特殊的平行四边形

八年级 第27讲 特殊的平行四边形知识点1、矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．例题如图,在△ABC 中,AB=AC,AD 是BC 边上的高,AE 是△ABC 的外角平分线,DE ∥AB 交AE 于E,试说明四边形ADCE 是矩形.EDCBA限时训练 1、在ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果∠ABO ＋∠ADO ＝90°，那么ABCD 是矩 形2、直角三角形ABC 中，CM 是斜边AB 上的中线，延长CM 到D ，使MD=MC ，则四边形ABCD 是 形3、工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ；⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ；⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ；压轴题链接如图，在菱形ABCD 的边上依次截取E ﹑F ﹑G ﹑ H, 使AE = AH = CF = CG, （1）求证：四边形EFGH 是矩形;（2）若菱形的边长是1，∠A = 1200，AE = x ，四边形EFGH 的面积= y ，求出y 与x 之间的函数关系式。

（3）当x 为何值时，四边形EFGH 是正方形？知识点2、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．例题如图, ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与两边AB,CD 的延长线分别交于E,F, 求证:四边形AECF 是菱形.CB DAF证明：设EF 与对角线交于O,证△OCF ≌△OAE,得OE=OF,又OA=OC,所以四边形AECF 是平行四边形，因EF 是AC 的垂直平分线，所以AF=CF ，四边形AECF 是菱形 限时训练1、已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（ ） A ．AB=CD B ．AB=ACC ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 D ．当∠ABC=90°时，它是矩形 2、要证明一个四边形是菱形，可以先证明这个四边形是 ，再证明这个 （只需填写一种方法）3、在ABCD 中，若一条对角线平分一个内角，则四边形ABCD 为_______形．4、已知AD 是△ABC 中∠A 的平分线，DE ∥AC 交AB 于E 点，DF ∥AB 交AC 于F 点．则四边形AEDF 是菱 形 压轴题链接如图，在△ABC 中，∠ACB=90º，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，并且AF=CE 。

(1)求证：四边形ACEF 是平行四边形；(2)当∠B 的大小满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请回答并证明你的结论；F EDB A知识点3、矩形的性质定理1 矩形的四个角都是直角． 例题已知:如图所示,在矩形ABCD 中,E 为DC 上的一点,BF ⊥AE 于点F,且BF=BC,求证:AE=AB.E BADFC证明:∵四边形ABCD 是矩形,∴BC=AD,DC∥AB,∠D=90°, ∴∠DEA=∠FAB. ∵BF=BC,∴AD=BF.∵∠BFA=90°, ∴∠D=∠BFA=90°.在△ADE 和△BFA 中,AD=BF,∠DEA=∠FAB,∠D=∠BFA, ∴△ADE≌△BFA.∴AE=BA.限时训练 1、如图,矩形ABCD 沿着AE 折叠,使D 点落在BC 边上的F 点处,如果 60=∠BAF ,则DAE ∠ 等于 ( )A. 15B. 30C. 45D. 602、如图，在长方形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∠1＝15。

∠2的度数= 度；3、矩形的面积为48，一边长是6，那么矩形的对角线长是 。

4、矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则这个矩形的面积为 cm 2。

5、如图，将一个矩形纸片按虚线AE 处对折，B 点落在CD 边上F 处，若AB=6cm ，AD=4cm ，CF 的长为 。

6、如图, 把矩形ABCD 沿直线BD 折叠, 使点C 落在C /处, BC /交AD 于E, AD=8,AB=6, 则点E 到BD 的距离是 .AB C DE FEA B C C A E DB C压轴题链接如图，在矩形 ABCD中，F是BC边上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E，且DE＝DC．根据上述条件，请在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论．知识点4、矩形的性质定理2 矩形的两条对角线相等．例1如图，已知：矩形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE = 15o,求：∠BOE 的度数。

OE D CBA（此题删掉：题型过于老旧重复）例2、如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，E是CB延长线上一点，CF⊥AE于点F，求证：DF ⊥BF变式（1）若点E在边CB，那么结论是否成立？变式（2）若点E在BC延长线上，那么结论是否成立？A BCDA BCDOEFD CBA限时训练 1、矩形两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15cm ，则矩形较短边长为（ ） A ．4cm B ．2cm C ．3cm D ．5cm2、矩形的两条对角线所夹的一个钝角为120°，那么矩形较短边与较长边的比是（ ） A 、1∶2B 、3∶1C 、3∶3D 、1∶33、如图,过矩形ABCD 的四个顶点作对角线AC 、BD 的平行线,分别相交于E 、F 、G 、H 四点,则四边形EFGH 是( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形4、矩形ABCD 中，已知∠ACB=30°，则∠BDC= 。

