图论
图论及其应用
图论及其应用简介图论是计算机科学中的一个重要分支，研究的对象是由边与顶点组成的图形结构以及与其相关的问题和算法。
图论的应用广泛，涵盖了计算机科学、网络科学、物理学、社会学、生物学等多个领域。
本文将介绍图论的基本概念、常用算法以及一些实际的应用案例。
图的基本概念图由顶点（Vertex）和边（Edge）组成，记作G=(V, E)，其中V为顶点的集合，E为边的集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型。
有向图有向图中的边具有方向性，即从一个顶点到另一个顶点的边有明确的起点和终点。
有向图可以表示一种有序的关系，比如A到B有一条边，但B到A可能没有边。
有向图的表示可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
无向图无向图中的边没有方向性，任意两个顶点之间都有相互连接的边。
无向图可以表示一种无序的关系，比如A与B有一条边，那么B与A之间也有一条边。
无向图的表示通常使用邻接矩阵或邻接表。
常用图论算法图论中有许多经典的算法，其中一些常用的算法包括：深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种用于遍历或搜索图的算法。
通过从起始顶点开始，沿着一条路径尽可能深入图中的顶点，直到无法再继续前进时，返回上一个顶点并尝试下一条路径的方式。
DFS可以用于判断图是否连通，寻找路径以及检测环等。
广度优先搜索（BFS）广度优先搜索也是一种用于遍历或搜索图的算法。
不同于深度优先搜索，广度优先搜索逐层遍历顶点，先访问离起始顶点最近的顶点，然后依次访问与起始顶点距离为2的顶点，以此类推。
BFS可以用于寻找最短路径、搜索最近的节点等。
最短路径算法最短路径算法用于计算图中两个顶点之间的最短路径。
其中最著名的算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra’s A lgorithm）和弗洛伊德算法（Floyd’s Algorithm）。
迪杰斯特拉算法适用于没有负权边的图，而弗洛伊德算法可以处理带有负权边的图。
最小生成树算法最小生成树算法用于找到一个连通图的最小的生成树。
其中最常用的算法是普里姆算法（Prim’s Algorithm）和克鲁斯卡尔算法（Kruskal’s Algorithm）。
第一章(图论的基本概念)
第二节 图的顶点度和图的同构(4)
图序列:简单图的度序列. (d1, d 2 , , d p )(d1 d 2 d p ) 定理4 非负整数序列 是图序列当 p 且仅当 d i 是偶数,并且对一切整数k, 1 k p 1, 有
i 1
第二节 图的顶点度和图的同构(1)
定义1 设G是任意图,x为G的任意结点,与结点x关联的 边数(一条环计算两次)称为x的度数.记作deg(x)或d(x). 定义2 设G为无向图,对于G的每个结点x,若d(x)=K,则 称G为K正则的无向图.设G为有向图,对于G的每个结点 x,若d+(x)=d-(x), 则称G为平衡有向图.在有向图G中, 若 (G) (G) (G) (G) K , 则称G为K正则有向图. 定理1(握手定理，图论基本定理)每个图中,结点度数的 总和等于边数的二倍,即 deg(x) 2 E .
•
A
N
S
B
欧拉的结论 • 欧拉指出:一个线图中存在通过每边一次仅一次 回到出发点的路线的充要条件是: • 1)图是连通的,即任意两点可由图中的一些边连 接起来; • 2)与图中每一顶点相连的边必须是偶数. • 由此得出结论:七桥问题无解. 欧拉由七桥问题所引发的研究论文是图论的开 篇之作,因此称欧拉为图论之父.
xV
定理2 每个图中,度数为奇数的结点必定是偶数个.
第二节 图的顶点度和图的同构(2)
• 定理3 在任何有向图中,所有结点入度之和等于所有结 点出度之和. • 证明 因为每条有向边必对应一个入度和出度,若一个结 点具有一个入度或出度,则必关联一条有向边,因此,有向 图中各结点的入度之和等于边数,各结点出度之和也等 于边数. • 定义 度序列,若V(G)={v1,v2,…,vp},称非负整数序列 (d(v1),d(v2),…,d(vp))为图G的度序列.
图论知识点
图论知识点摘要：图论是数学的一个分支，它研究图的性质和应用。
图由节点（或顶点）和连接这些节点的边组成。
本文将概述图论的基本概念、类型、算法以及在各种领域的应用。
1. 基本概念1.1 节点和边图由一组节点（V）和一组边（E）组成，每条边连接两个节点。
边可以是有向的（指向一个方向）或无向的（双向连接）。
1.2 路径和环路径是节点的序列，其中每对连续节点由边连接。
环是一条起点和终点相同的路径。
1.3 度数节点的度数是与该节点相连的边的数量。
对于有向图，分为入度和出度。
1.4 子图子图是原图的一部分，包含原图的一些节点和连接这些节点的边。
2. 图的类型2.1 无向图和有向图无向图的边没有方向，有向图的每条边都有一个方向。
2.2 简单图和多重图简单图是没有多重边或自环的图。
多重图中，可以有多条边连接同一对节点。
2.3 连通图和非连通图在无向图中，如果从任意节点都可以到达其他所有节点，则称该图为连通的。
有向图的连通性称为强连通性。
2.4 树树是一种特殊的连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径。
3. 图的算法3.1 最短路径算法如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法，用于在加权图中找到从单个源点到所有其他节点的最短路径。
3.2 最大流最小割定理Ford-Fulkerson算法用于解决网络流中的最大流问题。
3.3 匹配问题如匈牙利算法，用于解决二分图中的匹配问题。
4. 应用4.1 网络科学图论在网络科学中有广泛应用，如社交网络分析、互联网结构研究等。
4.2 运筹学在运筹学中，图论用于解决物流、交通网络优化等问题。
4.3 生物信息学在生物信息学中，图论用于分析蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
5. 结论图论是数学中一个非常重要和广泛应用的领域。
它不仅在理论上有着深刻的内涵，而且在实际应用中也发挥着关键作用。
随着科技的发展，图论在新的领域中的应用将会不断涌现。
本文提供了图论的基础知识点，包括概念、图的类型、算法和应用。
图论的基本概念和应用
图论的基本概念和应用图论，顾名思义，是研究图的一门数学分支。
在计算机科学、网络科学、物理学等领域都有广泛的应用。
本文将从图的基本概念入手，介绍图论的基础知识和常见应用。
一、图的基本概念1.1 图的定义图是由若干点和若干边构成的。
点也被称为顶点，边也被称为弧或者线。
一个点可以与任意个点相连，而边则是连接两个点的线性对象。
一些有向边可以构成一棵树，而一些无向边则形成了一个回路。
1.2 图的表示图可以用一张二维平面图像表示。
这张图像由若干个点和连接这些点的线组成。
这种表示方式被称为图的平面表示。
图还可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等数据结构进行表示。
1.3 图的类型根据图的性质，可以将图分为有向图、无向图、完全图、连通图、欧拉图、哈密顿图等。
有向图：边有方向，表示从一个点到另一个点的某种关系。
无向图：边没有方向，表示两个点之间的某种关系。
完全图：任意两个点之间都有一条边，不存在自环。
\连通图：任意两个点之间都有至少一条通路，没有孤立的点。
欧拉图：一条欧拉通路是一条从一点开始经过所有边恰好一次后回到该点的通路。
哈密顿图：经过所有点恰好一次的通路被称为哈密顿通路。
二、图的应用2.1 最短路径问题图论在计算机算法中最常见的应用之一就是最短路径问题。
在一个有向图中，从一个点到另一个点可能有多条不同的路径，每条路径的长度也可能不同。
最短路径问题就是找到两个点之间长度最短的路径。
最短路径问题可以通过深度优先搜索、广度优先搜索等方法来解决，但是时间复杂度通常较高。
另外，使用Dijkstra算法、Floyd算法等优化算法可以大大缩短计算时间。
2.2 社交网络社交网络是图论应用的一个重要领域。
在社交网络中，人们之间的关系可以用图的形式表示。
例如，在微博网络中，每个用户和他/她所关注的人就可以形成一个有向图。
在这种图中，点表示用户，边表示一个人关注另一个人的关系。
通过对社交网络进行图论分析，可以研究用户之间的互动模式，了解到哪些用户之间联系较为紧密，哪些用户是网络中的“大咖”等。
第五章 图论
图论可应用于多个领域，如信息论，控制论， 运筹学，运输网络，集合论等（如用关系图来 描述一个关系）。
计算机领域，其可应用于人工智能，操作系统， 计算机制图，数据结构）
§1
图论基本概念
1-1 图的实例 问题1、哥尼斯堡桥问题
A C B D C B A D
问题：一个散步者能否从任一块陆地出发，走过七 座桥，且每座桥只走过一次，最后回到出发点？
同理，结点间按别的对应方式，便都不存在一一对应
关系。
所以G1，G2不同构。
两图同构有必要条件：
（1）结点数相同； （2）边数同； （3）次数相同的结点数目相等。
1-5 多重图与带权图
1.5.1 多重图 定义11、一个结点对对应多条边，称为多重边。
包含多重边的图称为多重图，否则，成为简单图。
如：
如：基本通路：p1,p2,p3.
简单通路：p1,p2,p3,p5,p6. p4,p7既不是基本通路，也不是简单通路。
定义3、起始结点和终止结点相同的通路称为回路。 各边全不同的回路称为简单回路，各点全不同 的回路称为基本回路。
例2、上例中，1到1的回路有： c1: (1,1,),c2: (1,2,1),c3: (1,2,3,1), 1 2
例2、设有四个城市c1,c2,c3,c4；其中c1与c2间， c1与c4间，c2与c3间有高速公路直接相连，用图表 示该事实。 解：G=<V,E>，其中：V={c1,c2,c3,c4}， E={l1,l2,l3}={(c1,c2),(c1,c4),(c2,c3)} 例3、有四个程序p1,p2,p3,p4,其间调用关系为p1 p2， p1 p4，p2 p3，用图表示该事实。 解：G=<V,E>,V={p1,p2,p3,p4}， E={l1,l2,l3}={(p1,p2),(p1,p4),(p2,p3)}
数学建模-图论
如例2中球队胜了，可从v1引一条带箭头的连线到v2，每 场比赛的胜负都用带箭头的连线标出，即可反映五个球队比 赛的胜负情况。如下图
v5
v1
v2 v3
v4
Байду номын сангаас
由图可知， v1三胜一 负， v4打了三场球， 全负等等
类似胜负这种非对称性的关系，在生产和生活中也是常见 的，如交通运输中的“单行线”，部门之间的领导和被领导关 系，一项工程中各工序之间的先后关系等等。
B
哥尼斯堡七桥问题
从某点出发通过每座桥且每桥只通过一次回到起点 A B D
建模：
C
A B D C
点——陆地 岛屿 边——桥
后来,英国数学家哈密尔顿在1856年提出“周游世界”的 问题：一个正十二面体,20个顶点分别表示世界上20个大城市, 要求从某个城市出发,经过所有城市一次而不重复,最后回到出 发地.这也是图论中一个著名的问题. “四色问题”也是图论中的著名问题：地图着色时,国境 线相邻的国家需要着上不同的颜色,最少需要几种颜色？1976 年,美国人阿佩尔和哈肯用计算机运行1200个小时,证明4种颜 色就够了.但至今尚有争议.
