上海大学830机械原理与设计2003年考研专业课真题试卷
新版上海大学机械设计及理论考研经验考研参考书考研真题
又是一年考研时节，每年这个时候都是考验的重要时刻，我是从大三上学期学习开始备考的，也跟大家一样，复习的时候除了学习，还经常看一些学姐学长们的考研经验，希望可以在他们的经验里找到可以帮助自己的学习方法。
我今年成功上岸啦，所以跟大家分享一下我的学习经验，希望大家可以在我的经历里找到对你们学习有帮助的信息！其实一开始，关于考研我还是有一些抗拒的，感觉考研既费时间又费精力，可是后来慢慢的我发现考研真的算是一门修行，需要我用很多时间才能够深入的理解它，所谓风雨之后方见才害怕难过，所以在室友们的鼓励和支持下，我们一起踏上了考研之路。
虽然当时不知道结局是怎样，但是既然选择了，为了不让自己的努力平白的付出，说什么都要坚持下去！因为是这一路的所思所想，所以这篇经验贴稍微有一些长，字数上有一些多，分为英语和政治以及专业课备考经验。
看书确实是需要方法的，不然也不会有人考上有人考不上，在借鉴别人的方法时候，一定要融合自己特点。
注：文章结尾有彩蛋，内附详细资料及下载，还劳烦大家耐心仔细阅读。
上海大学机械设计及理论的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(301)数学一和(835)机械设计（二）参考书目为：1.《机械设计》（第9版）濮良贵主编高等教育出版社2013年关于英语复习。
我提一个建议，考研单词主要是用于阅读，所以知道意思即可，建议背单词书的同学不要死啃单词书，以“过单词”的方式背单词，每个单词记忆时间不要太长，不然很容易走神，效率也会很低，背诵单词应利用好零碎的时间，如吃饭之前半个小时，饭后半个小时，也可以穿插在复习专业课期间学累了的时候。
我大概早上会有半个小时的时间来背单词，考研单词大多数是不要求掌握拼写的，在阅读中见到能认出即可，所以速度可以快一点，多重复几遍。
早上大概背一到两个单元，晚上睡觉之前再听一遍录音，第二天再迅速的复习一下，效果还不错。
阅读还是要多读多看，一遍一遍地过。
大家应该也都报了相应的辅导班，老师会有自己的节奏，跟着走就好。
上海大学研究生《机械设计》考试大纲
一、考试范围考1．绪论200092（1）了解课程的内容、性质与任务。
共济（2）掌握有关的基本概念。
正门对面2．机械零件的强度正门对面（1）掌握疲劳极限概念、两种材料疲劳曲线及其方程的应用、材料无限寿命疲劳极限和有限寿命疲劳极限的确定方法。
业（2）熟练掌握塑性材料机械零件的简化极限应力图的绘制和应用。
对于在非对称循环应力下工作的零件，应能在该图上找到工作应力点和求出极限应力点，判断零件可能发生的失效形式。
专（3）了解影响实际零件疲劳极限的因素。
48号（4）熟练掌握单向稳定变应力时机械零件疲劳强度的三种校核计算。
同济大学四平路（5）掌握单向不稳定变应力时的疲劳强度计算。
33623 037（6）了解在双向稳定变应力下工作的零件其疲劳强度的计算方法。
336 26038（7）了解两平行圆柱体相压的接触应力计算。
kaoyantj3．螺纹连接和螺旋转动48号（1）了解连接螺纹的主要参数。
辅导（2）了解螺纹连接的主要形式、特点和应用，掌握它们的结构和画法。
33623 037（3）了解螺纹连接件的常用材料、强度级别，掌握螺纹连接许用应力的确定。
200092（4）掌握螺纹连接的预紧和防松。
彰武（5）了解螺栓组结构设计的一般原则。
专（6）熟练掌握分别受用横向载荷、旋转力矩，轴向载荷和翻转力矩的四种典型螺栓组的受力分析方法。
200092（7）掌握普通螺栓和铰制孔用螺栓的不同失效形式和计算准则，熟练掌握松螺栓连接、只受预紧力作用的紧螺栓连结、受预紧力和轴向工作载荷的紧螺栓连结、受横向载荷的铰制孔螺栓连结的螺栓强度计算。
院（8）了解提高螺栓连接强度的措施。
4．键、花键、无键连接和销连接（1）了解键连接的类型、特点和应用。
（2）掌握平键连接的失效形式，尺寸选取和强度校核计算。
（3）了解半圆键、楔键、切向键的强度计算。
（4）了解各类花键连接的特点、定心方式和应用。
（5）掌握矩形花键连接的强度校核计算。
（6）了解销连接的种类和应用。
上海大学833机械设计(一)2018年考研专业课大纲
考试科目：833 机械设计（一） 适用专业：机械制造及其自动化、机械设计及理论 一、复习要求
要求考生熟悉通用机械零件的基本知识，掌握通用机械零件的设计原理、方法和机械设计的一般规律， 具有综合运用所学知识设计通用零件和简单机械的能力。 二、主要复习内容 1.绪论 （1）了解课程的内容、性质与任务。 （2）掌握有关的机械设计基本概念。 2.机械零件的强度 （1）掌握疲劳曲线及极限应力曲线的意义及用途；能根据材料的几个基本力学性能（σB、σs、σ1、σ0）及零件的几何特性，绘制零件的极限应力线图。 （2）掌握单向稳定变应力的机械零件疲劳强度计算方法：① r=常数；②σm=常数；③σmin=常数。了解 应力等效转化的概念。 （3）熟悉疲劳损伤累积假说（Miner 法则）的意义及其应用方法。 （4）掌握教材中有关线图及数表的查询方法。 3.螺纹连接和螺旋传动 （1）掌握螺纹及螺纹连接件的类型、特性、标准、结构、应用场合及有关的防松方法。 （2）能正确进行螺栓组的受力分析并进行螺栓尺寸的计算及类型、规格的选用。 （3）在受拉伸载荷或受倾覆力矩的紧螺栓连接中，能用螺栓连接的受力变形线图分析说明降低螺栓刚度、 增大被连接件刚度及增大预紧力可以提高螺栓抗疲劳能力。 （4）掌握滑动螺旋传动的设计计算方法。 4.键、花键、无键连接和销连接 （1）了解键连接的类型及应用特点；掌握键的主要类型及尺寸的选择方法。 （2）了解花键连接的类型、特点及应用。 5.带传动 （1）了解带传动的类型、特点及应用场合。 （2）掌握带传动的工作原理、受力分析、弹性滑动及打滑等基本理论。 （3）了解带传动的失效形式及设计准则。 （4）熟悉带的应力计算及其变化规律。 （5）掌握带传动的参数选择。 （6）熟悉带传动的张紧方法及措施。 6.链传动 （1）了解链传动的工作原理、特点及应用；掌握链传动的“多边形效应”，即链传动的运动不均匀性及 动载荷是如何产生的，可采取什么措施（如改变链轮齿数、转速、链条节距等）以改善链传动的运动不均 匀性及动载荷。 （2）掌握分析滚子链传动发生跳齿、脱链的主要原因的方法。 （3）掌握链传动的安装布置和张紧。 （4）了解滚子链传动的设计计算方法。 7.齿轮传动 （1）了解齿轮传动的特点及应用；掌握不同条件下齿轮传动的失效形式、设计准则、强度计算方法。
2003考研数学一真题及解析
2003年全国硕士入学统考数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1） )1ln(1)(cos lim x x x +→ =e1 .【分析】 ∞1型未定式，化为指数函数或利用公式)()(lim x g x f )1(∞=)()1)(lim(x g x f e -进行计算求极限均可.【详解1】 )1ln(12)(cos lim x x x +→=xx x ecos ln )1ln(1lim20+→,而 212c o s s i n lim cos ln lim )1ln(cos ln lim 02020-=-==+→→→x x xx x x x x x x ， 故 原式=.121ee=-【详解2】 因为 2121lim )1ln(1)1(cos lim 2202-=-=+⋅-→→xxx x x x ， 所以 原式=.121ee=-（2） 曲面22y x z +=与平面042=-+z y x 平行的切平面的方程是542=-+z y x .【分析】 待求平面的法矢量为}1,4,2{-=n，因此只需确定切点坐标即可求出平面方程, 而切点坐标可根据曲面22y x z +=切平面的法矢量与}1,4,2{-=n平行确定.【详解】 令 22),,(y x z z y x F --=，则x F x 2-='，y F y 2-='， 1='z F .设切点坐标为),,(000z y x ，则切平面的法矢量为 }1,2,2{00y x --，其与已知平面042=-+z y x 平行，因此有11422200-=-=-y x ， 可解得 2,100==y x ，相应地有 .520200=+=y x z故所求的切平面方程为0)5()2(4)1(2=---+-z y x ，即 542=-+z y x .（3） 设)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，则2a = 1 .【分析】 将)()(2ππ≤≤-=x x x f 展开为余弦级数)(cos 02ππ≤≤-=∑∞=x nx ax n n，其系数计算公式为⎰=ππ0cos )(2nxdx x f a n .【详解】 根据余弦级数的定义，有 x d x xdx x a 2sin 12cos 22022⎰⎰=⋅=ππππ=⎰⋅-πππ2]22sin 2sin [1xdx x xx=⎰⎰-=πππππ]2cos 2cos [12cos 1xdx xx x xd=1. （4）从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2132. 【分析】 n 维向量空间中，从基n ααα,,,21 到基n βββ,,,21 的过渡矩阵P 满足 [nβββ,,,21 ]=[nααα,,,21 ]P ，因此过渡矩阵P 为：P=[121],,,-n ααα [],,,21n βββ .【详解】根据定义，从2R 的基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,0121αα到基⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ的过渡矩阵为P=[121],-αα[⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-21111011],121ββ.=.213221111011⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡- （5）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ，y x x y x f 其他,10,0,6),(≤≤≤⎩⎨⎧=则=≤+}1{Y X P41 . 【分析】 已知二维随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，求满足一定条件的概率}),({0z Y X g P ≤，一般可转化为二重积分}),({0z Y X g P ≤=⎰⎰≤0),(),(z y x g dxdy y x f 进行计算.【详解】 由题设，有 =≤+}1{Y X P ⎰⎰⎰⎰≤+-=121016),(y x xxxdy dx dxdy y x f=.41)126(2102=-⎰dx x x（6）已知一批零件的长度X (单位：cm)服从正态分布)1,(μN ，从中随机地抽取16个零件，得到长度的平均值为40 (cm)，则μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( . (注：标准正态分布函数值.)95.0)645.1(,975.0)96.1(=Φ=Φ 【分析】 已知方差12=σ，对正态总体的数学期望μ进行估计，可根据)1,0(~1N n X μ-，由αμα-=<-1}1{2u nX P 确定临界值2αu ，进而确定相应的置信区间. 【详解】 由题设，95.01=-α，可见.05.0=α 于是查标准正态分布表知.96.12=αu本题n=16, 40=x , 因此，根据 95.0}96.11{=<-nX P μ，有 95.0}96.116140{=<-μP ，即 95.0}49.40,51.39{=P ，故μ的置信度为0.95的置信区间是)49.40,51.39( .二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设函数f(x)在),(+∞-∞内连续，其导函数的图形如图所示，则f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点. (B) 两个极小值点和一个极大值点. (C) 两个极小值点和两个极大值点.(D)[ C ]【分析共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定.【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x=0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C).（2）设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立.