工程力学拉伸和压缩
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工程力学第五章__拉伸和压缩详解
（压）刚度的概念。 ❖ 了解拉伸和压缩时材料的力学性能，并牢记相关的主
要参数。 ❖ 建立安全系数和许用应力的概念，掌握拉伸和压缩时
的强度条件及其应用。
§5－1 拉伸和压缩的力学模型
定义
轴向拉伸——在轴向力作用下，杆件产生伸长 变形，简称拉伸。
拉伸
轴向压缩——在轴向力作用下，杆件产生缩短 变形，简称压缩。
1-螺栓 2-上螺母 3-下螺母 4-垫圈
§5－2 拉伸（压缩）时横截面上的内力——轴力
图a、b分别为上下螺母与螺栓的受力图。当双螺母拧
紧时，上螺母受到的力有：下螺母给它的作用力F1(压紧 力)，螺栓给它的作用力F3（螺纹牙所受力的合力）；下螺 母受到的力有：上螺母给它的反作用力F1′，螺栓给它的 作用力F4，以及垫圈给它的作用力F2。
§5－2 拉伸（压缩）时横截面上的内力——轴力
轴力的正负规定：
当轴力指向离开截面时，杆件受拉，规定轴力为正， 轴力为拉力；反之，当轴力指向截面时，杆件受压，规定 轴力为负，轴力为压力。即拉为正，压为负。
§5－2 拉伸（压缩）时横截面上的内力——轴力
解题前须知：
（1）当求解存在多个外力作用的杆件的内力时，切忌 主观判断而误将截面附近作用的外力当作该截面上的内力。
（2）在两个轴向外力之间取任意截面时，不要在外力 作用点切取，因为在外力作用点处的截面上其内力是不确定 值。
（3）轴力的大小等于截面一侧（左或右）所有外力的 代数和。
（4）力的可传性原理在材料力学中已不适用。
§5－2 拉伸（压缩）时横截面上的内力——轴力
【例5－1】如图所示为一液压系统中液压缸的活塞杆。作 用于活塞杆轴线上的外力可以简化为F1 = 9.2 kN，F2 = 3.8 kN， F3 = 5.4 kN。试求活塞杆横截面1—1和2—2上的内力。
要参数。 ❖ 建立安全系数和许用应力的概念，掌握拉伸和压缩时
的强度条件及其应用。
§5－1 拉伸和压缩的力学模型
定义
轴向拉伸——在轴向力作用下，杆件产生伸长 变形，简称拉伸。
拉伸
轴向压缩——在轴向力作用下，杆件产生缩短 变形，简称压缩。
1-螺栓 2-上螺母 3-下螺母 4-垫圈
§5－2 拉伸（压缩）时横截面上的内力——轴力
图a、b分别为上下螺母与螺栓的受力图。当双螺母拧
紧时，上螺母受到的力有：下螺母给它的作用力F1(压紧 力)，螺栓给它的作用力F3（螺纹牙所受力的合力）；下螺 母受到的力有：上螺母给它的反作用力F1′，螺栓给它的 作用力F4，以及垫圈给它的作用力F2。
§5－2 拉伸（压缩）时横截面上的内力——轴力
轴力的正负规定：
当轴力指向离开截面时，杆件受拉，规定轴力为正， 轴力为拉力；反之，当轴力指向截面时，杆件受压，规定 轴力为负，轴力为压力。即拉为正，压为负。
§5－2 拉伸（压缩）时横截面上的内力——轴力
解题前须知：
（1）当求解存在多个外力作用的杆件的内力时，切忌 主观判断而误将截面附近作用的外力当作该截面上的内力。
（2）在两个轴向外力之间取任意截面时，不要在外力 作用点切取，因为在外力作用点处的截面上其内力是不确定 值。
（3）轴力的大小等于截面一侧（左或右）所有外力的 代数和。
（4）力的可传性原理在材料力学中已不适用。
§5－2 拉伸（压缩）时横截面上的内力——轴力
【例5－1】如图所示为一液压系统中液压缸的活塞杆。作 用于活塞杆轴线上的外力可以简化为F1 = 9.2 kN，F2 = 3.8 kN， F3 = 5.4 kN。试求活塞杆横截面1—1和2—2上的内力。
《工程力学》轴向拉伸与压缩
（b）
P
。
F A
cos
cos
将总应力 P 分解为垂直于斜截面的正应力 和相
切于斜截面的切应力 （图5-9），得
p p
cos cos2 (1 cos 2 )
sin
n
2 cos
sin
2
2
（5-3） （5-4）
5.4.2 横截面上的最大正应力和最大剪应力 当 00 时，斜截面就成为横截面， 达到最大值，而 0 ，即
平行于外力的面efgh相对面abcd的滑移量．称为绝对剪切变形。相对剪切变形为这个矩形
直角的微小改变量，称为切应变或角应变，用弧度(rad)来度量，即
ee' tan dx
角应变 和线应变是度量构件变形程度的两个物理量。实验证明：当切应力不超过材
P
FN A
式中，FN 为拉压杆斜截面上的内力；A 为斜截面的面积；P 为斜截面上的总应力。
根据受力图5-9c，有平衡条件 Fix 0 可求得斜截面上的内力为
FN F
（a）
斜截面面积与横截面面积的关系为
将式（a）、式（b）代入式（A5-c2oAs） ，得 式中，为横截面上的正应力， Fn / A
面左边一段为研究对象，如图,5-4(c)
所示，那么
Fx 0 ，即N2－F1－NA=0
得N2=20kN
同理，N2从为正值，说明N2为拉力。
在求3-3截面的内力时，为了简便，可
取右段为研究对象，如图5-4(d)所示，
设轴力为N2，轴力向右。由静力学平衡
条件可知
Fx 0 ，即N2－F3=0
得N3=F3=－30kN
5.2.3 轴力图 图5-3(a)所示的杆件为用截面法杆件的内力。 (1)假想把杆件在m-m截面截为两部分，求m-m截 面上的内力。 (2)如图5-3(b)所以留下左部分，去掉右部分。 截面上用分布内力的合力付来代替右段对左段的 作用力，合力肿的作用线与外力F的作用线重合。 (3)如图5-3(c)所示留下右部分，去掉左部分。 同理仍然在截面m-m上有与截面左部分相互作用的分布内力的合力外。 (4)杆件在一对F力作用下平衡为二力杆，用截面m-m截开后，各部分仍然保持原 来平衡状态。因此采用静力平衡方程，可以求出内力N的大小，即 取左段为研究对象，有Fx 0, N F 0, 则 N F 取右段为研究对象，有 Fx 0,F N' 0, 则 N ' F
工程力学课件 第6章 轴向拉伸与压缩
σ称为正应力，τ称为剪应力。在国际单位制中，应力的单位 是帕斯卡(Pascal)，用Pa（帕）表示，1Pa＝1 N/m2。由于帕斯卡这 一单位很小，工程常用kPa（千帕）、MPa（兆帕）、GPa（吉帕）来 表明。1 KPa＝103Pa，1 MPa＝106Pa，1 GPa＝109 Pa。
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学
12
二、拉压杆横截面上的正应力
在应力超过比例极限以后，图形出现了一段近似水平的小锯齿
形线段bc，说明此阶段的应力虽有波动，但几乎没有增加，却发生
了较大的变形。这种应力变化不大、应变显著增加的现象称为材料
的屈服。屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服
极限，以σs表示。
4.强度极限
经过了屈服极限阶段，图形变为上升的曲线，说明材料恢复了
工程力学
4
1.1.1 电路的组成
列出左段杆的平衡方程得 Nhomakorabea工程力学
5
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示，同样可得
1.1.1 电路的组成
实际上，FN与F′N是一对作用力与反作用力。因此，对同一截面， 如果选取不同的研究对象，所求得的内力必然数值相等、方向相反。
这种假想地用一个截面把杆件截为两部分，取其中一部分作为 研究对象，建立平衡方程，以确定截面上内力的方法，称为截面法。 截面法求解杆件内力的步骤可以归纳如下：
1.1.1 电路的组成
(1)计算AB段杆的轴力。沿截面1－1将杆件截开，取左段杆为研 究对象，以轴力FN1代替右段杆件对左段的作用，如图(b)所示
列平衡方程
得
工程力学
7
若以右段杆为研究对象，如图(c)所示
1.1.1 电路的组成
同样可得
(2)计算BC段杆的轴力，沿截面2－2将杆件截开，取左段杆为研 究对象，如图(d)所示
工程力学 第二章 轴向拉伸与压缩.
2 sin ( 2 cos 1 )ctg 3.9 103 m
B1 B B1 B3 B3 B
B B
B B12 B1 B 2 4.45 10 3 m
[例2-11] 薄壁管壁厚为,求壁厚变化和直径变化D。
解：1）求横截面上的正应力
dx
N ( x) l dx EA( x) l
例[2-4] 图示杆，1段为直径 d1=20mm的圆杆，2 段为边长a=25mm的方杆，3段为直径d3=12mm的圆杆。 已知2段杆内的应力σ 2=-30MPa，E=210GPa，求整个 杆的伸长△L
解: P 2 A2
30 25 18.75KN
N 1l Pl l1 l2 EA 2 EA cos l1 Pl cos 2 EA
[例2-8]求图示结构结点A 的垂直位移和水平位移。
解:
N1 P, N 2 0
Pl l1 , l2 0 EA Pl y l1 EA
N1
N2
Pl x l1ctg ctg EA
F
FN
FN F
F
F
CL2TU2
2.实验现象：
平截面假设
截面变形前后一直保持为平面，两个平行的截面之 间的纤维伸长相同。 3.平面假设：变形前为平面的横截面变形后仍为平面。 4.应力的计算 轴力垂直于横截面，所以其应力也仅仅是正应力。按 胡克定律：变形与力成正比。同一截面上各点变形相 同，其应力必然也相同。 FN （2-1） A 式中： A横截面的面积；FN该截面的轴力。 应力的符号：拉应力为正值应力，压缩应力为负 值应力。
1. 截面法的三个步骤 切: 代: 平:
F F F F
工程力学7.轴向拉伸和压缩
轴向拉伸：杆的变形是轴向伸长，横向缩短。 轴向压缩：杆的变形是轴向缩短，横向变粗。
2
力学模型如图
P
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
3
§1–2 内力 ·截面法 ·轴力及轴力图 一、内力
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分 之间分布内力系的合成。
4
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性
L E EA
EA
4、泊松比（或横向变形系数）
或 :
27
例4 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？
A
B
L1
C L2
L2 P L1 C' C"
求各杆的变形量△Li ，如图 变形图严格画法，图中弧线 变形图近似画法，图中弧之
切线。
28
2、写出图中B点位移与两杆变形间的关系
x0 x
5、杆的横向变形： ac ac ac
6、x点处的横向线应变：
ac
ac
26
3、单向应力状态下的弹性定律(胡克定律)
1 ; E
E
在轴向拉伸和压缩情况下，根据应力及应
变的计算公式，胡克定律可以用轴力和变形之
间的关系式来表达。式中EA称为杆的抗拉压刚
度。
L 1 1 P L PL
当a = ± 45°时，
| a |max
0
2
(45 °斜截面上剪应力达到最大)
23
1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点 的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。
2.单元体：构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质： a）平行面上，应力均布；
2
力学模型如图
P
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
3
§1–2 内力 ·截面法 ·轴力及轴力图 一、内力
指由外力作用所引起的、物体内相邻部分 之间分布内力系的合成。
4
二、截面法 ·轴力 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性
L E EA
EA
4、泊松比（或横向变形系数）
或 :
27
例4 小变形放大图与位移的求法。 1、怎样画小变形放大图？
A
B
L1
C L2
L2 P L1 C' C"
求各杆的变形量△Li ，如图 变形图严格画法，图中弧线 变形图近似画法，图中弧之
切线。
28
2、写出图中B点位移与两杆变形间的关系
x0 x
5、杆的横向变形： ac ac ac
6、x点处的横向线应变：
ac
ac
26
3、单向应力状态下的弹性定律(胡克定律)
1 ; E
E
在轴向拉伸和压缩情况下，根据应力及应
变的计算公式，胡克定律可以用轴力和变形之
间的关系式来表达。式中EA称为杆的抗拉压刚
度。
L 1 1 P L PL
当a = ± 45°时，
| a |max
0
2
(45 °斜截面上剪应力达到最大)
23
1.一点的应力状态：过一点有无数的截面，这一点 的各个截面上的应力情况，称为这点的应力状态。
2.单元体：构件内的点的代表物，是包围被研究点 的无限小的几何体，常用的是正六面体。 单元体的性质： a）平行面上，应力均布；
工程力学轴向拉伸压缩
为双剪切。由平衡方程轻易求出
Q P 2
为插销横截面上旳剪应力
Q A
15 103 2 20 103
2
23.9 MPa
4
故插销满足剪切强度要求。
例3-2 如图3-8所示冲床，Pmax k40N0 ，冲头 400
MPa，冲剪钢板 b 36M0 Pa，设计冲头旳最小直径值
及钢板厚度最大值。
许用挤压应力 bs ，8M顺Pa纹许用剪切应力
，1M顺P纹a 许用拉应
力
。若t P1=0M4P0akN，作用于正方形形心，试设计b、a及 l。
解：1. 顺纹挤压强度条件为
bs
P ba
bs
ba
P
bs
4801（1006a3 ） 50 104m2
2. 顺纹剪切强度条件为
Q P
A bl
bl
P
4010160（3 b4）00 10 4m2
3. 顺纹拉伸强度条件为
4.
P
b
1 2
(
b
a
)
t
b2 ba
2P
t
2 40 103 10 106
80 10 4m2
联立（a）、（b）、（c）式，解得
3.
b 11.4 10 2m 114mm l 35.1 10 2m 351mm a 4.4 10 2m 44mm
1.截 在待求内力旳截面处,用一假想旳平面将
构件截为两部分。
2.脱 取其中一部分为脱离体，保存该部分上
旳外力，并在截面上用内力替代另一部 分对该部分旳作用。 （未知内力假设为正）
3.平 利用脱离体旳平衡方程，即可求出截面
上旳内力。
轴力及其求法——截面法
Q P 2
为插销横截面上旳剪应力
Q A
15 103 2 20 103
2
23.9 MPa
4
故插销满足剪切强度要求。
例3-2 如图3-8所示冲床，Pmax k40N0 ，冲头 400
MPa，冲剪钢板 b 36M0 Pa，设计冲头旳最小直径值
及钢板厚度最大值。
许用挤压应力 bs ，8M顺Pa纹许用剪切应力
，1M顺P纹a 许用拉应
力
。若t P1=0M4P0akN，作用于正方形形心，试设计b、a及 l。
解：1. 顺纹挤压强度条件为
bs
P ba
bs
ba
P
bs
4801（1006a3 ） 50 104m2
2. 顺纹剪切强度条件为
Q P
A bl
bl
P
4010160（3 b4）00 10 4m2
3. 顺纹拉伸强度条件为
4.
P
b
1 2
(
b
a
)
t
b2 ba
2P
t
2 40 103 10 106
80 10 4m2
联立（a）、（b）、（c）式，解得
3.
b 11.4 10 2m 114mm l 35.1 10 2m 351mm a 4.4 10 2m 44mm
1.截 在待求内力旳截面处,用一假想旳平面将
构件截为两部分。
2.脱 取其中一部分为脱离体，保存该部分上
旳外力，并在截面上用内力替代另一部 分对该部分旳作用。 （未知内力假设为正）
3.平 利用脱离体旳平衡方程，即可求出截面
上旳内力。
轴力及其求法——截面法
第九章 工程力学 拉伸与压缩
截面杆，其边长a=60mm，P=10KN，试求AB和BC横截
面上的正应力。
d A
解：
FNAB sin 300 F FNAB cos 300 FNBC
FNAB
300
B
AB
FNAB AAB
28.3MPa
C
FNBC a
F
BC
FNBC ABC
4.8MPa
3
许用应力.强度条件
关于 形后仍然保持为平面， 且仍垂直与轴线，称 为平面假设。
(b) 变形和受力关系
F
A
FN
S ——轴向拉伸或压缩时 横截面上应力计算式
是垂直于横截面的应力-
正应力
轴力为拉力时为拉应力
轴力为压力时为压应力 （可用负号表示）
例题9-3
图示支架，AB杆为圆截面杆，d=30mm，BC杆为正方形
❖ 材料所能承受的应力都是有限度的，超过这一限 度，材料就会发生破坏；
❖ 极限应力：材料所能承受的最大应力； ❖ 工作应力：正常工作时由载荷引起的应力； ❖ 许用应力：为保证构件安全正常工作，应使其工
作应力小于材料的极限应力，因此有必要低于极 限应力若干来确定构件所允许承受的最大应力， 此最大应力称为许用应力，符号[σ]。
第九章 拉伸与压缩
❖轴力 ❖轴向拉伸与压缩时横截面上的应力 ❖ 许用应力.强度条件 ❖轴向拉伸与压缩时斜截面上的应力 ❖ 轴向拉伸与压缩时的变形.胡克定律 ❖材料在拉伸时的力学性能 ❖材料在压缩时的力学性能 ❖应力集中的概念 ❖安全系数和许用应力的确定 ❖简单拉压静不定问题
受力特点：作用在杆件上的外力的作用线或外力合 力的作用线与杆件轴线重合。
σα α pα
τα
5 轴向拉伸与压缩时的变形.胡克定律
工程力学-第六章-轴向拉伸与压缩
σ b ，且较小
算例：
解：（1）求试样横截面上的正应力 （2）根据胡克定律求弹性模量 （3）根据
F σ= A
σ = Eε
Δd ε′ = d
ε ′ = − vε
Δl ε= l
求泊松比
4．金属材料在压缩时的力学性能
4.1 低碳钢压缩时的 σ − ε 曲线
(1) E,
σ s 与 拉伸时大致相同。
压缩
(2) 因越压越扁，名义压应力将 远远偏离实际压应力，最后也得 不到强度极限
= 0.2% 时的应力规定为
3.2 灰口铸铁
（ 1 ）应力应变关系近似服从胡克定 律，没有屈服、强化和局部变形阶段 （2）伸长率很小，是脆性材料
脆性材料：
δ < 2 % ~ %5
−ε
（3）脆性材料的弹性模量 工程上取总应变为 0.1% 时的 σ 曲线的割线斜率为弹性模量。 （4）脆性材料的强度指标只有
FN 1 50 kN σI = = = −0.87 MPa 2 A1 0.24 × 0.24 m
FN 2 − 150 kN σ II = = = −1.1 MPa 2 A2 0.37 × 0.37 m
柱子的最大工作应力在柱子的下段，为1.1MPa的压应力
§6-4 拉（压）杆的变形、胡克定律
1．应变的基本概念 线变形：受力物体变形时，两点间距离的改变量
σe
应力应变特征值 汇总：
1、应力特征值
屈服极限 σ s (σ y ) 强度极限 σ b
其中 σ e , σ s , σ b 为强度指标 2、应变特征值（塑性指标）
比例极限 σ P 弹性极限 σ e
伸长率 断面收缩率
2.3 材料的卸载规律和冷作硬化 卸载规律:
工程力学_轴向拉伸与压缩_课件
二 横向变形
b b1 b
b b
泊松比 横向应变
24
目录
钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33
§2-7
§5-4 拉压杆的变形
胡克定律
25
目录
§5-4 拉压杆的变形
胡克定律
26
目录
§5-4 拉压杆的变形
胡克定律
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。
FN 2 45°
B F
Fx 0
x
FN 1 cos 45 FN 2 0 FN 1 sin 45 F 0
FN 2 20kN
21
目录
F
y
0
FN 1 28.3kN
§5-3 截面上的应力
A 1
45°
FN 1 28.3kN
FN 1 A1
6
FN 2 20kN
28.3 10
§5-4 拉压杆的变形
l1
胡克定律
FN 1l1 1mm 0.6mm E1 A1 FN 2l2 E2 A2
l2
3、节点A的位移（以切代弧）
FN 1 300 F
N2
y
A2
A
A1
AA l1 1mm 1 AA2 l2 0.6mm
A F
A2
x
A1
A3
x l2 0.6mm
y
2、根据胡克定律计算杆的变形。
20 10 2
3
斜杆伸长 水平杆缩短
l1 l2
F
200 10 200 10 3 17.32 10 1.732
b b1 b
b b
泊松比 横向应变
24
目录
钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33
§2-7
§5-4 拉压杆的变形
胡克定律
25
目录
§5-4 拉压杆的变形
胡克定律
26
目录
§5-4 拉压杆的变形
胡克定律
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积为250mm2。 E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。
FN 2 45°
B F
Fx 0
x
FN 1 cos 45 FN 2 0 FN 1 sin 45 F 0
FN 2 20kN
21
目录
F
y
0
FN 1 28.3kN
§5-3 截面上的应力
A 1
45°
FN 1 28.3kN
FN 1 A1
6
FN 2 20kN
28.3 10
§5-4 拉压杆的变形
l1
胡克定律
FN 1l1 1mm 0.6mm E1 A1 FN 2l2 E2 A2
l2
3、节点A的位移（以切代弧）
FN 1 300 F
N2
y
A2
A
A1
AA l1 1mm 1 AA2 l2 0.6mm
A F
A2
x
A1
A3
x l2 0.6mm
y
2、根据胡克定律计算杆的变形。
20 10 2
3
斜杆伸长 水平杆缩短
l1 l2
F
200 10 200 10 3 17.32 10 1.732
工程力学(材料力学)1_3轴向拉伸与压缩
BC
D
PB PC N3 C
PC N4
5P +
–
PD D
PD D
PD
P
x
P8-9 例题
A 3F
1
2
B
C
F
2F
1
2
1
2
3F
F
1
2
3.应力
应力的表示：
（1）平均应力
(A上平均内力集度)
p平均
ΔP ΔA
P
M
A
（2）实际应力 (M点内力集度)
lim p
ΔP dP
ΔA0 ΔA dA
应力分解
垂直于截面的应力称为“正应力” (Normal Stress)；
平杆BC为2杆）用截面法取节点B为研究对象
Fx 0 Fy 0
N1 cos 45 N2 0 N1sin 45 P 0
N1 28.3kN (拉力) N2 20kN (压力)
45° B C
p
N1
y
N2 45° B x
P
(2)计算各杆件的应力
1
N1 A1
28.3103 202 106
轴力的正负规定: N 与外法线同向,为正轴力(拉力)； N
N与外法线反向,为负轴力(压力)。 N
轴力图—— N (x) 的图象表示。
N N>0 N
N<0
意 （1）轴力与截面位置的变化关系，较直观；
义
（2）最大轴力的数值及其所在面的位置，即危险截面位
置，为强度计算提供依据。 N
P
+
x
例1 图示杆的A、B、C、D点分别作用着大小为5P、8P、4P、 1P 的力，方向如图，试画出杆的轴力图。
工程力学材料力学第一章
直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。
直杆轴向拉伸或压缩时斜截面上的应力 k
设有一等直杆受拉力P作用。 P 求：斜截面k-k上的应力。 解：采用截面法 由平衡方程：Pα=P P P k P
α α
k Pα k
Pα 则： pα = Aα
Aα：斜截面面积；Pα：斜截面上内力。
A 由几何关系： α = cos Aα
σ 0 ( 45°斜截面上剪应力达到最大 ) |τ 当α = ± 45°时， α |max =
目 录
公式的应用条件： 公式的应用条件： 直杆、杆的截面无突变、 的距离。 直杆、杆的截面无突变、截面到载荷作用点有一定 的距离。 圣维南( 原理： 圣维南 Saint-Venant)原理： 原理 离开载荷作用处一定距离， 离开载荷作用处一定距离，应力分布与大小不受外载荷作 用方式的影响。 用方式的影响。 应力集中（ 应力集中（Stress Concentration）： ）： 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。 在截面尺寸突变处，应力急剧变大。
工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定 义不仅准确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集 度最大处开始。 2. 应力的表示： 应力的表示： ① 平均应力： 平均应力： ∆P M ∆A
ΔP pM = ΔA
全应力（总应力）： ② 全应力（总应力）：
p = lim
∆A → 0
∆P dP = ∆ A dA
目 录
目 录
目 录
例题
图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为 图示结构，已知斜杆AB长2m,横截面面积为 AB 水平杆AC的横截面面积为250mm AC的横截面面积为 200mm2。水平杆AC的横截面面积为250mm2。材料的 弹性摸量E=200GPa 载荷F=10kN 试求节点A E=200GPa。 F=10kN。 弹性摸量E=200GPa。载荷F=10kN。试求节点A的位 移。 计算各杆件的轴力。（设斜杆为1 。（设斜杆为 解：1、计算各杆件的轴力。（设斜杆为1杆，水 平杆为2 用截面法取节点A 平杆为2杆）用截面法取节点A为研究对象
拉伸与压缩(工程力学)
A
FN A
•公式适用范围
（1） 等截面杆（Bars with uniform cross sections） 有锥度的杆，上述公式不 能使用。但是，如果杆的 锥度很小（a<15°时）， 可以近似用上述公式计算 应力，与弹性力学的精确 解相比，误差在5%以内 （2） 均匀材料（Homogeneous materials）
N AB 38.7 103 123 106 Pa AAB பைடு நூலகம் 3 2 (20 10 ) 4
§2-4
轴向拉伸或压缩时的 变形 b b
l l l
一、纵向线应变与横向线应变 纵向应变
b
l l
横向应变
b b
二、拉（压）胡克定律
当构件工作应力
0.272 mm ( 缩短）
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积 为250mm2。E=200GPa。F=10kN。 试求节点A的位移。
解：1、计算轴力。（设斜杆 为1杆，水平杆为2杆）取节 点A为研究对象
F
FN 1
FN 2
300
x
0 0
FN 1 cosa FN 2 0 FN 1 sin a F 0
（1） 杆轴为直线 （2） 外力合力作用线与杆轴重合 计算模型
• §2-2 轴向拉压时横截面的内力
应用截面法
FN P
FN ' P
符号规定：拉伸为正，压缩为负
