故可得：e ==故选：B7．已知实数,a b 满足log log 221a b >>，则（）A ．12a b <<<B ．12a b <<<C ．12b a <<<D ．12a b <<<答案：B利用对数函数的单调性及对数的运算即可得解.解：21log log a a a >=，12a ∴<<，同理12b << 又log 2log 2a b >，lg 2lg 2lg lg 22lg 20lg lg lg log log lg a b b a a b a b∴--=-=⋅>⋅ 又lg 20>，lg 0a >，lg 0b >， lg lg 0b a -∴>，即lg0b a >，1b a∴>，b a ∴>，12a b ∴<<< 故选：B 8．已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（）A ．36625B ．9125C ．108625D ．54125答案：C利用二项分布的概率即可得解.解：由已知命中的概率为0.4，不命中的概率为10.40.6-=罚球4次，命中两次，说明第4次命中，前3次命中1次故概率()2131080.40.60.40.1728625P C =⨯⨯== 故选：C9．已知3sin()45πα-=，则sin 1tan αα-的值为（）A．BC．D答案：B先求出cos sin αα-=7sin cos 50αα=，再化简sin 1tan αα-即得解. 解：解：由3sin()45πα-=3sin ),cos sin 5αααα-=∴-=，所以18712sin cos ,sin cos 2550αααα-=∴=，所以7sin sin sin cos 750=sin 31tan cos sin 501cos ααααααααα===---. 故选：B10．四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（）．A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.4D ．中位数为3，方差为2.8答案：C根据题意举出反例，即可得出正确选项．解：解：对于A ，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A 错误；对于B ，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B 错误；对于C ，若平均数为2，且出现6点，则方差S 2＞15（6﹣2）2＝3.2＞2.4， ∴平均数为2，方差为2.4时，一定没有出现点数6，故C 正确；对于D ，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为：x ＝15（1+2+3+3+6）＝3 方差为S 2＝15[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.8，可以出现点数6，故D 错误．故选：C ．11．如图，已知三棱锥A -BCD 的截面MNPQ 平行于对棱AC ，BD ，且,AC AM m n BD MB==，其中m ，n ∈（0，+∞）.有下列命题：①对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形；②当AC ⊥BD 时，对任意的m ，都存在n ，使得截面MNPQ 是正方形；③当m =1时，截面MNPQ 的周长与n 无关；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，截面MNPQ 的面积的最大值为1.其中假命题的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：A①证明//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②证明对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==求出截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④截面MNPQ 的面积为24(1)n n +，利用基本不等式求出截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.解：解：① 因为//AC 截面MNPQ ，平面ABC 平面MNPQ =,MN AC ⊂平面ABC ,所以//AC MN ,同理//AC PQ ,所以//MN PQ ,同理//MQ PN ,所以对于任意的m ，n ，都有截面MNPQ 是平行四边形，所以该命题正确；②当AC ⊥BD 时，则MN PN ⊥,所以截面MNPQ 是矩形，当AC m BD =时，,22AC AC m m PN PN =∴=，如果2,2,21AC AB AM m m m n MN BM MB=∴=∴=-=，所以当21n m =-时，MN PN =,此时对任意的m ，都存在21n m =-，使得截面MNPQ 是正方形，所以该命题正确；③当m =1时，设,AC BD x ==所以1,,11n MN x PN x MN PN x n n ==∴+=++，所以截面的周长为2x ，所以截面MNPQ 的周长与n 无关，所以该命题正确；④当AC ⊥BD ，且AC =BD =2时，2122,21111n n PN MN n n n n =⨯==⨯=++++，由于截面是矩形，所以截面MNPQ 的面积为22444411(1)211222n n n n n n n n n==≤=++++++⨯，当且仅当1n =时等号成立.所以截面MNPQ 的面积的最大值为1，所以该命题正确.故选：A12．已知函数()f x =1ln ,0,e ,0.x x x x x x +⎧>⎪⎨⎪≤⎩则关于x 的方程2()()10()ef x af x a R --=∈的解的个数的所有可能值为（）A ．3或4或6B ．1或3C ．4或6D ．3答案：D利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图象，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e ⋅=-，然后分11t e =-，11t e <-和110t e -<<三种情况结合函数图象讨论即可解：当0x >时，1ln ()x f x x+=，则'221(1ln )ln ()x x f x x x -+-==，当01x <<时，'()0f x >，当1x >时，'()0f x <，所以()f x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，且当x →+∞时，()0f x →，当0x ≤时，()x f x xe =，则'()(1)x f x x e =+，当10-<≤x 时，'()0f x >，当1x <-时，'()0f x <，所以()f x 在(1,0]-上递增，在(,1)-∞-上递减，且当x →-∞时，()0f x →，所以()f x 的大致图象如图所示，令()f x t =，则方程210et at --=必有两个不等根，设两根分别为12,t t （不妨设12t t <），且121t t e⋅=-，当11t e=-时，则21t =，此时2()f x t =有1个根，1()f x t =有2个根，当11t e<-时，则201t <<，此时2()f x t =有2个根，1()f x t =有1个根，当110t e-<<时，则21t >，此时2()f x t =有0个根，1()f x t =有3个根，综上，对任意的a R ∈，方程都有3个根，故选：D【点睛】此题考查导数的应用，考查函数与方程的综合应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后画出函数图象，结合图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于中档题二、填空题13．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为___________（用数字作答）答案：80-根据二项式展开式的通项公式计算出正确答案. 解：512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为()()()5155255212r r r r r r r C x x C x ----⋅⋅-=-⋅⋅⋅，令523-=r 得1r =，所以展开式中3x 项的系数为()14151280C -⋅⋅=-. 故答案为：80-14．已知向量,a b 满足()1,1a =，()23,1a b +=-，则向量a 与b 的夹角为___________. 答案：2π90 利用向量坐标的线性运算求得(02)a =，，相减得(22)b =，，再利用夹角公式可得结果. 解：设(,)b x y =，()1,1a =，()23,1a b +=-则123121x y +=⎧⎨+=-⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，(1,1)b ∴=- 故[]cos ,0,,0,πa ba b a b a b ⋅==∈⋅，则a 、b 的夹角为2π. 故答案为：2π. 15．已知斜率为13-的直线与椭圆22+197x y =相交于不同的两点A ，B ，M 为y 轴上一点且满足|MA |=|MB |，则点M 的纵坐标的取值范围是___________.答案：⎛ ⎝⎭解：设直线AB 的方程为13y x t =-+，由2213+197y x t x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去y 并化简得22869630x tx t -+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，212123963,48t x x t x x -+=⋅=， ()2236329630t t ∆=-->，解得t -<<()()1212121212311373,28226648x x t x x y y t x x t t t t -++++===-++=-⨯+=. 由于MA MB =，所以M 是AB 垂直平分线与y 轴的交点，AB 垂直平分线的方程为73388y t x t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，令0x =得14y t =-，由于t -<<14t <-<也即M的纵坐标的取值范围是⎛ ⎝⎭.故答案为：⎛ ⎝⎭16．在ABC 中，已知角2π3A =，角A 的平分线AD 与边BC 相交于点D ，AD =2.则AB +2AC 的最小值为___________.答案：6+ 根据三角形的面积公式列方程，结合基本不等式来求得正确答案.解：,,,2AB c AC b BC a AD ====，依题意AD 是角A 的角平分线，由三角形的面积公式得1π1π12π2sin 2sin sin 232323c b bc ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯，化简得22c b bc +=，1112b c +=， ()112222223c b AB AC c b c b b c b c ⎛⎫⎛⎫+=+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭236⎛≥+=+ ⎝当且仅当2,2c b c b b c==，2222,22,222b b b b b c ⋅+=⋅=+=+时等号成立. 故答案为：642+三、解答题17．已知等差数列{an }满足2a 2+a 5=0，a 7=2a 4-2.(1)求{an }的通项公式；(2)设bn =2n a ，求数列{bn }的前n 项和.答案：(1)3n a n =-+；(2)3182n n S -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，列方程组解方程组即得解；（2）利用等比数列的求和公式求解.(1)解：设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由题意，可得()1111224062320a d a d a d a d +++=⎧⎨+-++=⎩ 解得12,1a d ==-.3n a n ∴=-+.(2)解：由（1），可得32n n b -+=. 所以数列{}n b 是一个以4为首项，以12为公比的等比数列，设数列{}n b 的前n 项和为n S ，则123n n S b b b b =++++.1412112n n S ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴=-31181822n n -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 18．某项目的建设过程中，发现其补贴额x （单位：百万元）与该项目的经济回报y （单位：千万元）之间存在着线性相关关系，统计数据如下表：(1)请根据上表所给的数据，求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+； (2)为高质量完成该项目，决定对负责该项目的7名工程师进行考核.考核结果为4人优秀，3人合格.现从这7名工程师中随机抽取3人，用X 表示抽取的3人中考核优秀的人数，求随机变量X 的分布列与期望.参考公式：()()()121ˆˆˆ,ni ii n i i x x y y b ay bx x x ==--==--∑∑ 答案：(1)ˆ0.850.6yx =+ (2)分布列答案见解析，数学期望：127（1）根据表中的数据和公式直接求解即可，（2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，然后求各自对应的概率，从而可求得分布列和期望(1)23456 2.534 4.564,455x y ++++++++====. ()()15(2)( 1.5)(1)(1)0010.5228.5i i i x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑，()5214101410ii x x =-=++++=∑.()()()155210.85,40.8540.6i ii ii x x y y b a x x ==--∴===-⨯=-∑∑.0.80.ˆ56yx ∴=+. (2)由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3.()()()3122134343331777C C C C C 112180,1,2C 35C 35C 35P X P X P X =========，34374(3)35C P X C ===，X ∴的分布列为X0 1 2 3 P13512351835435112184120123353535357EX ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=. 19．如图甲，在直角三角形ABC 中，已知AB BC ⊥，4BC =，8AB =，D ，E 分别是,AB AC 的中点.将ADE 沿DE 折起，使点A 到达点A '的位置，且A D BD '⊥，连接,A B A C ''，得到如图乙所示的四棱锥A '-BDEC ，M 为线段A D '上一点.(1)证明：平面A DB '⊥平面BDEC ；(2)过B ，C ，M 三点的平面与线段A 'E 相交于点N ，从下列三个条件中选择一个作为已知条件，求直线DN 与平面A 'BC 所成角的正弦值.①BM BE =；②直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；③三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 答案：(1)证明见解析 10 （1）由线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理可得证；（2）分别选①，②，③可求得M 为A D '的中点，再以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -.利用空间向量求得所求的线面角.(1),D E 分别为,AB AC 的中点，DE BC ∴∥.AD BC ⊥，AD DE ∴⊥，A D DE '∴⊥.A D BD '⊥，DE DB D ⋂=，A D '∴⊥平面BDEC .又A D '⊂平面A DB '， ∴平面A DB '⊥平面BDEC . (2)（2）选①，BM BE =；BM BE =，90BDM BDE ∠=∠=︒， BDM BDE ∴≅，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选②，直线EM 与BC 所成角的大小为45︒；BC DE ∥，∴直线EM 与BC 所成角为MED ∠.又直线EM 与BC 所成角的大小为45︒，45MED ∴∠=︒A D DE '⊥，2DE DM ∴==，M ∴为A D '的中点.选③，三棱锥M BDE -的体积是三棱锥'E A BC -体积的1.413E A C A EBC BC B E V V SA D ''--'==⋅，1134M BDEBDE M BDEE A C B V S MD V V '---=⋅⋅= 又12DE BC =，即12BDEEBCS S =，2A D MD '∴=M ∴为A D '的中点.∵过,,B C M 三点的平面与线段A E '相交于点N,DE BC BC ⊄∥平面A DE ，BC ∴∥平面A DE .又平面BMNC ⋂平面A DE MN '=，BC MN ∴∥，N ∴为A E '的中点.,,DE DB DA '两两互相垂直，∴以D 为坐标原点，向量,,DE DB DA 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -.则(0,0,0),(0,0,4),(1,0,2),(0,4,0),(4,4,0)D A N B C '；(1,0,2),(0,4,4),(4,0,0)DN BA BC '==-=.设平面A BC '的一个法向量为(,,)m x y z =，直线DN 与平面A BC '所成的角为θ.由00m BA m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩'，得44040y z x -+=⎧⎨=⎩.令1y =，得(0,1,1)m =.则||210sin |cos ,|5||||25DN m DN m DN m θ⋅=〈〉===⋅.∴直线DN 与平面A BC '所成角的正弦值为105.20．已知抛物线C ：()220,4y px p p =>≠，过点(2,0)A 且斜率为k 的直线与抛物线C 相交于P ，Q两点.(1)设点B 在x 轴上，分别记直线PB ，QB 的斜率为12,k k .若120k k +=，求点B 的坐标； (2)过抛物线C 的焦点F 作直线PQ 的平行线与抛物线C 相交于M ，N 两点，求||||||MN AP AQ ⋅的值.答案：(1)(2,0)- (2)12（1）直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠，联立直线与抛物线方程，由韦达定理结合已知条件可求得点B 的坐标；（2）直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用倾斜角定义知2sin 1k k θ=+，12,sin sin y y AP AQ θθ-==，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求得MN ，进而得解. (1)由题意，直线PQ 的方程为(2)y k x =-，其中0k ≠.设221212(,0),,,,22y y B m P y Q y p p ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立2(2)2y k x y px =-⎧⎨=⎩，消去x 得2240p y y p k --=. 21212242160,,4p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.120k k +=，122212022y yy y m m p p∴+=--，即()()12121202y y y y m y y p+-+=. 4202p p m p k⎛⎫-∴-⋅= ⎪⎝⎭，即2(2)0pm k +⋅=.0p >，2m ∴=-，∴点B 的坐标为(2,0)-. (2)由题意，直线MN 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中tan θk，θ为倾斜角，则sin θ12,sin sin y y AP AQ θθ-∴== 2122224114sin 1y y p AP AQ p k k k θ-⎛⎫∴⋅===+⋅ ⎪⎝⎭+ 设322344,,,22y y M y N y p p⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 联立222p y k x y px⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，消去x 得2220p y y p k --=. 222343424240,,p p p y y y y p k k∴∆=+>+==-.342112MN y p k ⎛⎫∴-==+⋅ ⎪⎝⎭22112||11||||214p MN k AP AQ p k ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭∴==⋅⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭.21．已知函数()sin 2,f x x ax a R =-∈.(1)a ≥12时，求函数f （x ）在区间[0，π]上的最值；(2)若关于x 的不等式f （x ）≤ax cos x 在区间（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围. 答案：(1)最大值为0，最小值为2a π- (2)1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（1）求出函数的导数，由导数小于零，可得函数在[0,]π上单调递减，从而可求出函数的最值，（2）由题意得sin 02cos x ax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，构造函数sin (),(0,)2cos xg x ax x x =-∈+∞+，则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+，设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，利用基本不等式可求得1()1,3h x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，然后分13a ≥和113a π≤<判断()g x 的最大值是否小于零即可 (1)由题意，()cos 2f x x a '=-.21a ≥，∴当[0,]x π∈时， ()0f x '≤恒成立.()f x ∴在[0,]π上单调递减.∴当0x =时，()f x 取得最大值为0；当x π=时，()f x 取得最小值为2a π-. (2)不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，即sin 2cos x ax ax x ≤+在区间(0,)+∞恒成立. 即sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立.∴当2x π=时，有sin2022cos2a πππ-≤+成立，即1a π≥. 设sin (),(0,)2cos xg x ax x x =-∈+∞+.则22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+. 设22cos 1()(2cos )x h x x +=+，令2cos 1,[1,3]t x t =+∈-.当0=t 时，()0h x =；当0t ≠时，2449696t y t t t t==++++，即1()[1,0)0,3h x ⎛⎤∈-⋃ ⎥⎝⎦.1()1,3h x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦.①当13a ≥时，22cos 1()0(2cos )x g x a x '+=-≤+，即sin ()2cos x g x ax x =-+在区间(0,)+∞上单调递减，∴当,()0x ∈+∞时，()(0)0g x g <=，符合题意；②当113a π≤<时，函数2cos 1t x =+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，函数496y t t=++在(0,3)t ∈上单调递增.∴函数22cos 1()(2cos )x g x a x '+=-+在20,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 又12(0)0,033g a g a π''⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭，020,3x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=. 且当()00,,()0x x g x '∈>，即()g x 在()00,x 上单调递增，此时()0(0)0g x g >=，不符合题意. 综上所述，a 的取值范围是1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，利用导数解决恒成立问题，解题的关键是将不等式()cos f x ax x ≤在区间(0,)+∞恒成立，转化为sin 02cos xax x-≤+在区间(0,)+∞恒成立，然后构造函数sin (),(0,)2cos xg x ax x x=-∈+∞+，利用导数求函数的最大值小于零即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos 1sin x y αα=+⎧⎨=+⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ-=(1)求直线l 的直角坐标方程与曲线C 的普通方程；(2)已知点A 的直角坐标为（-1，3），直线l 与曲线C 相交于E ，F 两点，求|AE |·|AF |的值. 答案：(1)20x y +-=，22(1)(1)1x y -+-=； (2)7.（1）消去参数α得曲线C 的普通方程，由题得cos sin 2ρθρθ+=，化成直角坐标方程即得解；（2）先写出直线的参数方程，再利用直线参数方程t 的几何意义结合韦达定理求解. (1)解：由曲线C 的参数方程，消去参数α，得曲线C 的普通方程为22(1)(1)1x y -+-=.由cos()4πρθ-=cos sin θθ+=cos sin 2ρθρθ+=cos ,sin x y ρθρθ==，∴ 直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.(2)解：设直线l的参数方程为1,3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点A 在直线l 上，将直线l 的参数方程代入曲线C的普通方程，整理可得270t ++=（）24740∆=-⨯=>. 设12,t t 是方程（）的两个实数根.12127t t t t ∴+=-=. 12||||7AE AF t t ∴⋅==.23．已知函数()f x =|x -1|+2|x +1|. (1)求不等式()f x <5的解集；(2)设()f x 的最小值为m .若正实数a ，b ，c 满足a +2b +3c =m ，求3a 2+2b 2+c 2的最小值. 答案：(1)42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)617. （1）对x 分三种情况讨论解绝对值不等式得解；（2）先求出2m =，再利用柯西不等式求解. (1)解：①当1≥x 时，()(1)2(1)31f x x x x =-++=+. 由()5f x <，解得43x <.此时413x ≤<；②当11x -<<时，()(1)2(1)3f x x x x =--++=+. 由()5f x <，解得2x <.此时11x -<<； ③当1x ≤-时，()(1)2(1)31f x x x x =---+=--. 由()5f x <，解得2x >-.此时21x -<≤-. 综上，原不等式的解集为42,3⎛⎫- ⎪⎝⎭.(2)（2）由（1）得31,1()3,1131,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩.当1x =-时，()f x 取得最小值2. 2m ∴=.232a b c ∴++=.由柯西不等式得()222213229(23)43a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭.22263217a b c ∴++≥.3c=，即139,,171717a b c ===时，等号成立. 22232a b c ∴++的最小值为617.。