(C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在. [ D ]【分析】 本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B)； 而极限n n n c a ∞→lim 是∞⋅0型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限n n n c b ∞→lim 属∞⋅1型，必为无穷大量，即不存在.【详解】 用举反例法，取n a n 2=，1=n b ，),2,1(21==n n c n ，则可立即排除(A),(B),(C)，因此正确选项为(D).（3）已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x ，则(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点. (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点. (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点.(D) 根据所给条件无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点. [ A ] 【分析】 由题设，容易推知f(0,0)=0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.【详解】 由1)(),(lim2220,0=+-→→y x xyy x f y x 知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)=0, 且222)(),(y x xy y x f +≈- y x ,(充分小时），于是 .)()0,0(),(222y x xy f y x f ++≈-可见当y=x 且x 充分小时，04)0,0(),(42>+≈-x x f y x f ；而当y= -x 且x 充分小时，04)0,0(),(42<+-≈-x x f y x f . 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).（4）设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则 (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关. [ D ]【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关. 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤. 可见正确选项为(D). 本题也可通过举反例用排除法找到答案.【详解】 用排除法：如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C). 故正确选项为(D).（5）设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0, 其中A,B 均为n m ⨯矩阵，现有4个命题：① 若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)； ② 若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解； ③ 若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)； ④ 若秩(A)=秩(B)， 则Ax=0与Bx=0同解. 以上命题中正确的是(A) ① ②. (B) ① ③.(C) ② ④. (D) ③ ④. [ B ] 【分析】 本题也可找反例用排除法进行分析，但① ②两个命题的反例比较复杂一些，关键是抓住③ 与 ④，迅速排除不正确的选项.【详解】 若Ax=0与Bx=0同解，则n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命题③成立，可排除(A),(C)；但反过来，若秩(A)=秩(B)， 则不能推出Ax=0与Bx=0同解，如⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000B ，则秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0与Bx=0不同解，可见命题④不成立，排除(D),故正确选项为(B).（6）设随机变量21),1)((~XY n n t X =>，则 (A) )(~2n Y χ. (B) )1(~2-n Y χ.(C) )1,(~n F Y . (D) ),1(~n F Y . [ C ] 【分析】 先由t 分布的定义知nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，再将其代入21X Y =，然后利用F 分布的定义即可. 【详解】 由题设知，nV U X =，其中)(~),1,0(~2n V N U χ，于是21X Y ==122U n V U n V =，这里)1(~22χU ，根据F 分布的定义知).1,(~12n F XY =故应选(C).三 、（本题满分10分）过坐标原点作曲线y=lnx 的切线，该切线与曲线y=lnx 及x 轴围成平面图形D. (1) 求D 的面积A;(2) 求D 绕直线x=e 旋转一周所得旋转体的体积V.【分析】 先求出切点坐标及切线方程，再用定积分求面积A; 旋转体体积可用一大立体（圆锥）体积减去一小立体体积进行计算，为了帮助理解，可画一草图.【详解】 (1) 设切点的横坐标为0x ，则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是).(1ln 000x x x x y -+= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ，从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x ey = 平面图形D 的面积 ⎰-=-=1.121)(e dy ey e A y （2） 切线x ey 1=与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3121e V π=曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为 dy ee V y 212)(⎰-=π，因此所求旋转体的体积为 ).3125(6)(312102221+-=--=-=⎰e e dy e e e V V V y πππ四 、（本题满分12分）将函数x x x f 2121arctan )(+-=展开成x 的幂级数，并求级数∑∞=+-012)1(n nn 的和.【分析】 幂级数展开有直接法与间接法，一般考查间接法展开，即通过适当的恒等变形、求导或积分等，转化为可利用已知幂级数展开的情形。
2003考研数二真题及解析
2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. (1) 若0→x 时，1)1(412--ax 与x x sin 是等价无穷小，则a = .(2) 设函数()y f x =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线()y f x =在点(1,1)处的切线方程是 .(3) xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是 .(4) 设曲线的极坐标方程为)0(>=a e a θρ ，则该曲线上相应于θ从0变到π2的一段弧与极轴所围成的图形的面积为 .(5) 设α为3维列向量，Tα是α的转置. 若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=111111111T αα，则ααT = .(6) 设三阶方阵,A B 满足E B A B A =--2，其中E 为三阶单位矩阵，若⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=102020101A ，则=B .二、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.(1) 设}{},{},{n n n c b a 均为非负数列，且0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,则必有( )(A) n n b a <对任意n 成立. (B) n n c b <对任意n 成立. (C) 极限n n n c a ∞→lim 不存在. (D) 极限n n n c b ∞→lim 不存在.(2) 设dx x xa n n nn n +=⎰+-123101, 则极限n n na ∞→lim 等于( ) (A) 1)1(23++e . (B) 1)1(231-+-e . (C) 1)1(231++-e . (D) 1)1(23-+e .(3) 已知xxy ln =是微分方程)(y x x y y ϕ+='的解，则)(y x ϕ的表达式为( )(A) .22x y - (B) .22x y (C) .22yx - (D) .22y x(4 ) 设函数()f x 在),(+∞-∞则()f x 有( )(A)一个极小值点和两个极大值点.(B)两个极小值点和一个极大值点. (C)两个极小值点和两个极大值点. (D)三个极小值点和一个极大值点.(5) 设⎰=401tan πdx xx I ,dx x xI ⎰=402tan π, 则( )(A) .121>>I I (B) .121I I >>(C) .112>>I I (D) .112I I >>(6)设向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则( ) (A) 当s r <时，向量组II 必线性相关. (B) 当s r >时，向量组II 必线性相关.(C) 当s r <时，向量组I 必线性相关. (D) 当s r >时，向量组I 必线性相关.三 、(本题满分10分)设函数 32ln(1),0arcsin ()6,01,sin 4ax ax x x x f x x e x ax x x x ⎧⎪+<⎪-⎪⎪==⎨⎪+--⎪>⎪⎪⎩ 问a 为何值时，()f x 在0x =处连续；a 为何值时，0x =是()f x 的可去间断点？四 、(本题满分9分)设函数()y y x =由参数方程212ln 112,(1)ut x t t e y du u +⎧=+⎪>⎨=⎪⎩⎰所确定，求.922=x dxyd五 、(本题满分9分)计算不定积分.)1(232arctan dx x xe x ⎰+六、(本题满分12分)设函数()y y x =)在),(+∞-∞内具有二阶导数，且)(,0y x x y =≠'是()y y x =的反函数.(1) 试将()x x y =所满足的微分方程0))(sin (322=++dy dx x y dyx d 变换为()y y x =满足的微分方程；(2) 求变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解.七 、(本题满分12分)讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数.八 、(本题满分12分)设位于第一象限的曲线()y f x =过点)21,22(，其上任一点(,)P x y 处的法线与y 轴的交点为Q ，且线段PQ 被x 轴平分.(1) 求曲线 ()y f x =的方程；(2) 已知曲线sin y x =在],0[π上的弧长为l ，试用l 表示曲线()y f x =的弧长s .九 、(本题满分10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线)0)((≥=y y x ϕ绕y 轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m . 根据设 计要求，当以min /33m 的速率向容器内注入 液体时，液面的面积将以2/min m π的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1) 根据t 时刻液面的面积，写出t 与)(y ϕ之间的关系式； (2) 求曲线)(y x ϕ=的方程.(注：m 表示长度单位米，min 表示时间单位分.)