同济大学高等数学教案第三章一元函数积分学及其应用
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
存在且相等.
现在，我们可回答函数 y | x | 在 x 0 处不可导的原因: f0 f0
27
四、左、右导数
第三章 一元函数微分学及其应用
例10
已知
f
x
sin
x
x
x0
x 0 ，求 f0, f0 及 f 0 .
9
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
定义
设函数 y f x 在 x0 的某个邻域内有定义，当 x 在 x0 处增量为 x （ x0 x 在该邻域内）时，相应地， 函数有增量 y f x0 x f x0 .
如果
lim y lim f x0 x f x0 lim f (x) f (x0)
例6 求 f x x2 的导数.
解 x2 lim x+x2 x lim x 2x 2x
x0
x
x0
一般地，当 x 0 ， y x 有定义时，
x lim x x x x1
x0
x
当 x 0 时, y x 有定义时也有上式成立.
例如，取 1 ，则有 2
x
8
一、 割线与切线
练习
第三章 一元函数微分学及其应用
1.求单位圆 x2 y2 1上过点 (1, 0) 的切线方程. 2. 求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 和 (2, 4) 的割线方程. 3.求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 的切线方程.
4.求函数 y ex 在点 x 1处的切线斜率.
30
五、切线与法线方程
第三章 一元函数微分学及其应用
例11
求曲线
y1 x
第三章 一元函数积分学
注意 使用此公式的关键在于将
f [( x)] ( x)dx f (( x))d( x) F(( x)) C
即 将 f [(x)](x)dx拼凑成f ((x))d(x)
第一类换元法又称为凑微分法。
例10 求 2x 1dx
解：原式=
1
2
(2
x
1)
3 2
C
23
1
(2
x
1)
3 2
C
3
例14 求 cos2 xdx
分部积分过程：
uvdx udv uv vdu uv uvdx
应用分部积分法时，可按下述步骤计算：
u(x)v'(x)dx u(x)d(v(x) (凑微：定出)
u( x)v( x) v( x)d(u( x)(分部：利用分部积分公式)
u( x)v( x) v( x)u'( x)dx （积分）
由不定积分的定义可知，不定积分就是微分运 算的逆运算。因此，有一个导数或微分公式，就 对应地有一个不定积分公式。
基本积分表
序号
1 2 3 4 5
F (x) f (x)
(kx C) k
( 1 x1 ) x
1 (ln x ) 1
x
( a x ) a x ln a
(e x ) e x
f (x)dx F(x) C
ex )dx
解：原式=
cos x 2arctan x ex C
直接积分法：利用不定积分的运算性质和积分 基本公式直接计算出不定积分的方法。
例7 求
x4 1 x2
dx
解：原式
(
x2
1)( x 2 1 x2
1)
dx
1 1 x2 dx
高等数学同济教材下册
高等数学同济教材下册高等数学是一门对于大多数理工科学生来说必修的课程，旨在培养学生的数学思维和解决问题的能力。
同济大学的高等数学下册教材作为许多学校的教学参考书，涵盖了数学分析、微分方程和多元函数等内容。
本文将从几个重要的章节出发，对高等数学同济教材下册进行简要介绍和阐述。
第一章：函数极限与连续函数极限与连续是高等数学的基础，它很好地描述了数学对象在无限接近某个值时的行为。
同济教材下册对函数极限与连续进行了详细的解释和讲解，从极限的定义、性质到连续的概念和常见判定方法都进行了全面而系统的介绍。
通过学习这一章节，学生可以掌握数学分析的基本思想，为后续的学习打下坚实的基础。
第二章：一元函数的导数与微分一元函数的导数与微分是高等数学中的重要概念，它们描述了函数的变化率和局部线性近似。
同济教材下册对一元函数的导数与微分进行了全面而深入的阐述，包括导数的定义、运算规则、中值定理以及微分的概念与应用等内容。
这一章节的学习将帮助学生理解函数的变化规律，为解决实际问题提供数学工具。
第三章：一元函数的积分一元函数的积分是高等数学中的重要工具，它描述了函数曲线下的面积和变化量。
同济教材下册对一元函数的积分进行了详细的介绍，包括不定积分、定积分以及换元积分法等内容。
通过学习这一章节，学生可以掌握积分的基本概念和计算方法，进而应用于面积计算、曲线长度求解等实际问题。
第四章：定积分的应用定积分的应用是高等数学中的一个重要方向，它将积分与实际问题相结合，解决量的累积、平均和平衡等问题。
同济教材下册对定积分的应用进行了深入浅出的讲解，包括对曲线长度、旋转体体积、物体质心以及流量等问题的计算方法。
这一章节的学习将培养学生的应用能力和解决实际问题的思维方式。
第五章：无穷级数无穷级数是高等数学中的一个重要概念，它描述了无限多项的和的特性与行为。
同济教材下册对无穷级数进行了系统的介绍，包括级数的概念、正项级数的敛散性以及级数收敛的判别法等内容。
(完整word版)同济大学高等数学教学大纲