图论起源
图论最早处理的问题是哥尼 斯堡城的七桥问题：18世纪在哥 尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒） 有一条名叫普莱格尔（Pregel） 的河流横经其中，河上有7座桥， 将河中的两个岛和河岸连结。
C A D
城中的居民经常沿河过桥 散步，于是提出了一个问 题：能否一次走遍7座桥， 后来有人请教当时的大数学家 而每座桥只许通过一次， 欧拉,欧拉用图论的方法证明这个问 最后仍回到起始地点? 题无解,同时他提出并解决了更为一 般的问题,从而奠定了图论的基础, 欧拉也被誉为“图论之父”.
第七章 图论
Graphs/图论
三、子图和补图
定义 无向简单图G＝<V,E>中，若每一对结点间都有 边相连，则称该图为完全图。有n个结点的无向完全 图，记作Kn。 图10：
K 4图
Graphs/图论
定理 4 证明：
n个节点的无向完全图Kn的边数为：(1/2)*n*(n-1)。
在Kn中，任意两点间都有边相连，n个结点中任取两 点的组合数为：cn = (1/2)*n*(n-1) 故Kn的边数为： |E| ＝(1/2)*n*(n-1)。 （证毕）
推论：在一个具有n个结点图中，若从结点u到结点v存在 一条路，则必存在一条从u到v而边数小于n的通路。 删去所有结点s到结点s 的那些边，即得通路。
Graphs/图论
二、无向图的连通性
定义 在无向图G中，结点u和结点v之间若存在一条路， 则称结点u和结点v是连通的。
连通性是结点集合上的一种等价关系。
证明： 设：V1 ：图G中度数为奇数的结点集。 V2：图G中度数为偶数的结点集。 由定理1可知
vv 1
deg( v ) deg( v ) deg( v ) 2 | E |
vv 2 vV
因为
vv 2
deg( v) 为偶数。 deg(v) 和2|E|均为偶数，所以 v v1
b
b
Graphs/图论
四、图的同构
定义 设图G=<V,E> 及G’=<V’,E’>，如果存在一一对 应的映射ｇ：V → V’且ｅ=(vi ，vj)(或<vi ，vj>)是Ｇ的一条 边，当且仅当ｅ’=(g(vi ) ，g(vj))(或 <g(vi ) ，g(vj)>是Ｇ’的 一条边,则称Ｇ与G’同构，记作Ｇ ～ －G’ 。
离散数学——图论
2021/10/10
11
哥尼斯堡七桥问题
❖ 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表 示。
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12
❖ 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
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2
图论的发展
❖ 图论的产生和发展经历了二百多年的历史， 从1736年到19世纪中叶是图论发展的第一阶 段。
❖ 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主 要研究一些游戏问题：迷宫问题、博弈问题、 棋盘上马的行走线路问题。
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3
❖ 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
❖ P（G）表示连通分支的个数。连通图的连通 分支只有一个。
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40
练习题---图的连通性问题
❖ 1.若图G是不连通的，则补图是连通的。 ❖ 提示：直接证法。
根据图的不连通，假设至少有两个连通分 支；任取G中两点，证明这两点是可达的。
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❖ 2.设G是有n个结点的简单图，且 |E|>(n-1)(n-2)/2，则G是连通图。
❖ 例子
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多重图与带权图
❖ 定义多重图：包含多重边的图。 ❖ 定义简单图：不包含多重边的图。 ❖ 定义有权图：具有有权边的图。 ❖ 定义无权图：无有权边的图。
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第八章图论
3. 图的结点与边之间的关系 定义 如果边e={vi,vj}是G的边, 则称结点vi 和vj邻接的, 边e和结点vi ，边e和结点vj称为关联的。 没有与边关联的结点称为孤立点。 关联于同一结点的相异边称为邻接的。 不与任何边邻接的边称为孤立边。
例1
在上图中显然e1和e2, e1与e4是邻接的, 结点v1和v2,v2和v4等是邻接的, 没有孤立点和孤立边。
例2.如下图中:
图(a)是伪图。图(b)是有向多重 图。 最右第三个图是简单图有权图。
三、结点的度
1.定义 图G中关联于结点vi的边的总数称为 结点vi的度, 用deg(vi)表示。
2.定理1(握手定理) 图G的所有结点的度的总和为边数 的二倍。即若G为具有n结点的(n,m)图, 则有： n deg(vi ) 2m
例8 如下图
(a)是连通图。 (b)是一个具有三个分图 的非连通图。 结论： (1)一个图的分图必是连通的； (2)一个连通图一定只能有一个分图。
例11 对于图的连通性，常常由于删除了 图中的结点和边而影响了图的连通性。
在连通图(a)中删除边e后, 则变成了不连通 的图(b)。
8.2 图的矩阵表示
2. 有向图的定义 定义 设G=(V,E), V是一个有限非空集合, E是V中不同元素的有序对偶的集合, 则称G是一有向图。在有向图G中 若vi≠vj,则(vi,vj)和(vj,vi)表示两条 不同的边,且用一个从结点vi指向vj 的箭头表示边(vi,vj)。
定义 具有n个结点和m条边的图称为(n,m)图。 (n,0)图称为零图。(1,0)图称为平凡图。