十 、(本题满分10分)设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且.0)(>'x f 若极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，证明：(1) 在(,)a b 内()0f x >; (2) 在(,)a b 内存在点ξ，使)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰； (3) 在(,)a b 内存在与(2)中ξ相异的点η，使⎰-=-'badx x f a a b f .)(2))((22ξξη十 一、(本题满分10分)若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=60028022a A 相似于对角阵Λ，试确定常数a 的值；并求可逆矩阵P 使.1Λ=-AP P十二 、(本题满分8分)已知平面上三条不同直线的方程分别为1:230l ax by c ++=，2:230l bx cy a ++=，3:230l cx ay b ++=.试证: 这三条直线交于一点的充分必要条件为.0=++c b a2003年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题 (1)【答案】4-【详解】 当0→x 时，11(1)1~nx x n +-，sin ~x x ，则241241~1)1(ax ax ---，2~sin x x x 由题设已知，当0→x 时，124(1)1ax --与sin x x 是等价无穷小，所以 12242001(1)141lim lim sin 4x x ax ax a x x x →→--===-，从而 4a =-．(2)【答案】0x y -=【分析】为了求曲线在点(1,1)处的切线方程，首先需要求出函数在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可．【详解】对所给方程两边对x 求导数，将其中的y 视为x 的函数，有y y xy x y '=+'+342将1,1x y ==代入上式，得.1)1(='y 故函数在点(1,1)处的导数为1，即点(1,1)处切线的斜率为1，再利用点斜式得，过点(1,1)处的切线方程为)1(11-⋅=-x y ，即.0=-y x(3)【答案】!)2(ln n n【详解】()y f x =带佩亚诺余项的麦克劳林公式：()2(0)(0)()(0)(0)()2!!n n n f f f x f f x x x x n ο'''=+++++求()y f x =的麦克劳林公式中nx 项的系数相当于先求()y f x =在点0x =处的n 阶导数值)0()(n f，()(0)!n f n 就是麦克劳林公式中nx 项的系数.2ln 2x y ='；2)2(ln 2x y =''；()2(ln 2)n x n y = (归纳法及求导公式)于是有nn y )2(ln )0()(=，故xy 2=的麦克劳林公式中nx 项的系数是.!)2(ln !)0()(n n y nn =(4)【答案】)1(414-ae aπ 【详解】方法1：用定积分计算. 极坐标下平面图形的面积公式：θθρβαd S ⎰=)(212，则 θθθρπθπd e d S a ⎰⎰==20220221)(21==πθ20241a e a)1(414-ae aπ． 方法2：用二重积分计算. D 表示该图形所占的区域，在极坐标下，利用二重积分面积公式：Dd d σρρθ=⎰⎰所以 2220012a e a DS d d rdr e d θππθσθθ===⎰⎰⎰⎰⎰=)1(414-ae aπ．(5)【答案】3【分析】本题的可由矩阵Tαα的秩为1，把其分解为一列乘一行的形式，而行向量一般可选第一行(或任一非零行)，列向量的元素则为各行与选定行的倍数构成．也可设TA αα=求出α，或利用2A 或设123[]T x x x α=，定出α等．【详解】方法1：观察得A 的三个行向量成比列，其比为1:1:1, 故111111111T A αα-⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=[]111111-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-，知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=111α，于是[].3111111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ααT方法2：TA αα=， 2()()(1)TTTTTA Aαααααααααα===而 21111113331111113333(2)111111333A A ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=----=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 比较(1)，(2)式，得3Tαα=．方法3：设123[]T x x x α=211213221223231323111111111Tx x x x x A x x x x x x x x x x αα⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥===--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦故 122212321233()T x x x x x x x x x αα⎡⎤⎢⎥==++⎢⎥⎢⎥⎣⎦(A 的主对角元之和)(6)【答案】21【分析】 先化简分解出矩阵B ，再计算行列式B 或者将已知等式变形成含有因子B 的矩阵乘积形式，而其余因子的行列式都可以求出即可．【详解】方法1：由E B A B A =--2，知E A B E A +=-)(2，即E A B E A E A +=-+))((，易知矩阵A E +可逆，于是有 .)(E B E A =- 再两边取行列式，得 1=-B E A ，因为2002010100=-=-E A , 所以=B 21．方法2：由E B A B A =--2，得E A B E A E A +=-+))((等式两端取行列式且利用矩阵乘积的行列式=行列式的乘积，得A E A EB A E +-=+约去0A E +≠，得 112B A E ==+．二、选择题 (1)【答案】()D 【详解】方法1：推理法由题设lim 1n n b →∞=，假设lim n n n b c →∞存在并记为A ，则lim limn nn n n nb c c A b →∞→∞==,这与lim n n c →∞=∞矛盾，故假设不成立，lim n n n b c →∞不存在． 所以选项()D 正确．方法2：排除法取1n a n =，1n n b n-=，满足0lim =∞→n n a ,1lim =∞→n n b , 而11111,0,a b a b ==>，()A 不正确；取1n n b n-=，2n c n =-，满足1lim =∞→n n b ,∞=∞→n n c lim ,而1101b c =>-=，()B 不正确；取1n a n=，2n c n =-，满足0lim =∞→n n a ,∞=∞→n n c lim ,而lim 1n n n a c →∞=，()C 不正确．(2)【答案】()B【详解】dx x xa n n n n n +=⎰+-123101=)1(12310n n nn x d x n ++⎰+ (第一类换元法) =3121(1)n n n x n++321111nn n n n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭可见 n n na ∞→lim =32lim 111n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦=321(1)1lim 1(1)11n n n n n -+-+→∞⎡⎤⎛⎫⎢⎥-⎧⎫ ⎪++-⎢⎥⎨⎬ ⎪+⎩⎭⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎣⎦(凑重要极限形式) 312(1)1e -=+- (重要极限)所以选项()B 正确(3)【答案】()A 【详解】将x x y ln =代入微分方程y x y x y ϕ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，其中2ln 1ln x y x -'=，得： )(ln ln 1ln 1ln 2x x xx ϕ+=-，即 21(l n )ln x x ϕ=- 令ln x u =，有21)(u u -=ϕ，以xu y =代入，得 )(y xϕ=.22xy - 故选项()A 正确．(4) 【答案】()C【分析】函数的极值点可能是驻点(一阶导数为零) 或导数不存在的点，极值点是极大值点还是极小值 点可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定．【详解】根据导函数的图形可知，一阶导数为零的 点有3个(导函数与x 轴交点的个数)；0x =是导数 不存在的点．对3个一阶导数为零的点左右两侧导数符号均 不一致，故必为极值点，其中第一个交点左右两侧 导数符号由正变为负，是极大值点；第二个交点和第三个交点左右两侧导数符号由负变为正，是极小值点，则三个驻点中有两个极小值点，一个极大值点；对导数不存在的点：0x =．左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见0x =为极大值点．故()f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选(C)．(5)【答案】()B【详解】令()tan x x x ϕ=-，有2(0)0,()s e c 10,0,4x x x πϕϕ⎛⎫'==-> ∈⎪⎝⎭，所以当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()x ϕ单调递增，则()0x ϕ>，即tan 0x x >>，tan 1x x >，<1tan x x ，由定积分的不等式性质知，44412000tan 14tan x xI dx dx dx I x x ππππ=>=>=⎰⎰⎰可见有 21I I >且42π<I ．(6)【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，则当s r >时，向量组I 必线性相关． 或其逆否命题：若向量组I ：r ααα,,,21 可由向量组II ：s βββ,,,21 线性表示，且向量组I 线性无关，则必有s r ≤． 可见正确选项为(D)． 本题也可通过举反例用排除法找到答案．【详解】 用排除法：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,00211ββα，则21100ββα⋅+⋅=，但21,ββ线性无关，排除(A)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01,01,00121βαα，则21,αα可由1β线性表示，但1β线性无关，排除(B)；⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10,01,01211ββα，1α可由21,ββ线性表示，但1α线性无关，排除(C)．三【详解】函数()f x 在0x =处连续，则要求函数()f x 在0x =处既是左连续又是右连续，即(0)(0)(0).f f f +-==300ln(1)(0)lim ()lim arcsin x x ax f f x x x ---→→+==-30lim arcsin x ax x x-→=-(由于ln(1)(0)x x x +→，所以33ln(1)ax ax +(0)x →)23lim 11x ax -→= （型极限，用洛必达法则）2lim lim x x --→→= (极限的四则运算) =2023lim 12x ax x -→- （1222211(1)1()(0)22x x x x ---=-→）6a =-2001(0)lim ()lim sin4ax x x e x ax f f x x x +++→→+--==2201lim 4ax x e x ax x +→+--= 22014lim ax x e x ax x +→+--=024lim 2ax x ae x ax +→+-= 220024lim 2lim (2)2ax ax x x a e a e ++→→+=+=224a =+ (0) 6.f =所以，0x =为()f x 的连续点⇔(0)(0)f f +-=⇔26624a a -==+，得1-=a ； 所以，0x =为()f x 的可去间断点⇔26246a a -=+≠，即22640,1a a a ++=≠-但 解得2-=a ，此时()f x 在0x =为可去间断点．四【分析】(i)变上限积分求导公式：()()()()()()()()u x v x df t dt f u u x f v v x dx''=-⎰；(ii)参数方程()()x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩的一阶导数:1()()dy dy dt dy t dx dx dt dx dt t dtψϕ'=⋅=⋅='； (iii)若()x t ϕ=，()y t ψ=二阶可导，函数的二阶导数公式：2223()()()()()()1()()()()()()()d y d dy d t dtdx dx dx dt t dxt t t t t t t t t t t ψϕψϕψϕψϕψϕϕϕϕ'⎛⎫⎛⎫==⋅ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭''''''''''''--=⋅='''【详解】设2()12x t t ϕ==+,12ln 1()ute y t du uψ+==⎰，则 ()4dxt t dtϕ'==；12ln 2222()12ln 12ln 12ln t dy e e t et t dt t t t t t ψ+⋅'==⋅=⋅=+++； 所以 212ln 42(12ln )etdy et dx t t +==+ 所以 2222214()11()2(12ln )44(12ln )44(12ln )e d y d dy d t dt e e t dx dx dx dt t dx t t t t t t ψϕ-''⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪'+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当9x =时，由221t x +=及1t >得2t =, 故2222229.4(12ln )16(12ln 2)t x d y eedx t t ===-=-++五【详解】方法1：第二类换元法. 由于被积函数中含有根号21x +，作积分变量变换tan ()22x t x ππ=-<<，那么3232(1)sec x t +=，2sec dx tdt =，则dx x xe x⎰+232arctan )1(=2322tan sec (1tan )t e ttdt t +⎰23tan sec sec t e ttdt t =⎰ 三角变换公式 tan sec tte dt t=⎰=.sin tdt e t ⎰又t d e tdt e t tcos sin ⎰⎰-==)cos cos (tdt e t e tt⎰-- 分部积分 (c o s (s i n t t e t e dt =--⎰(c o s s i n s i nt t te t e t et d t =--+⎰ 分部积分 =tdt e t e t e tttsin sin cos ⎰-+-，故.)cos (sin 21sin C t t e tdt e tt+-=⎰由tan ()22x t x ππ=-<<得arctan t x =，因此dx x xe x⎰+232arctan )1(=C x x x e x ++-+)111(2122arctan =.12)1(2arctan C x e x x++-方法2：分部积分法dx x xe x ⎰+232arctan )1(=x de xx arctan 21⎰+arctan arctan ()x xd e e ==dx x e xxe x x ⎰+-+232arctan 2arctan )1(1 分部积分=x x de xxxe arctan 22arctan 111⎰+-+a r c t a n a ()x x d e e=arctan arctan arctan 322122(1)xxx x e dx x ⎛⎫-⋅ ⎪=-⎪+⎪⎭⎰ 分部积分 =dx x xe xe xxe x x x ⎰+-+-+232arctan 2arctan 2arctan )1(11，移项整理得；dx x xe x ⎰+232arctan )1(=.12)1(2arctan C xe x x ++-六【详解】 (1) 将题中的dy dx 与22d x dy 变换成以x 为自变量y 为因变量的导数dx dy 与22d ydx 来表示(即通常所说的反函数变量变换)，有dy dx =y dxdy '=11，)(22dydx dy d dy x d ==dy dx y dx d ⋅')1(=32)(1y y y y y '''-='⋅'''-． 代入原方程，得 .s i nx y y =-'' ( * ) (2) 方程( * )所对应的齐次方程为0=-''y y ，特征方程为210r -=，根1,21r =±，因此通解为.21xxe C e C Y -+= 由于i λω+不是特征方程得根，所以设方程( * )的特解为x B x A y sin cos *+=则 *sin cos y A x B x '=-+，*cos sin y A x B x ''=--代入方程( * )，得：cos sin cos sin 2cos 2sin sin A x B x A x B x A x B x x ----=--= 解得21,0-==B A ，故x y sin 21*-=. 从而x y y sin =-''的通解为.sin 2121*x e C e C y Y y x x -+=+=-由23)0(,0)0(='=y y ，得1,121-==C C ．故变换后的微分方程满足初始条件23)0(,0)0(='=y y 的解为.sin 21x e e y x x --=-且()y x 的导函数1()cos 02x x y x e e x -'=+->，满足题设0y '≠条件．七【详解】讨论曲线k x y +=ln 4与x x y 4ln 4+=的交点个数等价于讨论方程4()ln 4ln 4x x x x k ϕ=-+-在区间(0,)+∞内的零点问题，为此对函数求导，得334ln 44()4(ln 1).x x x x x x xϕ'=-+=-+可以看出1x =是)(x ϕ的驻点，而且当10<<x 时，3ln 0x <，则3l n 10x x -+<，而40x>，有()0x ϕ'<，即)(x ϕ单调减少；当1x >时，3ln 0x >，则3ln 10x x -+>，而40x>，有()0x ϕ'>，即)(x ϕ单调增加，故k -=4)1(ϕ为函数)(x ϕ的惟一极小值即最小值.① 当(1)40k ϕ=->，即当4k <时，()(1)0x ϕϕ≥>，)(x ϕ无零点，两曲线没有交点； ② 当(1)40k ϕ=-=，即当4k =时，()(1)0x ϕϕ≥=，)(x ϕ有且仅有一个零点，即两曲线仅有一个交点；③ 当(1)40k ϕ=-<，即当4k >时，由于+∞=-+-=++→→]4)4(ln [ln lim )(lim 30k x x x x x x ϕ；+∞=-+-=+∞→+∞→]4)4(ln [ln lim )(lim 3k x x x x x x ϕ由连续函数的介值定理，在区间(0,1)与),1(+∞内各至少有一个零点，又因)(x ϕ在区间(0,1)与),1(+∞内分别是严格单调的，故)(x ϕ分别各至多有一个零点. 总之，)(x ϕ有两个零点． 综上所述，当4k <时，两曲线没有交点；当4k =时，两曲线仅有一个交点；当4k >时，两曲线有两个交点．八【详解】(1) 曲线()y f x =在点(,)P x y 处的法线方程为)(1x X yy Y -'-=- 令0X =，则它与y 轴的交点为).,0(y xy '+ 由题意，此点与点(,)P x y 所连的线段被x 轴平分，由中点公式得0)(21='++y xy y ，即.02=+xdx ydy 积分得222x y C +=(C 为任意常数)，代入初始条件2122==x y 得12C =，故曲线()y f x =的方程为22122x y +=，即.1222=+y x (2) 曲线sin y x =在[0,]π上的弧长为22022.x tl ππππ=+-====⎰⎰⎰弧长公式另一方面，将(1)中所求得的曲线()y f x =写成参数形式，在第一象限中考虑，于是⎪⎩⎪⎨⎧==,sin 22,cos t y t x .20π≤≤t 于是该曲线的弧长为：s ===2)t udu π=-=-= 所以12l =，即4s =．九【详解】(1) 设在t 时刻，液面的高度为y ，此时液面的面积为2()()A t y πϕ=圆的面积公式,由题设：液面的面积将以min /2m π的速率均匀扩大，可得2()()dA t d y dt dt πϕπ==，即2()1dy dtϕ= 所以2()y t C ϕ=+, 由题意，当0t =时()2y ϕ=，代入求得4C =，于是得2() 4.y t ϕ=+从而 .4)(2-=y t ϕ(2) 液面的高度为y 时，液体的体积为20()()yV t u du πϕ=⎰，由题设：以min /33m 的速率向容器内注入液体，得()20()()3y dV t du du dt dtπϕ==⎰所以 220()33()12.yu du t y πϕϕ==-⎰上式两边对y 求导，得2()6()()y y y πϕϕϕ'=变限积分求导，即()()6d y y dy ϕπϕ= 解此微分方程，得yCey 6)(πϕ=，其中C 为任意常数，由2)0(=ϕ知2C =, 故所求曲线方程为.26yex π=十【详解】(1) 因为极限ax a x f ax --+→)2(lim 存在，且lim()0x a x a +→-=，故lim (2)0x a f x a +→-=又()f x 在[,]a b 上连续，从而lim (2)()x af x a f a +→-=，则()0f a =． 由于0)(>'x f ，则()f x 在(,)a b 内严格单调增加，所以()f x 在x a =处取最小值，即).,(,0)()(b a x a f x f ∈=>(2) 由要证明的形式知，要用柯西中值定理证明．取2()F x x =，()()xag x f t dt =⎰()a x b ≤≤，则0)()(>='x f x g ，则)(),(x g x F 满足柯西中值定理的条件，于是在(,)a b 内存在点ξ，使222()()()2()()()()()(())baxaaa x Fb F a b a x g b g a f f t dt f t dtf t dt ξξξ='--===-'-⎰⎰⎰即)(2)(22ξξf dxx f a b ba=-⎰． (3) 在区间],[ξa 上应用拉格朗日中值定理，得在),(ξa 内存在一点η，使()()()()f f a f a ξηξ'-=-因()0f a =，上式即))(()(a f f -'=ξηξ，代入(2) 的结论得，))((2)(22a f dxx f a b ba-'=-⎰ξηξ即 ⎰-=-'ba dx x f aa b f .)(2))((22ξξη十一【分析】 已知A 相似于对角矩阵，应先求出A 的特征值，再根据特征值的重数与线性无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数a . 至于求P ，则是常识问题．【详解】矩阵A 的特征多项式为]16)2)[(6(628222---=------=-λλλλλλa A E =)2()6(2+-λλ，故A 的特征值为.2,6321-===λλλ由于A 相似于对角矩阵Λ，故对应621==λλ应有两个线性无关的特征向量，即2)6(3=--A E r ，于是有 .1)6(=-A E r42021068400000000E A a a --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以0a =．于是对应于621==λλ的两个线性无关的特征向量可取为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1001ξ， .0212⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ξ当23-=λ时，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-----=--0001000128000480242A E ，解方程组⎩⎨⎧==+,0,02321x x x 得对应于23-=λ的特征向量.0213⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=ξ令⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=001220110P ，则P 可逆，并有.1Λ=-AP P十二【分析】三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩阵与增广矩阵的秩均为2．