《高等数学A》课程教学大纲(216学时，12学分)一、课程的性质、目的和任务高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。
通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学；5、无穷级数(包括傅立叶级数)；6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。
二、总学时与学分本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。
三、课程教学基本要求及基本内容说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。
高等数学A(一)一、函数、极限、连续、1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。
2. 理解复合函数和反函数的概念。
3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。
4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。
5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。
6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。
7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。
会用两个重要极限求极限。
8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。
会用等价无穷小求极限。
9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。
10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。
2024版《高等数学》教案
梯度与方向导数
讲解梯度和方向导数的概念、性质和计算方法，以及它们在实际问 题中的应用。
多元函数极值问题求解方法
01
多元函数极值的概 念
介绍多元函数极值的概念、分类 和判定方法。
02
无约束极值问题的 求解
讲解无约束极值问题的求解方法， 包括必要条件、充分条件和求解 步骤等。
洛必达法则与不定式极限计算
不定式极限的概念与分类
01
了解不定式极限的概念及分类，如0/0型、∞/∞型等。
洛必达法则
02
掌握洛必达法则的内容及适用条件，能够利用洛必达法则求解
不定式极限。
其他求极限的方法
03
了解其他求极限的方法，如等价无穷小替换、有理化等。
导数在几何和物理中的应用
导数在几何中的应用
03
高等数学在各个领域都有广泛的 应用，是学生学习后续专业课程 和从事科学研究的重要基础。
教学目标与要求
培养学生运用数学知识分析问题 和解决问题的能力，提高逻辑思 维和抽象思维能力。
注重基础知识的讲解和训练，强 调数学思想的渗透和数学方法的 应用，加强与学生的互动和交流。
知识目标 能力目标 情感目标 教学要求
课程安排与时间分配
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
授课时间
每周3次，每次2小时， 共18周。
授课内容
按照教材章节顺序进行 讲解，注重基础知识的 讲解和训练，同时穿插 相关数学史和数学文化
的内容。
课程进度
前两周复习高中数学基 础知识，第三周开始进 入微积分部分的学习， 第十周左右完成微积分 部分的学习，之后进入 线性代数和常微分方程
高等数学 同济 教材
高等数学同济教材高等数学是大学本科数学专业的重要课程之一，对于培养学生的数学思维、提高逻辑推理能力和抽象思维能力起到了关键作用。
同济大学数学系编写的高等数学教材以其系统性、严谨性和实用性而备受广大学生的喜爱和好评。
该教材共分为十章，分别是数列与极限、一元函数微分学、一元函数积分学、微分方程、多元函数微分学、多元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微分学的应用、曲线与曲面积分、常微分方程。
第一章数列与极限，从数列的概念入手，逐渐引入极限的概念和性质。
通过引入极限的概念，使学生能够更加深入地理解函数的连续性和可导性，为后续章节奠定了坚实的基础。
第二章一元函数微分学，介绍了单变量函数的微分概念、微分法、高阶导数等。
通过学习一元函数微分学，学生能够了解函数在点上的切线性质、函数极值的判定方法等重要内容。
第三章一元函数积分学，主要介绍了定积分、不定积分和定积分的应用。
学生通过学习这一章内容，不仅可以掌握积分的计算方法，还可以了解到积分在几何、物理等领域的重要意义。
第四章微分方程，介绍了一阶线性微分方程、可分离变量方程和齐次方程等。
通过学习微分方程，学生可以应用微分方程解决实际问题，比如描述物理过程、生态模型等方面的问题。
第五章多元函数微分学，引入了多元函数的概念和性质，包括偏导数、全微分和方向导数等内容。
通过学习多元函数微分学，学生可以掌握多元函数的微分计算方法，为理解多元函数的极值、梯度等概念打下基础。
第六章多元函数积分学，介绍了二重积分和三重积分的计算方法和性质。
学生通过学习多元函数积分学，可以了解到积分在空间几何、质心计算等领域的应用。
第七章向量代数与空间解析几何，引入了向量的概念和性质，并介绍了向量的内积、外积和混合积等内容。
通过学习向量代数与空间解析几何，学生可以了解到向量在几何和物理中的重要应用。
第八章多元函数微分学的应用，介绍了拉格朗日乘数法和泰勒展开等内容。
通过学习这一章，可以帮助学生掌握应用多元函数微分学解决最优化问题的方法。
同济大学高等数学教案
教案标题：同济大学高等数学教学计划一、教学目标本课程旨在帮助学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法，培养学生的逻辑思维能力、创新意识和实际应用能力。
通过本课程的学习，学生应能熟练运用高等数学知识解决实际问题，为后续专业课程的学习和科学研究打下坚实的基础。
二、教学内容1. 函数与极限1.1 函数的概念、性质和图像1.2 极限的定义和性质1.3 无穷小和无穷大1.4 极限的运算法则1.5 极限的存在性判断2. 导数与微分2.1 导数的定义和性质2.2 导数的运算法则2.3 高阶导数2.4 隐函数和参数方程函数的导数2.5 微分及其应用3. 微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔定理3.2 拉格朗日中值定理3.3 柯西中值定理3.4 泰勒公式3.5 导数在函数性质分析中的应用4. 不定积分4.1 不定积分的概念和性质4.2 基本积分公式4.3 换元积分法4.4 分部积分法4.5 不定积分在实际问题中的应用5. 定积分及其应用5.1 定积分的概念和性质5.2 定积分的运算法则5.3 定积分的换元法和分部法5.4 定积分的应用（如面积、体积、弧长等）6. 微分方程6.1 微分方程的概念和分类6.2 线性微分方程6.3 非线性微分方程6.4 微分方程的求解方法6.5 微分方程在实际问题中的应用三、教学方法1. 讲授法：通过系统、生动的讲解，使学生掌握高等数学的基本概念、理论和方法。
2. 案例分析法：结合具体实例，让学生了解高等数学在实际问题中的应用。
3. 练习法：布置适量的课后习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力。
4. 讨论法：组织学生进行课堂讨论，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
5. 实验法：结合数学软件，让学生亲身体验高等数学的实践操作。
四、教学安排1. 授课时间：共计16周，每周2课时。
2. 课后习题：每节课后布置相应的习题，要求学生独立完成。
3. 课堂讨论：每学期组织2-3次课堂讨论，学生可就所学内容提出疑问或分享自己的见解。
同济大学-高等数学微积分教案
第一章:函数与极限1。
1 初等函数图象及性质1。
1.1 幂函数函数（m 是常数）叫做幂函数。
幂函数的定义域，要看m 是什么数而定。
例如，当m = 3时，y=x3的定义域是（-∞ ，+∞)；当m = 1/2时，y=x1/2的定义域是[0，+∞ );当m = —1/2时，y=x-1/2的定义域是(0，+∞）。
但不论m 取什么值，幂函数在（0,+∞）内总有定义。
最常见的幂函数图象如下图所示：［如图]1。
1.2 指数函数与对数函数1．指数函数函数y=a x（a是常数且a>0，a≠1）叫做指数函数,它的定义域是区间（-∞ ，+∞)。
因为对于任何实数值x,总有a x〉0，又a0=1，所以指数函数的图形，总在x轴的上方，且通过点（0，1）。
若a〉1,指数函数a x是单调增加的。
若0<a〈1,指数函数a x是单调减少的.由于y=（1/a）—x=a-x，所以y=a x的图形与y=(1/a）x的图形是关于y轴对称的（图1-21）。
[如图］2．对数函数指数函数y=a x的反函数，记作y=log a x（a是常数且a〉0，a≠1），叫做对数函数。
它的定义域是区间（0,+∞)。
对数函数的图形与指数函数的图形关于直线y = x对称（图1-22）。
y=log a x的图形总在y轴上方，且通过点(1，0)。
若a〉1,对数函数log a x是单调增加的，在开区间(0,1)内函数值为负,而在区间(1，+∞)内函数值为正.若0<a<1,对数函数log a x是单调减少的，在开区间（0,1)内函数值为正，而在区间(1，+∞)内函数值为负.[如图] 1。
1.3 三角函数与反三角函数1．三角函数正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都是区间（—∞ ，+∞)，值域都是必区间[—1,1］. 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.正切函数和余切函数都是以π为周期的周期函数，它们都是奇函数。
2．反三角函数反三角函数是三角函数的反函数，其图形都可由相应的三角函数的图形按反函数作图法的一般规则作出。
高等数学教学大纲
《高等数学》课程教学大纲课程代码：500107学时数： 64课程类别：必修开课学期：第1学期适用专业：理工管各专业开课单位：基础部编写时间：2011年11月一、课程性质和目的《高等数学》是高等院校工程造价等专业学生一门必修的重要基础理论课，是培养高层次人才所需的基本课程。