例1.1：求图示杆1-1、2-2、3-3截面 上的轴力
解：
N 1 10 kN
N 2 5 kN
N3 20kN
N 1 10 kN
FN 1l1 l1 1mm E1 A1 FN 2l2 l2 0.6mm E2 A2
FN A
•公式适用范围
（1） 等截面杆（Bars with uniform cross sections） 有锥度的杆，上述公式不 能使用。但是，如果杆的 锥度很小（a<15°时）， 可以近似用上述公式计算 应力，与弹性力学的精确 解相比，误差在5%以内 （2） 均匀材料（Homogeneous materials）
N AB 38.7 103 123 106 Pa AAB பைடு நூலகம் 3 2 (20 10 ) 4
§2-4
轴向拉伸或压缩时的 变形 b b
l l l
一、纵向线应变与横向线应变 纵向应变
b
l l
横向应变
b b
二、拉（压）胡克定律
当构件工作应力
0.272 mm ( 缩短）
AB长2m, 面积为200mm2。AC面积 为250mm2。E=200GPa。F=10kN。 试求节点A的位移。
解：1、计算轴力。（设斜杆 为1杆，水平杆为2杆）取节 点A为研究对象
F
FN 1
FN 2
300
x
0 0
FN 1 cosa FN 2 0 FN 1 sin a F 0
（1） 杆轴为直线 （2） 外力合力作用线与杆轴重合 计算模型
• §2-2 轴向拉压时横截面的内力
应用截面法
FN P
FN ' P
符号规定：拉伸为正，压缩为负
例1.1：求图示杆1-1、2-2、3-3截面 上的轴力
解：
N 1 10 kN
N 2 5 kN
N3 20kN
N 1 10 kN
FN 1l1 l1 1mm E1 A1 FN 2l2 l2 0.6mm E2 A2
第六章工程力学之拉伸与收缩案例
如图6-7（a）所示等直杆，为了观察变形，加载前在直杆 表面画出表示横截面外轮廓线的横向线ab、cd，与轴线平行 的纵向线qr、st。然后，在直杆两端施加一对大小相等、方 向相反的轴向载荷P，使杆产生轴向拉伸。观察轴向拉伸变 形，可以看到有以下两个特点。
•横向线ab、cd： 仍然为直线、与轴线垂直，间距增大。 •纵向线qr、st： 仍然为直线、与轴线平行，间距变小。
F N 2 P
（2） 如图 6-6（b）所示，用横坐标表示横截面的位置， 垂直于直杆轴线的纵坐标表示对应横截面上的轴力，得到的 图称为轴力图。可见，AB段各截面的轴力都为2P，BC段各 截面的轴力都为-P。
轴力图不仅可以直观地反映出各横截面轴力的大小，而 且还可以显示出各段是拉伸还是压缩。
三、轴向拉压杆横截面上的应力 1. 拉压杆的变形
例6-3 求图 6-4 中 2-2 截面上的内力。
解： （1） 用过 2-2 截面的平面假想地把杆切开，一分为二， 仍取左段为研究对象。
（2） 采用设正法，设2-2截面的轴力为FN2，列平衡方程
2P 3P FN 2 0 F N 2 P 得: FN2为负值，说明实际与所设方向相反，所设为拉，实际为 压。
X 0
FN 1 2P 0 FN 1 2P
由于FN1沿轴线方向，我们把FN1称为轴力。
小结： • 轴向拉压杆横截面上具有沿轴线方向的内力，称之为轴力。
• 通常规定，拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
• 用截面法求轴力时，采用设正法。即在不知道内力正负的 情况下，都先假设为正，如果结果为正，则内力是正的，如 果结果为负，则内力是负的。
FN A
该公式适用于横截面为任意形状的等截面拉压杆，对于图 6-10所示截面变化缓慢的变截面杆，只要外力合力与轴线重 合，该公式仍可以适用。 例6-5 一钢杆，横截面面积为A= 500 m m，所受外力如图611所示。试绘轴力图，并计算各段内横截面上的应力。 解：（1）将整个直杆分为等轴力的三段，用截面法求出每 一段上的轴力。 AB段： FN 1 60kN BC段： FN 2 60 80 20kN CD段： FN 3 30kN