成都7中高2023届高三一诊模拟考试数学试题(理科)及参考答案

高2023届高三一诊模拟考试数学试题（理科）考试时间：120分钟总分：150分一．选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上．）1．已知集合{}2Z 230A x x x =∈+-≤，{|1}B x x =≥-，则集合A B ⋂的元素个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．42．若复数z 满足(1)i 1i z -⋅=-，则z 的虚部是（）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．“17m -<<”是“方程22117x y m m+=+-表示椭圆”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4.已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么原△ABC 的面积是（）AB ．CD 5．已知圆台形的花盆的上、下底面的直径分别为8和6，该花盆的侧面展开图的扇环所对的圆心角为2π，则母线长为（） A ．4 B ．8 C ．10 D ．166．一种药品在病人血液中的量不低于1500mg 时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg ，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg 的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（lg20.301≈，结果精确到0.1）（）A ．2.7B ．2.9C ．3.1D ．3.37．如图所示的程序框图中，若输出的函数值()f x 在区间[2,2]-内，则输入的实数x 的取值范围是（）A ．[2,2]-B ．[2,4]-C ．[1,2]-D ．[1,4]-15．为了测量成都七中曦园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1百米的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75方向上，则,C D 之间的距离为______百米.16. 已知()2cos15,2sin15A ︒︒，()0,0O ，且2OB OC ==,则AB AC ⋅的取值范围是_________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答、第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分，每题12分.17.已知锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别记作a ，b ，c ，满足6a =，5b =，且sin sin2A B =．(1)求边c ；(2)若点M ，N 分别在边AB 和AC 上，且MN 将△ABC 分成面积相等的两部分，求MN 的最小值．18. 新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病毒。

2020届四川省成都市一诊数学(理科)试卷及答案

90) ，[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 ( )
第 6页（共 19页）
A．72.5
B．75
C．77.5
D．80
【解答】解：由频率分布直方图得：
[50 ， 70) 的频率为： (0.010 0.030) 10 0.4 ，
[70 ， 80) 的频率为： 0.040 10 0.4 ，
③ x 的取值范围为 (0, 4 2 2) ；
④三棱锥 P ABC 体积的最大值为 1 ． 3
第 2页（共 19页）
则正确的结论的个数为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上．
x y 40
13．（5
分）已知实数
x
，
B． 5 3
C． 5 2
D． 5 2
4．（5 分）某校随机抽取 100 名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这 l00 名
同学的得分都在[50 ，100] 内，按得分分成 5 组：[50 ， 60) ，[60 ， 70) ，[70 ，80) ，[80 ，
90) ，[90 ，100] ，得到如图所示的频率分布直方图则这 100 名同学的得分的中位数为 ( )
2020 年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）若复数 z1 与 z2 3 i(i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则 z1 (
)
A． 3i
B． 3 i

四川省成都市高2021级第一次诊断性测试理科数学试题及答案

四川省成都市高2021级第一次诊断性测试理科数学试题及答案数学（理科）注意事项：全卷满分为150分，完成时刻为120分钟。

参考公式：假如事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式 P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ) S ＝4πR 2假如事件A 、B 相互独立，那么其中R 表示球的半径 P (A •B )＝P (A )•P (B )球的体积公式假如事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率334R V π=k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共有12个小题，每小题5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的指定位置上。

1．lg8＋3lg5的值为(A) －3 (B) －1 (C) 1 (D) 3 2．若0>>b a ，则下列不等式中总成立的是 (A)11++>a b a b (B) b b a a 11+>+(C) a b b a 11+>+(D) bab a b a >++22 3．设1:-<x p 或 2:,1-<>x q x 或1>x ，则p ⌝是q ⌝的(A) 充分但不必要条件 (B) 必要但不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 4．已知)(x f 是R 上的增函数，若令)1()1()(x f x f x F +--=，则)(x F 是R 上的 (A) 增函数 (B) 减函数(C) 先减后增的函数 (D) 先增后减的函数5．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列四个命题：①;//m l ⊥⇒βα②;//m l ⇒⊥βα③;//βα⊥⇒m l ④βα//⇒⊥m l 。

其中真命题是(A) ①② (B) ③④ (C) ②④ (D) ①③6．将函数x y 2sin =的图象按向量平移后得到函数)32sin(π-=x y 的图象，则向量能够是(A) )0,3(π (B) )0,6(π (C) )0,3(π- (D) )0,6(π-7．掷一枚硬币，若显现正面记1分，显现反面记2分，则恰好得3分的概率为(A) 85(B) 18 (C) 14 (D) 128．已知)1()(+--=a x xa x f ，且)1(1--x f 的图象的对称中心是(0,3)，则a 的值为(A) 2 (B) 2 (C) 3 (D) 39．设向量)25sin ,25(cos =，)20cos ,20(sin =，若t 是实数，且b t a u +=，则||的最小值为(A) 2 (B) 1 (C)22 (D) 1210．有A 、B 、C 、D 、E 、F6个集装箱，预备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。