5、如图,在矩形ABCD 中,AC 与BD 相交于O,把△OAB 向AD 方向平移,平移的距离等于BC 的长,则四边形OCED 是______形.如图，自矩形ABCD 的顶点C 作CE ⊥BD ，E 为垂足，延长EC 至F ，使CF=BD ，连结AF ，求∠BAF 的大小。

_H_G _E_F_D_C_B_A知识点5、菱形的性质定理1 菱形的四条边都相等．例题如图,菱形ABCD,E、F分别为BC、CD上的点,且∠B=∠EAF=60°,若∠BAE=20°,求∠CEF 的度数．分析：连结AC，由菱形的特征与已知条件可得△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ACD=60°，由∠EAF=60°，可得∠BAE=∠CAF，进而可得△ACF是△ABE绕点A旋转60°得到，∴AE=AF，得△AEF为等边三角形，从而求出∠CEF．解：连结AC，菱形ABCD中，AB=BC，∠ACB=∠ACD.∵∠B=60°,∴△ABC是等边三角形.于是有∠BAC＝∠ACB＝∠ACD=60°,AB=AC.由已知∠EAF=60°,可得∠BAE=∠CAF.∴△ACF是△ABE绕点A逆时针旋转60°得到的.∴ AE=AF.∴△AEF是等边三角形,∠AEF=60°.∵∠AEC=∠AEF＋∠CEF=∠B＋∠BAE，∴∠CEF＝∠BAE＝20°.说明：菱形是特殊的平行四边形，除具有平行四边形的性质外，还有特性：(1)菱形的四条边相等．(2)菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．限时训练1、菱形的一条较短的对角线与边长相等,则菱形中较小的内角是( )A.15°B.30°;C.45°D.60°2、已知菱形两邻角的比是1∶2，周长是9.2cm，则菱形的短对角线长为。

3、菱形ABCD的高AE平分BC，则∠B=_____度。

4、已知菱形ABCD的边长为6cm, ∠ABC∶∠BAD=1∶2，则菱形ABCD面积的为。

5、如图，已知菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB于E，设AB=a，则对角线AC的长为（结果用a表示）。

压轴题链接已知：如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，点P是射线BC上的一个动点，∠PAQ=60°，交射线CD于点Q，设点P到点B的距离为x，PQ=y．（1）求证：△APQ是等边三角形；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）如果PD⊥AQ，求BP的值．知识点6、菱形的性质定理2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．例题已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，P是BD延长线上一点（1）求证：PA=PC（2）如果PC⊥BC，求证：∠APC=∠BCD分析：第（1第（2）题要证∠APC=∠BCD，注意到∠APC=2∠BPC，∠BCD=2∠OCB，可知只要证明∠BPC=∠OCB；而由PC⊥BC，又PB⊥AC，可推出∠OCB=∠BPC证明：（1）∵四边形ABCD是菱形∴对角线BD垂直平分对角线AC，即直线BD是线段AC的垂直平分线。

∵点P在直线BD上∴PA=PC（2）∵四边形ABCD是菱形D∴AC⊥BD，AO=OC；且∠OCB=∠OCD，即∠BCD=2∠OCB∴PC⊥BC∴∠OCB+∠PCO=90。

又由AC⊥BD，可知∠BPC+∠PCO=90。

∴∠BPC=∠OCB∵PA=PC，AO=OC∴∠APO=∠BPC，即∠APC=2∠BPC∴∠APC=∠BCD说明：菱形除了具有平行四边形的性质外，还有它所特有的性质。

本题利用了菱形的“对角线互相垂直平分”及“对角线平分内角”的性质。

对本题还可以进一步探求：在直线BD上是否存在点Q（不同于B和D），使得∠AQC+ ∠BCD=180。

并说明理由。

限时训练1、如图1,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB 的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连结DF,则∠CDF等于( )A.80°B.70°C.65°D.60°2、下列图形中,既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( )(A)平行四边形 (B)等边三角形 (C)菱形 (D)等腰三角形3、下列性质，矩形没有而菱形有的是（）A、对角线互相垂直B、对角线互相平分C、对角线相等D、以上都不对4、菱形和矩形都具有的性质是( )A.对角线相等;B.对角线互相平分;C.对角线平分一组对角;D.对角线互相垂直5、已知菱形ABCD中，AB=AC=6，则BD= 。

6、已知菱形的两条对角线的长的比为3：4，边长为10cm,则这个菱形面积为 _cm2. 压轴题链接如图,在菱形ABCD中,E是AD的中点,EF⊥AC交AB于M,交CB延长线于F点,求证:AB,EF互相平分.2、已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF。