北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》word整章教案
数学选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §2 空间向量的运算(一)
§2 空间向量的运算(一)学习目标 1.了解空间向量的加减法及运算律.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌握共线向量定理．知识点一 空间向量的加减法及运算律思考 下面给出了两个空间向量a ，b ，如何作出b ＋a ，b －a?答案 如图，空间中的两个向量a ，b 相加时，我们可以先把向量a ，b 平移到同一个平面α内，以任意点O 为起点作OA →＝a ，OB →＝b ，则OC →＝OA →＋OB →＝a ＋b ，AB →＝OB →－OA →＝b －a.梳理 类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．OB →＝OA →＋AB →＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC →＝a －b知识点二 空间向量的数乘运算及运算律注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论． 空间两个向量a 与b (b ≠0)共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .1．若a ＋b ＝0，则a ＝b ＝0.(×)2．设λ∈R ，若a ＝λb ，则a 与b 共线．(×) 3.OA →－OB →＝AB →.(×)4．直线l 的方向向量为a ，若a ∥平面α，则l ∥平面α.(×)类型一 空间向量的加减运算例1 如图，已知长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)AA ′—→－CB →； (2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→. 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算解 (1)AA ′—→－CB →＝AA ′—→－DA →＝AA ′—→＋AD →＝AD ′—→.(2)AA ′—→＋AB →＋B ′C ′——→＝(AA ′—→＋AB →)＋B ′C ′——→＝AB ′—→＋B ′C ′——→＝AC ′—→. 向量AD ′—→，AC ′—→如图所示．引申探究利用本例题图，化简AA ′—→＋A ′B ′→＋B ′C ′—→＋C ′A —→. 解 结合加法运算AA ′—→＋A ′B ′—→＝AB ′—→，AB ′—→＋B ′C ′—→＝AC ′—→，AC ′—→＋C ′A —→＝0. 故AA ′—→＋A ′B ′——→＋B ′C ′——→＋C ′A —→＝0.反思与感悟 (1)首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即A 1A 2—→＋A 2A 3—→＋A 3A 4—→＋…＋A n －1A n ———→＝A 1A n —→.(2)首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.如图，OB →＋BC →＋CD →＋DE →＋EF →＋FG →＋GH →＋HO →＝0.跟踪训练1 在如图所示的平行六面体中，求证：AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→.考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用证明 ∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →，AB ′—→＝AB →＋AA ′—→，AD ′—→＝AD →＋AA ′—→， ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝(AB →＋AD →)＋(AB →＋AA ′—→)＋(AD →＋AA ′—→) ＝2(AB →＋AD →＋AA ′—→)． 又∵AA ′—→＝CC ′—→，AD →＝BC →，∴AB →＋AD →＋AA ′—→＝AB →＋BC →＋CC ′—→＝AC →＋CC ′—→＝AC ′—→. ∴AC →＋AB ′—→＋AD ′—→＝2AC ′—→. 类型二 共线问题例2 (1)已知向量a ，b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD →＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A ，B ，D B ．A ，B ，C C ．B ，C ，DD ．A ，C ，D(2)设e 1，e 2是空间两个不共线的向量，已知AB →＝e 1＋k e 2，BC →＝5e 1＋4e 2，DC →＝－e 1－2e 2，且A ，B ，D 三点共线，实数k ＝________. 考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断 答案 (1)A (2)1解析 (1)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝3a ＋6b ＝3(a ＋2b )＝3AB →，故AD →∥AB →，又AD →与AB →有公共点A ，所以A ，B ，D 三点共线．(2)因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝7e 1＋(k ＋6)e 2， 且AB →与AD →共线，故AD →＝xAB →， 即7e 1＋(k ＋6)e 2＝x e 1＋xk e 2， 故(7－x )e 1＋(k ＋6－xk )e 2＝0， 又∵e 1，e 2不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7－x ＝0，k ＋6－kx ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，k ＝1，故k 的值为1. 反思与感悟 (1)判断向量共线的策略①熟记共线向量的充要条件：(ⅰ)若a ∥b ，b ≠0，则存在唯一实数λ使a ＝λb ；(ⅱ)若存在唯一实数λ，使a ＝λb ，b ≠0，则a ∥b . ②判断向量共线的关键：找到实数λ. (2)证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P ，A ，B 可通过证明下列结论来证明三点共线． ①存在实数λ，使P A →＝λPB →成立．②对空间任一点O ，有OP →＝OA →＋tAB →(t ∈R )． ③对空间任一点O ，有OP →＝xOA →＋yOB →(x ＋y ＝1)．跟踪训练2 如图所示，在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，请判断向量EF →与AD →＋BC →是否共线？考点 线线、线面平行的判断 题点 线线平行的判断解 设AC 的中点为G ，连接EG ，FG ， ∴GF →＝12AD →，EG →＝12BC →，又∵GF →，EG →，EF →共面，∴EF →＝EG →＋GF →＝12BC →＋12AD →＝12(AD →＋BC →)，∴EF →与AD →＋BC →共线．类型三 空间向量的数乘运算及应用例3 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →＋NC 1—→. 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 解 (1)AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝(AA 1—→＋AD →)＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)A 1N —→＝A 1A —→＋AN →＝－AA 1—→＋AB →＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)MP →＋NC 1—→＝(MA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1P —→)＋(NC →＋CC 1→) ＝12AA 1—→＋AD →＋12AB →＋12AD →＋AA 1—→ ＝32AA 1—→＋32AD →＋12AB →＝32a ＋12b ＋32c . 引申探究若把本例中“P 是C 1D 1的中点”改为“P 在线段C 1D 1上，且C 1P PD 1＝12”，其他条件不变，如何表示AP →？解 AP →＝AD 1—→＋D 1P —→＝AA 1—→＋AD →＋23AB →＝a ＋c ＋23b .反思与感悟 利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．跟踪训练3 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 在A 1D 1上，且A 1E —→＝2ED 1—→，F 在对角线A 1C 上，且A 1F —→＝23FC →.求证：E ，F ，B 三点共线． 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 证明 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c . 因为A 1E —→＝2ED 1—→，A 1F —→＝23FC →，所以A 1E —→＝23A 1D 1—→，A 1F —→＝25A 1C —→，所以A 1E —→＝23AD →＝23b ，A 1F —→＝25(AC →－AA 1—→)＝25(AB →＋AD →－AA 1—→)＝25a ＋25b －25c ， 所以EF →＝A 1F —→－A 1E —→＝25a －415b －25c＝25⎝⎛⎭⎫a －23b －c . 又EB →＝EA 1—→＋A 1A —→＋AB →＝－23b －c ＋a ＝a －23b －c ，所以EF →＝25EB →，又因为EF →与EB →有公共点E ，所以E ，F ，B 三点共线．1.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为AC 1—→的共有( )①(AB →＋BC →)＋CC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D解析 ①(AB →＋BC →)＋CC 1—→＝AC →＋CC 1—→＝AC 1—→； ②(AA 1—→＋A 1D 1—→)＋D 1C 1—→＝AD 1—→＋D 1C 1—→＝AC 1—→； ③(AB →＋BB 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→； ④(AA 1—→＋A 1B 1—→)＋B 1C 1—→＝AB 1—→＋B 1C 1—→＝AC 1—→，故选D.2．设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．空间四边形 C ．等腰梯形D ．矩形考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算的应用 答案 A解析 由AO →＋OB →＝AB →＝DO →＋OC →＝DC →，得AB →＝DC →，故四边形ABCD 为平行四边形，故选A.3．下列条件，能说明空间不重合的A ，B ，C 三点共线的是( ) A.AB →＋BC →＝AC →B.AB →－BC →＝AC →C.AB →＝BC →D ．