通过《高等数学》课程的学习应使学生具备函数极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、多元函数微积分、微分方程等方面的基本概念，为学生提供必不可少的数学基础知识和常用的数学方法。
在能力培养上，在传授知识的同时通过各教学环节逐步培养学生用极限的方法分析的方法解决问题的能力。
培养学生具有一定的逻辑思维能力，初步的抽象概括问题的能力和综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
二、课程教学内容、学时分配和基本要求第一章函数极限连续第二章一元函数微分学及其应用第三章一元函数积分学及其应用第四章多元函数微积分第五章无穷级数第六章微分方程与数学建模第七章行列式三、各教学环节学时分配四、本课程与其他课程的联系和分工前期课程：高中数学知识。
后续课程：工程数学、化学、物理、力学及其它工科和管理专业课程。
五、本课程的考核方式本课程考核方式为闭卷考试，时间120分钟。
其中平时成绩占总成绩的 30%，期末考试题占70% 。
每次课作业布置4～5题，作业，出勤，小测试的成绩算平时成绩。
六、建议教材和教学参考书1.同济大学数学教研室主编，《高等数学》上下册。
高等教育出版社，1996.2.谭光兴主编，《线性代数》，中国人民大学出版社，2006年版.七、大纲说明在教学过程中，可根据实际情况，对大纲中的学时分配作适当调整。
执笔人：程婧审核人：王瑞金系部主任：王勇院学术委员会：主管院长：。
高等数学教材同济版目录
高等数学教材同济版目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的图像与性质1.1.3 常用函数的性质介绍1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的运算性质1.2.3 无穷小量与无穷大量1.3 函数的连续性与间断点1.3.1 连续函数的概念1.3.2 连续函数的性质1.3.3 间断点与间断函数1.4 导数与微分1.4.1 导数的定义1.4.2 导数的运算法则1.4.3 高阶导数与隐函数求导1.5 中值定理与应用1.5.1 高尔定中值定理1.5.2 柯西中值定理1.5.3 利用中值定理解决问题第二章一元函数微分学2.1 函数的极值与最值2.1.1 求函数的极值2.1.2 求函数在闭区间上的最大值与最小值2.1.3 求解优化问题的应用2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的单调性与凹凸性2.2.2 求函数的拐点2.2.3 凹凸函数的性质与应用2.3 不定积分2.3.1 不定积分的定义2.3.2 基本积分表与积分法2.3.3 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法2.4 定积分2.4.1 定积分的概念与性质2.4.2 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的运算法则2.4.3 定积分的几何应用2.5 微分方程2.5.1 一阶常微分方程2.5.2 可降阶的高阶微分方程2.5.3 可分离变量的高阶微分方程第三章一元函数积分学3.1 定积分的计算3.1.1 分部积分法3.1.2 变量代换法3.1.3 参数方程曲线的长度与曲边梯形的面积3.2 定积分的应用3.2.1 曲线的弧长与曲率3.2.2 曲线包围的面积与体积3.2.3 质量、质心与转动惯量3.3 定积分的进一步应用3.3.1 有理函数的积分3.3.2 特殊曲线所围成的面积3.3.3 参数积分与概率密度函数第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续性4.1.1 多元函数极限的定义4.1.2 多元函数的连续性4.1.3 多元函数连续性的充要条件4.2 偏导数与全微分4.2.1 偏导数的定义与计算法则4.2.2 隐函数与参数方程的偏导数4.3 方向导数与梯度4.3.1 方向导数的定义与计算4.3.2 梯度的定义与性质4.3.3 最速下降问题与等高线的切线方向4.4 多元函数的极值与最值4.4.1 多元函数的极值判定条件4.4.2 用拉格朗日乘数法求极值4.5 重积分4.5.1 二重积分的概念与计算4.5.2 二重积分的计算方法4.5.3 三重积分的概念与计算4.5.4 三重积分的计算方法第五章多元函数积分学5.1 曲线积分5.1.1 第一类曲线积分的定义与计算5.1.2 第二类曲线积分的定义与计算5.1.3 斯托克斯公式与格林公式5.2 曲面积分5.2.1 第一类曲面积分的定义与计算5.2.2 第二类曲面积分的定义与计算5.2.3 高斯公式与斯托克斯公式的应用5.3 多元函数应用题5.3.1 质心与转动惯量5.3.2 弹性势能与电势能5.3.3 均匀分布与热力学第六章空间解析几何6.1 空间直线与平面6.1.1 直线的方程与位置关系6.1.2 平面的方程与位置关系6.1.3 直线与平面的位置关系6.2 球面与圆锥面6.2.1 球面方程与性质6.2.2 圆锥面方程与性质6.2.3 