三、边割集、点割集 定义3 设图G=<V,E>是连通图,若有E的子集S, 使得在图G中删去了S的所有边后, 得到的子图G-S变成具有两个分图的不连通图, 删去了S的任一真子集后所得子图仍是连通图， 则称S是G的一个边割集。 注：割边是边割集的一个特例。
第七章图论
以上三个条件并 不是两图同构的 充分条件，如：
a
b
c
d
e
(a)
a'
c'
b'
e'
d'
(b)
第七章 图论
图的基本概念 路与回路 图的矩阵表示 欧拉图与哈密尔顿图
7-2 路与回路
1、路的基本概念：
路： 图G=<V, E>，设 v0, v1, …, vn∊V, e1, e2, …, en∊E, 其中
ei是关联于结点vi-1, vi的边，交替序列设 v0 e1 v1 e2 … en vn称为
若 连 通 图 G中 某 两 个 结 点 都 通 过 v， 则 删 去 v 得 到 子 图 G ， 在 G 中 这 两个结点必定不连通，故v是图G的割点。
7-2 路与回路
deg(v)为偶数 vV1
|V1|为偶数
定理： 有向图中所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和
7-1 图的基本概念
（5）多重图：含有平行边的图
简单图：不含有平行边和环的图
完全图：每一对结点之间都有边关联的简单图
有向完全图：完全图中每条边任意确定一个方向所得的图
a
e
b
d
f
h
c
g
定理： n个结点的无向（有向）完全图Kn的边数为n(n-1)/2
证明： 在完全图中，每个结点的度数应为n－1，则n个结点的
度数之和为n(n-1)，因此|E|＝n(n-1)/2
7-1 图的基本概念
（6）子图：
G V , E ， 有 G ' V ', E ' ， 且 E ' E ， V ' V ，
图论
四色问题又称四色猜想，是世界近代三大数学难题之一。
四色猜想的提出来自英国。1852年，毕业于伦敦大学的弗 南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现 了一种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色 着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色。”
1878～1880年两年间，著名律师兼数学家肯普和泰勒两人 分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。 但后来数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是 错误的。不久，泰勒的证明也被人们否定了。
1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的 两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿 判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不 满足于计算机取得的成就，他们认为应该有一种简捷明快 的书面证明方法。
在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多 面体的定理也和欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸 多面体的顶点数是v、棱数是e、面数是f，那么它们总有 这样的关系：f+v-e=2。 根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实： 只存在五种正多面体。它们是正四面体、正六面体、正八 面体、正十二面体、正二十面体。
1859年，英国数学家哈密顿发明了一种游戏：用一个规则 的实心十二面体，它的20个顶点标出世界著名的20个城市， 要求游戏者找一条沿着各边通过每个顶点刚好一次的闭回 路，即「绕行世界」。 用图论的语言来说，游戏的目的是在十二面体的图中找出 一个生成圈。这个问题后来就叫做哈密顿问题。由於运筹 学、计算机科学和编码理论中的很多问题都可以化为哈密 顿问题，从而引起广泛的注意和研究。 在图论的历史中，还有一个最著名的问题——四色猜想。 这个猜想说，在一个平面或球面上的任何地图能够只用四 种颜色来着色，使得没有两个相邻的国家有相同的颜色。 每个国家必须由一个单连通域构成，而两个共点。
第八章_图论
引例1：哥尼斯堡七桥问题（图论应用的开始）
边代表桥 每个点代表陆地
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A
B D
C
问题转化成：图G中从某一结点出发找出一条路，它通过 每条边恰好一次后回到原出发结点。 欧拉在这篇论文中提出了一条简单准则，确定七桥问题是 不能解的。
引例2：环球旅行问题
费城 柏林 北京 巴黎 伦敦
i 1
分析 由定义知，结点v的度数等于以v为端点的边 数，而1条边有2个端点(环的2个端点相同)， 因此1条边贡献2度。 证明 因为每条边都有两个端点(环的两个端点相 同)，所以加上一条边就使得各结点的度数之 和增加2，因此结论成立。
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图中结点的次数
正则图：所有结点均有相同次数d的图称为d次正 则图。
l
3
l
4
l
7
A l1 C l3 l2 l4 l5 l6 D
B
哥尼斯堡桥问题之图示
l7
问题的解决:欧拉图
B 欧拉图
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图的基本概念
定义8.1 图G是由非空结点集合V={v1,v2,…vn}以及边 集合E={l1,l2,…lm}所组成，其中每条边可用一 个结点对表示，亦即 li=(vi1,vi2) i=1,2,…m 这样的一个图 G可用G=<V,E>表示 。 说明： 1. li=(vi1,vi2) 既可表示有序节点对，也可表示无序结点 对。 2. 一个图的边与结点对相关联，有时一个结点对只与 一条边相关联；有时一个结点对可与多个边相关联。