|AB →|＝|BC →|考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 C解析 由AB →＝BC →知AB →与BC →共线，又因有一共同的点B ，故A ，B ，C 三点共线．4．若非零空间向量e 1，e 2不共线，则使2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线的k 的值为________． 考点 空间向量的数乘运算 题点 空间共线向量定理及应用 答案 －12解析 若2k e 1－e 2与e 1＋2(k ＋1)e 2共线， 则2k e 1－e 2＝λ[e 1＋2(k ＋1)e 2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝λ，－1＝2λ(k ＋1)，∴k ＝－12.5．化简2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝________. 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 0解析 2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →＝2AB →＋2BC →＋2CD →＋2DA →＋CD →＋DA →＋AC →＝0.(1)空间向量加法、减法运算的两个技巧①巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．②巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．(2)证明(或判断)三点A ，B ，C 共线时，只需证明存在实数λ，使AB →＝λBC →(或AB →＝λAC →)即可，也可用“对空间任意一点O ，有OC →＝tOA →＋(1－t )OB →”来证明三点A ，B ，C 共线．一、选择题1．化简PM →－PN →＋MN →所得的结果是( ) A.PM → B.NP → C ．0D.MN →考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 C解析 PM →－PN →＋MN →＝NM →＋MN →＝NM →－NM →＝0，故选C. 2．空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA →＋CD →－CB →等于( ) A.DB → B.AC → C.AB →D.BA → 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 D3．已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设G 是CD 的中点，则AB →＋12(BD →＋BC →)等于( )A.AG →B.CG →C.BC →D.12BC → 考点 空间向量的加减运算 题点 空间向量的加减运算 答案 A解析 如图，因为BD →＋BC →＝2BG →，所以AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB →＋BG →＝AG →.4．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点．若A 1B 1—→＝a ，A 1D 1—→＝b ，A 1A —→＝c ，则下列向量中与B 1M —→相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 A解析 B 1M —→＝B 1B —→＋BM →＝A 1A →＋12(BA →＋BC →)＝c ＋12(－a ＋b )＝－12a ＋12b ＋c .5．如图所示，在四面体A －BCD 中，点E 是CD 的中点，记AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则BE →等于( )A ．a －12b ＋12cB ．－a ＋12b ＋12cC ．12a －b ＋12cD ．－12a ＋b ＋12c考点 空间向量的数乘运算 题点 空间向量的线性运算 答案 B解析 连接AE (图略)，∵E 是CD 的中点，AC →＝b ，AD →＝c ， ∴AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(b ＋c )．在△ABE 中，BE →＝BA →＋AE →＝－AB →＋AE →，又AB →＝a ，∴BE →＝－a ＋12(b ＋c )＝－a ＋12b ＋12c . 6．设点M 是△ABC 的重心，记BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，且a ＋b ＋c ＝0，则AM →等于( )A.b －c 2B.c －b 2C.b －c 3D.c －b 3考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 D解析 设D 是BC 边的中点，∵M 是△ABC 的重心，∴AM →＝23AD →.而AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(c －b )， ∴AM →＝13(c －b )． 7．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A ．点P 一定在直线AB 上B ．点P 一定不在直线AB 上C ．点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D ．AB →与AP →的方向一定相同考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用答案 A解析 已知m ＋n ＝1，则m ＝1－n ，OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →，即OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →.因为AB →≠0，所以AP →和AB →共线，又AP 和AB 有公共点A ，所以点A ，P ，B 共线，故选A.二、填空题8．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，化简AB →－CD →＋BC →－DA →的结果是________．考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算答案 2AC →解析 AB →－CD →＋BC →－DA →＝AB →＋BC →＋DC →－DA →＝AC →＋AC →＝2AC →.9．在空间四边形ABCD 中，连接BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为________． 考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量的线性运算答案 0解析 连接DE 并延长交BC 于点F ，连接AF (图略)，则DF →＝32DE →， ∴AB →＋12BC →－32DE →－AD → ＝AB →＋BF →－DF →＋DA →＝AF →＋FD →＋DA →＝0.10．若G 为△ABC 内一点，且满足AG →＋BG →＋CG →＝0，则G 为△ABC 的________．(填“外心”“内心”“垂心”“重心”)考点 空间向量的加减运算题点 空间向量的加减运算的应用答案 重心解析 因为AG →＋BG →＝－CG →＝GC →，所以AG 所在直线的延长线为边BC 上的中线，同理，得BG 所在直线的延长线为AC 边上的中线，故G 为其重心．11．已知点M 在平面ABC 内，并且对空间任意一点O ，有OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →，则x 的值为________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间共面向量定理及应用答案 13解析 ∵OM →＝xOA →＋13OB →＋13OC →， 且M ，A ，B ，C 四点共面，∴x ＋13＋13＝1，∴x ＝13. 三、解答题12．如图，已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，点M ，N 分别在对角线BD ，AE 上，且BM ＝13BD ，AN ＝13AE .求证：MN ∥平面CDE .考点 空间向量的数乘运算题点 空间向量共面定理及应用证明 因为M 在BD 上，且BM ＝13BD ， 所以MB →＝13DB →＝13DA →＋13AB →. 同理AN →＝13AD →＋13DE →. 所以MN →＝MB →＋BA →＋AN →＝13DA →＋13AB →＋BA →＋13AD →＋13DE → ＝23BA →＋13DE →＝23CD →＋13DE →. 又CD →与DE →不共线，根据共面向量定理可知MN →，CD →，DE →共面．因为MN 不在平面CDE 内，所以MN ∥平面CDE .四、探究与拓展13．已知向量a ，b ，c 互相平行，其中a ，c 同向，a ，b 反向，|a |＝3，|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.答案 214．设e 1，e 2，e 3三向量不共面，而AB →＝e 1＋2e 2＋3e 3，BC →＝2e 1＋λe 2＋μe 3，CD →＝3λe 1－e 2－2μe 3，如果A ，B ，D 三点共线，则λ，μ的值为________．考点 空间向量的数乘运算题点 空间共线向量定理及应用解析 BD →＝BC →＋CD →＝(2e 1＋λe 2＋μe 3)＋(3λe 1－e 2－2μe 3)＝(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3. ∵A ，B ，D 三点共线，∴AB →与BD →是共线向量．∴存在实数k ，使得AB →＝kBD →，即e 1＋2e 2＋3e 3＝k [(2＋3λ)e 1＋(λ－1)e 2－μe 3]． ∴(1－2k －3kλ)e 1＋(2－kλ＋k )e 2＋(3＋kμ)e 3＝0. ∵e 1，e 2，e 3三向量不共面，∴1－2k －3kλ＝0,2－kλ＋k ＝0,3＋kμ＝0.将k ＝－3μ代入前两式， 可得⎩⎪⎨⎪⎧9λ＋μ＋6＝0，3λ＋2μ－3＝0， 解得λ＝－1，μ＝3.。
2016-2017学年北师大版高中数学选修2-1课件：第二章
②两向量的数量积 两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． ③向量的数量积的性质(e是单位向量) ⅰ)a·e＝|a|cos〈a，e〉；ⅱ)a⊥b⇔a·b＝0； ⅲ)|a|2＝a·a＝a2；ⅳ)|a·b|≤|a||b|. ④向量的数量积满足如下运算律： ⅰ)(λa·b＝λ(a·b)；ⅱ)a·b＝b·a(交换律)； ⅲ)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
2．平行与垂直关系的证明 (1)利用向量处理平行问题 空间图形的平行关系包括直线与直线的平行，直 线与平面的平行，平面与平面的平行，它们都可 以用向量方法来研究．具体情况如下： ①设a，b是两条不重合的直线，它们的方向向量 分别为a，b，那么a∥b⇔a∥b.根据实数与向量积 的定义：a∥b⇔a＝kb(k∈R，k≠0)． ②平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量 平行：设两个不重合的平面α，β的法向量分别为 a，b，那么α∥β⇔a∥b.