【详解】方法1：“必要性”. 设三条直线321,,l l l 交于一点，则线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 有唯一解，故系数矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a c c b b a A 222与增广矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=b a c a c b c b a A 323232的秩均为2，于是.0=A232()3()23232323a b c a b c b c a c a b A bc a b c a c a bc ab -++++-++=-=---123111()236()23a b c b ca abc b c a c a b c a b -=++-=-++- 16()6()c b a ba b c b c b a b a b c a c b cc a c b c--=-++--=-++----6()[()()()()]a b c c b b c a b a c =-++-----2226()()a b c bc c b bc a ac ab bc =-++--+-++- 2226()()a b c a b c ac ab bc =++++---2223()[()()()]a b c a b b c c a =++-+-+-,由于三条直线互不相同，所以0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a“充分性”. 由0=++c b a ，则从必要性的证明可知，0=A ，故秩.3)(<A由于])([2)(22222b b a a b ac cb ba ++-=-==0]43)21[(222≠++-b b a ，故秩()2A =．于是，秩(A )=秩)(A =2．因此方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．方法2：“必要性”设三直线交于一点),(00y x ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100y x 为0BX =的非零解，其中2323.23a b c B b c a c a b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以||0B =．而232323232323a b c a bcB bc a bc a A c a bca b-==--=-- 2223()[()()()]a b c a b b c c a =-++-+-+-,(解法同方法1)但根据题设 0)()()(222≠-+-+-a c c b b a ，故.0=++c b a “充分性”：考虑线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+-=+,32,32,32b ay cx a cy bx c by ax (*) 将方程组(*)的三个方程相加，并由.0=++c b a 可知，方程组(*)等价于方程组⎩⎨⎧-=+-=+.32,32a cy bx c by ax (* *) 因为])([2)(22222b b a a b ac cb b a ++-=-==222[()]0a b a b -+++≠,故方程组(* *)有唯一解，所以方程组(*)有唯一解，即三直线321,,l l l 交于一点．。
2003《机械设计〉期末试题(A卷)
1.在给定的一组滚动轴承中有:6315;N416;3240;7415;1308;3420。其中有()是重系列的;有()内径相同;有()类型相同。
A. 五种;B. 四种;C. 三种;D. 二种。
2. 按齿根弯曲疲劳强度设计的齿轮传动时,应将 中数值( )代入设计式进行计算。按齿面接触疲劳强度设计直齿轮传动时,应将［σ］H1,或［σ］H2中()数值代如设计式中进行计算。
3．分析下图中减速装置的传动方案中有何不合理处,并画出正确传动方案图。（6分）
单级圆柱齿轮
减速器
F运输带
滚筒
链传动V
带传动
五、计算题（32分）
4--M6
200 P
200
1．图示方形盖板用四个螺钉与箱体连接,盖板中心O点的吊环受拉力P=10kN。
(1) 取残余预紧力 为工作拉力的0.6倍,求螺钉的总拉力Q;
A. 胶合; B. 摩擦磨损; C. 点蚀; D. 粘着磨损。
11.流体动压向心滑动轴承,如果达到热平衡时温升过高,则应( )重新计算。
A.增大ψ减小η; B. 减小ψ增大η; C. 增大ψ增大η; D. 减小ψ减小η。
12.传动比υ=1的标准直齿圆锥齿轮传动能允许的无根切最小齿数应为()。 (sin45°=cos45°=0.7)
(1)蜗杆的螺旋线方向(用文字答出后并在图上画出，两者吻合者得分)：
(2)提升荷载时,电机轴转向(在图上电机后端面上标出)。
蜗杆传动卷筒
斜齿轮传动
电机
(3) 欲使蜗杆轴和大齿轮轴的轴向力抵消一部分,这对斜齿轮的螺旋线方向应怎样?(用文字回答填在下面括弧内)，主动斜齿轮旋向();从动齿斜轮旋向()。（12分）
2003重庆大学830内燃机原理考研真题答案(2003)
（重庆大学830内燃机原理考研真题答案2002）一，名词解释扫气效率：指扫气结束后留在气缸中的新鲜空气量与气缸内全部气体总量之比。
升功率：在额定工况下，发动机每升气缸工作容积所发出的有效功率。
指示热效率：是发动机实际循环指示功与所消耗的燃料热量的比值。
过量空气系数：燃烧1Kg燃料实际提供的空气量L与理论上所需要的空气量Lo之比称为过量空气系数。
内燃机外特性：内燃机处于全负荷时候的速度特性。
放热规律：瞬时放热速率和累计放热百分比随曲轴转角的变化关系。
二，问答题1.研究理论循环的目的是什么？内燃机实际循环与理论循环存在哪些差异？为使实际循环接近理论循环可采取哪些可行措施？（15分）答：⑴研究理论循环的目的是：①确定循环热效率的理论极限，以判断实际发动机经济性能和工作过程的完善程度以及改进潜力。
②有利于分析发动机比较不同热力循环方式的经济性能和动力性能。
③通过分析理论循环的热效率和平均有效压力，明确提高以理论循环热效率为代表的经济性能和以平均有效压力为代表的动力性能的基本途径。
⑵两种循环的差异①工质的不同：理论循环中工质比热容是定值，而实际气体的比热容是随着温度上升而升高的，且燃烧后生的的CO2.H2O等多原子分子比热容大于空气，致使循环的最高温度降低，而且实际循环存在着泄露，工质数目减少。
②气体流动阻力不同，理想循环式闭式循环，工质在循环中以保持均匀状态的缓慢速度流动，没有阻力流失，实际循环中，每个循环的工质必须更换，有一定的流阻损失。
③传热损失不同，理想循环中没有热交换，实际循环中，部分热量从冷却系统中传出去。
④燃烧不及时、后燃及不完全燃烧损失，在理想循环中，其示功图的上方呈方角形，实际循环中，其示功图的上方呈圆弧形。
⑤漏气损失不同，理想循环，工质数量完全不变，实际循环中，活塞环与气缸壁之间常有微量工质漏出。
⑶提高燃烧加热后的能量质量，即在相同加热量和环境温度条件下，尽可能提高加热过程中工质的平均温度。
机械专业课真题汇总
机械专业课真题汇总机械原理真题09重庆大学机械原理真题11山东科技大学机械原理真题18华中农业大学机械原理真题2010武汉理工机械原理09山东科技大学机械原理真题19西安电子科技大学机械原理2015西工程机械原理试题及答案解析05年上海理工大学机械原理13年上海理工大学机械原理2010武汉理工机械原理20浙江工业大学机械原理14西安电子科技大学机械原理17西安电子科技大学机械原理18西安电子科技大学机械原理2019浙江理工大学机械设计基础2018浙江理工大学机械设计基础2017浙江理工大学机械设计基础2020温州大学机械原理2009武汉理工机械原理2012河北工业大学机械原理2010北京交通大学机械原理2020南京航空航天大学机械原题真题2020机械原理考研真题及答案（武汉科技大学）2019机械原理真题及答案（武汉科技大学）2018机械原理真题及答案（武汉科技大学）2017机械原理真题及答案（武汉科技大学）2016机械原理真题及答案（武汉科技大学）2015机械原理真题及答案（武汉科技大学）2014机械原理真题及答案（武汉科技大学）2013机械原理真题及答案（武汉科技大学）2012机械原理真题（武汉科技大学）2011机械原理真题（武汉科技大学）2011机械原理真题答案（武汉科技大学）2019杭州电子科技大学机械原题真题2012南京航空航天大学机械原题真题2013东南大学机械原题真题2011东南大学机械原题真题及答案2004福州大学机械考研真题答案2004福州大学机械考研真题2011中国矿业大学机械原理真题2014江苏理工学院机械原理真题A答案2014江苏理工学院机械原理真题A上海理工大学机械06年考研真题笔记（一）上海理工大学机械07年考研真题笔记（二）上海理工大学机械08、10、12、13年考研真题笔记（三）2007河北工业大学机械原理真题答案2007河北工业大学机械原理真题2018西安工业大学机械原理真题2019三峡大学机械原理考研真题2018三峡大学机械原理考研真题2015年南京理工大学机械原理考研真题2019年武汉科技大学机械原理考研真题江苏大学803机械原理样题答案江苏大学803机械原理考试样题2012江苏大学803机械原理考研真题2008江苏大学803机械原理考研真题2006江苏大学803机械原理考研真题2011江苏大学803机械原理考研真题2007江苏大学803机械原理考研真题2009江苏大学803机械原理考研真题2010江苏大学803机械原理考研真题2016年中山大学886机械原理考研真题05合肥工业机械原理17昆明理工机械原理20昆明理工机械原理19昆明理工机械原理机械设计/机械设计基础真题2021扬州大学机械设计真题07江南大学机械设计真题08江南大学机械设计真题07浙江大学机械设计基础真题18广东工业大学机械设计基础真题2016太原科大机械设计基础真题中国科学院大学20机械设计真题15广东工业大学机械设计基础真题07天津工业大学机械设计基础真题11厦门大学机械设计基础真题2012宁夏大学机械考研试题2018浙江理工大学机械设计基础2017宁夏大学机械设计2010西安理工机械设计基础2018山东大学机械设计基础2013深圳大学机械设计基础2007西安交通大学机械设计基础2008西安交通大学机械设计基础2019湖北工业大学机械设计真题2020湖北工业大学机械设计真题2018湖北工业大学机械设计真题20南京工业大学机械设计真题20河海大学机械考研真题及答案2018华侨大学机械设计考研真题2018广州大学机械设计真题答案2018广州大学机械设计真题2016广州大学机械设计真题答案2016广州大学机械设计真题2015广州大学机械设计真题答案2015广州大学机械设计真题2014广州大学机械设计真题答案2014广州大学机械设计真题2020广东工业大学机械设计基础真题答案2020广东工业大学机械设计基础真题2019广东工业大学机械设计基础真题答案2019广东工业大学机械设计基础真题2008西安交通大学机械设计基础真题答案西安交通大学2008年机械设计基础真题2014年江西理工大学机械设计基础考研真题2018年山东大学844机械设计基础考研真题2017年山东大学844机械设计基础考研真题2016年山东大学844机械设计基础考研真题2019年广东工业大学801机械设计基础考研真题2017年华南理工大学856机械设计基础考研真题2018东华理工大学832机械设计考研真题2017东华理工大学832机械设计考研真题2017东华理工大学832考研真题答案2016东华理工大学832机械设计考研真题2016东华理工大学832考研真题答案2011广东工业大学机械设计基础真题2011广东工业大学机械设计基础真题答案华中科技大学2010年机械设计基础真题湘潭大学2013年机械设计基础真题2011宁夏大学机械设计（含机械原理）考研真题厦门大学2012年机械设计基础真题中国科学技术大学2014年机械设计真题材料力学真题2015年南京理工大学材料力学考研真题2014年江西理工大学材料力学考研真题2017年华南理工大学841材料力学考研真题2008年吉林大学材料力学真题答案（资料样板）2020南京航空航天大学材料力学真题理论力学真题2004燕山大学理论力学2015年南京理工大学理论力学考研真题2019年宁波大学理论力学考研真题(B卷)2015青岛理工大学814理论力学考研真题2012南京航空航天大学815理论力学考研真题汽车理论真题2019年武汉科技大学汽车理论考研真题2018年华南理工大学812汽车理论考研真题答案2018浙江工业大学819汽车理论考研真题2019年广东工业大学805汽车理论考研真题2018年华南理工大学812汽车理论考研真题2017年华南理工大学812汽车理论考研真题2016年华南理工大学812汽车理论考研真题液压传动真题2019年武汉科技大学液压传动考研真题流体力学真题2017年华南理工大学836流体力学与传热考研真题2016年华南理工大学836流体力学与传热考研真题每日一题：静平衡的转子( B )是动平衡的，动平衡的转子( A )是静平衡。