几何图形是不同的。
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第八章 图论原理
1 2 3 4 5
图的基本概念 通路、回路与连通图
图论的名词解释
图论的名词解释图论是数学中的一个重要分支，研究从图的角度描述和解决问题的理论和方法。
图论的基本概念和名词非常重要，它们是理解和应用图论的关键。
本文将从不同的角度解释图论中的一些重要名词。
1. 图（Graph）图是图论的核心概念，它由节点和边组成。
节点代表对象或事件，边代表节点之间的联系或关系。
图可以分为有向图和无向图。
无向图的边没有方向，表示节点之间的无序关系；有向图的边有方向，表示节点之间的有序关系。
图在各个领域都有广泛的应用，如社交网络分析、电路设计、交通规划等。
2. 节点（Vertex）节点是图中的基本元素，也称为顶点。
节点可以代表具体对象，如人物、城市、物品等，也可以代表抽象概念，如事件、状态、因素等。
在图中，节点用符号来表示，通常是用数字、字母或图形等表示。
3. 边（Edge）边是连接节点的线段或箭头，表示节点之间的关联关系。
边可以有权重，用于表示边的强度、距离或费用等。
边的类型包括直接边和间接边。
直接边直接连接两个节点，间接边通过其他节点连接两个节点。
边的属性是图论中的重要概念，它可以用来分析网络的特征和性质。
4. 路径（Path）路径是指从一个节点到另一个节点的一组边的序列。
路径可以是有向图中的有向路径，也可以是无向图中的无向路径。
路径的长度用边的数量来表示，路径的权重用边的权重之和来表示。
寻找最短路径和最优路径是图论中的重要问题，有助于解决一些实际的路径规划和优化问题。
5. 连通图（Connected Graph）连通图是指无向图中任意两个节点之间都存在路径的图。
连通图中不存在孤立节点，所有节点都可以通过路径相互连通。
连通图可以进一步分为强连通图和弱连通图。
强连通图是有向图中任意两个节点都存在有向路径的图，弱连通图通过去掉图中所有边的方向得到。
连通图的连通性是图论中的核心概念，与网络传播、信息传递等问题密切相关。
6. 图的度数（Degree）图的度数是指节点的边的数量，也称为节点的度。
第七章 图论
• 对于有向图 G中的任意结点 u,v 和w，结点间的距离有以下 的性质： ① du,v≥0 ② du,u=0 ③ du,v＋dv,w≥du,w • 注：一般来说， du,v不一定等于dv,u • 定义D=max du,v为图的直径 • 关于有向图两个结点间的距离可以很容易的推广到无向图 中
【例】如右图所示是一个图，其中 v1e1v2e3v3e4v2e3v3e7v5是一条从v1到v5的路 v1e1v2e3v3e4v2e5v4e8v5是一条从v1到v5的迹 v1e1v2e3v3e7v5是一条从v1到v5的通路 v3e3v2e5v4e8v5e6v2e4v3是一个回路 v3e3v2e5v4e8v5e7v3是一个圈
• 定义 7-1.9 设图 G=V,E 与图 G′=V′,E′ ，如果存 在一一对应的映射g: vi→vi′且e=(vi,vj)是G的一条 边当且仅当e′=(vi′,vj′)是G′的一条边,则称G与G′同 构,记为G≌G′.
• 通俗的讲两个图同构当且仅当两个图的结点和边存在着一 一对应,且保持关联关系
• 如果一对结点间的边多于一条，则称这些边为平行边
• 定义 7-1.4 含有平行边的任何一个图称为多重图
• 不含平行边和环的图称为简单图
• 定义 7-1.5 简单图G=<V,E>中, 若每一对结点都有 边相连，则称该图为完全图。
• n个结点的无向完全图记为Kn
• 定理7-1.4 • 定义7-1.6 给定一个图G，由G中所有结点和所有 能使G成为完全图的添加边组成的图，称为图G的 相对于完全图的补图，简称为G的补图，记为 G 。
1 n个结点的无向完全图Kn的边数为2 n(n 1)
• 定义7-1.7 设图G=<V,E>, 如果有图G′=<V′,E′>, 且 E′ E, V′ V, 则称G′为G的子图
图论简介
关于有 n 结点 m 边的(n,m)图度的定理
• 定理1-1 令 v1,…,vn为图的所有结点,则 i=1n deg(vi)=2m. (1) 定理1-2 任何图中度为奇数的结点必பைடு நூலகம்偶数个.
图的同构
定义:对给定两个图 G=V,E,G=V,E,若存在 双射 f:VV 使对任意a,bV, (a,b)E (f(a),f(b))E,并且(a,b)与 (f(a),f(b))有相同重数,则称 G 与 G同构,记 为 GG. 注:① 两图同构是相互的: GG GG. ② 两图同构时不仅结点之间要有一一对应关系, 而且要求这种对应关系保持结点间的邻接关系. 对有向图同构还要求保持边的方向. ③ 寻求判断图同构的简单有效方法仍是图论待 解决的重要问题.
无向图 G 能否一笔画的问题等价于 G 是 否有一条Euler路径(回路)的问题
a
1 b 2 3 9 6 4 5 8 7
若图只有两个奇结点,则任何Euler路径必 从其中一点开始到另一点结束.利用这条规律, 先在此2奇点之间加条边使之变成Euler图并画 出一条Euler回路,然后再去掉所加的边即得一 条Euler路径.
同构图举例
4 2 1 a c 3 1 2 3
G
4 a 5 d 6
H H’
b
G’
d b
f c e
G G’ 1a,2b,3c, 4d
H H’ 1a,2b,3c, 4d,5e,6f
非同构图举例
存在结点数及每个结点对应度都相等的两个图 仍然不同构的情况.; 如下:(注意:两个4度点 或邻接或不相邻接)
图的定义与记号
• 图G是一个二重组:G=V,E,其中V是非空有限集 合,它的元素称为结点或顶点, E 也是(可空)有 限集合,它的元素称为边. • 图G的边e是一个结点二重组:a,b,a,bV,e可 以是有序的,称为有向边,简称为弧,a称为弧e 的始点,b称为e的终点; e也可以是无序的,称 为无向边.e=a,b时,称e与a,b关联,或a,b与e 关联,或a与b相邻接;关联于同一顶点的一条边 称为自回路或环. • 每条边都是无向边的图称为无向图;每条边都 是有向边的图称为有向图;我们仅讨论无向图 和有向图.