③直线与平面平行 ⅰ)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直： 设直 线 l 在平面 α 外，a 是 l 的一个方向向量，b 是平面 α 的一个法向量， 那么 l∥α⇔a⊥b⇔a· b＝0.a∥平面 α⇔表示以 a 为方向向量的直线与 α 平行或平面 α 内，因此也可用向量证明线面平行．
ⅱ)已知直线 a⊄α，A，B∈a，C，D∈α，且 C、D、 E 三点不共线，则 a∥α 的充要条件是存在有序实 → → → → → 数对 λ、μ 使AB＝λCD＋μCE.(常先设AB＝λCD＋ → μCE，再求解 λ，μ 的值．若 λ，μ 存在即证毕；若 λ，μ 不存在，则直线 AB 与平面相交)
推论：设 O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任一 → 点 P，都存在唯一的一个有序实数组{x，y，z}，使OP＝ → → → xOA＋yOB＋zOC. (2)两个向量的数量积(与平面向量基本相同) ①两向量的夹角：已知两个非零向量 a，b，在空间中任 → → 取一点 O，作．通常规定 0≤〈a，b〉≤π.若〈a， π b〉＝ ，则称向量 a，b 互相垂直，记作 a⊥b. 2
北师大版高中数学选修2-1第二章 空间向量与立体几何2.3.1-3三垂线定理教学设计
《三垂线定理》教学设计一、教学目标：1．认知目标：（1）使学生掌握三垂线定理及其逆定理的内容，并能从口头上和书面上作出正确的表达；（2）初步掌握运用三垂线定理或逆定理证空间两直线垂直的思考方法。
2．能力目标：通过探索三垂线定理及其证明，培养学生观察问题，发现问题的能力和空间想象能力，培养学生空间计算能力和逻辑思维能力.3．情感目标：激发学生学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知的精神；渗透事物相互转化理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过图形的立体美、对称美，培养学生的审美意识。
二、重点、难点：(1)掌握并正确表达定理的内容是本节课的重点；(2)构造运用定理的条件证空间两直线垂直的思维能力是本节课的难点。
三、教材分析：“三垂线定理”是在立体几何中研究了空间直线和平面垂直关系的基础上研究空间两条直线垂直关系的一个重要定理。
它既是线面垂直关系的一个应用，又为以后学习面面垂直，研究空间距离、空间角、多面体与旋转体的性质奠定了基础，同时这节课也是培养学生空间想象能力和逻辑思维能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力都有重要意义四、教法分析建立模型，启发引导，猜想论证，学习应用，发展能力五、教学过程设计与分析：回顾旧知创设情景分析解决问题问题1 直线与平面垂直的定义教师提问式实施（教师补充说明：定义既是判定又是性质，并板书）如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，则称直线与平面垂直思维从问题开始,点明这节课是研究空间两直线位置关系的继续问题2 直线与平面垂直的判定定理？( 学生回答后教师复述并板书)如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面问题3 PO是平面α的斜线，O为斜足；PA是平面α的垂线，A为垂足；AO是PO在平面α内的射影.(1)如果a⊂α，a与PO的位置关系如何？为什么？(2)如果a⊂α，a与PO能垂直吗？谁能将以上问题写成一个命题？你能证明吗？(教师板书)好！根据刚才同学们的回答可知这是一个真命题，这就是我们这节课要学的一个重要定理，从而引入。
2018年北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》教案
北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》第一课时平面向量知识复习一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21OB OA OP +=,OA OA OP )1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( -)·(+－2)=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心B ．内心 C ．重心D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ）A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为。
高中数学 选修2-1 第二章 空间向量与立体几何导教学案(1)
西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平面内．西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间根据向量相等的概念，向量运算时可以根据需要进行平移向量；化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化，另外化简的结果要在图中标注好．22西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示，再代入数2cos 60°西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间的三等分点且PN＝2NC，AM与b的夹角，最上的投影，它可正、可负，也可以为零．，存在三元有序实数(x，y，z)，使得西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间1,0)，P4(1，－1,0)．⊥CF.西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案 高一 年级 科目 数学 备案设计人 曾卫鹏 审批人（备课组长） 授课时间探究点一 利用向量判定线面的位置关系 思考 怎样求一个平面的法向量？答 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下：①设出平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )．②找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)． ③根据法向量的定义建立关于x 、y 、z 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧ n·a ＝0，n·b ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＋c 1z ＝0，a 2x ＋b 2y ＋c 2z ＝0.④解方程组，利用赋值法，只要给x ，y ，z 中的一个变量赋一特殊值(常赋值－1,0,1)，即可确定一个法向量，赋值不同，所求法向量不同，但(0,0,0)不能作为法向量． 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l 1，l 2的方向向量分别是a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)； (2)平面α，β的法向量分别是u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)；(3)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)； (4)直线l 的方向向量，平面α的法向量分别是a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)． 解 (1)∵a ＝(1，－3，－1)，b ＝(8,2,2)， ∴a·b ＝8－6－2＝0，∴a ⊥b ，即l 1⊥l 2.(2)∵u ＝(1,3,0)，v ＝(－3，－9,0)，∴v ＝－3u ，∴v ∥u ，即α∥β. (3)∵a ＝(1，－4，－3)，u ＝(2,0,3)，∴a·u ≠0且a ≠k u (k ∈R )， ∴a 与u 既不共线也不垂直，即l 与α相交但不垂直． (4)∵a ＝(3,2,1)，u ＝(－1,2，－1)，∴a·u ＝－3＋4－1＝0，∴a ⊥u ，即l α或l ∥α.反思与感悟 (1)两直线的方向向量共线(垂直)时，两直线平行(垂直)；否则两直线相交或异面． (2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直．(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直．探究点二用向量法证明立体几何定理思考证明过程中，如何确定直线的方向向量和平面的法向量？答实际应用中，直线的方向向量即把线段看作有向线段时表示的向量，平面的法向量一般可建系后用待定系数法求出．例2证明：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．已知直线l，m和平面α，β，其中l，mα，l与m相交，l∥β，m∥β.求证α∥β.证明设相交直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，因为l∥β，m∥β，所以a⊥v，b⊥v.所以a·v＝0，b·v＝0.因为l，mα，且l，m相交，所以α内任一直线的方向向量p可以表示为如下形式p＝x a＋y b，x，y∈R.因为p·v＝(x a＋y b)·v＝x a·v＋y b·v＝0，即平面β的法线与平面α内任一直线垂直．所以平面β的法向量也是平面α的法向量，即u∥v. 因此，α∥β.反思与感悟在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．用向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是重要的工具．探究点三利用空间向量证明平行关系思考怎样利用向量证明空间中的平行关系？答可以按照下列方法证明空间中的平行关系.