全国2003年4月高等教育自学考试机械设计基础试题
全国2003年4月高等教育自学考试机械设计基础试题课程代码：02185第一部分选择题（共40分）一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．在如图所示的单缸四冲程内燃机中，序号1和10的组合是（）2．若两构件组成低副，则其接触形式为（）A．面接触B．点或线接触C．点或面接触D．线或面接触3．平面运动副的最大约束数为（）A．1 B．2 C．3 D．54．在设计直动滚子从动件盘形凸轮机构时，若发生运动失真现象，可以（）A．增大滚子半径B．减少基圆半径C．增大基圆半径D．增加从动件长度5．在下列凸轮机构中，从动件与凸轮的运动不在同一平面中的是（）A．直动滚子从动件盘形凸轮机构B．摆动滚子从动件盘形凸轮机构C．直动平底从动件盘形凸轮机构D．摆动从动件圆柱凸轮机构6．在槽轮机构中，为避免圆销与轮槽发生突然撞击，槽轮在开始和终止转动的瞬时角速度应（）A．等于零B．大于等于零C．小于零D．小于等于零7．普通紧螺栓联接在承受横向外载荷F∑作用时，其螺杆（）A．仅受到预紧力F′的作用B．仅受到一个横向外载荷F∑的作用C．仅受到摩擦力F f的作用D．既受到预紧力F′又受到横向外载荷F∑的作用8．普通平键的长度应（）A ．稍长于轮毂的长度B ．略短于轮毂的长度C ．是轮毂长度的三倍D ．是轮毂长度的二倍 9．在多级减速传动中，带传动在传动系统中的设计位置（ ） A ．宜在低速级 B ．宜在中间级 C ．宜在高速级 D ．不受限制 10．单个渐开线齿轮（ ） A ．分度圆等于节圆 B ．分度圆小于节圆 C ．分度圆大于节圆D ．没有节圆11．闭式硬齿面齿轮传动的主要失效形式是（ ） A ．齿面胶合 B ．轮齿疲劳折断 C ．齿面磨粒磨损 D ．轮齿过载折断12．在开式齿轮传动的设计中，通常将计算出的模数加大5～10％，这主要考虑（ ）A ．轮齿疲劳点蚀的影响B ．轮齿胶合的影响C ．轮齿磨粒磨损的影响D ．轮齿受冲击载荷的影响13．蜗杆传动的传动比i 等于（ ） A ．12d d B ．12n n C ．21d d D ．21n n14．蜗轮的螺旋角β与蜗杆（ ）A ． 分度圆处的导程角γ大小相等，方向相反B ．分度圆处的导程角γ大小相等，方向相同C ．齿顶圆处的导程角γ1大小相等，方向相反D ． 齿顶圆处的导程角γ1大小相等，方向相同15．在下列联轴器中，通常所说的刚性联轴器是（ ） A ．齿式联轴器 B ．弹性套柱销联轴器 C ．弹性柱销联轴器 D ．凸缘联轴器 16．在计算轴的当量弯矩M v =22)(aT M 公式中，a 是为了考虑扭矩T 与弯矩M 产生的应力（ ）A ．方向不同B ．类型不同C ．位置不同D ．循环特征不同 17．高速、重载下工作的重要滑动轴承，其轴瓦材料宜选用（ ） A ．锡基轴承合金 B ．铸锡青铜 C ．铸铝铁青铜 D ．耐磨铸铁 18．滚动轴承在一般转速下的主要失效形式是（ ） A ．过量的塑性变形 B ．过度磨损 C ．疲劳点蚀 D ．胶合19．滚动轴承工作时，固定套圈的应力变化特征为（ ） A ．对称循环 B ．脉动循环 C ．恒定不变D ．随机变化20．在机械中安装飞轮，可以（ ） A ．减小周期性速度波动B ．消除周期性速度波动C ．减小非周期性速度波动D ．消除非周期性速度波动第二部分 非选择题（共60分）二、填空题（本大题共10小题，每空1分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
机械设计03-09年真题选择填空及答案讲解
2003年下半年江苏省高等教育自学考试27962机械设计基础一、单项选择题(在下列每小题备选答案中选出一个正确答案，并将其字母标号填入题干的 括号内。
每小题1分，共10分)1． 机构中构件是( B )A ．加工单元B ．运动单元C ．自由度为零的系统D ．即为通常所指的零件2． 连杆机构作为夹具使用时，往往利用连杆机构的( C )A ．急回特性B ．低副特性C ．死点位置特性D ．转动变为摆动的运动转换特性3． 滚子直动从动件盘形凸轮机构中，滚子半径应( A )外凸理论轮廓的最小曲率半径。
A ．小于B ．小于等于C ．大于D ．等于4． 齿轮的分度圆是指( B )A ．分度圆就是节园B ．齿轮中具有标准模数，标准压力角的圆C ．齿轮加工时分度的圆，加工方法改变了，该圆也变了D ．齿廓形成的圆5． 周期性速度波动应采用( B )进行调节。
A ．调速器B ．飞轮C ．静平衡方法D ．动平衡方法6． 被联接件之一较厚，不需经常拆卸时，常采用的联接是( C )A ．螺栓联接B ．双头螺柱联接C ．螺钉联接7． 减速器中蜗轮与轴的联接属于( A )A ．动联接B ．静联接C ．不可拆联接8． 在设计链传动中，应尽可能采用( A )的链齿轮数，才能减少其运动不均匀性。
A ．较多B ．较少C ．多少均可9． 由齿根弯曲疲劳强度校核式[]F Fs t F Y bm KF σσ≤=)/(中看出，一对减速的齿轮传动的弯曲应力σＦ１和σＦ２相比( B )A ．σＦ１＝σＦ２B ．σＦ１＞σＦ２C ．σＦ１＜σＦ２10．在同一轴线上，两轴之间转矩和运动的传递，如要求随时使主、从动轴接合或分离，应 选用（ C ）A ．套筒联轴器B ．凸缘联轴器C ．离合器二、填空题(每空1分，共20分)11．平面机构中高副用低副代替的方法是用 杆 两个 低副代替一个高 副。
低副的位置应置于高副接触轮廓的曲率中心处。
12．连杆机构的压力角是指，不计摩擦与构件自重的情况下，连杆加给从动件的 力 的方向，与从动件受力作用点的 运动 方向之间所夹的锐角。
专业课复习计划--上海大学机械设计及理论专业专业课《机械设计》
上海大学机械设计（080203）完备学习计划所属学校：上海大学专业课：（080203）机械设计一、专业课复习全年规划 (3)1、基础复习阶段（开始复习－16年7月） (3)2、强化提高阶段（16年8月－16年11月） (3)3、冲刺阶段（16年12月） (3)二、专业课参考资料 (4)三、专业课学习方法解读 (5)1．参考书的阅读方法 (5)2. 学习笔记的整理方法 (5)3．真题的使用方法 (5)四、专业课各阶段具体学习计划 (6)第一阶段：基础复习阶段(开始复习—16年7月) (6)第二阶段：强化提高阶段(16年8月—16年11月) (9)（一）参考书深入复习计划 (9)（二）历年真题学习计划 (10)第三阶段：冲刺阶段(16年12月) (11)五、附录 (12)1 上海大学研究生招生网和研究生院网站 (12)2 上海大学2016年机械设计及理论专业招生计划数 (12)3 上海大学机械设计专业课考试大纲 (12)一、专业课复习全年规划1、基础复习阶段（开始复习－16年7月）本阶段购买学校官网指定参考书，初步开始复习，在辅导老师带领下浏览课本，抓住重点知识的理解，对重点章节反复揣摩，重点公式反复记忆，为提高阶段做准备，避免做题时手忙脚乱重新翻阅课本。
2、强化提高阶段（16年8月－16年11月）本阶段，考生要对指定参考书进行深入复习，加强知识点的前后联系，建立整体框架结构，分清重难点，对重难点基本掌握，并完成参考书配有的习题训练。
做历年真题，弄清考试形式、题型设置和难易程度等内容。
3、冲刺阶段（16年12月）总结所有重点知识点，包括重点概念、理论和模型等，查漏补缺，回归教材。
背诵简答题，理解记忆重要公式，温习专业课笔记和历年真题，做专业课模拟试题。
调整心态，保持状态，积极应考。
二、专业课参考资料《机械设计》（第9版）濮良贵主编北京高等教育出版社2006年《机械原理与机械设计课程实验指导》傅燕鸣主编上海科学技术出版社2015年《机械设计试题集》（第2版）傅燕鸣编著上海大学出版社2012年《机械设计课程设计手册》傅燕鸣主编上海科学技术出版社2013年三、专业课学习方法解读1．参考书的阅读方法（1）目录法：先通读各本参考书的目录，对于知识体系有着初步了解，了解书的内在逻辑结构，然后再去深入研读书的内容。
机械考研真题
机械考研真题机械工程是一门综合性的工程学科，涉及到力学、材料科学、热学、流体力学、控制工程等各个领域。
对于希望深入学习机械工程的学生来说，考研是一个很好的选择。
本文将介绍一些机械考研的真题和备考方法，帮助考生更好地准备考试。
一、机械工程专业考研真题1.从某机械设备中取出一段断面尺寸为40mm×60mm的工件，材料属于高温合金。
试根据以下条件计算工件某一点(温度为T)的热应力：(1) 工件的线膨胀系数为20×10^-6/℃；(2) 工件的杨氏模量为200GPa；(3) 工件的横向热应力为20MPa。
2.某机械工程中，涉及到一个包含多个零件的装配体。
根据已知的装配尺寸公差和变化，并结合测量结果，计算给定条件下该装配体的功能尺寸公差。
二、机械考研备考方法1.认真复习基础知识：机械工程考研的难度较大，对于考生来说需要有扎实的基础知识。
首先要复习机械工程的相关课程，包括力学、材料科学、热学、流体力学等方面的知识。
2.做真题和模拟试题：通过做真题和模拟试题，考生可以了解考试的题型和难度，熟悉解题方法和思路。
同时，也可以检验自己的学习情况和提高解题能力。
3.参加培训班或辅导班：机械工程考研的范围较广，需要掌握的知识也较多。
参加培训班或辅导班可以帮助考生系统地学习和复习相关知识，同时也能解决在学习过程中遇到的问题。
4.积极参与讨论和交流：与其他考生一起讨论和交流可以拓宽视野，了解不同的解题思路和方法。
同时也可以相互鼓励和帮助，共同进步。
5.制定合理的复习计划：考生应根据自身情况和时间安排制定合理的复习计划。
合理安排时间，分配精力，坚持学习，才能够更好地备考。
总结：机械考研是一个需要付出努力而又有挑战的过程。
通过认真复习基础知识，参加培训班或辅导班，做真题和模拟试题，参与讨论和交流，并制定合理的复习计划，考生可以更好地应对考试并取得好成绩。
希望本文所提供的真题和备考方法对机械考研的考生们有所帮助。
上海大学机械经验及注意事项
080200 机械工程机械工程一级学科硕士学位授予点下设机械电子工程、机械制造及其自动化、机械设计及理论等三个二级学科。
本学科有国家重点学科、上海市重点学科和上海大学"211工程"重点学科建设点的支撑。
本学科围绕国家、地区振兴装备制造业的需求，积极探索高技术研究与先进适用技术开发相结合、基础理论研究与应用开发研究并举的学科建设方针，研究项目主要来自国家自然科学基金、国家863计划、国防科工委和企业的委托等，年均科研经费约3000多万，多项研究项目曾先后获国家科技进步奖、省市级科技进步奖。
与美国、日本、加拿大、新加坡、香港等国家和地区的大学和研究机构有长期的合作关系。
本学科依托上海大学机电工程与自动化学院，主要研究基地包括上海市机械自动化及机器人重点实验室、新型显示技术及应用集成教育部重点实验室、国家863计划机器人主题产业化基地、上海市机器人研究所、上海大学精密机械研究所、上海大学－华中科技大学快速制造工程中心、上海大学机电工程设计院和各专业研究室等。
机械电子工程是国家重点学科，是学校211工程和上海市的重点学科建设点，是集机械、电子、液压、气动等技术和计算机控制、检测、传感等技术于一体的新兴综合性学科。
该专业着重培养既有扎实的机械工程基础知识，又掌握基于计算机信息处理和自动控制理论的机电系统集成技术，造就能从事机电一体化系统研究、开发、应用及教学工作的高层次人才。
机械设计及理论专业以国际研究水平的前沿理论和尖端技术为发展目标，体现了交叉学科、边缘学科的内容。
培养学生不仅通晓机械方面的专门理论，而且掌握现代电子、计算机和自动控制等在机械工程领域中的应用技术。
通过学习和研究，可获得独立从事科学研究、工程技术开发、高等学校教学和选择多种工作的能力。
机械制造及其自动化专业研究机械制造领域中的设计理论与方法、制造工艺与系统中的理论与应用方法、机电装备在交叉学科中的应用理论和方法等。
培养具有扎实的基础理论，宽广的专业知识，专业的工程思维和良好的创新意识，能够独立从事本领域理论研究和应用研究的高级专门人才。
2003年考研数学真题与答案