总结-图论
生成树
设 T 为无向连通图 G 中一棵生成树，e 为 T 的任意一条弦，则 T ∪e 中含 G 中只含一条弦其余边均为树枝的圈，而且不同的弦对应的圈 也不同。
设 T 是连通图 G 的一棵生成树，e 为 T 的树枝，则G 中存在只含树 枝 e，其余边都是弦的割集，且不同的树枝对应的割集也不同。
r 叉完全正则树——树叶的层数均为树高的 r 叉正则树
r 叉完全正则有序树——r 叉完全正则树是有序的的
平面图
G 是可平面图或平面图——如果能将无向图 G 画在平面 上，使得除顶 点处外无边相交。
G 的平面嵌入——画出的无边相交的平面图。 非平面图——无平面嵌入的图。
K5 和 K3,3 都不是平面图。
平面图
(1)设 T 为根树，若将 T 中层数相同的顶点都标定次序，
则称 T 为有序树。 (2)分类：根据根树 T 中每个分支点儿子数以及是否有序 r 叉树——每个分支点至多有 r 个儿子
r 叉有序树——r 叉树是有序的
r 叉正则树——每个分支点恰有 r 个儿子 r 叉正则有序树——r 叉正则树是有序的
T 是 n (n≥2) 阶有向树， (1) T 为根树— T 中有一个顶点入度为 0， 其余顶点的入度均为 1
(2) 树根——入度为 0 的顶点
(3) 树叶——入度为 1，出度为 0 的顶点 (4) 内点——入度为 1，出度不为 0 的顶点 (5) 分支点——树根与内点的总称 (6) 顶点v的层数——从树根到v的通路长度 (7) 树高——T 中层数最大顶点的层数 (8) 根树——平凡树(规定)
d
i 1
n
i
0( mod 2)
图的基本概念
图同构、子图、生成子图、导出子图等。
图论的基本概念及其应用
图论的基本概念及其应用图论是离散数学中的一个重要分支，研究的是图的性质和图之间的关系。
图由节点和连接节点的边组成，以解决现实生活中的许多问题。
本文将介绍图论的基本概念，并探讨它在不同领域中的应用。
一、图的基本概念1. 节点和边图由节点（顶点）和边组成，节点代表某个实体或概念，边表示节点之间的关系。
节点和边可以有不同的属性，如权重、方向等。
2. 有向图和无向图有向图中，边有固定的方向，表示节点之间的单向关系；无向图中，边没有方向，节点之间的关系是相互的。
3. 连通图和非连通图连通图是指图中任意两个节点之间都存在路径；非连通图则存在至少一个节点无法到达其它节点。
4. 网络流每条边上有一个容量限制，网络流通过边传输，满足容量限制的条件下尽可能多地进行。
二、图论在计算机科学中的应用1. 最短路径通过图论中的最短路径算法，可以计算出两个节点之间的最短路径。
最短路径在无人驾驶、物流配送等领域中具有重要的应用价值。
2. 最小生成树最小生成树算法用于寻找连接图中所有节点的最小总权重的树形结构。
在通信网络、电力输送等领域中，最小生成树被广泛应用。
3. 网络流问题图论中的网络流算法可以用于解决诸如分配问题、路径规划等优化问题。
例如，在医疗资源调度中，网络流算法可以帮助医院优化资源分配。
三、图论在社交网络分析中的应用1. 社交网络社交网络可以用图模型来表示，节点代表个体，边表示个体之间的联系。
利用图论分析社交网络，可以发现用户群体、影响力传播等信息。
2. 中心性分析中心性分析用于评估节点在网络中的重要性，衡量指标包括度中心性、接近中心性等。
中心节点的识别对于广告投放、信息传播等决策具有指导意义。
3. 社团检测社团检测可以发现社交网络中具有紧密联系的节点群体，进一步分析社交群体的行为模式、用户偏好等。
四、图论在物流优化中的应用1. 供应链管理供应链中的各个环节可以用图模型表示，通过图论算法优化物流路径，提高物流效率。
2. 仓库位置问题通过图论中的最短路径算法和最小生成树算法，可以找到最佳的仓库位置，使物流成本最小化。
图论
第7章 图论图论是建立和处理离散型数学模型的重要数学工具，它已发展成具有广泛应用的一个数学分支。
图论的发展已有200多年的历史，它最早起源于一些数学游戏的难题研究。
1736年瑞士数学家欧拉（L.Eluer ）发表了关于解决哥尼斯堡七桥问题的一篇文章，标志着图论的正式诞生。
从19世纪中叶到20世纪中叶，图论问题大量出现，如汉密尔顿图问题、四色猜想等。
这些问题的出现进一步促进了图论的发展。
1847年，克希霍夫（Kirchhoff ）用图论分析电网络，这是图论最早应用于工程科学的一个例子。
随着计算机科学的迅猛发展，在现实生活中的许多问题，如交通网络问题，运输的优化问题，社会学中某类关系的研究，都可以用图论进行研究和处理。
图论在计算机领域中，诸如算法、语言、数据库、网络理论、数据结构、操作系统、人工智能等方面都有重大贡献。
本章主要介绍图论的基本概念、基本性质和一些典型应用。
7.1 图的基本概念7.1.1 图的基本概念1.图的定义图在现实生活中随处可见，如交通运输图、旅游图、流程图等。
此处我们只考虑由点和线所组成的图。
这种图能够描述现实世界的很多事情。
例如，用点表示球队，两队之间的连线代表二者之间进行比赛，这样，各支球队的比赛情况就可以用一个图清楚地表示出来。
到底什么是图呢？可用一句话概括：图是用点和线来刻划离散事物集合中的每对事物间以某种方式相联系的数学模型。
因为上述描述太过于抽象，难于理解，因此下面给出图作为代数结构的一个定义。
定义7.1.1 一个图（Graph ）是一个三元组〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V 是一个非空的节点集合，)(G E 是有限的边集合，G ϕ是从边集合E 到点集合V 中的有序偶或无序偶的映射。