线线平行设直线l1、l2的方向向量分别是a、b，则要证明l1∥l2，只需证明a∥b，即a ＝k b (k∈R)线面平行①设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0；②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可；③证明一条直线l与一个平面α平行，只需证明l的方向向量能用平面α内两个不共线向量线性表示面面平行①转化为相应的线线平行或线面平行；②求出平面α，β的法向量u，v，证明u∥v，即可说明α∥β西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案 高一 年级 科目 数学 备案设计人 曾卫鹏 审批人（备课组长） 授课时间写出点的坐标→求直线的方向向量⎩⎪⎨⎪⎧BG →·n ＝0BD →·n ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋z ＝0－2x －2y ＝0西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间(1)、(4)是右手系．叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴．由坐标轴确定的平面叫作坐标平平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，图1图2点可以用两个有序实数表示，P比N点的不同在于竖直方向上与距离．所以要表示灯泡的位置需要三个不同方向上的实数．轴上的点的坐标有何特点？xOy的坐标是(0,4,0)，点A′的坐标是的坐标，常用方法是：过M做M的z坐标，于是得到轴正方向移动5个单位，轴平行的方向向上移动6个单位为顶点构造长方体，使这个长方体在点O处的三条棱分别在西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线夹角计算，F (0，12，1)，所以AC )，西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案 高一 年级 科目 数学 备案设计人 曾卫鹏 审批人（备课组长） 授课时间〉＝π4.基向量法：利用定义在棱上找到两个能表示二面角的向量，将其用一组基底表示，再做西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间A到直线l的距西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间如何求与平面平行的直线到该平面的距离？如何求平行平面间的距离？两者均转化为点到平面的距离求解，且这个点要适当选取，以求解简单为准则．⊥平面ABCD，四边形A到直线l的距反思与感悟 利用向量求点到平面的距离就是求从该点出发的平面任一条斜线段对应的向量在平面的法向量的投影的绝对值．跟踪训练3 已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E 、F 分别为AB 、BC 的中点．求直线AC 到平面PEF 的距离．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，P (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0， F ⎝⎛⎭⎫12，1，0.∵AC ∥EF ，AC 平面PEF ，EF 平面PEF ， ∴AC ∥平面PEF .∴AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离． 又AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0， 平面PEF 的一个法向量为n ＝(2,2,3)， 则点A 到平面PEF 的距离为d ＝|AE →·n ||n |＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫0，12，0·(2，2，3)17＝1717.西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间是边长为1的正∠ASB＝∠CSD，题型二 利用空间向量证明空间中的位置关系向量作为工具来研究几何，真正把几何的形与代数中的数实现了有机结合；给立体几何的研究带来了极大的便利，利用空间向量可以方便地论证空间中的一些线面位置关系，如线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直等．例2 如图，已知在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，D 为AB 的中点，AC ＝BC ＝BB 1. 求证：(1)BC 1⊥AB 1； (2)BC 1∥平面CA 1D .证明 如图，以C 1为原点，分别以C 1A 1，C 1B 1，C 1C 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AC ＝BC ＝BB 1＝2，则A (2,0,2)，B (0,2,2)，C (0,0,2)，A 1(2,0,0)，B 1(0,2,0)，C 1(0,0,0)， D (1,1,2)．(1)由于BC 1→＝(0，－2，－2)， AB 1→＝(－2,2，－2)， 因此BC 1→·AB 1→＝0－4＋4＝0， 因此BC 1→⊥AB 1→， 故BC 1⊥AB 1.(2)取A 1C 的中点E ，连接DE ，由于E (1,0,1)， 所以ED →＝(0,1,1)，又BC 1→＝(0，－2，－2)， 所以ED →＝－12BC 1→，又ED 和BC 1不共线，所以ED ∥BC 1， 又DE 平面CA 1D ，BC 1 平面CA 1D ， 故BC 1∥平面CA 1D .西安市第一中学高效课堂“导·教·学”三合一案高一年级科目数学备案设计人曾卫鹏审批人（备课组长）授课时间与平面的夹角为θ，则sin θ思考引导的距离为CD＝BC2－BD2＝ 5. 0，h)，C(0，5，0)，C1(0，5，h)，。
数学 第二章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量教案 北师大版选修2 1 教案
从平面向量到空间向量一、设计思路本节是北师大版高中数学选修2-1第二章第一节内容，学生已经学习了平面向量和空间几何体及其点线面位置关系，本章是平面向量的推广和延伸，是解决空间问题的有力工具.学生是学习的主体，本节课注重给学生提供各种参与机会：通过自学，小组讨论，多媒体展示，最大程度地激发学生参与教学的过程.结合教材以及本班学生情况，本节教学内容设计为两个部分，第一部分是向量的概念，着重学生自学与合作后的展示.通过与平面向量的类比，引入空间向量的相应概念：空间向量、向量的表示、自由向量、向量的模、向量，的夹角等.第二部分是向量、直线、平面，主要由教师引导完成教学内容.通过分析向量与直线，向量与平面的位置关系，引入直线l的方向向量，平面 的法向量等概念.通过这两部分的设计，降低学生的理解难度，突出了类比的数学思想方法.二、教学目标1. 知识与技能：(1)了解空间向量的有关概念；(2)掌握两个空间向量的夹角、方向向量和平面的法向量的概念.2. 过程与方法：经历向量从平面到空间推广的过程，分析向量与直线、平面的位置关系，让学生学会类比的数学思想方法.3. 情感与态度：尝试解决问题过程中，让学生树立类比分析、循序渐进解决数学问题的能力；借助直观模型，让学生感受从感性到理性，从具体到抽象的研究问题的方法.三、教学重点及处理设想理解向量的夹角、直线的方向向量、平面的法向量等概念.借助平面向量以及空间平行概念的基础，对向量的概念从维度(二维平面到三维空间)进行推广，可让学生从周围的几何体(长方体模型，教室等)培养学生的空间想象能力. 四、教学难点及处理设想理解共面向量的概念.对于空间两个向量都是共面向量的认同，处理设想为可以借助空间异面直线的概念提出空间两向量是否可能异面的问题，继而结合自由向量和相等向量的概念来解决.五、教学方法导学法，讨论法.六、教学准备学生学案，多媒体课件.七、教学流程设计2.学案导学（学案详见附1）知识要点：(1)空间向量的有关概念空间向量的概念及表示自由向量向量的模(或长度)④向量a,b的夹角、X围及垂直与平行(共线)⑤单位向量⑥零向量⑦相等向量⑧相反向量⑨共面向量(2)向量、直线、平面激励主动学习，培养自主探究能力.(1)对于让学生感受到维度改变(平面到空间)对概念产生的影响，培养类比的意识；对于④⑤⑥⑦⑧让学生感受直接由平面向量类比得到空间向量的相关概念所得到的成就感；对于⑦结合数量适时引出“向量不能比较大小”的结论；对于④直线l的方向向量平面α的法向量适时回顾区分向量与异面直线的夹角概念的区别,对于⑦引出“空间任何两个向量都共面”的结论.(2)对于直线的方向向量与平面的法向量主要由教师随后引导完成概念教学.5.教师引导性讲解向量、直线、平面直线l的方向向量平面 的法向量借助多媒体向同学引入直线的方向向量和平面的法向量的概念，并且完成问题(7)(8).八、教学反思1.《新课程标准》中要求让学生经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，目的是让学生体会数学的思想方法(类比与归纳)，体验数学在结构上的和谐性与在推广过程中的问题，并尝试如何解决这些问题.同时在这一过程中，也让学生见识一个数学概念的推广可能带来很多更好的性质.掌握空间向量的基本概念及其性质是基本要求.空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，空间向量的基本概念是后续学习的前提，空间向量是平面向量的推广，空间向量及其运算所涉及的内容与平面向量及其运算相似，所以，空间向量的教学要注重知识间的联系，温故而知新，运用类比的方法认识新问题，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.2.教师的教学实际上就是保证和促进学生学习的主动性和知识体系的建构.本节课尝试让学生自主学习，主要过程包括:(1)预习交流——学生按照“学案”进行课前预习或当堂预习交流；(2)小组讨论——根据自学任务小组进行讨论交流，完成预期任务；(3)展示交流——各组根据组内讨论情况，对本组的学习任务进行讲解展示；(4)穿插巩固——在展示过程中，对未能展现的学习任务进行巩固练习.(5)学后反思——对学习过程中的感受进行总结.。
北师大版高中数学选修2-1教案：2.2空间向量的运算
课本第30页练习4习题2-2 1
课后作业布置
课本第32页习题2-2 2,3
预习内容布置
课本第33页3.1空间向量的坐标表示
情感态度与价值观：学会 用发展的眼光看问题,认识 事物是在不断发展变化的,会用联系的观点看待问题.