(A) 当 r < s 时，向量组 II 必线性相关. (B) 当 r > s 时，向量组 II 必线性相关. (C) 当 r < s 时，向量组 I 必线性相关. (D) 当 r > s 时，向量组 I 必线性相关.
⎡2 2 0⎤ 4. 若矩阵 A = ⎢⎢8 2 a⎥⎥ 相似于对角阵 Λ ，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P 使
5. 已知平面上三条不同直线的方程分别为
l1 : ax + 2by + 3c = 0 ，
l2 : bx + 2cy + 3a = 0 ，
l3 : cx + 2ay + 3b = 0 .
试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 a + b + c = 0.
【详解】 ：必要性
设三条直线 l1, l2 , l3 交于一点，则线性方程组
由于 A 相似于对角矩阵 Λ ，故对应 λ1 = λ2 = 6 应有两个线性无关的特征向量，即
3 − r(6E − A) = 2 ，于是有 r(6E − A) = 1.
由 知 a=0.
⎡ 4 − 2 0 ⎤ ⎡2 −1 0⎤ 6E − A = ⎢⎢− 8 4 − a⎥⎥ → ⎢⎢0 0 a⎥⎥ ，
⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0⎥⎦
易知矩阵 A+E 可逆，于是有
(A − E)B = E.
再两边取行列式，得 A − E B = 1，
0 01
因为 A − E = 0 1 0 = 2 , 所以 B = 1
−2 0 0
2
3. 设向量组 I：α1,α 2 ,",α r 可由向量组 II： β1, β 2 ,", β s 线性表示，则[ D ]
哈尔滨工业大学839机械设计基础2003年（回忆版）考研专业课真题试卷
哈尔滨工业大学839机械设计基础2003年（回忆版）考研专
业课真题试卷
哈尔滨工业大学
二00三年硕士研究生考试试题
考试科目：机械设计基础报考专业：机械设计及理论考生注意：答案务必写在答题纸上，标明题号。
答在试题上无效
一、(10分)如题一图所示机构中，已知ME //LF //KG 且ME =LF =KG ；EJ //FI //GH 且EJ =FI =GH ;AB=BC=BD 。
试计算其自由度（写出计算公式并计算，如存在复合铰链、局部自由度和虚约束，请明确指出）。
D
题一图
二、(12分)如题二图所示曲柄滑块机构中，已知曲柄1以等角速度1ω=5
弧度/秒逆时针回转，已知滑块的行程H =500mm ，行程速比系数k =1.25,曲柄与连杆的长度之比b a /=λ=1/3，导路在曲柄中心的下方。
（1）试用解析法设计该曲柄滑块机构（确定曲柄和连杆的长度a ，
b 及导
路与曲柄中心的偏距e ）；
（2）确定该机构最大压力角max α发生的位置和大小；并用速度瞬心法求
机构在该位置滑块3的瞬时速度3v 。
2003年考研数学三真题及全面解析
2003年全国硕士入学统考数学(三)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x xx x f 若若λ其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是2>λ.【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.【详解】 当1>λ时，有,0,0,0,1sin 1cos )(21=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x xx x x x f 若若λλλ 显然当2>λ时，有)0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.（2）已知曲线b x a x y +-=233与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 64a .【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2b 与a 的关系.【详解】 由题设，在切点处有03322=-='a x y ，有 .220a x =又在此点y 坐标为0，于是有0300230=+-=b x a x ,故 .44)3(6422202202a a a x a x b =⋅=-=（3）设a>0，，x a x g x f 其他若,10,0,)()(≤≤⎩⎨⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=Ddxdy x y g x f I )()(= 2a .【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可.【详解】 ⎰⎰-=D dxdy x y g x f I )()(=dxdy a x y x ⎰⎰≤-≤≤≤10,102=.])1[(212112adx x x ady dx ax x=-+=⎰⎰⎰+（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a Tα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵TE A αα-=， T aE B αα1+=， 其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .【分析】 这里Tαα为n 阶矩阵，而22a T=αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.【详解】 由题设，有)1)((T Ta E E AB αααα+-= =TT T T a a E αααααααα⋅-+-11=TT T T a a E αααααααα)(11-+-=TT T a a E αααααα21-+-=E aa E T=+--+αα)121(,于是有 0121=+--a a ，即 0122=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为0.9 .【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为)4.0()()]4.0([()4.0,cov(),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +-- =E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ =于是有 cov(Y,Z)=DZDY Z Y ),cov(=.9.0),cov(==XY DYDXY X ρ（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本，则当∞→n 时，∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于 21.【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量n X X X ,,,21 ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：).(1111∞→→∑∑==n EX n X n ni i pn i i【详解】 这里22221,,,n X X X 满足大数定律的条件，且22)(i i i EX DX EX +==21)21(412=+，因此根据大数定律有 ∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112=∑=n i i EX n二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数xx f x g )()(=(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0. [ D ]【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有 )0(0)0()(lim )(lim)(lim 00f x f x f x x f xg x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点.（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ]【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).（3）设2nn n a a p +=，2nn n a a q -=， ,2,1=n ，则下列命题正确的是(A) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(B) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛.(C) 若∑∞=1n na条件收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定.(D) 若∑∞=1n na绝对收敛，则∑∞=1n np与∑∞=1n nq敛散性都不定. [ B ]【分析】 根据绝对收敛与条件收敛的关系以及收敛级数的运算性质即可找出答案. 【详解】 若∑∞=1n na绝对收敛，即∑∞=1n na收敛，当然也有级数∑∞=1n na收敛，再根据2nn n a a p +=，2nn n a a q -=及收敛级数的运算性质知，∑∞=1n np与∑∞=1n nq都收敛，故应选(B).（4）设三阶矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ，若A 的伴随矩阵的秩为1，则必有 (A) a=b 或a+2b=0. (B) a=b 或a+2b ≠0.(C) a ≠b 且a+2b=0. (D) a ≠b 且a+2b ≠0. [ C ]【分析】 A 的伴随矩阵的秩为1, 说明A 的秩为2，由此可确定a,b 应满足的条件. 【详解】 根据A 与其伴随矩阵A*秩之间的关系知，秩(A)=2，故有0))(2(2=-+=b a b a ab b b a bbb a ，即有02=+b a 或a=b.但当a=b 时，显然秩(A)2≠, 故必有 a ≠b 且a+2b=0. 应选(C).（5）设s ααα,,,21 均为n 维向量，下列结论不正确的是(A) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 线性无关.(B) 若s ααα,,,21 线性相关，则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα(C) s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.(D) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关. [ B ] 【分析】 本题涉及到线性相关、线性无关概念的理解，以及线性相关、线性无关的等价表现形式. 应注意是寻找不正确的命题.【详解】(A): 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有02211≠+++s s k k k ααα ，则s ααα,,,21 必线性无关，因为若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,使得 02211=+++s s k k k ααα ，矛盾. 可见（A ）成立.(B): 若s ααα,,,21 线性相关，则存在一组，而不是对任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ，都有.02211=+++s s k k k ααα (B)不成立.(C) s ααα,,,21 线性无关,则此向量组的秩为s ；反过来，若向量组s ααα,,,21 的秩为s ，则s ααα,,,21 线性无关，因此(C)成立.(D) s ααα,,,21 线性无关,则其任一部分组线性无关，当然其中任意两个向量线性无关，可见(D)也成立.综上所述，应选(B).（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：1A ={掷第一次出现正面}，2A ={掷第二次出现正面}，3A ={正、反面各出现一次}，4A ={正面出现两次}，则事件(A) 321,,A A A 相互独立. (B) 432,,A A A 相互独立. (C) 321,,A A A 两两独立. (D) 432,,A A A 两两独立. [ C ]【分析】按照相互独立与两两独立的定义进行验算即可，注意应先检查两两独立，若成立，再检验是否相互独立.