球面与圆锥面的位置关系6.3 空间曲线与曲面6.3.1 参数曲线的切线与曲面的切平面6.3.2 空间曲线的弧长6.3.3 二次曲线与二次曲面的性质6.4 空间向量与平面直线等角问题6.4.1 向量的定义与运算法则6.4.2 空间向量的数量积与夹角6.4.3 平面直线的方向余弦与法向量第七章多元函数级数与泰勒展开7.1 级数的概念与性质7.1.1 数项级数的定义7.1.2 数项级数的收敛与发散7.1.3 数项级数的运算性质7.2 幂级数7.2.1 幂级数的收敛域与收敛半径7.2.2 幂级数的性质与运算7.2.3 幂级数的应用7.3 函数展开成幂级数7.3.1 泰勒级数的定义与性质7.3.2 函数展开成泰勒级数的条件7.3.3 函数展开成泰勒级数的例子7.4 泰勒展开的应用7.4.1 高阶导数与泰勒展开7.4.2 函数的逼近与误差估计7.4.3 三角函数的傅里叶展开这是一个关于《高等数学教材同济版》的目录，它共包含七个主要章节，每个章节又分为若干小节，全面而系统地介绍了高等数学的各个知识点和概念。
同济大学高数第七版教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等基本概念；（2）理解并掌握极限、导数、积分等基本运算方法；（3）了解数学在工程、科学等领域的应用。
2. 能力目标：（1）培养逻辑思维能力和分析问题的能力；（2）提高解决实际问题的能力；（3）提高自学能力和团队合作能力。
3. 情感目标：（1）激发学生对高等数学的兴趣和热情；（2）培养学生严谨、求实的科学态度；（3）培养学生的创新精神和团队协作精神。
二、教学内容1. 函数与极限2. 导数与微分3. 微分中值定理与导数的应用4. 不定积分5. 定积分及其应用6. 微分方程三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）函数与极限的基本概念；（2）导数与微分的基本概念；（3）不定积分与定积分的基本概念；（4）微分方程的基本概念。
2. 教学难点：（1）极限的运算法则；（2）导数与微分的应用；（3）不定积分与定积分的应用；（4）微分方程的求解方法。
四、教学方法1. 讲授法：讲解基本概念、基本理论，引导学生理解、掌握；2. 例题法：通过例题讲解，帮助学生理解和应用所学知识；3. 习题法：布置课后习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力；4. 讨论法：组织课堂讨论，激发学生思维，培养团队合作精神。
五、教学过程1. 导入新课：介绍本节课的学习内容，激发学生学习兴趣。
2. 讲解新知识：（1）函数与极限：讲解函数、极限、连续性等基本概念，并举例说明；（2）导数与微分：讲解导数、微分等基本概念，并举例说明；（3）微分中值定理与导数的应用：讲解微分中值定理，并举例说明导数在求解实际问题中的应用；（4）不定积分：讲解不定积分的概念、基本方法，并举例说明；（5）定积分及其应用：讲解定积分的概念、基本方法，并举例说明定积分在求解实际问题中的应用；（6）微分方程：讲解微分方程的基本概念、解法，并举例说明。
3. 课堂练习：布置课后习题，让学生巩固所学知识。
同济高等数学教材目录
同济高等数学教材目录导读第一章：函数与极限1.1 实数与数学归纳法1.2 函数的概念与性质1.3 极限的基本概念1.4 极限运算与极限存在准则1.5 无穷小量与无穷大量1.6 极限的运算法则1.7 函数的连续性与间断点第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 导数的计算法则2.3 高阶导数与莱布尼茨公式2.4 微分的概念与性质2.5 微分中值定理2.6 基本初等函数的导数第三章：一元函数积分学3.1 积分的概念与性质3.2 基本积分法与第一换元法3.3 两种重要的积分方法3.4 定积分3.5 牛顿—莱布尼茨公式与换元积分法第四章：多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续性4.2 偏导数与全微分4.3 多元复合函数的求导法则4.4 隐函数及其导数4.5 方向导数与梯度第五章：多元函数积分学5.1 二重积分5.2 三重积分5.3 曲线与曲面积分5.4 向量场的积分第六章：无穷级数6.1 数项级数6.2 收敛级数的性质与判别法6.3 幂级数及其收敛半径6.4 函数展开成幂级数的条件与幂级数展开6.5 傅里叶级数第七章：常微分方程7.1 常微分方程7.2 一阶线性微分方程7.3 一阶方程的解法与常系数线性微分方程7.4 高阶线性微分方程及其解法7.5 常系数齐次线性微分方程与傅里叶级数展开7.6 非齐次线性微分方程的解法与特解的构造同济高等数学教材目录第一章：函数与极限第一章主要介绍了实数与数学归纳法、函数的概念与性质、极限的基本概念、极限运算与极限存在准则、无穷小量与无穷大量、极限的运算法则以及函数的连续性与间断点。
通过学习这些内容，我们可以建立起对函数和极限的基本认识，为后续章节的学习打下坚实基础。
第二章：导数与微分第二章主要介绍了导数的概念与性质、导数的计算法则、高阶导数与莱布尼茨公式、微分的概念与性质、微分中值定理以及基本初等函数的导数。
通过学习这些内容，我们可以了解到导数的计算和应用，以及微分的概念和性质。