高2020届成都“一诊” 理科数学试题(含解析)

高2020届成都“一诊”理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1.若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z =( ) A. 3i -- B. 3i -+ C. 3i + D. 3i -【答案】B 【详解】∵复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z 1＝3i -+．故选：B ．2.已知集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，若{}1,0,1,2A B ⋃=-，则实数m 的值为( ) A. 1-或0 B. 0或1 C. 1-或2 D. 1或2 【答案】D 【详解】集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，且{}1,0,1,2A B ⋃=-，所以1m =或2m =.故选：D3.若sin 5cos(2)θπθ=-，则tan 2θ=( ) A. 5-B.5 C. 5-D.5 【答案】C 【详解】sin 5cos(2)θπθ=-，∴sin 5cos θθ=，得tan 5θ=，222tan 255tan 21tan 15θθθ∴===---.故选：C4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80 【答案】A【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，∴中位数为：0.50.01100.0310701072.50.0410-⨯-⨯+⨯=⨯.故选：A5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且533a a =，则95S S =( ) A.95 B. 59 C. 53D. 275【答案】D【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴95S S ＝19159252a a a a +⨯+⨯＝5395a a ，且533a a =，∴95S S ＝95×3＝275.故选：D ．6.已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( ) A. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m n B. 若//m α，//n β，且αβ⊥，则//m n C. 若m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥ D. 若m α⊥，//n β，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C【详解】由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误；由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误；由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误．故选：C ．7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为( ) A. 25 B. 25-C. 5D. 5-【答案】B【详解】61()x x -的展开式的通项公式为：T r +1＝r 6C （x ）6﹣r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 6C （x ）6﹣r ()-r x -=r6C ()1r - ()6-2r x ．令6﹣2r ＝﹣2，或6﹣2r ＝0，分别解得r ＝4，或r ＝3．所以261(2)()x x x+-的展开式的常数项为()44611C ⨯-+2×()33611C ⨯-＝154025.-=-故选：B8.将函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为( ) A. ()sin(2)6f x x π=+ B. ()sin(2)3f x x π=-C. ()sin(8)6f x x π=+D. ()sin(8)3f x x π=-【答案】A【详解】函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f （x ）＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象. 故选：A ．9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点若5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( ) A. 3 B. 32 C. 5 D. 52【答案】B【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为：1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由抛物线的性质得，1211=5MF NF x x +=+++，MN ∴中点的横坐标为32，线段MN 的中点到y 轴的距离为：32. 故选：B ．10.已知122a =，133b =，3ln2c =，则( ) A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >> 【答案】C【详解】∵122a =2=＝68，且133b ==33＝69，∴1a b <<，3lnln 12e <=．∴b a c >>．故选：C ．11.已知定义在R 上的数()f x 满足112n n n b b -+-=，当2x ≤时()(1)1xf x x e =--.若关于x 的方程()210f x kx k e -+-+=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A. (2,0)(2,)-+∞B. (2,0)(0,2)-C. (,0)(,)e e -⋃+∞D. (,0)(0,)e e -⋃【答案】D【详解】由题意，当x ≤2时，f （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣1．f ′（x ）＝xe x ．①令f ′（x ）＝0，解得x ＝0；②令f ′（x ）＜0，解得x ＜0；③令f ′（x ）＞0，解得0＜x ≤2． ∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x ＝0处取得极小值f （0）＝﹣2．且f （1）＝﹣1；x →﹣∞，f （x ）→0．又∵函数f （x ）在R 上满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），∴函数f （x ）的图象关于x ＝2对称． ∴函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示：关于x 的方程f （x ）﹣kx +2k ﹣e +1＝0可转化为f （x ）＝k （x ﹣2）+e ﹣1．而一次函数y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1很明显是恒过定点（2，e ﹣1）．结合图象，当k ＝0时，有两个交点，不符合题意，当k ＝e 时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y ＝f （x ）与y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1正好相切． ∴当0＜k ＜e 时，有三个交点．同理可得当﹣e ＜k ＜0时，也有三个交点．实数k 的取值范围为：（﹣e ，0）∪（0，e ）．故选：D ．12.如图，在边长为2的正方形123APP P 中，线段BC 的端点,B C 分别在边12PP 、23PP 上滑动，且22P B P C x==，现将1APB∆，3AP C∆分别沿AB，AC折起使点13,P P重合，重合后记为点P，得到三被锥P ABC-.现有以下结论：①AP⊥平面PBC；②当,B C分别为12PP、23P P的中点时，三棱锥P ABC-的外接球的表面积为6π；③x的取值范围为(0,422)-；④三棱锥P ABC-体积的最大值为13.则正确的结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【详解】由题意得，折叠成的三棱锥P﹣ABC的三条侧棱满足PA⊥PB、PA⊥PC，在①中，由PA⊥PB，PA⊥PC，且PB PC P=，所以AP⊥平面PBC成立，故①正确；在②中，当,B C分别为12PP、23P P的中点时，三棱锥P﹣ABC的三条侧棱两两垂直，三棱锥P﹣ABC的外接球直径等于以PA、PB、PC为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP＝2、BP＝CP＝1x=，得外接球的半径R2246x x++=，所以外接球的表面积为2264462S Rπππ⎛==⨯=⎝⎭，故②正确；在③中，正方形123APP P的边长为2，所以(0,2)x∈，2BC x=，312PC PB PB PC x====-，在CPB∆中，由边长关系得2x-+22x x->，解得(0,42)x∈-，故③正确；在④中，正方形123APP P的边长为2，且22P B P C x==，则2PB PC x==-，所以()()222111sin223263P ABC A PBCxV V CP BP CPB AP x---==⨯⨯⨯∠⨯≤⨯-⨯=在(0,42)-上递减，无最大值，故④错误.故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数,x y满足约束条件40220x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y=+的最大值为_______.【答案】6【详解】作出实数x，y满足约束条件40220x yx yy+-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y=+得y＝﹣12x+12z，平移直线y＝﹣12x+12z，由图象可知当直线y＝﹣12x+12z经过点A时，直线y＝﹣12x+12z的截距最大，此时z最大．由40220x yx y+-=⎧⎨-+=⎩，解得A（2，2），代入目标函数z＝x+2y得z＝2×2+2＝6.故答案：6．14.设正项等比数列{}n a满足481a=，2336a a+=，则na=_______.【答案】3n【详解】在正项等比数列{}n a中，481a=，2336a a+=，得312118136a qa q a q⎧=⎨+=⎩，解得133aq=⎧⎨=⎩，∴a n＝11na q-⋅＝3•3n﹣1＝3n.故答案为：3n15.已知平面向量a，b满足||2a=，||3b =，且()b a b⊥-，则向量a与b的夹角的大小为_______.【答案】6π【详解】∵平面向量a，b满足||2a=，||3b=，且()b a b⊥-，∴2()0b a b b a b⋅-=⋅-=，∴2b a b⋅=．设向量a 与b 的夹角的大小为θ，则 2•3•cosθ＝23，求得 cosθ＝32，∵[]0,θπ∈ ，故θ＝6π.故答案为：6π．16.已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于不同的两点,A B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||AF BF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______. 【答案】3【详解】设|BF |＝m ，则|||3||3AF BF m ==，取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，可得|A 'F |＝|BF |＝m ，设A 在第一象限，可得3m ﹣m ＝2a ，即m ＝a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b ）2+（2c ）2＝2（a 2+9a 2），化为c 2＝3a 2，则e ＝ca＝3．故答案为：3．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22223b c a +-=. （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆223sin B C =，求ABC ∆的周长. 【详解】（1）∵22223b c a +-=，∴由余弦定理可得2bc cos A ＝423bc ，∴cos A ＝223， ∴在△ABC 中，sin A 21cos A -＝13．（2）∵△ABC ，即12bc sin A ＝16bc ，∴bc ＝，sin B ＝3sin C b ＝3c ，∴b ＝，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝6，a ∴=2abc ++=.18.某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望.附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【详解】（1）由题意得，2×2列联表如下：22100(20204020)25= 2.778406040609K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）由题意得，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，373107(0)24C P X C ===；123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 333101(3)120C P X C ===.所以X 的分布列为X 0 1 2 3P724 2140 740 112021719()123.404012010E X ∴=⨯+⨯+⨯=19.如图，在四棱锥P ABCD - 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAE ；（2）若2AB =，1PA =，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC ＝60°，所以△ABC 为正三角形，因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ，又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE ＝A ，AP ，AE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ；（2）因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ，又因为AB ＝2，PA ＝1，所以PB 3，由（1）得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB ＝PC 3，EC ＝1，所以PE 2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，,,PE PQ PA 的方向分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P （0，0，0），A （0，0，1），B （2，﹣1，0），C （2，1，0），D （0，2，1），设平面BAP 的一个法向量m ＝（x ，y ，z ），又PA ＝（0，0，1），PB ＝（2，﹣1，0），由00m PA m PB ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2x ﹣y ＝0，z ＝0，令x ＝1，则m ＝（1，2，0），设平面CDP 的一个法向量n ＝（a ，b ，c ），又PC ＝（2，1，0），PD ＝（0，2，1），由00n PC n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2a +b ＝0，2y +z ＝0，令a ＝1，则n ＝（1，﹣2，22），所以33cos ,33311m n ==-⋅，即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为33．20.已知函数()(1)ln af x a x x x=-++，.a R ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：(1,)x ∀∈+∞，2().f x a a >--【详解】（1）22221(1)(1)()()1a a x a x a x x a f x x x x x'-+---+=+-==,因为0,x a R >∈，当0a ≥时，0x a +>，函数()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，即01a <-<，函数()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，22(1)()0x f x x'-=，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增；当1a <-时，即1a ->，函数()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增；综上：当0a ≥时，()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当1a <-时，()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增.（2）当1a <-时，由（1）可得函数()f x 在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增，∴函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，要证：不等式2().f x a a >--成立，即证：2(1)ln()1a a a a a --<----，即证：()2(1)ln()(1)1l 01n a a a a a a ⎡⎤+--=-++->⎣⎦-，1a <-，即证：()1ln 0a a ++-<，令1(1)()ln 1(1),()10x h x x x x h x x x'--=-+≥=-=≤，则函数()h x 在[1,)+∞内单调递减，()(1)0h x h ≤=，因1,1a a <-∴->，则()ln()10h a a a -=-++<，即当1a <-时，ln()1a a -<--成立则当1a <-时，2(1,),()x f x a a ∀∈+∞>--成立.21.已知椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：2x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为D.（1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围；（2）证明直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标.【详解】（1）由题F （1,0），设直线AB ：()()11221(),,,,x my m R A x y B x y =+∈，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()222210m y my ++-=，因为()224420m m ∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++，则1z y y-=== 所以四边形OAHB 的面积12121||2SOH y y y y =⋅-=-=， 2,1,11t t S t t t=∴∴==++因为12t t+（当且仅当t =1即m =0时取等号），所以02S <，所以四边形OAHB的面积取值范围为；（2）()()221,,2,B x y D y ，所以直线BD 的斜率1222y y k x -=-，所以直线BD 的方程为1212(2)2y y y y x x --=--，令y =0，可得212121212122,x y zy my y y y x y y y y -+-==--① 由（1）可得121212122221,,222m y y y y y y my y m m +=-=-∴+=++ 化简①可得()()112121212123222z s y y y y y y x y y y y ++--===-- 则直线BD 过定点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 22.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是曲线1C ：22(2)4x y +-=上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90︒得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点(3,)2M π，射线(0)6πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别相交于异于极点O 的,A B 两点，求MAB ∆的面积.【详解】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C 2：22(2)4x y -+=， ∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，124sincos 1).66AB ππρρ∴=-=-= 又点(3,)2M π到射线(0)6πθρ=≥的距离为3sin 3h π== MAB ∴∆的面积12S AB h =⋅=23.已知函数() 3.f x x =-（1）解不等式()421f x x ≥-+；（2）若142(0,0)m n m n+=>>，求证：3().2m n x f x +≥+- 【详解】（1）原不等式化为3421x x -≥-+，即213 4.x x ++-≥ ①12x ≤-时，不等式化为2134x x ---+≥，解得23x ≤-； ②132x -<<时，不等式化为2134x x +-+≥，解得0x ≥，03x ∴≤<； ③3x ≥时，不等式化为2134x x ++-≥，解得2x ≥，3x ∴≥. 综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3-∞-⋃+∞.（2）() 3.f x x =-3339()3(3)2222x f x x x x x ∴+-=+--≤+--=，当且仅当3()(3)02x x +-≥且332x x +≥-时取等号.又142(0,0)m n m n +=>>，1141419()()(5)(52222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=，当且仅当4n m m n=时取等号.∴3().2m n x f x +≥+-。

