广东省高考数学一轮复习 数列备考试题 理 (1)

广东省2015年高考一轮复习备考试题：数列一、选择题:1、（2014茂名二模）已知数列{a n }是等差数列，a 2=2，a 5=8，则公差d 的值为（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．-22、（2014揭阳二模）已知等差数列{}n a 中,26a =,前7项和784S =,则6a 等于A.18B. 20C.24D. 323、（2015广州海珠区综合测试一）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S = A ．31 B ．32 C ．63 D ．64 4．（2015珠海9月摸底）等比数列{}n a 中，33a =-，则前5项之积是（ ）sA ．53 B ．53- C ．63 D ．63-5．（珠海一中等六校2014高三第三次联考）若一个等差数列前3项和为3，最后3项和为30，且所有项的和为99，则这个数列有（ ） A.9项 B.12项 C.15项 D.18项 6．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n个数且两端的数均为1n ()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…， 则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）A ．11260 B ．1840 C ．1504 D ．1360二、填空题:7、（2014广东高考）若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++=L L8. （2013广东高考）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.9. （2012广东高考）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =______________.10．（2011广东高考）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ．三、解答题11、（2014广东高考）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式.12、（2013广东高考）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L .13、（2012广东高考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n ∈*N ，且1a 、25a +、3a 成等差数列.（Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<L .14、（2015广州六中第一次质检）已知数列{}n a 中，13a =，前n 项和1(1)(1)12n n S n a =++-． (Ⅰ)设数列}{n b 满足na b nn =，求1+n b 与n b 之间的递推关系式； (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式.15. （2015广州海珠区综合测试一）已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若525S =,且124,,S S S 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）()1n n b n N S *=∈，证明:对一切正整数n ,有1274n b b b +++<L ．16、（2015广东七校摸底考试）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.（1）求1a(2) 求数列{}n a 的通项； (3) 若)12*∈=N n a b nn （,n n b b b T +++=........21，求证：n T ＜35答案1、C2、A3、C4、B5、D6、B7、508、209、21n a n =- 10、10 11、解：（1）当1n =时，1227a a =- ① 当2n =时，123420a a a +=- ②312315S a a a =++= ③由①②③解得1233,5,7a a a === (2)当1n >时，21234n n S na n n +=--①()()()21213141n n S n a n n -=-----②①—②化简得()122161n n na n a n +=-++(当1n =时也成立) 方法1：（凑配）令()()[]121B 21n n n a A n n a An B ++++=-++⎡⎤⎣⎦，求得21A B =-=-，即()()[]122112121n n n a n n a n +-+-=---⎡⎤⎣⎦令21n n b a n =--，则()1221n n nb n b +=-，即1212n n n b b n+-=因为1230,0,0b b b ===，故必有0n b =，即21n a n =+方法2：（数学归纳法）由（1）1233,5,7a a a ===，猜想21n a n =+，下面用数学归纳法证明对,21n x N a n +∀∈=+：当1,2,3n n n ===时，成立假设当n k =时成立，即有21k a k =+，()122161k k ka k a k +=-++ 当1+n k =时， ()()21221216146k ka k k k k k +=-+++=+所以()2146232112k k ka k k k++==+=++，成立 综上所述，对,21n x N a n +∀∈=+12、(Ⅰ) 依题意,12122133S a =---,又111S a ==,所以24a =； (Ⅱ) 当2n ≥时,32112233n n S na n n n+=---, ()()()()321122111133n n S n a n n n -=-------两式相减得()()()2112213312133n n n a na n a n n n +=----+---整理得()()111n n n a na n n ++=-+,即111n n a a n n +-=+,又21121a a -=故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a =,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n =+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L L 11171714244n n =++-=-<综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<L .13、解析：（Ⅰ）由()()12123213232725a a a a a a a a ⎧=-⎪+=-⎨⎪+=+⎩，解得11a =.（Ⅱ）由11221n n n S a ++=-+可得1221n n n S a -=-+（2n ≥），两式相减，可得122nn n n a a a +=--，即132n n n a a +=+，即()11232n n n n a a +++=+，所以数列{}2n na+（2n ≥）是一个以24a +为首项，3为公比的等比数列.由1223a a =-可得，25a =，所以2293n n n a -+=⨯，即32n nn a =-（2n ≥），当1n =时，11a =，也满足该式子，所以数列{}n a 的通项公式是32n nn a =-.（Ⅲ）因为1113323222n n n n n ----=⋅≥⋅=，所以1323n n n --≥，所以1113n n a -≤，于是112111111131331113323213nnn n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+++≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-L L .下面给出其它证法.当1n =时，11312a =<；当2n =时，121113152a a +=+<；当3n =时，12311111315192a a a ++=++<. 当4n ≥时，1n n b a <，所以31231132211111113311151951916212n n a a a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++<+++<+++<-L.综上所述，命题获证.下面再给出1211132n a a a +++<L 的两个证法.法1：（数学归纳法）①当1n =时，左边111a ==，右边32=，命题成立.②假设当n k =（2k ≥，k ∈N ）时成立，即113322ki ii =<-∑成立.为了证明当1n k =+时命题也成立，我们首先证明不等式：1111132332i i i i ++<⋅--（1i ≥，i ∈N ）. 要证1111132332i i i i ++<⋅--，只需证1111132332i i i i +++<--⋅，只需证11132332i i i i +++->-⋅，只需证1232i i+->-⋅，只需证23->-，该式子明显成立，所以1111132332i i i i ++<⋅--.于是当1n k =+时，111211111113311323232332322k k k i i i i i ii i i ++====+<+<+⨯=----∑∑∑，所以命题在1n k =+时也成立.综合①②，由数学归纳法可得，对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<L .备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识. 法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供）当1n =时，11312a =<显然成立.当2n =时，121113152a a +=+<显然成立.当3n ≥时，()32122nn n n n a =-=+-12211122222n n n nn n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-L ()12211221222221n n n n n n C C C C n n --=+⋅+⋅++⋅>⋅=-L ，又因为()252221a =>⨯⨯-，所以()21n a n n >-（2n ≥），所以()111112121n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭（2n ≥），所以123111111111111311112234122n a a a a n n n ⎛⎫⎛⎫++++<+-+-++-=+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭L L .综上所述，命题获证.14、解： （1） ∵1(1)(1)12n n S n a =++- ∴111(2)(1)12n n S n a ++=++- ∴11n n n a S S ++=-11[(2)(1)(1)(1)]2n n n a n a +=++-++ ----------4分 整理得1(1)1n n na n a +=+-， 等式两边同时除以(1)n n +得111(1)n n a a n n n n +=-++， ----7分 即11(1)n n b b n n +=-+ -------8分由（1）知11(1)n n b b n n +=-+即111(1)n n a a n n n n +=-++所以112211112211n n n n n a a a a a a a a n n n n n ---=-+-++-+---L L 111111113112232n n n n n n =-+-+-++-+-----L L 12n=+ 得21n a n =+ ---------14分 15、16．解：（1）令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a Θ ………2分(2)又n n n S a a 22=+………①有11212+++=+n n n S a a ………… ②……………………3分②-①得n n n S S a -=++11…………………4分0)1)((11=--+++n n n n a a a a001>+∴>+n n n a a a Θ∴11n n a a +-= ……………………6分 ∴n n a n =-⨯+=)1(11 …………………………8分 (3)n=1时1b =1＜35符合………………………9分 2≥n 时，因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n,………………………………11分 所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n k nk Λ………….13分 ∴n n b b b T +++=........21＜35…………………………14分。