高等数学同济第八版教材
高等数学同济第八版教材高等数学是大学数学的重要组成部分，它主要包含微积分和线性代数两个方面的内容。
而同济大学出版社的《高等数学同济第八版教材》是目前国内应用最广泛的高等数学教材之一。
本文将对该教材进行全面介绍，以帮助读者更好地理解和学习高等数学知识。
第一章微积分基础《高等数学同济第八版教材》的第一章主要介绍了微积分的基本概念、函数与极限、连续与间断等内容。
在这一章中，教材详细而全面地解释了微积分的起源和发展，为读者奠定了扎实的数学基础。
第二章一元函数微分学在第二章中，教材围绕一元函数的微分学展开讲解。
从导数的定义和性质开始，逐步引入微分的概念，并介绍了一元函数的凹凸性、单调性以及最值问题等重要内容。
此外，教材还给出了一些常见函数的导数和微分计算方法，为读者提供了丰富的例题和习题。
第三章一元函数积分学第三章主要介绍了一元函数的积分学。
教材从不定积分的定义和性质开始，讲解了反常积分和定积分的概念及其计算方法。
同时，教材还对定积分的应用进行了深入的讲解，如曲线长度、旋转体的体积等。
这些应用案例的介绍有助于读者理解积分在实际问题中的应用。
第四章微分方程本章主要介绍了微分方程的基本概念和解法。
教材首先介绍了一阶微分方程和高阶微分方程的概念，并详细讲解了可分离变量、齐次方程和一阶线性微分方程等常见的解法。
此外，教材还对二阶线性齐次微分方程的解法进行了详尽的介绍，并给出了一些典型的例题供读者练习。
第五章多元函数微分学在第五章中，教材引入了多元函数的微分学。
从偏导数和全微分的概念开始，教材展示了多元函数的极值、条件极值的判定方法，并详细介绍了隐函数的微分法和参数方程的微分法等内容。
本章的讲解重点在于培养读者对多元函数微分学的直观理解和应用能力。
第六章多元函数积分学多元函数积分学是本教材的第六章内容，它是微积分的重要组成部分。
教材从二重积分的概念和计算开始，讲解了二重积分的应用，如计算平面图形的面积、质量和重心等。
一元函数的积分与应用
一元函数的积分与应用在微积分中，积分是函数的导数的逆运算，用于求解函数的面积、体积、平均值等问题。
本文将讨论一元函数的积分及其在实际问题中的应用。
一、不定积分不定积分是指在求解函数的原函数时所使用的积分方法。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则其不定积分记作∫f(x)dx。
不定积分的结果是一个包含常数项的函数，即可以表示为F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，而C为任意常数。
不定积分主要通过一些基本积分公式和常见的积分技巧来求解。
其中，基本积分公式包括常数函数的积分公式、幂函数的积分公式、三角函数的积分公式等。
通过熟练掌握这些公式，可以简化积分运算的过程。
二、定积分定积分是求解函数在一个区间上的面积的方法。
设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则其定积分记作∫[a,b]f(x)dx。
定积分的结果是一个数值，表示函数曲线下的面积。
定积分的求解可以利用黎曼积分的定义，即将区间[a, b]等分成n个小区间，然后分别取各小区间上的一点，计算出这些小区间上的面积，并将其累加起来，当n趋向于无穷大时，即可得到函数在区间[a, b]上的定积分的近似值。
三、积分应用1. 面积计算定积分可用于计算曲线与坐标轴之间的面积。
具体方法是将函数曲线下的面积分成若干个小矩形或三角形的面积，然后将这些小面积相加得到总面积。
2. 几何体体积计算通过旋转曲线可得到一些几何体，如旋转曲线所围成的旋转体、圆锥体等。
利用定积分可求解这些几何体的体积。
3. 物理问题分析在物理学中，很多问题可以用积分方法求解。
例如，通过速度函数求位移函数、通过加速度函数求速度函数等。
积分可以帮助我们进一步了解物理规律与过程。
4. 概率密度函数计算统计学中，概率密度函数是描述随机变量的概率分布的函数。
通过对概率密度函数的积分，可以计算出某个区间内随机变量的概率。
除了以上几个方面，积分还有很多实际应用。
总的来说，积分是微积分的重要内容之一，对于解决实际问题具有广泛的应用。
《高等数学(一)微积分》讲义
5. 复合函数
给定函数链 f : D1 → f (D1) g : D → g(D) ⊂ D1
则复合函数为 f o g : D → f [g(D) ]
6. 初等函数 由基本初等函数经有限次四则运算与复合而成的由一个表达式表示的函
数。
4/69
二、 极限 （1．概念回顾 2、极限的求法，）
=
lim
x→π
1 cos x
sin x
-2 ⋅ 2（π
−
2 x）=
lim
x→π
1 -4 sin
cos x
x（π − 2x）
2
2
2
=
lim
x→π
1 -4 sin
x
⋅
cos
lxi→mπ（π −
2xx ）=
1 -4
lim
x→π
−
sin −2
x =
−
1 8
2
2
2
13/69
注：使用洛必达法则必须判断所求的极限是分式型的未定式 ∞ 、 0 。 ∞0
例 5：
求 lim x→∞
x+5 x2 − 9
．
解：
lim
x→∞
x+5 x2 − 9
=
lim
x→∞
1 x
+
5 x2
1−
9 x2
=
1 lim( x→∞ x
+
5 x2
)