学情分析
已经学习过平面向量的基础知识，可以为学习空间向量作准备
教学重难点
学习重点：空间向量的加法、减法和数乘运算及运算律
学习难点：用向量解决立体 几何问题
提炼的课题
空间向量的数量积运算
教学手段运用
教学资源选择
探究 归纳，讲练结合
教学过程
环节
学生要解决的问题或任务
教师 教与学生学
设计意图
（一）复习：
1．向量的数量积：
已知向量 ，则 叫做 的数量积，记作 ，即 ．
已知向量 和轴 ， 是 上与 同方向的单位 向量，作点 在 上的射影 ，作点 在 上的射影 ，则 叫做向量 在轴 上或在 上的正射影；可以证明 的长 度 ．
在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指 “将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．
2．空间向量数量积的性质：
（1） ．
（2） ．
（3） ．
3．空间向量数量积运算律：
（1） ．
（2） （交换律）．
（3） （分配律）．
向量数量积性质应用
① （用于判定垂直问题）
② （用于求模运算问题）
高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量及其运算教案 北师大版选修2-1-北师大版高二
空间向量及其运算【教学目标】1.和平面向量类比理解空间向量的概念、运算；2.掌握空间向量的共线、垂直的条件，理解空间向量基本定理和数量积【知识梳理】复习：平面向量有加减以及数乘向量运算1. 空间向量的加法和减法的运算法则有法则和法则.2.空间向量的数乘：实数λ与向量a 的积是一个量，记作，其长度和方向规定如下：(1)|λa |＝.(2)当λ＞0时，λa 与a. ；当λ＜0时，λa 与a. ；当λ＝0时，λa ＝.(3)共线向量定理：对空间任意两个向量a ， b (b ≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .3. 空间向量加法和数乘向量，以下运算律仍然成立：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a 数乘交换律: λa=a λ加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）数乘结合律：a a )()(λμμλ=数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb a a a μλμλ+=+)(小结：空间向量加法的运算要注意：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． 例3三棱锥O —ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示MG →，OG →.追踪训练1.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则用向量a ，b ，c 可表示向量BD 1→等于( )A ．a ＋b ＋cB ．a －b ＋cC ．a ＋b －cD ．－a ＋b ＋c2．对于向量a 、b 、c 和实数λ，下列命题中真命题是( )A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－bD ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c 5．3.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是A 1A ，AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1的中点，则( )A.EF →＋GH →＋PQ →＝0B.EF →－GH →－PQ →＝0C.EF →＋GH →－PQ →＝0D.EF →－GH →＋PQ →＝04.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算结果为BD 1→的是( )①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC →＋BB 1→)－D 1C 1→；③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→－A 1A →)＋DD 1→.A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5. 如图所示，ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是平行四边形．若AE →＝12EC →，A 1F →＝2FD →，若AB →＝b ，AD →＝c ，AA 1→＝a ，试用a ，b ，c 表示EF →.。
陕西省西安市高中数学 第二章 空间向量与立体几何教案 北师大版选修2-1
第二章空间向量与立体几何教材解析本章突出了用空间向量解决立体几何问题的基本思想．需注意：（1）根据问题的特点，以适当的方式（例如构建向量、建立空间直角坐标系）用空间向量表示空间图形中的点、线、面等元素，建立起空间图形与空间向量的联系.（2）通过空间向量的运算，研究相应元素之间的关系（平行、垂直、角和距离等）.（3）对运算结果的几何意义作出解释，从而解决立体几何的问题．（4）通过例题，引导学生对解决立体几何问题的二种方法（向量方法、坐标法）进行比较，分析各自的优势，因题而宜作出适当的选择，从而提高综合运用数学知识解决问题的能力．课时安排2．1 从平面向量到空间向量 1课时2．2 空间向量的运算 1课时2．3 向量的坐标表示和空间向量基本定理 3课时2.3.1 空间向量的标准正交分解与坐标表示2.3.2 空间向量基本定理2.3.3 空间向量运算的坐标表示2．4 用向量讨论垂直与平行 1课时2．5 夹角的计算 3课时2.5.1 直线间的夹角2.5.2 平面间的夹角2.5.3 直线与平面的夹角2．6 距离的计算 1课时小结 1课时§2.1从平面向量到空间向量§2.2空间向量的运算§2.3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示§2.3.2向量基本定理§2.3.3空间向量运算的坐标表示§2.4用向量讨论垂直与平行§2.5.1直线间的夹角图1图2§2.5.2平面间的夹角§2.5.3直线和平面所成的角§2.6距离的计算§2.7小结与复习。
数学选修2-1北师大版：第二章 空间向量与立体几何 §1
§1 从平面向量到空间向量学习目标 1.理解空间向量的概念.2.了解空间向量的表示法，了解自由向量的概念.3.理解空间向量的夹角.4.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念．知识点一 空间向量的概念思考1 类比平面向量的概念，给出空间向量的概念． 答案 在空间中，把具有大小和方向的量叫作空间向量．思考2 若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也一定相同吗？ 答案 一定相同．因为相等向量的方向相同，长度相等，所以表示相等向量的有向线段的起点相同，终点也相同． 梳理 空间向量的有关概念(1)定义：在空间中，把既有大小又有方向的量，叫作空间向量． (2)长度：空间向量的大小叫作向量的长度或模．(3)表示法⎩⎨⎧①几何表示法：空间向量用有向线段表示.②字母表示法：用字母表示，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB →，其模记为|AB →|或|a |.(4)自由向量：与向量的起点无关的向量．知识点二 空间向量的夹角思考 在平面内，若非零向量a 与b 共线，则它们的夹角是多少？ 答案 0或π.梳理 空间向量的夹角(1)文字叙述：a ，b 是空间中两个非零向量，过空间任意一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫作向量a 与向量b 的夹角，记作〈a ，b 〉． (2)图形表示(3)范围：0≤〈a ，b 〉≤π.(4)空间向量的垂直：如果〈a ，b 〉＝π2，那么称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b .知识点三 向量与直线、平面 1．向量与直线与平面向量一样，也可用空间向量描述空间直线的方向．如图所示．l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →为直线l 的方向向量，显然，与AB →平行的任意非零向量a 也是直线l 的方向向量，直线的方向向量平行于该直线． 2．向量与平面如图，如果直线l 垂直于平面α，那么把直线l 的方向向量a 叫作平面α的法向量．类型一 有关空间向量的概念的理解 例1 给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则a ＝b ；③在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1—→；④若空间向量m ，n ，p 满足m ＝n ，n ＝p ，则m ＝p .其中不正确的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B解析 两个空间向量相等，它们的起点、终点不一定相同，故①不正确；若空间向量a ，b 满足|a |＝|b |，则不一定能判断出a ＝b ，故②不正确；在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，必有AC →＝A 1C 1→成立，故③正确；④显然正确．故选B.反思与感悟 在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和在平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同，模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反．