例7.1.1 图G =〈)(G V ，)(G E ，G ϕ〉，其中)(G V =},,,{d c b a ，)(G E =},,,,,{654321e e e e e e ，),()(1b a e G =ϕ，),()(2c a e G =ϕ，),()(3d b e G =ϕ，),()(4c b e G =ϕ，),()(5c d e G =ϕ，),()(6d a e G =ϕ。
什么是图论及其应用
图论是数学中的一个分支，主要研究图及其相关的问题。
图由若干个节点和连接这些节点的边组成。
节点可以代表现实世界中的对象，而边则代表对象之间的关系。
图论的研究对象包括有向图、无向图、加权图等。
在图论中，节点常常被称为顶点，边则被称为弧或边。
图可以用各种方式表示，如邻接矩阵、邻接表等。
图论的研究内容主要包括图的遍历、最短路径、最小生成树、网络流以及图的染色等。
这些内容构成了图论的核心知识体系。
图论的应用非常广泛，涉及到许多领域。
在计算机科学中，图论被广泛应用于网络路由、图像处理、人工智能等领域。
例如，在网络路由中，图论可以用来寻找最短路径，以确定数据传输的最佳路径。
在图像处理中，图论可以用来进行图像分割，从而提取图像中的目标物体。
在人工智能中，图论可以用来构建知识图谱，从而实现知识的表示和推理。
除了计算机科学，图论还在物理学、生物学等领域中发挥着重要作用。
在物理学中，图论可以用来研究分子结构、粒子物理等问题。
例如，著名的色散关系图就是物理学中的一个重要概念，它描述了声波、电磁波等在介质中的传播特性。
在生物学中，图论可以用来研究蛋白质相互作用网络、基因调控网络等。
这些网络的研究有助于理解生物体内复杂的结构和功能。
此外，图论还在社交网络、交通规划、电路设计等领域中得到了广泛的应用。
在社交网络中，图论可以用来研究用户之间的连接关系，从而推荐好友、发现隐藏关系等。
在交通规划中，图论可以用来优化交通路径，减少拥堵现象。
在电路设计中，图论可以用来优化电路布线，提高电路的性能。
总而言之，图论是数学中一个重要的分支，有着广泛的应用领域。
它不仅在计算机科学中发挥着重要作用，还在物理学、生物学等领域中得到了广泛应用。
图论的发展不仅推动了数学理论的发展，也为各个领域的问题提供了有效的解决方法。
因此，学习和应用图论对于我们来说是非常重要的。
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第3节 最短路问题
基本解法：标号
采用两种标号：T(Temporary)标号和P(Permanent) 标号，T标号为临时标号，P标号为固定标号。给vi 点一个P标号时，表示从vs到vi的最短路权，vi点的 标号不再改变；给vi点一个T标号时，表示从vs到vi 的最短路权的上界，凡没有得到P标号的点都有T标 号。方法的每一步就是把某一点的T标号改为P标号， 当终点vt点得到P标号时，计算结束。
第1节 图的基本概念
图例分析 例3：
e3 v1 e2 e1 v2
第1节 图的基本概念
例4：
节 图的基本概念
二、无向图的基本概念 端点：两个点vi，vj属于V，边[vi，vj]属于E， 称vi，vj是边的端点。 关连边：边[vi，vj]是点vi及点vj的关连边。 环：边的两个端点相同。 多重边：两个点之间多于一条的边。 简单图：不含环和多重边的无向图。 多重图：不含环，但含有多重边的无向图。
第3节 最短路问题
例13：某单行线交通网如下图所示，每弧旁的 数字表示通过这条单行线所需要的费用。现 在某人要从v1出发，通过这个交通网到v8去， 求使总费用最小的旅行路线。
v2
1
v5 6 4 10 3 2 v7
2
v9 3
6
v1
2
3 1
v3 2 v4
6
4
v8
10
v6
第3节 最短路问题
二、最短路问题的求解方法 （一）Dijkstra方法 适用条件：无负权（ωij≥0）的最短路问题 基本思路：
第3节 最短路问题
例16：求下图中从vs到v1的最短路。
v2 8 vs 5 v1 -5
第3节 最短路问题
（三）逐次逼近算法 适用条件：有负权（存在ωij≤0）的最短路 问题 基本思路： 如果v1到v j的最短路总沿着该路从v1先到某一点vi，
然后再沿弧（vi，v j）到达v j， 则v1到vi的这条路必然也是v1到vi的最短路。
v6
e8
v7
第1节 图的基本概念
（二）有向图 有向图D中一个点、弧交错序列 链：
则称这个点弧序列是D的链。
(vi1，ai1，vi2，ai2， ,viK 1，aiK 1，viK )， 若满足ait =(vit ，vit 1 )(t 1， ，k 1)， 2， 则称这个点弧序列为从vi1 到vik 的一条路。
一、最短路的含义
赋权有向图D (V ，A)，图中各弧(vi，v j )有权wij， vs，vt为图D中任意两点，求一条路P， 使它是从vs到vt的所有路中总权最小的路， 即w( P ) min wij 。 ( vi，v j )P 定义：路P的权是P中所有弧的权之和，记为w( P )
第2节 树
例12：采用破圈法求解例11。
作业15
作业15：分别用避圈法和破圈法求下述图的最 小支撑树。 1、 2、
9 3 2 7 1 4 4 2
7
5 3 1 4 3 1 7 5
6
3 3 4
4
作业15答案
1、
3 2 3
） 12 （T
1
3
2、
2
3 3 1 1
5
） 15 （T
第3节 最短路问题
v7
8
作业16
2、
5 v1 2 v3 v2 1 2 5 5 v5 1 v6 8 6 v7
7
1
v4
9
12
作业16答案
1、
2、