成都一诊理科数学成都市高中毕业班第一次诊断性检测数学(理科数学含答案)

统计信息汽车行驶路线
公路 1
不堵车的情况下到达
城市乙所需时间（天）
2
堵车的情况下到达城市乙所需时间（天）
3
堵车的
运费
概率（万元）
1 10
1.6
公路 2
14Biblioteka 1 20.8（ 1）记汽车走公路 1 时果园获得的毛利润为（单位：万元），求的分布列和数学期望 E ；
（ 2）假设你是果园的决策者，你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多
g[ g( 1)] g(1) f 1(1) 1 。解题时要注意对
关系式 x
f
y f (x)
f1
x
f 1( y) 的本质的理解，避免求反函数表达式。
16．定义集合 A 与 B 的差集 A B { x | x A, 但 x B} 。记“从集合 A 中任取一个元素 x, x A B ”为事件 E ，“从集合 A 中任取一个元素 x, x A I B ”为事件 F ； P(E) 为事件 E 发生的概率， P(F ) 为事件 F 发生的概率。当 a , b Z ，且 a 1, b ≥1 时，设集合 A { x Z | a x 0} ，集合 B { x Z | b x b} 。给出下列判断：
成都市 2009 届高中毕业班第一次诊断性检测
数学（理）详解
注：学生试卷敬请各位战友自己整理
一、选择题 1．函数 f ( x ) sin x cos x 的最小正周期是
A．
B．
C．
4
2
歉奉！
D． 2
简解：选 D。考查和角公式（辅助角公式）与三角函数的周期性，
f ( x ) sin x cosx 2 sin( x ) 。

2021年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)