跟踪训练1 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列四对向量：①AB →与C 1D 1→；②AC 1—→与BD 1—→；③AD 1—→与C 1B —→；④A 1D —→与B 1C —→.其中互为相反向量的有n 对，则n 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B解析 对于①AB →与C 1D 1—→，③AD 1—→与C 1B —→长度相等，方向相反，互为相反向量；对于②AC 1—→与BD 1—→长度相等，方向不相反；对于④A 1D —→与B 1C —→长度相等，方向相同．故互为相反向量的有2对．类型二 求空间向量的夹角例2 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求下列各对向量的夹角： (1)〈AB →，A 1C 1—→〉；(2)〈AB →，C 1A 1—→〉；(3)〈AB →，A 1D 1—→〉．考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 解 (1)由题意知，A 1C 1—→＝AC →， ∴〈AB →，A 1C 1—→〉＝〈AB →，AC →〉． 又∵∠CAB ＝π4，故〈AB →，A 1C 1—→〉＝π4.(2)〈AB →，C 1A 1—→〉＝π－〈AB →，A 1C 1—→〉＝π－π4＝3π4.(3)由题意知，A 1D 1—→＝AD →，∴〈AB →，A 1D 1—→〉＝〈AB →，AD →〉＝π2.引申探究在本例中，求〈AB 1—→，DA 1—→〉． 解 如图，连接B 1C ，则B 1C ∥A 1D ，且DA 1—→＝CB 1—→，连接AC ，在△ACB 1中，因为AC ＝AB 1＝B 1C ， 故∠AB 1C ＝π3，〈AB 1—→，DA 1—→〉＝〈AB 1—→，CB 1—→〉＝π3.反思与感悟 求解空间向量的夹角，要充分利用原几何图形的性质，把空间向量的夹角转化为平面向量的夹角，要注意向量方向．跟踪训练2 如图，在正四面体ABCD 中，〈AB →，CD →〉的大小为( )A.π4B.π3C.π2D.π6考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 C解析 取AB 的中点O ，连接OC ，OD ， 易得OC ⊥AB ，OD ⊥AB .∵OC ∩OD ＝O ，OC ，OD ?平面OCD ，∴AB ⊥平面OCD ，又CD ?平面OCD ，∴AB ⊥CD . 得〈AB →，CD →〉＝π2.类型三 直线的方向向量与平面法向量的理解 例3 已知正四面体A －BCD .(1)过点A 作出方向向量为BC →的空间直线； (2)过点A 作出平面BCD 的一个法向量． 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量解 (1)如图，过点A 作直线AE ∥BC ，由直线的方向向量的定义可知，直线AE 即为过点A 且方向向量为BC →的空间直线．(2)如图，取△BCD 的中心O ，由正四面体的性质可知，AO 垂直于平面BCD ，故向量AO →可作为平面BCD 的一个法向量．反思与感悟 直线的方向向量有无数个，但一定为非零向量；平面的法向量也有无数个，它们互相平行．给定空间中任意一点A 和非零向量a ，可以确定：(1)唯一一条过点A 且平行于向量a 的直线；(2)唯一一个过点A 且垂直于向量a 的平面．跟踪训练3 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是DD 1的中点，以C 1为起点，指出直线AP 的一个方向向量．考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求直线的方向向量解 取BB 1中点Q ，C 1C 中点M ，连接C 1Q ，BM ，PM ，则PM ∥AB ，且PM ＝AB .所以四边形APMB 为平行四边形，所以AP ∥BM ，且AP ＝BM .又在四边形BQC 1M 中，BQ ∥C 1M ，且BQ ＝C 1M ，所以四边形BQC 1M 为平行四边形， 所以BM ∥C 1Q ，且BM ＝C 1Q ，所以AP ∥C 1Q ，故C 1Q —→为直线AP 的一个方向向量．1．下列说法正确的是( )A ．如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等B ．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C ．向量模的大小与方向有关D ．向量的模可以比较大小考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 D解析 两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A 不正确；任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B 不正确；向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，C 不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D 正确．2．如图，在四棱柱的上底面ABCD 中，AB →＝DC →，则下列向量相等的是( )A.AD →与CB →B.OA →与OC →C.AC →与DB →D.DO →与OB →考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 D解析 因为AB →＝DC →，所以四边形ABCD 为平行四边形．所以DO →＝OB →，AD →＝BC →，OA →＝CO →. 3．在正四面体A －BCD 中，O 为平面BCD 的中心，连接AO ，则AO →是平面BCD 的一个________向量．考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 法解析 由四面体A －BCD 为正四面体，易知AO ⊥面BCD ，故OA →是平面BCD 的一个法向量． 4．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，以下向量可以作为平面ABC 法向量的是________．(填序号)①AB →；②AA 1—→；③B 1B —→；④A 1C 1—→. 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 ②③5.如图，在长方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AB ＝3，AD ＝2，AA ′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：①单位向量共有多少个？②试写出模为5的所有向量； ③试写出与向量AB →相等的所有向量； ④试写出向量AA ′—→的所有相反向量． 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义与模解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量AA ′—→，A ′A —→，BB ′—→，B ′B —→，CC ′—→，C ′C —→，DD ′—→，D ′D —→，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为5，故模为5的向量有AD ′—→，D ′A —→，A ′D —→，DA ′—→，BC ′—→，C ′B —→，B ′C —→，CB ′—→.③与向量AB →相等的所有向量(除它自身之外)有A ′B ′——→，DC →，D ′C ′———→. ④向量AA ′—→的相反向量有A ′A —→，B ′B —→，C ′C —→，D ′D —→.在空间中，一个向量成为某直线的方向向量的条件包含两个方面：一是该向量为非零向量；二是该向量与直线平行或重合．二者缺一不可．给定空间中任意一点A 和非零向量a ，就可以确定唯一一条过点A 且平行于向量a 的直线．一、选择题1．两个非零向量的模相等的是两个向量相等的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B解析 a ＝b ⇒|a |＝|b |；|a |＝|b |⇏a ＝b .2．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，以顶点为起点和终点的向量中，平面BB 1C 1C 的法向量的个数为( )A ．0B ．2C ．3D ．4考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D解析 依题意知，∠ACB ＝90°，所以A 1C 1⊥平面BB 1C 1C ，AC ⊥平面BB 1C 1C ，所以平面BB 1C 1C 的法向量为AC →，CA →，A 1C 1—→，C 1A 1—→，共4个．3．在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，且|AC →|＝|BD →|，则四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．矩形 C ．正方形D ．不确定考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 B解析 若AB →＝DC →，则AB ＝DC ，且AB ∥DC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又|AC →|＝|BD →|，即AC ＝BD ，所以四边形ABCD 为矩形． 4．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是( ) A ．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量 B ．