=
0
=
0．
lim(1 −
x→∞
9 x2
)
1
知识点：设a0 ≠ 0, b0 ≠ 0, m, n ∈ N ，
同济大学高等数学b1教材原书
同济大学高等数学b1教材原书高等数学B1教材是同济大学数学系编写的一本教材，用于教授高等数学B1课程。
本教材旨在帮助学生掌握高等数学B1的基础知识和核心概念，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
下面将对本教材的内容进行介绍。
第一章：数学归纳法数学归纳法是高等数学中重要的证明方法之一。
本章首先介绍了归纳法的基本原理和步骤，进而讲解了如何运用数学归纳法证明各类数学命题，例如等差数列的通项公式和等比数列的通项公式等。
第二章：极限与连续极限与连续是高等数学中的基础概念。
本章系统地介绍了数列的极限、函数的极限以及函数的连续性等内容。
通过具体的例子和图表，帮助学生理解极限和连续的概念，掌握相关的计算技巧。
第三章：一元函数微分学微分学是高等数学中的重要分支。
本章从导数的概念出发，介绍了一元函数的导数、导数的计算、高阶导数等内容。
同时，引入了微分中值定理和泰勒公式等重要的理论结果，为后续章节的学习打下坚实的基础。
第四章：一元函数积分学积分学是高等数学中与微分学相对应的概念。
本章介绍了不定积分和定积分的概念及其性质，讲解了积分的计算方法和积分的应用，如曲线长度、曲线面积和物理问题的求解等。
第五章：多元函数微分学在实际问题中，往往需要研究多变量函数的性质和行为。
本章从偏导数的概念出发，介绍了多元函数的偏导数、全微分、多元函数的极值等内容。
同时，讨论了多元函数的方向导数和梯度等重要概念，为进一步研究多变量函数奠定了基础。
第六章：多元函数积分学多元函数的积分是高等数学中的重要内容之一。
本章介绍了重积分和曲线积分的概念，讲解了重积分的计算方法和曲线积分的应用。
同时，引入了格林公式和斯托克斯公式等重要的定理，为后续章节的学习提供了更深入的理论基础。
第七章：无穷级数无穷级数是高等数学中的重要内容之一。
本章介绍了数项级数和函数项级数的概念，讨论了级数的敛散性以及级数的性质和判别法。
同时，讲解了常见的收敛级数和发散级数，并探讨了级数的应用。
高数——一元函数积分学教学文案
高数——一元函数积分学一元函数积分学【知识要点】1、理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质。
2、熟练掌握不定积分的基本公式。
3、熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（仅限三角代换与简单的根式代换）。
4、熟练掌握不定积分的分部积分法。
5、掌握简单有理函数不定积分的计算。
6、理解定积分的概念及其几何意义，了解函数可积的条件7、掌握定积分的基本性质8、理解变上限积分是变上限的函数，掌握对变上限积分求导数的方法。
9、熟练掌握牛顿—莱布尼茨公式。
10、掌握定积分的换元积分法与分部积分法。
11、.理解无穷区间的广义积分的概念，掌握其计算方法。
12、掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的旋转体的体积。
1不定积分定义 函数)(x f 的全体原函数称为函数)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(，并称⎰微积分号，函数)(x f 为被积函数，dx x f )(为被积表达式，x 为积分变量。
因此⎰+=C x F dx x f )()(，其中)(x F 是)(x f 的一个原函数，C 为任意常数（积分常数）。
基本积分公式（要求熟练记忆） （1）⎰=C dx 0 （2）)1(111-≠++=+⎰a C x a dx x a a . （3）C x dx x+=⎰ln 1.（4）C a a dx a xx +=⎰ln 1 )1,0(≠>a a （5）C e dx e x x +=⎰ （6）⎰+-=C x xdx cos sin （7）⎰+=C x xdx sin cos（8）C x dx x +=⎰tan cos 12. （9）C x dx x +-=⎰cot sin 12.（10）C x dx x+=-⎰arcsin 112.（11）C x dx x +=+⎰arctan 112. 正确理解上述的积分公式是能否掌握不定积分计算的关键之一，所有积分公式中的x 均应理解为x 的连续函数，例如C x a dx x a a ++=⎰+111理解为下面的结构式：式中的方块可以为自变量x ，也可以是x 的函数，如：正确理解公式并能熟练掌握它，对于学习后续知识会有极大的好处。
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1、有理函数：有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即具有如下形式的函数：
, ， .
2、真分式：假设多项式 之间没有公因子，且 的次数小于 的次数，这时称该有理函数为真分式，而 的次数大于或等于 的次数时称该有理函数为假分式.
3、最简分式：下列四类分式称为最简分式,其中 为大于等于2的正整数, 、 、 、 、 、 均为常数,且 为二次质因式.