【详解】 因为21)(1=A P ，21)(2=A P ，21)(3=A P ，41)(4=A P ， 且 41)(21=A A P ，41)(31=A A P ，41)(32=A A P ，41)(42=A A P 0)(321=A A A P ，可见有)()()(2121A P A P A A P =，)()()(3131A P A P A A P =，)()()(3232A P A P A A P =， )()()()(321321A P A P A P A A A P ≠，)()()(4242A P A P A A P ≠.故321,,A A A 两两独立但不相互独立；432,,A A A 不两两独立更不相互独立，应选(C).三 、（本题满分8分）设 ).1,21[,)1(1sin 11)(∈--+=x x x x x f πππ 试补充定义f(1)使得f(x)在]1,21[上连续.【分析】 只需求出极限)(lim 1x f x -→，然后定义f(1)为此极限值即可.【详解】 因为 )(lim 1x f x -→=])1(1sin 11[lim 1x x x x --+-→πππ =xx xx x πππππsin )1(sin )1(lim 111---+-→=xx x xx ππππππππcos )1(sin cos lim 111-+---+-→=xx x x xx ππππππππππsin )1(cos cos sin lim 11221----+-→=.1π由于f(x)在)1,21[上连续，因此定义π1)1(=f ，使f(x)在]1,21[上连续.四 、（本题满分8分） 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足12222=∂∂+∂∂vfu f ，又)](21,[),(22y x xy f y x g -=,求.2222yg x g ∂∂+∂∂【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：),(v u f g =，)(21,22y x v xy u -==，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用.22u v f v u f ∂∂∂=∂∂∂ 【详解】vfx u f y x g ∂∂+∂∂=∂∂， .vfy u f x y g ∂∂-∂∂=∂∂ 故 vf v f x v u f xy u f y xg ∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂2222222222，.2222222222v f vf y u v f xy u f x yg ∂∂-∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂ 所以 222222222222)()(vf y x u f y x yg x g ∂∂++∂∂+=∂∂+∂∂ =.22y x +五 、（本题满分8分） 计算二重积分 .)sin(22)(22dxdy y x e I Dy x +=⎰⎰-+-π其中积分区域D=}.),{(22π≤+y x y x【分析】 从被积函数与积分区域可以看出，应该利用极坐标进行计算. 【详解】 作极坐标变换：θθsin ,cos r y r x ==，有 dxdy y x e e I D y x )sin(22)(22+=⎰⎰+-π=.sin 2022dr r re d er ⎰⎰-πππθ令2r t =，则 tdt e e I t sin 0⎰-=πππ.记 tdt e A t sin 0⎰-=π，则t t de e A --⎰-=int 0π=]cos sin [0⎰----ππtdt e t e t t=⎰--πcos t tde=]sin cos [0tdt e t e t t⎰--+-ππ=.1A e -+-π因此 )1(21π-+=e A ， ).1(2)1(2πππππe e e I +=+=-六、（本题满分9分）求幂级数∑∞=<-+12)1(2)1(1n nnx n x 的和函数f(x)及其极值. 【分析】 先通过逐项求导后求和，再积分即可得和函数，注意当x=0时和为1. 求出和函数后，再按通常方法求极值.【详解】.1)1()(1212∑∞=-+-=-='n n n xxx x f 上式两边从0到x 积分，得).1ln(211)0()(202x dt t t f x f x+-=+-=-⎰ 由f(0)=1, 得).1(),1ln(211)(2<+-=x x x f 令0)(='x f ，求得唯一驻点x=0. 由于,)1(1)(222x x x f +--='' 01)0(<-=''f ，可见f(x)在x=0处取得极大值，且极大值为 f(0)=1.七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x), 其中函数f(x),g(x)在),(+∞-∞内满足以下条件：)()(x g x f ='，)()(x f x g ='，且f(0)=0, .2)()(xe x g xf =+(1) 求F(x)所满足的一阶微分方程； (2) 求出F(x)的表达式.【分析】 F(x)所满足的微分方程自然应含有其导函数，提示应先对F(x)求导，并将其余部分转化为用F(x)表示，导出相应的微分方程，然后再求解相应的微分方程.【详解】 (1) 由)()()()()(x g x f x g x f x F '+'=' =)()(22x f x g +=)()(2)]()([2x g x f x g x f -+ =(22)x e -2F(x),可见F(x)所满足的一阶微分方程为.4)(2)(2x e x F x F =+'(2) ]4[)(222C dx e e e x F dx xdx +⎰⋅⎰=⎰-=]4[42C dx e e x x +⎰-=.22x xCe e-+将F(0)=f(0)g(0)=0代入上式，得 C=-1. 于是.)(22x xe e x F --=八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1.试证必存在)3,0(∈ξ，使.0)(='ξf【分析】 根据罗尔定理，只需再证明存在一点c )3,0[∈，使得)3(1)(f c f ==，然后在[c,3]上应用罗尔定理即可. 条件f(0)+f(1)+f(2)=3等价于13)2()1()0(=++f f f ，问题转化为1介于f(x)的最值之间，最终用介值定理可以达到目的.【详解】 因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M 和最小值m ，于是M f m ≤≤)0(， M f m ≤≤)1(， M f m ≤≤)2(. 故.3)2()1()0(M f f f m ≤++≤由介值定理知，至少存在一点]2,0[∈c ，使.13)2()1()0()(=++=f f f c f因为f(c)=1=f(3), 且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，所以由罗尔定理知，必存在)3,0()3,(⊂∈c ξ，使.0)(='ξf九、（本题满分13分） 已知齐次线性方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,0)(,0)(,0)(,0)(332211332211332211332211nn nn n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中.01≠∑=ni ia试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时，(1) 方程组仅有零解；(2) 方程组有非零解. 在有非零解时，求此方程组的一个基础解系.【分析】方程的个数与未知量的个数相同，问题转化为系数矩阵行列式是否为零，而系数行列式的计算具有明显的特征：所有列对应元素相加后相等. 可先将所有列对应元素相加，然后提出公因式，再将第一行的（-1）倍加到其余各行，即可计算出行列式的值.【详解】 方程组的系数行列式ba a a a a ba a a a ab a a a a a b a A n n n n++++= 321321321321 =).(11∑=-+ni i n a b b(1) 当0≠b 时且01≠+∑=ni iab 时，秩(A)=n ，方程组仅有零解.(2) 当b=0 时，原方程组的同解方程组为 .02211=+++n n x a x a x a 由01≠∑=ni ia可知，),,2,1(n i a i =不全为零. 不妨设01≠a ，得原方程组的一个基础解系为T a a )0,,0,1,(121 -=α，T a a )0,,1,0,(132 -=α，.)1,,0,0,(,1T n n a a -=α 当∑=-=ni iab 1时，有0≠b ，原方程组的系数矩阵可化为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑∑∑∑====n i i n nni inni inni ia a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 1321132131213211（将第1行的-1倍加到其余各行，再从第2行到第n 行同乘以∑=-ni ia11倍）→⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----∑=1001010100113211 n ni ia a a a a（将第n 行n a -倍到第2行的2a -倍加到第1行，再将第1行移到最后一行）→.0000100101010011⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---由此得原方程组的同解方程组为 12x x =，13x x =，1,x x n = . 原方程组的一个基础解系为 .)1,,1,1(T=α十、（本题满分13分）设二次型)0(222),,(31232221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ，中二次型的矩阵A 的特征值之和为1，特征值之积为-12. (1) 求a,b 的值；(2) 利用正交变换将二次型f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 【分析】 特征值之和为A 的主对角线上元素之和，特征值之积为A 的行列式，由此可求出a,b 的值；进一步求出A 的特征值和特征向量，并将相同特征值的特征向量正交化（若有必要），然后将特征向量单位化并以此为列所构造的矩阵即为所求的正交矩阵.【详解】 （1）二次型f 的矩阵为.200200⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=b b a A 设A 的特征值为).3,2,1(=i i λ 由题设，有1)2(2321=-++=++a λλλ，.12242002002321-=--=-=b a b ba λλλ解得 a=1,b= -2.(2) 由矩阵A 的特征多项式)3()2(22202012+-=+----=-λλλλλλA E ，得A 的特征值.3,2321-===λλλ对于,221==λλ解齐次线性方程组0)2(=-x A E ，得其基础解系 T )1,0,2(1=ξ，.)0,1,0(2T=ξ对于33-=λ，解齐次线性方程组0)3(=--x A E ，得基础解系.)2,0,1(3T-=ξ由于321,,ξξξ已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将321,,ξξξ单位化，由此得T )51,0,52(1=η，T )0,1,0(2=η，.)52,0,51(3T -=η令矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==5205101051052321ηηηQ ，则Q 为正交矩阵. 在正交变换X=QY 下，有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=300020002AQ Q T ，且二次型的标准形为.322232221y y y f -+=十一、（本题满分13分） 设随机变量X 的概率密度为;],8,1[,0,31)(32其他若∈⎪⎩⎪⎨⎧=x x x fF(x)是X 的分布函数. 求随机变量Y=F(X)的分布函数.【分析】 先求出分布函数F(x) 的具体形式，从而可确定Y=F(X) ,然后按定义求Y 的分布函数即可。