一个平面的所有法向量互相平行C ．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D ．如果a ，b 与平面α平行，则a ∥b 考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量 答案 D解析 依据平面向量的概念可知，A ，B ，C 都是正确的，由立体几何知识可得a ，b 不一定平行．5．如图，在正四面体A －BCD 中，〈AB →，DA →〉等于( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 D解析 两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量DA →的起点平移到A 点处，再求夹角得〈AB →，DA →〉＝120°，故选D.6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为A 1D 1和D 1C 1的中点，则〈MN →，CB →〉的大小为( ) A.π4B.3π4C.π2D.π3考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 B解析 如图，连接A 1C 1，则A 1C 1∥MN ，又因为B 1C 1∥BC ，故〈MN →，CB →〉＝π－∠A 1C 1B 1＝π－π4＝3π4.二、填空题7．如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，∠ABC ＝90°，P A ＝AC ，则在向量AB →，BC →，CA →，P A →，PB →，PC →中，夹角为90°的共有________对．考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 5解析 因为P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，P A ⊥BC ，又BC ⊥AB ，P A ⊥BC ，P A ∩AB ＝A ，P A ，AB ?平面P AB ，所以BC ⊥平面P AB ，所以BC ⊥PB .由此知〈P A →，AB →〉，〈P A →，BC →〉，〈P A →，CA →〉，〈BC →，AB →〉，〈BC →，PB →〉都为90°. 8．下列说法正确的是________．(填序号) ①两个长度相等的向量一定相等； ②零向量的方向是任意的；③若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反； ④任何两个向量都不能比较大小． 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量 答案 ②④解析 据题意知，只有②④正确．9．如图，在棱长都相等的平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知∠A 1AB ＝60°，则〈AA 1—→，CC 1—→〉＝__________________，〈AB →，C 1D 1—→〉＝________，〈BA →，DD 1—→〉＝________.考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角 答案 0° 180° 120°解析 在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1—→∥CC 1—→，且方向相同，所以〈AA 1—→，CC 1—→〉＝0°.因为AB ∥CD ，CD ∥C 1D 1，所以AB ∥C 1D 1，所以AB →∥C 1D 1—→，但方向相反，所以〈AB →，C 1D 1—→〉＝180°.因为AA 1—→＝DD 1—→，所以〈BA →，DD 1—→〉＝〈BA →，AA 1—→〉＝180°－∠A 1AB ＝120°.10．在直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，已知AB ＝5，AC ＝3，BC ＝4，CC ′＝4，则以该三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为________． 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的定义和模 答案 8解析 向量AB →，A ′B ′——→，AC ′—→，CA ′—→及它们的相反向量的模都等于5. 三、解答题11．如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量AB →相等的向量； (2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量AC →的相反向量； (3)若E 是BB 1的中点，写出与向量AE →平行的向量． 考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 相等、相反向量解 (1)由正三棱柱的结构特征知与AB →相等的向量只有向量A 1B 1—→， (2)向量AC →的相反向量为CA →，C 1A 1—→.(3)取AA 1的中点F ，连接B 1F (图略)，则B 1F —→，FB 1→，EA →都是与AE →平行的向量．12．如图，在三棱锥S －BAC 中，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，∠BAC ＝90°，O 是BC 的中点，证明：SO →是平面ABC 的一个法向量．考点 直线的方向向量与平面的法向量 题点 求平面的法向量证明 由题意知，侧面SAB 与侧面SAC 都是等边三角形，故设SA ＝SB ＝SC ＝a ，因为O 是BC 的中点，SB ＝SC ，所以SO ⊥BC . 因为∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝a ，AO ⊥BC ， 所以AO ＝22a .又SO ＝22a ，SA ＝a ， 所以△ASO 是等腰直角三角形， 即SO ⊥OA .又OA ∩BC ＝O ，OA ，BC ?平面ABC ， 所以SO ⊥平面ABC ，所以SO →是平面ABC 的一个法向量．13．如图所示，在正四面体A －BCD 中，E 是AC 的中点，求BE →与CD →的夹角的余弦值．考点 空间向量的相关概念及其表示方法 题点 空间向量的夹角解 过E 作EF ∥CD 交AD 于F ，连接BF .∠BEF 为向量BE →与CD →的夹角的补角． 设正四面体的棱长为1， 则BE ＝32，EF ＝12， BF ＝32. 由余弦定理，得cos ∠BEF ＝BE 2＋EF 2－BF22BE ·EF＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122－⎝⎛⎭⎫3222×32×12＝36. 所以BE →与CD →所成的角的余弦值为－36.四、探究与拓展 14．给出以下命题：①若a ∥b ，b 与c 的夹角是30°，则a 与c 的夹角也是30°； ②平面的所有法向量方向相同；③若两个向量的起点相同，终点也相同，则这两个空间向量相等． 其中正确命题的序号是________． 答案 ③解析 命题①，当a 与b 的方向相反时，a 与c 的夹角是150°，故①错；命题②，平面的法向量仅指垂直于平面的向量，它们的方向相同或相反，故②错；命题③，起点与终点相同的空间向量相等，故③正确．15．如图，AB 是圆O 的直径，直线P A 所在的向量是圆O 所在平面的一个法向量，M 是圆周上异于A ，B 的任意一点，AN ⊥PM ，点N 是垂足，求证：直线AN 的方向向量是平面PMB的法向量．考点直线的方向向量与平面的法向量题点求直线的方向向量证明因为AB是圆O的直径，所以AM⊥BM.又P A⊥平面ABM，所以P A⊥BM.因为P A∩AM＝A，P A，AM?平面P AM，所以BM⊥平面P AM.又AN?平面P AM，所以BM⊥AN，又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，所以AN⊥平面PBM.所以直线AN的方向向量是平面PMB的法向量．。
选修2-1空间向量与立体几何教案
。解析：不妨设棱长为 2，选择基向量
{BA, BB1 , BC} ，则
AB1
BB1
BA,
BM
BC
1 2
BB1
1
cos
AB1 , BM
( BB1
BA) • (BC 2 2 5
2
BB1 )
0
2
22 2
5
0
0 ，故填写 90o 。
（五）、小结：1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般 是利用 a⊥b a·b＝0 进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明． 2．运 用向量求解距离问题，其一般方法是找出代表相应距离的线段所对向量，然后计算这个向量对应的 模．而计算过程中只要运用好加法法则，就总能利用一个一个的向量三角形，将所求向量用有模和夹 角的已知向量表示出来，从而求得结果． 3．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时 也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式
就在平面 MAB 内；对于平面 MAB 内的任意一点 P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由
不共线的两个向量 MA 、MB （或不共线三点 M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是 M、A、B、
P 四点共面的充要条件。
5．空间向量基本定理：如果三个向量 a 、 b 、 c 不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的
DB,
DC1
共面.