2021年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合A={x|x2−x−2≤0}，集合B为整数集，则A∩B=()A. {−1,0，1，2}B. {−2,−1,0，1}C. {0,1}D. {−1,0}2.已知i是虚数单位，设z=1−i1+i，则复数z−+2对应的点位于复平面()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.抛物线y=2x2的焦点坐标为()A. (1,0)B. (14,0) C. (0,14) D. (0,18)4.已知a=log0.22，b=0.32，c=20.3，则()A. c<a<bB. a<c<bC. a<b<cD. b<c<a5.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是()A. 若m//α，n//α，则m//nB. 若α⊥γ，β⊥γ，则α//βC. 若m//α，m//β，则α//βD. 若m⊥α，n⊥α，则m//n6.若tan(α+π4)=−3，则sin2α=()A. 45B. 1 C. 2 D. −357.设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2xB. y=4x−2C. y=2xD. y=−4x+28.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则此函数的解析式为()A. y=sin(2x+π2) B. y=sin(2x+π4)C. y=sin(4x+π2) D. y=sin(4x+π4)9.下列命题中的真命题有()A. 已知a ，b 实数，则“(13)a <(13)b ”是“log 3a >log 3b ”的充分而不必要条件 B. 已知命题p ：∀x >0，总有(x +1)e x >1，则￢p ：∃x 0≤0，使得(x 0+1)e x ≤1 C. 设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m//β”是“α//β”的充要条件D. “∃x 0∈R ，2x 0>x 02”的否定为“∀x ∈R ，2x ≤x 2” 10. 如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为( )A. 16−2πB. 16+πC. 16−πD. 16+2π11. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓.荡胸生层云，决毗入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图为某工程队将A 到D 修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A,B ，C ，D 在同一水平面内)，则A ，D 间的距离为( )A. √65−12√3kmB. √65−12√13kmC. √35−12√3kmD. √35−12√13km12. 已知双曲线x 24−y 25=1，O 为坐标原点，P ，Q 为双曲线上两动点，且OP ⊥OQ ，则△POQ 面积的最小值为( )A. 20B. 15C. 30D. 25二、单空题（本大题共4小题，共14.0分）13.已知向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，a⃗⋅(2a⃗−b⃗ )=0，则k等于______ ．14.总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为______．7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．)8的展开式中x2y2项的系数是______15.(1+2x−y216.函数f(x)=e x−1−e−x+1+asinπx(x∈R,a>0)存在唯一的零点，则实数a的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知等比数列{a n}的公比q>1，且a1，a3的等差中项为10，a2=8．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)设b n=n，求数列{b n}的前n项和S n．a n18.为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2,3)，[3,4)，[4,5)，…，[8,9)，[9,10)(单位：小时)的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图(如图)．(Ⅰ)由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5,6)的概率；(Ⅱ)为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2,3)和[8,9)的人中任选3人，求其中在[8,9)的人数X的分布列和数学期望；(Ⅲ)假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？(只需写出结论)19.如图，四棱锥P−ABCD中，AB//DC，∠ADC=π2，AB=AD=12CD=2，PD=PB=√6，PD⊥BC．(1)求证：平面PBD⊥平面PBC；(2)在线段PC上存在点M，使得CMCP =23，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．20. 已知F 1，F 2分别为椭圆C 1：y 2a2+x 2b2=1(a >b >0)，且焦距是2，离心率是12． (1)求椭圆C 1的方程；(2)不平行于坐标轴的直线与圆x 2+(y +1)2=1相切，且交椭圆C 1于A ，B ，若椭圆C 1上一点P 满足OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数λ2的取值范围．21. 已知函数f(x)=2x 3+3(1+m)x 2+6mx(x ∈R)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(1)=5，函数g(x)=a(lnx +1)−f(x)x 2≤0在(1,+∞)上恒成立，求整数a 的最大值．22. 已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2+12ty =1−12t(t 为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cos(θ−π4)． (1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)已知P(2,1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|1|PA|−1|PB||的值．|+|x−a|．23.设函数f(x)=|x+1a(1)若f(2)>a+1，求a的取值范围；(2)若对∀a∈(0,+∞)，f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A={x|−1≤x≤2}，B=Z，∴A∩B={−1,0，1，2}．故选：A．计算集合A中x的取值范围，再由交集的概念，计算可得．本题主要考查集合的交集运算，属于容易题．2.【答案】A【解析】解：∵z=1−i1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−2i2=−i，∴z−+2=i+2=2+i，则z−+2对应点为(2,1)，在第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简z，进一步求出z−+2的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】D【解析】解：整理抛物线方程得x2=12y∴焦点在y轴，p=14∴焦点坐标为(0,18)故选：D．先把抛物线整理标准方程，进而可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标．本题主要考查了抛物线的简单性质．求抛物线的焦点时，注意抛物线焦点所在的位置，以及抛物线的开口方向．4.【答案】C【解析】解：∵a=log0.22<log0.21<0，∴a<0，b=0.32=0.09，∵c=20.3>20=1，∴c>1，∴c>b>a，故选：C．利用指数函数、对数函数的单调性，借助中间量求解即可．本题考查了指数函数、对数函数的单调性，是基础题．5.【答案】D【解析】解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；B、α，β垂直于同一个平面γ，故α，β可能相交，可能平行，故B错误；C、α，β平行于同一条直线m，故α，β可能相交，可能平行，故C错误；D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．故选：D．通过举反例可得A、B、C不正确，根据垂直于同一个平面的两条直线平行，可得D正确，从而得出结论．本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况，属于中档题．6.【答案】A【解析】解：由tan(α+π4)=−3，得tanα+11−tanα=−3，解得tanα=2，所以sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=2×21+22=45．故选：A．由已知利用两角和的正切公式可求tanα，进而根据二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系式化简求解．本题考查同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式，二倍角的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，是基础题．7.【答案】B【解析】解：函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax，若f(x)为奇函数，可得a=1，所以函数f(x)=x3+x，可得f′(x)=3x2+1，f(1)=2；曲线y =f(x)在点(1,2)处的切线的斜率为：4，则曲线y =f(x)在点(1,2)处的切线方程为：y −2=4(x −1).即y =4x −2．故选：B ．利用函数的奇偶性求出a ，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：由函数的图象可得A =1，T2=πω=7π8−3π8，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×3π8+φ=π，求得φ=π4，故有函数y =sin(2x +π4)，故选：B ．由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：对于A ：已知a ，b 实数，则“(13)a <(13)b ”是“log 3a >log 3b ”的必要不充分条件，故A 错误；对于B ：已知命题p ：∀x >0，总有(x +1)e x >1，则￢p ：∃x 0>0，使得(x 0+1)e x 0≤1，故B 错误；对于C ：设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m ⊂α.“m//β”是“α//β”的必要不充分条件，故C 错误；对于D ：“∃x 0∈R ，2x 0>x 02”的否定为“∀x ∈R ，2x ≤x 2”，故D 正确．故选：D ．直接利用充分条件和必要条件，存在性问题和恒成立问题的应用，面面平行的判定和性质，命题的否定的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，存在性问题和恒成立问题的应用，面面平行的判定和性质，命题的否定，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个长为2，宽为2，高为1的长方体，挖去一个半径为1的半球．故几何体的表面积为S=4×2×1+2×2+4−π⋅12+2⋅π⋅12=16+π．故选：B．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体地表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：如图所示，连接BD，在△BCD中，∵BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cos∠BCD=9+25−2×3×5×(−12)=49，∴BD=7，又∵CDsin∠DBC =BDsin∠BCD，即3sin∠DBC=√32，解得：sin∠DBC=3√314，∵∠ABD=∠ABC−∠DBC，∴cos∠ABD=cos(90°−∠DBC)=sin∠DBC=3√314，在△ABD中，AD2=AB2+BD2−2AB⋅BD⋅cos∠ABD=16+49−2×4×7×3√314=65−12√3，即A，D间的距离为√65−12√3km，故选：A．连接BD，在△BCD中，利用余弦定理求出BD的长，用正弦定理求出sin∠DBC，进而可得cos∠ABD，再在△ABD 中，利用余弦定理求出AD即可．本题考查正弦定理和余弦定理的应用，合理利用图形画出辅助线是解题的关键，考查学生数形结合与逻辑推理的能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：设直线OP的方程为y=kx，k>0，且P在第一象限内，代入双曲线x24−y25=1，可得P(√205−4k2,k√205−4k2)，由OP⊥OQ，可将上面中的k换为−1k，可得Q(k√205k2−4,−√205k2−4)，所以△POQ面积S=12|OP|⋅|OQ|=12√1+k2⋅√205−4k2⋅√1+k2⋅√205k2−4=10(1+k2)√1(5−4k2)(5k2−4)≥10(1+k2)⋅15−4k2+5k2−42=20，当且仅当5−4k2=5k2−4，即k=1时，上式取得等号，所以△POQ面积的最小值为20．故选：A．设直线OP的方程为y=kx，k>0，且P在第一象限内，与双曲线的方程联立，解得P的坐标，再将k换为−1k，可得Q的坐标，再由三角形的面积公式和基本不等式，可得所求最小值．本题考查双曲线的方程和性质，以及直线和双曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．13.【答案】12【解析】解：∵a⃗=(2,1)，b⃗ =(−1,k)，∴2a⃗−b⃗ =2(2,1)−(−1,k)=(5,2−k)，又∵a⃗⋅(2a⃗−b⃗ )=0，∴2×5+1×(2−k)=0，解得k=12故答案为：12由向量的坐标运算可得2a⃗−b⃗ 的坐标，由数量积的运算可得．本题考查平面向量数量积的运算，属基础题．14.【答案】01【解析】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01；其中第二个和第四个都是02，重复，舍去；可知对应的数值为08，02，14，07，01，04；则第5个个体的编号为01．故答案为：01．根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．本题主要考查简单随机抽样的应用问题，正确理解随机数法是解题的关键，是基础题．15.【答案】420【解析】解：∵(1+2x−y2)8表示8个因式(1+2x−y2)的乘积，要得到含x2y2的项，需其中有2个因式取2x，2个因式取−y2，其余的因式都取1．故展开式中x2y2项的系数为C82⋅22⋅C62⋅(12)2⋅C44=420，故答案为：420．由题意利用乘方的意义，组合数的计算公式，求得结果．本题主要考查乘方的意义，组合的应用，属于中档题．16.【答案】(0,2π]【解析】解：函数f(x)=e x−1−e−x+1+asinπx(x∈R,a>0)存在唯一的零点，等价于函数φ(x)=asinπx与函数g(x)=e1−x−e x−1只有唯一一个交点，∵φ(1)=0，g(1)=0，∴函数φ(x)=asinπx与函数g(x)=e1−x−e x−1唯一交点为(1,0)，又∵g′(x)=−e1−x−e x−1，且e1−x>0，e x−1>0，∴g′(x)=−e1−x−e x−1在R上恒小于零，即g(x)=e1−x−e x−1在R上为单调递减函数，又∵φ(x)=asinπx(a>0)是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，∴可得函数φ(x)=asinπx与函数g(x)=e1−x−e x−1的大致图象如图：∴要使函数φ(x)=asinπx与函数g(x)=e1−x−e x−1只有唯一一个交点，则φ′(1)≥g′(1)，∵φ′(1)=πacosπ=−πa，g′(1)=−e1−1−e1−1=−2，∴−πa≥−2，解得a≤2π，又∵a>0，∴实数a的范围为(0,2π].故答案为：(0,2π].由题意可知函数φ(x)=asinπx 与函数g(x)=e 1−x −e x−1只有唯一一个交点，由φ(1)=0，g(1)=0，可得两函数唯一交点为(1,0)，利用导数得到两个函数的单调性，再根据单调性得到φ(x)与g(x)的大致图象，从图形上可知要使函数φ(x)=asinπx 与函数g(x)=e 1−x −e x−2只有唯一一个交点，则φ′(1)≥g′(1)，然后求出实数a 的取值范围．本题主要考查了零点问题，以及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是把唯一零点转化为两个函数的交点问题，通过图象进行分析研究，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)由题意可得：{a 1(1+q 2)=20a 1q =8， ∴2q 2−5q +2=0，∵q >1，∴{a 1=4q =2，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n+1(n ∈N ∗)． (Ⅱ) b n =n 2n+1，∴S n =122+223+324+⋯+n 2n+1，12S n=123+224+⋯+n−12n+1+n 2n+2，上述两式相减可得12S n =122+123+124+⋯12n+1−n 2n+2∴S n =121+122+123+⋯12n −n 2n+1=12−12n+112−n 2n+1=1−n+22n+1．【解析】(Ⅰ)利用已知条件求出首项与公差，然后求数列{a n }的通项公式；(Ⅱ)化简b n =n a n ，利用错位相减法求数列{b n }的前n 项和S n ．本题考查数列的递推关系式，数列求和的方法，考查计算能力． 18.【答案】解：(Ⅰ)因为(0.05+0.1+0.18+a +0.32+0.1+0.03+0.02)×1=1，所以a =0.2．因为0.2×1×100=20，所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5,6)的学生有20人．所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5,6)的概率为20100=0.2．(Ⅱ)由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2,3)和[8,9)的人分别为5人和3人．所以X 的所有可能取值为0，1，2，3．P(X =0)=C 53C 83=528，P(X =1)=C 52C 31C 83=1528，P(X=2)=C51C32C83=1556，P(X=3)=C33C83=156．所以X的分布列为：X012 3P 52815281556156所以数学期望E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．(III)样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5,6)．【解析】(Ⅰ)由频率和为1，可求出a的值，然后结合频率/组距、组距和样本总量，求出该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5,6)的学生人数，即可求得对应的概率；(Ⅱ)由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2,3)和[8,9)的人分别为5人和3人，所以X 的所有可能取值为0，1，2，3.然后根据超几何分布求概率的方式逐一求出每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望；(III)根据平均数的含义进行估量即可得解．本题考查频率分布直方图、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．19.【答案】(1)证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB//DC，∠ADC=π2，AB=AD=2，所以BD=2√2，又CD=4，∠BDC=45°，由余弦定理可得，BC=2√2，所以CD2=BD2+BC2，故BC⊥BD，又因为BC⊥PD，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，所以BC⊥平面PBD，又因为BC⊂平面PBC，所以平面PBD⊥平面PBC；(2)设E为BD的中点，连结PE，因为PB=PD=√6，所以PE⊥BD，PE=2，由(1)可得平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD=BD，所以PE⊥平面ABCD，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,4，0)，D(2,0，0)，P(1,1，2)，因为CM CP =23，所以CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以M(43,2,43)，平面PBD 的一个法向量为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，设平面ABM 的法向量为n⃗ =(x,y,z)，因为A⃗ B =(0,2,0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,2,43)，则有{n ⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2y =043x +2y +43z =0，令x =1，则y =0，z =−1，故n⃗ =(1,0,−1)，所以|cos <BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=2√2×√2=12，故平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角的大小为π3．【解析】(1)在直角梯形ABCD 中，由边角关系结合余弦定理求得BD ，BC 的长，由勾股定理可得BC ⊥BD ，又BC ⊥PD ，可证明BC ⊥平面PBD ，再由面面垂直的判定定理即可证明；(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系求解即可．本题考查了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用以及二面角的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题． 20.【答案】解：(1)由已知可得2c =2，且c a =12，所以a =2，c =1，则b 2=a 2−c 2=3，所以椭圆C 1的方程为y 24+x 23=1；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(x 0,y 0)，由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λOP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x 1+x 2=λx 0，y 1+y 2=λy 0，且y 024+x 023=1…①又因为直线y =k(x +t)，(kt ≠0)与圆相切，所以√1+k 2=1，即k =2t 1−t 2(t ≠±1,t ≠0)…②联立方程{y =k(x +t)y 24+x 23=1，消去y 整理可得：(4+3k 2)x 2+6k 2tx +3k 2t 2−12=0，所以x 1+x 2=−6k 2t 4+3k 2,x 1x 2=3k 2t 2−124+3k 2，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2kt =8kt 4+3k 2，所以P(−6k 2t λ(4+3k 2),8kt λ(4+3k 2))，代入①得λ2=4k 2t 24+3k 2…③，②代入③得λ2=4(1t 2)2+1t 2+1，t ≠±1，t ≠0，因为(1t 2)2+1t 2+1>1，(1t 2)2+1t 2+1≠3，所以λ2∈(0,43)∪(43,4)∪(43,4)．【解析】(1)由已知建立关系式，即可求出a ，c 的值，由此即可求解；(2)设出点A ，B ，P 的坐标，利用已知向量关系得出A ，B ，P 的坐标关系，再利用直线与圆相切建立等式关系，然后联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求出点P 的坐标，代入椭圆方程，再利用函数性质即可求解．本题考查了椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到向量的坐标运算性质，考查了学生的运算能力，属于中档题． 21.【答案】解：(1)f′(x)=6x 2+6(1+m)x +6m =6(x +1)(x +m)，①当m =1时，f′(x)≥0，f(x)在R 上单调递增；②当m >1时，−m <−1，令f′(x)=0⇒x =−m ，或x =−1，则有f′(x)>0⇒x <−m 或x >−1，此时函数f(x)为单调递增；f′(x)<0⇒−m <x <−1，此时函数f(x)单调递减；③当m <1时，−m >−1，f′(x)=0⇒x =−m ，或x =−1，则有f′(x)>0⇒x <−1或x >−m ，此时函数f(x)为单调递增；f′(x)<0⇒−1<x <−m ，此时函数f(x)单调递减；综上，m =1时，f(x)在R 上单调递增；m >1时，f(x)在(−∞,−m)和(−1,+∞)上单调递增，在(−m,−1)上单调递减；m <1时，f(x)在(−∞,−1)和(−m,+∞)上单调递增，在(−1,−m)上单调递减．(2)由f(1)=2+3(1+m)+6m =5得，m =0，所以f(x)=2x 3+3x 2，又因为当x ∈(1,+∞)时，lnx +1>0，所以g(x)=a(lnx +1)−f(x)x 2≤0在(1,+∞)上恒成立，即a ≤f(x)x 2⋅(lnx+1)=2x+3lnx+1在(1,+∞)上恒成立，此时，令ℎ(x)=2x+3lnx+1(x ∈(1,+∞))，则有a ≤ℎ(x)min ，∵ℎ′( )x =2(lnx+1)−(2x+3)⋅1x (lnx+1)2=2lnx−3x (lnx+1)2，令F(x)=2lnx −3x (x >1)，则有F′(x)=2x +3x 2=2x+3x 2>0，即得F(x)在(1,+∞)上单调递增，又因为F(2)=2ln2−32<0，F(e)=2−3e >0，故可得ℎ′(x)=0在(1,+∞)上有且只有一个实根x 0，且2<x 0<e ，此时2lnx 0=3x 0，所以当1<x <x 0时，ℎ′(x)<0，此时函数ℎ(x)单调递减，当x >x 0时，ℎ′(x)>0，此时函数ℎ(x)单调递增，因此可得ℎ(x)min =ℎ(x 0)=2x 0+3lnx 0+1=2x 0+332x 0+1=2x 0<2e ．从而可得a <2x 0<2e ，所以：当a =5时，不等式g(x)≤0不恒成立；当a =4时，不等式g(x)≤0恒成立；故有实数a 的最大值为4．【解析】先求出导数，然后讨论m 的取值，判断函数的单调性；根据题意确定m 的值，然后将恒成立问题转化为不等式a ≤f(x)x 2⋅(lnx+1)=2x+3lnx+1，构造函数ℎ(x)=2x+3lnx+1(x ∈(1,+∞))，判断函数的最小值，即可得出结论．本题考查导数法求解函数的单调性，以及转化法在不等式恒成立问题中的使用，属于中档题．22.【答案】解：(1)由{x =2+12t y =1−12t(t 为参数)，消去参数t ，可得直线l 的普通方程为x +y −3=0，由ρ=4cos(θ−π4)⇒ρ=2√2cosθ+2√2sinθ，即ρ2=2√2ρcosθ+2√2ρsinθ，又x =ρcosθ，y =ρsinθ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−2√2x −2√2y =0；(2)将直线l 的参数方程化为{x =2−√22m y =1+√22m，代入代入曲线C 的直角坐标方程，得m 2−√2m +5−6√2=0，m 1+m 2=√2>0，m 1m 2=5−6√2<0，∴|1|PA|−1|PB||=||PB|−|PA||||PA|⋅|PB||=|m 1+m 2||m 1m 2|=√26√2−5=5√2+1247．【解析】(1)直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线l 的普通方程，展开两角差的余弦，结合极坐标与中心坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；(2)把直线l 的标准参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，整理可得关于t 的一元二次方程，再由根与系数的关系及参数t 的几何意义求解|1|PA|−1|PB||的值．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，关键是直线参数方程中参数t 的几何意义的应用，是中档题． 23.【答案】解：(1)函数f(x)=|x +1a |+|x −a|，又f(2)>a +1，可得|2+1a |+|2−a|>a +1，等价为{a ≤−122+1a +2−a >a +1或{−12<a <0−2−1a +2−a >a +1或{0<a <22+1a +2−a >a +1或{a ≥22+1a+a −2>a +1，解得a ≤−12或−12<a <0或0<a <3+√174或a ∈⌀，则a 的取值范围为(−∞,0)∪(0,3+√174)；(2)对∀a ∈(0,+∞)，f(x)≥m 恒成立，可得m ≤f(x)min ，由f(x)=|x +1a |+|x −a|≥|x +1a +a −x|=|a +1a |=a +1a ≥2，当且仅当−1≤x ≤1时，上式取得等号，则m ≤2，即m 的取值范围是(−∞,2]．【解析】(1)由绝对值的意义，对a 讨论，解不等式可得所求解集；(2)由题意可得m ≤f(x)min ，运用绝对值不等式的性质和基本不等式，可得所求最小值，即可得到所求范围．本题考查绝对值的解法，函数恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)-教师用卷