教学难点
第二换元法
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
掌握不定积分的换元法和分部积分法。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、第一类换元法的关键是：在求 时,如何将 化为 的形式.其具体作法可按如下步骤进行：
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
有理函数分解式
教学难点
有理三角式变换
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
会求简单的有理函数的积分。
教 学 基 本 内 容
大纲要求
理解定积分的概念及性质，了解可积条件。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、定积分设函数 在 上有界，在区间 上任意插入 个点，则有
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
大纲要求
理解原函数与不定积分的概念及性质。
掌握不定积分的基本公式。
教 学 基 本 内 容
一、基本概念：
1、原函数
已知 是定义在某区间 内的函数，若存在函数 ，使得
或者 , ，
则称 为区间 上 的原函数.
2、不定积分
在区间 上,函数 的带有任意常数项的原函数称为 在区间 上的不定积分,记作 ，即
例20求（1） ；（2） .
例21求 .
例22求下列积分（1） ；（2） .
例23求（1） ；（2） .
例24求（1） ；（2） .
例25求 .
*例26求（1） ；（2） .
例27求 .
例28求不定积分 .
授课序号03
教 学 基 本 指 标
教学课题
第三章第三节几种特殊类型的不定积分
课的类型
新知识课
教学方法
(1)变换积分形式，即直接或间接地令 ，且保证 可导及 ，于是有
；
（2）求出 的原函数 ，即得 ，
从而 ；
（3）回到原来变量，即由 解出 ，从而得所求的积分
3、分部积分法是针对解决某些被积函数是两类不同函数乘积的不定积分，它是由两个函数的乘积的微分运算法则推得的一种求积分的基本方法.
若 具有连续导数，则 ，即 .两边积分，得 ，即 .也可写作
第三章第四节定积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
定积分几何意义，定积分性质
教学难点
定积分定义
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
安玉伟等《高等数学定理 方法 问题》
作业布置
课后习题微积分标准化作业
例6求(1) ；(2) .
例7求 .
例8求不定积分
例9求下列不定积分:
(1) (2)
例10求 .
例11求不定积分 .
例12求(1) ；(2) .
例13(1) ；(2) ；
(3) ；(4) .
例14求(1) ；(2) .
例15求(1) ; (2) ;
例16求 .
例17求 .
*例18求 .
例19求不定积分
高等数学教学教案
第三章一元函数积分学及其应用
授课序号01
教 学 基 本 指 标
教学课题
第三章第一节不定积分的概念与性质
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
原函数，不定积分概念，不定积分性质
教学难点
原函数存在性
参考教材
同济版、人大版《高等数学》；同济版《微积分》武汉大学同济大学 《微积分学习指导》
（1）变换积分形式（或称凑微分），即 ；
（2）作变量代换 ，有 ；
（3）利用常用的积分公式求出 的原函数 ，即得 ,
从而 ；
（4）回到原来的变量，将 代入即得 .
2、如果在积分 中，令 ，且 可导， ，则有
若上式右端易求出原函数 ，则得第二换元积分公式 ，其中 为 的反函数，即 .
其具体作法可按如下步骤进行.
，
其中符号 称为积分号，称 为被积函数， 称为被积表达式， 称为积分变量， 是 的一个原函数.
二、定理与性质：
基本积分公式
(1) ；(2) ;
(3) ; (4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) ; (8) ;
(9) ; (10) ;
(11) ; (12) ;
(13) ; (14) .
性质1(积分与微分关系)设函数 及 的原函数存在，则
（5） ；（6） ；
（7） ；（8） ；
（9） ；（10） ；
（11） ；（12） .
例7已知 求满足条件的函数 .
授课序号02
教 学 基 本 指 标
教学课题
第三章第二节不定积分的换元法与分部法
课的类型
新知识课
教学方法
讲授、课堂提问、讨论、启发、自学
教学手段
黑板多媒体结合
教学重点
不定积分第一换元法，分部积分法
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) .
二、定理与性质：
三、主要例题：
例1把分式 分解为最简分式之和.
例2把分式 分解为最简分式之和.
例3分解有理分式 .
例4求 .
例5求 .
例6求 .
例7求
例8求不定积分
例9求不定积分 .
例10求 .
例11求 .
例12求 .
授课序号04
教 学 基 本 指 标
教学课题
.
二、定理与性质：
定理1设 具有原函数 ， 可导，则 是 的原函数，有换元公式
.
定理2设 是单调的可导的函数，且 ，又 具有原函数 ，则 是 的原函数，即有换元公式
.
三、主要例题：
例1求 .
例2求不定积分 .
例3求不定积分：
(1) ; (2) .
例4求（1） ;（2） .
例5求下列不定积分:
(1) ;(2)
（1） ；
（2） .
性质2（线性运算）设函数 及 的原函数存在，则
，
其中 为任意常数.
三、主要例题：
例1设 和 均连续，问 与 是否相等?
例2求 .
例3求 （即 ）.
例4求 .
例5设曲线通过点 ，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的平方，求此曲线的方程.
例6求下列不定积分:
(1) ；(2) ；
（3） ;（4） ;