∵B1 平面 C1BD, AB11C1C AF AD x AB y AA1
解：易求得 x y 1 , x y 0
2
在平行六面体 2、
ABCD
A1B1C1D1
北师大版数学选修2-1教案：第二章+§3.2空间向量基本定理
科目：教师：授课时间：第周星期年精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
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北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》一、教学目标：复习平面向量的基础知识，为学习空间向量作准备二、教学重点：平面向量的基础知识。
教学难点：运用向量知识解决具体问题三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、教学过程（一）、基本概念向量、向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相反向量、向量的加法、向量的减法、实数与向量的积、向量的坐标表示、向量的夹角、向量的数量积。
（二）、基本运算1、向量的运算及其性质运算类型几何方法坐标方法运算性质向量的加法1平行四边形法则2三角形法则),(2121yyxxba++=+abba+=+)()(cbacba++=++ACBCAB=+向量的减法三角形法则),(2121yyxxba--=-)(baba-+=-BAAB-=ABOAOB=-向量的乘法1a是一个向量,满足:2>0时,aλ与a同向;λ<0时,aλ与a异向;λ=0时, aλ=0),(yxaλλλ=aa)()(λμμλ=aaaμλμλ+=+)(babaλλλ+=+)(a∥babλ=⇔向量的ba∙是一个数10=或0=b时,ba∙=02121yyxxba+=∙abba∙=∙)()()(bababa∙=∙=∙λλλcbcacba∙+∙=∙+)(数 量 积20≠且0≠b 时,),cos(||||b a b a b a =∙22||a a =22||y x a +=||||||b a b a ≤∙2、平面向量基本定理：如果21,e e是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使a =； 注意)(21+=,)1(λλ-+=的几何意义 3、两个向量平行的充要条件： ⑴ //a b的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则//a b 的充要条件是： ；（坐标表示）4、两个非零向量垂直的充要条件： ⑴ a b ⊥的充要条件是： ；（向量表示）⑵ 若),(),,(2211y x b y x a ==，则a b ⊥ 的充要条件是： ；（坐标表示）（三）、课堂练习1．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )·(OB +OC －2OA )=0，则∆ABC 是（ ）A ．以AB 为底边的等腰三角形 B ．以BC 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形D ．以BC 为斜边的直角三角形2．P 是△ABC 所在平面上一点，若⋅=⋅=⋅，则P 是△ABC 的（ ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心3．在四边形ABCD 中，−→−AB ＝−→−DC ，且−→−AC ·−→−BD ＝0，则四边形ABCD 是（ ） A ． 矩形 B ． 菱形 C ．直角梯形 D ．等腰梯形4．已知||p = ||3q = ，p 、q 的夹角为45︒，则以52a p q =+ ，3b p q =-为邻边的平行四边形的一条对角线长为（ ） A ．15BC ． 14D ．165．O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足=)||||AC AB ++λ，),0[+∞∈λ则P 的轨迹一定通过△ABC 的( )A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 （四）、作业布置1．设平面向量=(－2，1)，=(λ，-1)，若与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ） A ．),2()2,21(+∞- B ．),2(+∞ C ．),21(+∞- D ．)21,(--∞ 2．若()(),0,7,4,3,2=+-==c a b a 方向在则上的投影为 。
3．向量(,1),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A ，B ，C 三点共线，则k ＝ ． 4．在直角坐标系xoy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且||=2,则=5．在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM =2，则)(+∙的最小值是__________。
（五）、教后反思：第二课时 空间向量及其运算（一）一、教学目标：1、知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；2、能力目标：（1）理解空间向量的概念，掌握其表示方法；（2）会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；（3）能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．3、德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物．二、教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．教学难点：应用向量解决立体几何问题．三、教学方法：讨论式．四、教学过程（Ⅰ）、复习引入［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：①用有向线段表示；②用字母a、b等表示；③用有向线段的起点与终点字母：．［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：⒈向量的加法：⒉向量的减法：⒊实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0时，λa与a同向；当λ＜0时，λa与a反向；当λ＝0时，λa＝0.［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；加法结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋（b ＋c ）；数乘分配律：λ(a ＋b )＝λa ＋λb［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P 26～P 27．（Ⅱ）新课探究：［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：+==a +b ，-=（指向被减向量）， =OP λa )(R ∈λ［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律． ［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：⑴加法交换律：a + b = b + a ；⑵加法结合律：(a + b ) + c =a + (b + c )；（课件验证） ⑶数乘分配律：λ(a + b ) =λa +λb ．［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量． ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：011433221=+++++-A A A A A A A A A n n n ．⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．例１已知平行六面体''''D C B A ABCD -（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：⑴+⑵AA ++ '21CC AD AB ++⑶．⑷)'(31AA AD AB ++ 说明：平行四边形ABCD 平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD —A’B’C’D’．平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．解：（见课本P 27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广． （Ⅲ）、课堂练习：课本P27练习（Ⅳ）、课时小结：平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法． （Ⅴ）、课后作业：⒈课本习题2-1A 组中 3、4；B 组中1⒉预习课本P 92～P 96，预习提纲： ⑴怎样的向量叫做共线向量？⑵两个向量共线的充要条件是什么？⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？⑸怎样的向量叫做共面向量？⑹向量p 与不共线向量a 、b 共面的充要条件是什么？⑺空间一点P 在平面MAB 内的充要条件是什么？ 五、教后反思：第三课时 空间向量及其运算（二）一、教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式． 二、教学重、难点：共线、共面定理及其应用． 三、教学方法：探究归纳，讲练结合 四、教学过程 （一）复习：1．空间向量的概念及表示；2、加减与数乘向量及运算律。
（二）新课探析1．共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
读作：a 平行于b ，记作：//a b ．2．共线向量定理：对空间任意两个向量,(0),//a b b a b ≠的充要条件是存在实数λ，使a b λ= （λ唯一）．推论：如果l 为经过已知点A ，且平行于已知向量a的直线，那么对任一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP OA t AB =+ ①，其中向量a叫做直线l 的方向向量。
在l 上取AB a = ，则①式可化为OP OA t AB =+ 或(1)OP t OA tOB =-+②当12t =时，点P 是线段AB 的中点，此时1()2OP OA OB =+ ③①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段AB 的中点公式．3．向量与平面平行：已知平面α和向量a，作OA a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α ．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量． 说明：空间任意的两向量都是共面的． 4．共面向量定理：alPBAO a如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+．推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB=+ 或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++① 上面①式叫做平面MAB 的向量表达式． （三）例题分析：例1．已知,,A B C 三点不共线，对平面外任一点，满足条件122555OP OA OB OC =++，试判断：点P 与,,A B C 是否一定共面？解：由题意：522OP OA OB OC =++ ，∴()2()2()OP OA OB OP OC OP -=-+-， ∴22AP PB PC =+ ，即22PA PB PC =--，所以，点P 与,,A B C 共面．说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．【练习】：对空间任一点O 和不共线的三点,,A B C ，问满足向量式OP xOA yOB zOC =++（其中1x y z ++=）的四点,,,P A B C 是否共面？ 解：∵(1)OP z y OA yOB zOC =--++ ，∴()()OP OA y OB OA z OC OA -=-+- ， ∴AP yAB zAC =+，∴点P 与点,,A B C 共面．例2．已知ABCD ，从平面AC 外一点O 引向量,,,OE kOA OF KOB OG kOC OH kOD ==== ，（1）求证：四点,,,E F G H 共面； （2）平面AC //平面EG ．解：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC AB AD =+， ∵EG OG OE =-，E()()()k OC k OA k OC OA k AC k AB AD k OB OA OD OA OF OE OH OE EF EH=⋅-⋅=-==+=-+-=-+-=+ ∴,,,E F G H 共面； （2）∵()EF OF OE k OB OA k AB =-=-=⋅，又∵EG k AC =⋅ ，∴//,//EF AB EG AC 所以，平面//AC 平面EG ． （四）、课堂练习：课本第31页练习第2、3、4题．（五）、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．（六）、作业1．已知两个非零向量21,e e 不共线，如果21AB e e =+ ，2128AC e e =+ ，2133AD e e =-，求证：,,,A B C D 共面．2．已知324,(1)82a m n p b x m n yp =--=+++ ，0a ≠，若//a b ，求实数,x y 的值。