2020年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数z1与z2=−3−i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则z1=()A. −3iB. −3+iC. 3+iD. 3−i【答案】B【解析】解：∵复数z1与z2=−3−i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，∴复数z1与z2=−3−i(i为虚数单位)的实部相等，虚部互为相反数，则z1=−3+i．故选：B．由已知可得复数z1与z2=−3−i(i为虚数单位)的实部相等，虚部互为相反数，则z1可求．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.已知集合A={−l,0，m)，B={l,2}，若A∪B={−l,0，1，2}，则实数m的值为()A. −l或0B. 0或1C. −l或2D. l或2【答案】D【解析】解：集合A={−l,0，m)，B={l,2}，A∪B={−l,0，1，2}，因为A，B本身含有元素−1，0，1，2，所以根据元素的互异性，m≠−1，0即可，故m=1或2，故选：D．因为A∪B={−l,0，1，2}，A，B本身含有元素−1，0，1，2，根据元素的互异性m≠−1，0，求出m即可．考查已知集合并集求含参问题，基础题．3.若sinθ=√5cosθ，则tan2θ=()A. −√53B. √53C. −√52D. √52【答案】C【解析】解：若sinθ=√5cosθ，则tanθ=√5，则tan2θ=2tanθ1−tan2θ=−√52，故选：C．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这l00名同学的得分都在[50,100]内，按得分分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图则这100名同学的得分的中位数为()A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80【答案】A【解析】解：由频率分布直方图得：[50,70)的频率为：(0.010+0.030)×10=0.4，[70,80)的频率为：0.040×10=0.4，∴这100名同学的得分的中位数为：70+0.5−0.40.4×10=72.5．故选：A．由频率分布直方图求出[50,70)的频率为0.4，[70,80)的频率为0.4，由此能求出这100名同学的得分的中位数．本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a n≠0，若a5=3a3，则S9S5=()A. 95B. 59C. 53D. 275【答案】D【解析】解：依题意，S9S5=a1+a92×9a1+a52×5=9a55a3，又a5a3=3，∴S9S5=95×3=275，故选：D．将S9，S5转化为用a5，a3表达的算式即可得到结论．本题考查了等差数列的前n项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题．6.已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是()A. 若m//α，n//β，且α//β，则m//nB. 若m//α，n//β，且α⊥β，则m//nC. 若m⊥α，n//β，且α//β，则m⊥nD. 若m⊥α，n//β且α⊥β，则m⊥n【答案】C【解析】解：由m//α，n//β，且α//β，得m//n或m与n异面，故A错误；由m//α，n//β，且α⊥β，得m//n或m与n相交或m与n异面，故B错误；由m⊥α，α//β，得m⊥β，又n//β，则m⊥n，故C正确；由m⊥α，n//β且α⊥β，得m//n或m与n相交或m与n异面，故D错误．故选：C．由考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案．本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．7.(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项为()A. 25B. −25C. 5D. −5【答案】B【解析】解：(x−1x)6的通项公式为T r+1=∁6r x6−r(−1x)r=(−1)r∁6r x6−2r，r=0，1，2， (6)则(x2+2)(x−1x)6的展开式的常数项须6−2r=0或者6−2r=−2⇒r=3或者r=4：∴常数项为(−1)4∁64+2×(−1)3∁63=15−40=−25．故选：B．求出(x −1x )6的通项公式，考虑r =3，r =4时的系数，相加求和即可得到所求值．本题考查了二项式定理的应用，注意运用分类组合法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8. 将函数y =sin (4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为( )A. f(x)=sin (2x +π6) B. f(x)=sin (2x −π3) C. f(x)=sin (8x +π6) D. f(x)=sin (8x −π3)【答案】A【解析】解：函数y =sin (4x −π6)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y =sin (2x −π6)的图象，再把所得图象向左平移π6个单位长度，得到函数f(x)=sin (2x +π6)的图象，故选：A ．直接利用函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数的图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．9. 已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，M ，N 是抛物线上两个不同的点．若|MF|+|NF|=5，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( )A. 3B. 32C. 5D. 52【答案】B【解析】解：由抛物线方程得，准线方程为：x =−1，设M(x,y)，N(x′,y′)，由抛物线的性质得，MF +NF =x +x′+p =x +x′+2=5，中点的横坐标为32，线段MN 的中点到y 轴的距离为：32，故选：B ．抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可．考查抛物线的定义的应用，属于基础题．10. 已知a =212,b =313,c =ln 32，则( )A. a >b >cB. a >c >bC. b >a >cD. b >c >a【答案】C【解析】解：∵a =√2=√86，b =√33=√96，∴1<a <b ． c =ln 32<1．∴c <a <b ．故选：C ．利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a ，b 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c <1．本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2−x)=f(2+x)，当x ≤2时，f(x)=(x −1)e x −1.若关于x 的方程f(x)−kx +2k −e +1=0有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A. (−2,0)∪(0,2) B. (−2,0)∪(2,+∞) C. (−e,0)∪(0,+∞) D. (−e,0)∪(0,e) 【答案】D【解析】解：由题意，当x ≤2时，f(x)=(x −1)e x −1． f′(x)=xe x ．①令f′(x)=0，解得x =0； ②令f′(x)<0，解得x <0； ③令f′(x)>0，解得0<x ≤2．∴f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,2]上单调递增，在x =0处取得极小值f(0)=−2.且f(1)=−1；x →−∞，f(x)→0．又∵函数f(x)在R 上满足f(2−x)=f(2+x)， ∴函数f(x)的图象关于x =2对称． ∴函数y =f(x)的大致图象如下：关于x 的方程f(x)−kx +2k −e +1=0可转化为f(x)=k(x −2)+e −1．而一次函数y =k(x −2)+e −1很明显是恒过定点(2,e −1)．结合图象，当k =0时，有两个交点，不符合题意，当k =e 时，有两个交点，其中一个是(1,−1).此时y =f(x)与y =k(x −2)+e −1正好相切． ∴当0<k <e 时，有三个交点．同理可得当−e <k <0时，也有三个交点．实数k 的取值范围为：(−e,0)∪(0,e)．故选：D ．本题根据题意先利用一阶导数分析当x ≤2时，f(x)=(x −1)e x −1.的函数单调性及图象，然后根据f(2−x)=f(2+x)可知函数f(x)关于x =2对称．即可画出函数y =f(x)的大致图象．一次函数y =k(x −2)+e −1.很明显是恒过定点(2,e −1).则只要考查斜率k 的变动情况，当k =e 时，y =f(x)与y =k(x −2)+e −1正好在(1,−1)处相切，再根据数形结合法可得k 的取值范围，当x >2时也同理可得．本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围．本题属中档题．12. 如图，在边长为2的正方形AP 1P 2P 3中，线段BC 的端点B ，C 分别在边P 1P 2，P 2P 3上滑动，且P 2B =P 2C =x.现将△AP 1B ，△AP 3C 分别沿AB ，AC 折起使点P 1，P 3重合，重合后记为点P ，得到三棱锥P −ABC.现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π； ③x 的取值范围为(0,4−2√2)；④三棱锥P −ABC 体积的最大值为13．则正确的结论的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】解：折起后，△CP 3A≌△CPA ，故A P ⊥PC ．同理，AP ⊥PB ，所以AP ⊥平面PBC ，①正确；当B ，C 分别为P 1P 2，P 2P 3的中点时，PB =PC =1，BC =√2，所以PB 2+PC 2=BC 2，又AP ⊥平面PBC ，所以PA ，PB ，PC 两两垂直，所以三棱锥P −ABC 的外接球与以PA ，PB ，PC 为长宽高的长方体的外接球半径相等．设半径为r ，所以(2r)2=22+12+12=6，S =4πr 2=6π．即三棱锥P −ABC 的外接球的表面积为6π，②正确；因为P 2B =P 2C =x ，所以PB =PC =2−x ，而BC =√2x ，故2(2−x)>√2x ，解得x <4−2√2，③正确；因为△PBC 的面积为S =12×√2x ×√(2−x)2−(√22x)2=12√x 4−8x 3+8x 2设f(x)=x 4−8x 3+8x 2，f′(x)=4x 3−24x 2+16x =4x(x 2−6x +4)当0<x <3−√5时，f′(x)>0，当3−√5<x <4−2√2时，f′(x)<0 f max =f(3−√5)>f(1)=12，所以S >12．V P−ABC =V A−PBC =13S ×2=23S >13，④错误．故选：C ．根据折起形状的形成条件，分析各结论，即可判断真假．本题主要考查线面垂直的判定定理的应用，三棱锥的体积以及其外接球的体积求法，意在考查学生的直观想象能力，数学运算能力和逻辑推理能力，属于较难题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0，则z =x +2y 的最大值为______．【答案】6【解析】解：作出实数x ，y 满足约束条件{x +y −4≤0x −2y +2≥0y ≥0对应的平面区域如图：(阴影部分)由z =x +2y 得y =−12x +12z ，平移直线y =−12x +12z ，由图象可知当直线y =−12x +12z 经过点A 时，直线y =−12x +12z 的截距最大，此时z 最大．由{x +y −4=0x −2y +2=0，解得A(2,2)，代入目标函数z =x +2y 得z =2×2+2=6 故答案为：6．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，是基础题．14. 设正项等比数列{a n }满足a 4=81，a 2+a 3=36，则a n =______．【答案】3n【解析】解：依题意{a 1q 3=81a 1q +a 1q 2=36，解得{a 1=3q =3， ∴a n =a 1⋅q n−1=3⋅3n−1=3n ，故答案为：3n ．将已知条件转化为基本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ．本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．15. 已知平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，|b ⃗ |=√3，且b ⃗ ⊥(a −b ⃗ )，则向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角的大小为______．【答案】π6【解析】【分析】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a⃗ 与b ⃗ 的夹角的大小．【解答】解：∵平面向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=2，b ⃗ =√3，且b ⃗ ⊥(a −b⃗ )，∴b ⃗ ⋅(a −b ⃗ )=b −⋅a −b ⃗ 2=0，∴a ⋅b ⃗ =b ⃗ 2．设向量a ⃗ 与b ⃗ 的夹角的大小为θ，则2⋅√3⋅cosθ=3，求得cosθ=√32，故θ=π6，故答案为：π6．16. 已知直线y =kx 与双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)相交于不同的两点A ，B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足|AF|=3|BF|，|OA|=b(O 为坐标原点)，则双曲线C 的离心率为______．【答案】√3【解析】解：设|BF|=m ，则|AF|=3|BF|=3m ，取双曲线的右焦点F′，连接AF′，BF′，可得四边形AF′BF 为平行四边形，可得|AF′|=|BF|=m ，设A 在第一象限，可得3m −m =2a ，即m =a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得(2b)2+(2c)2=2(a 2+9a 2)，化为c 2=3a 2，则e =ca =√3．故答案为：√3．取双曲线的右焦点F′，连接AF′，BF′，可得四边形AF′BF 为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b 2+c 2−a 2=4√23bc ．(Ⅰ)求sin A 的值；(Ⅱ)若△ABC 的面积为√2，且√2sinB =3sinC ，求△ABC 的周长．【答案】解：(Ⅰ)∵b 2+c 2−a 2=4√23bc ， ∴由余弦定理可得2bccosA =4√23bc ， ∴cosA =2√23， ∴在△ABC 中，sinA =√1−cos 2A =13． (Ⅱ)∵△ABC 的面积为√2，∴12bcsinA =16bc =√2，即bc =6√2，又∵√2sinB =3sinC ，∴由正弦定理可得√2b =3c ， ∴b =3√2，c =2，∴由余弦定理得a 2=b 2+c 2−2bccosA =6， ∴a =√6，∴△ABC 的周长为2+3√2+√6．【解析】本题考查了余弦定理，同角三角函数的基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．(Ⅰ)由已知利用余弦定理可求cos A 的值，进而根据同角三角函数的基本关系式可求sin A 的值．(Ⅱ)利用三角形的面积公式可求bc 的值，由正弦定理化简已知等式可得√2b =3c ，解得b ，c 的值，根据余弦定理可求a 的值，即可求解三角形的周长．18. 