（v1，v2，v3，v6，v7）（v1，v7） 17 d
（v1，v3，v4，v2，v5，v6，v7）（v1，v7） 13 d
第3节 最短路问题
（二）赋权无向图的最短‘路’问题的求解方 法 赋权无向图G=(V，E)，边[vi，vj]表示既可以 从vi到达vj，也可以从vj到达vi，所以边[vi， vj]可以看作是两条弧(vi，vj)和(vj，vi)，且 它们具有相同的权ωij。
第3节 最短路问题
例15：计算下图所示赋权无向图中v1到v7的最 短路。
v2
7
4 v1 5 1
v5 6 v7 8 v6
6
2
v3
5 4 5
1
v4
第3节 最短路问题
小结 ①对于赋权无向图G=(V，E)，从始点vs到各个点的 最短‘路’，即为最短链 ②Dijkstra方法不仅适用于赋权有向图D，也适用于 赋权无向图G ③Dijkstra方法直接给出某点（设为vs）到其他所有 点的最短路；不能直接给出赋权图上任意两点间的 最短路 ④Dijkstra方法只适用于全部权为非负情况，如果某 权为负，则算法失效。
第1节 图的基本概念
例7：
a2 v1 a3 a4 a6 a9 v6 a7 v2
v3
a8
v5 a10 a11 v7
a1 a5
v4
问： （v3，a3， v2， a5， v4， a6， v5， a8， v3）？ （v1， a2， v3， a4， v4，a7， v6）？ （v1， a2， v3， a8， v5，a10， v6）？ （v1，a2， v3， a4， v4， a6， v5， a8， v3）？
第3节 最短路问题
基本解法：
令P1j表示从v1到vj的最短路长，P1i为v1到vi的 最短路长，则必有下列方程：
第2节 树
例11：某工厂内联结六个车间的道路网如下图 所示。已知每条道路的长，要求沿道路架设 联结六个车间的电话线网，使电话线的总长 最小。
v3 6 v1 1 7 3 4 v2 2 v4
5
v5 4 v6
5
第2节 树
方法二：破圈法 基本做法：任取一个圈，从圈中去掉一条权最 大的边，（如果有两条或两条以上最大权的 边，则任去一条），在余下图中重复这个步 骤，一直到得到一个不含圈的图为止。
第3节 最短路问题
例14：用Dijkstra方法求解下图中从v1到v8的 最短路。
v2
4 v1 6 v3 4 5 v4
9
v6
4
7 5 5 1 7 v5 6 v7
v8
4
作业16
作业16：用Dijkstra方法求解下列各图从v1到 v7的最短路。 1、 v
2
7
v5 6
4
v1 5 6
1 v3 2 5 v4 v6 4 4 1
第1节 图的基本概念
四、有向图的基本概念 基础图：去掉有向图中所有弧上的箭头得到 的无向图。 始点、终点：弧(vi，vj)中，称vi为弧的始点， vj为弧的终点。
第1节 图的基本概念
五、图的综合概念 （一）无向图 无向图G中一个点、边交错序列 链：
(vi1，ei1，vi2，ei2， ,viK 1，eiK 1，viK )， 若满足eit [vit , vit 1 ](t 1， ，k 1)， 2， 称这个点边序列为连接vi1，vik 的链。
称T中所有边的权之和为支撑树T的权，
[ vi，v j ]T
wij。
如果支撑树T 的权w(T )是G所有支撑树的权中最小的， 则称T 为G的最小支撑树。
第2节 树
最小支撑树的求解方法 方法一：避圈法 基本做法：首先选一条最小权的边，以后每一 步中，总从未被选取的边中选一条权最小的 边，并使之与已选取的边不构成圈（每一步 中，如果有两条或两条以上最小权的边，则 任选一条）。
第1节 图的基本概念
例8：
a1 a2 v1 v2
问：（v1，a1，v1）？ （v1，a2，v2）？ （v1，a1，v1，a2，v2）？
第2节 树
一、树的概念 连通图：无向图中任意两点间至少有一条链 相连。（不连通图） 连通分图：不连通图中每个连通的部分。 树：连通且不含圈的无向图。
第2节 树
第六章 图论
Graph Theory
第1节 图的基本概念
例1：我国北京、上海等十个城市间的铁路交通 图如下图所示：
北京
天津
济南 青岛
郑州
徐州
南京
连云港
武汉
上海
第1节 图的基本概念
例2：有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，他们 之间的比赛情况如下图所示：
v乙 v甲 v丙
v戊
v丁
第1节 图的基本概念
一、图的基本概念 图：由一些点及一些点之间的连线组成。 边：两点之间不带箭头的连线。 弧：两点之间带箭头的连线。 无向图：由点及边组成。 有向图：由点及弧组成。
(vi1，ai1，vi2，ai2， ,viK 1，aiK 1，viK )，
若此序列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，
路： 有向图D中一条链
第1节 图的基本概念
回路： 有向图D中，连结vi1 与vik 的一条链，
当vi1 与vik 是同一个点时，称此路为回路。
初等路：路中没有重复的点。 初等回路：回路中没有重复的点。
第3节 最短路问题
具体步骤：
第一，给vs标上P标号P(vs)=0，其余各点为T标号，T(vj)=+∞。
第二，若vi是刚标上P标号的点，选取所有与vi有关联的弧( vi， vj )中的vj点，且vj点为T标号，去修改vj点的T标号：
T (v j ) min T (v j )，P(vi ) ij 。
作业20
作业20：用Dijkstra方法求解下图从v1到v9的 最短‘路’。
v2 3 v1 4 v4 v3 2 4 11 v7 2 5 v5 4 8 5 v9 7 6 v8