某公司有l 000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族”，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人．属于“追光族” 属于“观望族” 合计女性员工男性员工合计10010名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n =a +b +c +d ． P(K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】解：Ⅰ由题，列联表如下：属于“追光族” 属于“观望族” 合计女性员工 20 40 60 男性员工 20 20 40 合计4060 100∵K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=100×(20×20−40×20)240×60×60×40=259≈2.778<3.841，∴没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族”与“性别”有关； (Ⅱ)由题，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，P(X =0)=37C 30CC 03=724，P(X =1)=27C 31CC 103=2140，P(X =2)=17C 32CC 103=740，P(X =3)=C 33C 103=1120，X 0 1 2 3P72421407401120∴E(X)=1×2140+2×740+3×1120=910．【解析】(Ⅰ)根据题意，列出列联表，计算K 2，查表判断即可；(Ⅱ)随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．本题考查了独立性经验，考查了超几何分布，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．19. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，E 分别为BC 的中点．(Ⅰ)证明：BC ⊥平面PAE ；(Ⅱ)若AB =2.PA =1，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值．【答案】解：(Ⅰ)如图，连接AC ，因为底面ABCD 为菱形，且∠ABC =60°，所以△ABC 为正三角形，因为E 为BC 的中点，所以BC ⊥AE ，又因为AP ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ⊥AP ，因为AP ∩AE =A ，AP ，AE ⊂平面PAE ，所以BC ⊥平面PAE ；(Ⅱ)因为AP ⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，所以AP ⊥PB ，又因为AB =2，PA =1，所以PB =√3，由(Ⅰ)得BC ⊥PE ，又因为E 为BC 中点，所以PB =PC =√3，EC =1，所以PE =√2，如图，过点P 作BC 的平行线PQ ，则PQ ，PE ，PA 两两互相垂直，以P 为坐标原点，PE⃗⃗⃗⃗⃗ ,PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向分别为xyz 轴的正方形，建立如图所示的空间直角坐标系Pxyz ，则P(0,0，0)，A(0,0，1)，B(√2,−1,0)，C(√2,1，0)，D(0,2，1)，设平面BAP 的一个法向量m⃗⃗ =(x,y ，z)，又PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0，1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−1,0)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得√2x −y =0，z =0，令x =1，则m ⃗⃗ =(1,√2,0)，设平面CDP 的一个法向量n⃗ =(a,b ，c)，又PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,1，0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，1)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得√2a +b =0，2y +z =0，令a =1，则n ⃗ =(1,−√2,2√2)，所以cos <m ⃗⃗ ,n ⃗ >=√3⋅√11=−√3333，即平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值为√3333．【解析】(Ⅰ)根据菱形基本性质得BC ⊥AE ，再由线面垂直得BC ⊥AP ，故BC ⊥平面PAE ； (Ⅱ)建立如图所示空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量即可本题考查空间平面二面角问题，涉及证明线面垂直等知识点，建系是解决该类问题的常用方法，属于中档题．20. 已知函数f(x)=(a −1)lnx +x +ax ，a ∈R ．(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性；(Ⅱ)当a <−1时，证明∀x ∈(1,+∞)，f(x)>−a −a 2．【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=a−1x+1−ax 2=x 2+(a−1)x−ax 2=(x−1)(x+a)x 2，因为x >0，a ∈R ，所以当a ≥0时，x +a >0，所以函数在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当−1<a <0时，0<−a <1，函数f(x)在(0,−a)上单调递增，在(−a,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增；当a =−1时，f′(x)=(x−1)2x 2≥0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增；当a <−1时，−a >1，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增； (Ⅱ)当a <−1时，由(Ⅰ)得，函数f(x)在(1,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增；函数f(x)在(1,+∞)上的最小值为f(−a)=(a −1)ln (−a)−a −1，欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln (−a)−a −1，即证明a 2+(a −1)ln (−a)−1>0，因为a <−1，所以只需证明ln (−a)<−a −1，令ℎ(x)=lnx −x +1(x ≥1)，则ℎ′(x)=1x −1=−(x−1)x≤0，所以函数ℎ(x)在[1,+∞)上单调递减，则有ℎ(x)≤ℎ(1)=0，因为a <−1，所以−a >1，所以ℎ(−a)=ln (−a)+a +1<0，即当a <−1时，ln (−a)<−a −1成立，所以当a <−1时，任意x ∈(1,+∞)，f(x)>−a −a 2．【解析】(Ⅰ)先求出函数的导数，通过讨论a 的范围，得到函数的单调区间；(Ⅱ)欲证明不等式f(x)>−a −a 2成立，即证明−a −a 2<(a −1)ln (−a)−a −1，设新函数ℎ(x)=lnx −x +1(x ≥1)，利用其单调性求出ℎ(x)≤ℎ(1)=0，进而得证．本题考查导数的运用，利用分类讨论思想求单调区间，主要考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．21. 已知椭圆C ：x 22+y 2=1的右焦点为F ，过点F 的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：x =2与x 轴相交于点H ，过点A 作AD ⊥l ，垂足为D ． (Ⅰ)求四边形OAHB(O 为坐标原点)面积的取值范围； (Ⅱ)证明直线BD 过定点E.并求出点E 的坐标【答案】解：(Ⅰ)由题意F(1,0)，设直线AB 的方程：x =my +1，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，与抛物线联立(m 2+2)y 2+2my −1=0，因为△=4m 2+4(m 2+2)>0，y 1+y 2=−2m 2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以|y 1−y 2|=√(y 1−y 2)2−41yy 2=2√2√1+m 22+m 2，所以四边形OAHB 的面积S =12|OH|⋅|y 1−y 2|=|y 1−y 2|=2√2⋅√1+m 22+m2，令t =√1+m 2≥1，S =2√2t1+t2=2√2t+1t≤√2，当且仅当t =1时，即m =0时取等号，所以0<S ≤√2，所以四边形OAHB 的面积的取值范围为(0,√2,] (Ⅱ)B(x 2，y 2)，D(2,y 1)，k BD =y 1−y 22−x 2，所以直线BD 的方程：y −y 1=y 1−y 22−x 2(x −2)，令y =0，得x =x 2y 1−2y 2y 1−y 2=my 1y 2+y 1−2y 2y 1−y 2由(Ⅰ)得，y 1+y 2=−2m2+m 2，y 1y 2=−12+m 2，所以y 1+y 2=2my 1y 2，化简得x =12(y 1+y 2)+y 1−2y 2y 1−y 2=32(y 1−y 2)y 1−y 2=32，所以直线BD 过定点E(32,0)．【解析】(Ⅰ)由题意设直线AB 的方程，带入椭圆整理设而不求得出纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，底相同与纵坐标之差的绝对值之积的二分之一，然后又均值不等式可得面积的取值范围；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，B ，D 的坐标，设直线BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD 过定点．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题．22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是曲线C 1：x 2+(y −2)2=4上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90°得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线C 2以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，点M(3,π2)，射线θ=π6(ρ≥0)与曲线C 1，C 2分别相交于异于极点O 的A ，B 两点，求△MAB 的面积．【答案】解：(Ⅰ)由题意，点Q 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，则曲线C 2：(x −2)2+y 2=4，∵ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsinθ， ∴曲线C 1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ；(Ⅱ)在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2， ∴|AB|=|ρ1−ρ2|=4|sin π6−cos π6|=2(√3−1)．又∵M(3,π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sin π3=3√32．∴△MAB 的面积S =12|AB|⋅ℎ=9−3√32．【解析】(Ⅰ)由题意，点Q 的轨迹是以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ，y =ρsinθ，可得曲线C 1，C 2的极坐标方程；(Ⅱ)在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB|=|ρ1−ρ2|，再求出M(3,π2)到射线θ=π6(ρ≥0)的距离ℎ=3sin π3=3√32，代入三角形面积公式求△MAB 的面积．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，是中档题．23. 已知函数f(x)=|x −3|．(Ⅰ)解不等式f(x)≥4−|2x +l|；(Ⅱ)若1m +4n =2(m >0,n >0)，求证：m +n ≥|x +32|−f(x)．【答案】解：(I)原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4，当x ≤−12时，不等式−2x −1−x +3≥4，解得x ≤−23，故x ≤−23；当−12<x <3时，不等式2x +1−x +3≥4，解得x ≥0，故0≤x <3；当x ≥3时，不等式2x +1+x −3≥4，解得x ≥0，故x ≥3；综上，不等式的解集为(−∞,−23]∪[0,+∞)； (II)因为f(x)=|x −3|，所以|x +32|−f(x)=||x +32|−|x −3|≤|x +32−x +3|=92，当且仅当(x +32)(x +3)≥0，且|x +32|≥|x −3|时，取等号，又1m +4n =2(m >0,n >0)，所以(m +n)(1m +4n )≥(1+2)2=9，当且仅当m =2n 时，取得等号，故m +n ≥92，所以m +n ≥|x +32|−f(x)成立．【解析】(I)原不等式可化为：|x −3|≥4−|2x +1|，即|2x +1|+|x −3|≥4，分段讨论求出即可； (II)根据绝对值的性质求出|x +32|−f(x)≤92，m +n ≥92，证明即可．考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，柯西不等式的应用等，中档题．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设全集U =R ，集合{}2=≤-A x x {}1,,=≥-B x x 则()=U ðU A BA.[]21,- B.21(,)-- C.(][)21,,-∞--+∞U D.21(,)-2.复数21iz =+在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.空气质量指数AQI 是检测空气质量的重要参数，其数值越大说明空气污染状况越严重，空气质量越差.某地环保部门统计了该地区12月1日至12月24日连续24天空气质量指数AQI ，根据得到的数据绘制出如图所示的折线图.则下列说法错误．．的是 A.该地区在12月2日空气质量最好B.该地区在12月24日空气质量最差C.该地区从12月7日到12月12日AQI 持续增大D.该地区的空气质量指数AQI 与日期成负相关4.已知锐角ABC ∆的三个内角分别为,,,A B C 则“sin >sin A B ”是“tan >tan A B ”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. “更相减损术”是我国古代数学名着《九章算术》中的算法案例，其对应的程序框图如图所示.若输入的x,y,k 的值分别为4，6，1，则输出的k 的值为6.若关于x 的不等式2210x ax ++≥在[)0+∞，上恒成立，则实数a 的取值范围为A.0+∞(,)B.[)1-+∞, C.[]11-, D.[)0+∞,[)[)[][)26210001110.,()(,)(),(),(),x a A B C D ++≥+∞+∞ -+∞ - +∞若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为x ax7．如图，已知双曲线2222100x y E a b a b-=:(,)>>，长方形ABCD 的顶点A ，B 分别为双曲线E 的左，右焦点，且点C ，D 在双曲线E 上．若6AB =，52BC =，则此双曲线的离心率为A.2B.32 C.52D.522228100562.:(,),,,,,,,ABCD A B E C D E AB BC -===如图已知双曲线长方形的顶点分别为双曲线的左、右焦点且点在双曲线上若则双曲线的离心率为x y E a b a b>>8.已知3sin 0652ααππ-=∈(),(,)，则cos α的值为 A.43310- B.43310+ C.43310- D.33410- 9．在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥底面ABC ，1202BAC PA AB AC ︒∠====,.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为A.103πB.18πC.20πD.93π10.已知定义在R 上的奇函数f x ()满足20f x f x ++=()()，且当[]01x ∈,时，2log 1f x x =+()().则下列不等式正确的是A. ()()()2log 756f f f <-<B. ()()()2log 765f f f <<-C. ()()()25log 76f f f -<<D. ()()()256log 7f f f -<< 11.设函数sin 23f x x π=+()()，若12x x 0,<且120f x f x +=()()，则21x x -的取值范围为 A.6π∞(,+)B.3π∞(,+) C.23π+∞(,)D.43π+∞(,)12.已知关于x 的方程e 0e exx x++-x m =x 有三个不相等的实数根123x x x ,,,且1230x x <x <<，其中m ∈R ，e 271828=⋅⋅⋅.为自然对数的底数.则1232312111e e e x x x ---()()()x x x 的值为 A.e B. 1 C. 1m + D.1m -第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13.52()y x+的展开式中的第三项系数为.14.若实数x y ,满足线性约束条件124+≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩x y y x x y ，则2+x y 的最大值为.15.如图，在直角梯形ABDE 中，已知90ABD EDB ︒∠=∠=,C 是BD 上一点，315,AB ACB ︒=-∠=60,ECD ︒∠=45EAC ︒∠=，则线段DE 的长度为.16.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D的中点，12AD AA ==,Q 是正方形ABCD 所在平面内．．．的一个动点，且=QC ，则线段BQ 的长度的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为Sn，24316a S ==,,*n ∈N . （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设2nn n b a =,求数列{}n b 的前n 项和nT.18. （本小题满分12分）某部门为了解一企业在生产过程中的用水量情况，对每天的用水量作了记录，得到了大量的该企业的日用水量的统计数据.从这些统计数据中随机抽取12天的数据作为样本，得到如图所示的茎叶图（单位:吨）. 若用水量不低于95（吨），则称这一天的用水量超标.（1）从这12天的数据中随机抽取3个，求至多有1天是用水量超标的概率；（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，估计该企业未来3天中用水量超标的天数.记随机变量X 为未来这3天中用水量超标的天数，求X 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图①，在边长为5的菱形ABCD 中，6AC =.现沿对角线AC 把ADC ∆翻折到APC ∆的位置得到四面体P ABC -，如图②所示.已知PB =（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若Q 是线段AP 上的点，且13AQ =AP u u u r u u u r，求二面角Q BC A --的余弦值.图① 图②20.（本小题满分12分）已知椭圆222210x y C a b a b+=:()>>的右焦点0F )，长半轴与短半轴之比等于2.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不经过点01(,)B 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M N ,.若线段MN 的中点H 满足2MN =BH ，证明直线l 过定点，并求出该定点的坐标.21.（本小题满分12分）已知函数e xf x =()，其中e 271828=⋅⋅⋅.为自然对数的底数.（1）若曲线()=y f x 在点00e xP x (,)处的切线方程为y kx b =+，求k b -的最小值；AA（2）当常数()2,+m ∈∞时，已知函数212g x x f x mx =--+()()()在0(,)+∞上有两个零点()1212x x x x ,<.证明：214ln e<-<x x m .请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为12222x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(为参数）.在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2sin 4sin ρθθρ+=.（1）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）已知点M 的直角坐标为22(,).若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A B ,，求MA MB ⋅的值.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数21f x x k x k =-++∈(),R .（1）当1k=时，若不等式4f x ()<的解集为{}12x x x x |<<，求12x x +的值；（2）若关于x 的不等式f x k ≥()当x ∈R 时恒成立，求k 的最大值.数学（理科）参考答案及评分意见第I 卷（选择题，共60分）一．选择题：(每小题5分，共60分)；；；；；；；；；；；.第II 卷（非选择题，共90分）二．填空题：(每小题5分，共20分)；；；.三．解答题：(共70分)17.解：（1）设数列{}n a 的公差为d .24316a S ==,Q ，1134616a d a d ∴+=+=,. 解得121d a ==,. ………4分21n a n ∴=-. ………6分（2）由题意，212n n b n =-⨯().1211232232212n n n T n n -∴=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯()(). ✍21212232212n n n T n n +=⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯()(). ✍由✍-✍，可得1231122222212n n n T n +-=⨯+⨯++⋅⋅⋅+--⨯()().………9分311122212126232n n n n T n n -++∴-=+---⨯=-+-+⨯()()().………11分16232n n T n +∴=+-⨯(). ………12分18.解：（1）记“从这12天的数据中随机抽取3个,至多有1天是用水量超标” 为事件A .则123488331212C C C 16842C C 22055P A =+==(). ………4分（2）以这12天的样本数据中用水量超标的频率作为概率，易知其概率为13.随机变量X 表示未来三天用水量超标的天数，∴X 的取值分别为：0123,,,.易知3311230123333k k k X B P X k C k -===(,),()()(),,,,.:则84210123279927P X P X P X P X ========()(),(),().， ………8分 ∴随机变量X 的分布列为………10分数学期望1313E X =⨯=(). ………12分19.解：（1）取AC 的中点O ,连接,PO BO 得到∆PBO .Q ABCD 是菱形，∴=PA PC ，PO AC ⊥.5634DC AC OC PO OB ==∴===,,Q ，,42PB =Q ， 222PO OB PB ∴+=.PO OB ∴⊥.BO AC O =Q I ，∴⊥PO 平面ABC .⊂Q PO 平面PAC ， ∴平面ABC ⊥平面PAC . ………4分（2）AB BC BO AC =∴⊥.Q ，易知,,OB OC OP 两两相互垂直.以O 为坐标原点，OB OC OP ,,u u u r u u u r u u u r分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示.则400030004030B C P A -(,,),(,,),(,,),(,,). 设点(,,)Q x y z .由13AQ AP =u u u r u u u r ，得4023Q -(,,). ………6分4430423BC BQ ∴=-=--(,,),(,,).u u u r u u u r设1111x y z =(,,)n 为平面BCQ 的一个法向量.X 01 2 3P827 49 29 127由111111143044203x yBCx y zBQ-+=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨--+⋅=⎪⎪⎩⎩.=u u u ru u u rnn解得111134415x yy z⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩.=取115z=，则13415 =(,,).n………8分取平面ABC的一个法向量2001 =(,,)n.121212cos,⋅===Qn nn nn n………11分∴二面角--Q BC A………12分20.解：（1）2222ac a b cb===+Q，，∴21,==a b.∴椭圆的标准方程为2214xy+=.………4分（2）易知当直线l的斜率不存在时，不合题意.设直线l的方程为1)y kx m m=+≠(，点1122M x y N x y(,),(,).联立2244y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，消去y可得222418440k x kmx m+++-=().2212221224108414441k mkmx xkmx xk⎧⎪∆=+->⎪-⎪∴+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩.由2MN=BH，可知点B在以MN为直径的圆上.BM BN∴⊥.0BM BN∴⋅=.u u u u r u u u r………7分112211(,)(,)⋅=+-⋅+-u u u u r u u u rQ BM BN x kx m x kx m2212121110k x x k m x x m=++-++-=()()()()，2222244811104141m kmk k m mk k--∴++-+-=++()()().整理，得25230m m --=. 解得35=-m 或1=m （舍去）. ∴直线l 的方程为35y kx =-. 故直线l 经过定点，且该定点的坐标为305-(,).………12分21.解：（1）曲线在点00e xP x (,)处的切线为0000e e e x x x y x x =-+.0000e e e x x x k b x ∴==-+,. 00e x k b x ∴-=.………3分设e x H x x =().由1e 0x H x x '=+=()()，解得1x =-.当x >-1时，0H x '()>，∴H x ()单调递增; 当x <-1时, 0H x '<()，∴H x ()单调递减.H x ∴()的极小值（也是最小值）为11eH -=-().∴-k b 的最小值为1e -.………5分（2）当0>x 时，由e 20x g x x m '=-=()()，解得ln 2.x m = 当ln 2x m >时，()0g x '>，∴()g x 在(ln 2,)+∞m 上单调递增；当0ln 2x m <<时，()0g x '<，∴()g x 在(0,ln 2)m 上单调递减.∴()g x 的极小值为(ln 2).g m ………7分∵(1)20g m =-<,ln 2ln 41x m =>>，(ln 2)0.g m ∴< 又Q 010120(),(),=>=-<g g m ∴101(,),∃∈x 使得10g x =().2ln 2ln 4,x m >>Q 214ln 41ln .e x x ∴->-= ………9分当x m =时，31e 22m g m m m m =--+()(),.>2e 3e 3m m g m m m m m '∴=-=-()().设e 32m G m m m =-(),.>e 30m G m '=-(),Q >()∴G m 在2(,)+∞上单调递增. 22e 60G m G ∴=-()().>>0()g m '∴>恒成立.22e 60g m g ∴=-()().>>2(ln 2,),x m m ∴∃∈使得20g x =(). 2m x ∴.>21m x x ∴-.>故214lne<-<x x m 成立. ………12分 22.解：（1）由12222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去参数t可得22y x =-+). ∴直线l20y -+-=. ………2分2222sin 4sin sin 4sin .ρθθρρθρθρ+=∴+=Q ， 222sin ,y x y ρθρ==+Q ，故曲线C 的直角坐标方程为24x y =. ………4分（2）将1222x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入抛物线方程24x y =，可得2124222t +=+()().即28160t t +--=(. ………8分设点,A B 对应的参数分别为12,t t .则12120,+8,16,∆>==-t t t t∴1216MA MB t t ==.g………10分23.解：（1）由题意，得214x x -++<.i ()当2x >时，原不等式即25x <.∴522x <<； ii ()当x <-1时,原不等式即23x -<.∴312-<<-x ；iii ()当2x -1≤≤时，原不等式即3<4.∴12x -≤≤.综上，原不等式的解集为3522x |x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，即123522x x =-=,. 121x x ∴+=.………5分（2）由题意，得21x k x k -++≥. 当2=x 时,即不等式k k ≥3成立.0.k ∴≥ i ()当2-≤x 或0≥x 时, Q 11x +≥，∴不等式k x k x ≥++-|1||2|恒成立. ii ()当12-≤<-x 时,原不等式可化为2---≥x kx k k .可得241.22x k x x -≤=-+++ 3.k ∴≤iii ()当01<<-x 时,原不等式可化为2.x kx k k -++≥可得21.k x ≤- 3.k ∴≤综上，可得03k ≤≤，即k 的最大值为3. ………10分。

成都市一诊考试数学试题及答案理科

2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)(含解析)

高2021届成都“一诊”理科数学(word版含答案)

四川省成都市2020届高考一诊试卷数学(理科)(含答案)

成都市一诊考试数学试题及答案理科

成都市 届高中毕业班第一次诊断性检测数学 理科 试卷和参考答案

2024年四川省成都市新都区中考数学一诊试卷(含解析)

成都市2019级高中毕业班第一次诊断性检测数学(理)参考答案

2022届四川省成都市高三第一次诊断性检测数学(理)试题解析

成都7中高2023届高三一诊模拟考试数学试题(理科)及参考答案

2020届四川省成都市一诊数学(理科)试卷及答案

四川省成都市高2021级第一次诊断性测试理科数学试题及答案

高2020届成都“一诊” 理科数学试题(含解析)

成都一诊理科数学成都市高中毕业班第一次诊断性检测数学(理科数学含答案)

2021年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)

2020年四川省成都市高考数学一诊试卷(理科)-教师用卷

成都市届高中毕业班第一次诊断性检测数学理科试卷和参考答案