画法几何制图—换面法

V
b′ ′
X
V
B
b1
H
a b
X1 H V1
.
a
X
b H
X1
b′1
●
α
a′1
●
求α，H面不动；求β，V面不动。 面不动； 面不动。
新投影轴的位置？ 新投影轴的位置？ ab平行 与ab平行
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10
2. 将投影面的平行线变换为投影面的垂直线
问题的关键： 问题的关键：新轴要垂直 于反映实长的那个投影。 于反映实长的那个投影。 a 1( b 1)
a′ ′
V H
分析： AB、CD换成 分析：把AB、CD换成 投影面垂直线， 投影面垂直线，两点 的距离即为所求。 的距离即为所求。 逆推法） （逆推法）
A C
a● c d
H V 1
B
b ●
●
D
a'1(b'1)
a'1 b'1
●
V1
c'1(d'1)
实长
c'1 d'1
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X1
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求点C到直线AB的距离，并求垂足D AB的距离 逆推法） 例4：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。（逆推法）
b′ ′
分析： 分析：把△ABC换 ABC换 成投影面垂直面 用重影点判别可 见性
X
c′ ′ a
k
f′ ′ f b d
●
f′1 ′
.
e
c c′1 ′
●
k′1 a′1d′1 ′ ′ ′ e′1 ′
●
d′1 ′
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求两平行直线的距离. 例3：求两平行直线的距离.
作图： 作图：
● c′ ′ ●
d′ b′ ′
● ●
解题思路
1.首先进行空间分析，解题方法有直观法、逆推法和轨 首先进行空间分析 解题方法有直观法、 首先进行空间分析， 迹法。 迹法。 逆推法：假设答案已求出，找出答案与已知条件内在联 逆推法：假设答案已求出，找出答案与已知条件内在联 再顺着做题。 系，再顺着做题。 轨迹法：找出答案的几个轨迹，轨迹的重合部分， 轨迹法：找出答案的几个轨迹，轨迹的重合部分，就是 答案。 答案。 2.思路出来后，根据给定条件决定换哪个面。 思路出来后，根据给定条件决定换哪个面。 思路出来后
换面法
一、问题的提出(实物) 实物)
如何求一般位置直线的实长？ 如何求一般位置直线的实长？变成投影面平行线 解决方法：更换投影面V为 解决方法：更换投影面 为V1//AB。 。
反映实长 V1
b′ ′ a′ ′
V H
a′ ′
V
A B a
a1 b1
b′ ′
X
b a
H
H
b
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1
换 面 法：
物体本身在空间的位置不动， 物体本身在空间的位置不动，而用某一 新投影面（辅助投影面）代替原有投影面， 新投影面（辅助投影面）代替原有投影面， 使物体相对新的投影面处于解题所需要的特 殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。 殊位置，然后将物体向新投影面进行投射。
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7
⒉ 两次换面
⑴ 新投影体系的建立
a2
V H2
X2 a′x2 V1 a1 ax1
V1 在 X2 — 投影体系 H2
a′ ′ A ax
中： 是旧投影面， H是旧投影面，H2 新投影面， 是新投影面， V1 保留投影面； 是保留投影面； 是旧轴， X1是旧轴， X2是 新轴。 新轴。
X
a
H
X1 V X1 —1 H
a′ ′
V X H a b c H X1 V1 d
.
b′ ′
d′
c′ ′
空间分析： 实物 实物) 空间分析： (实物 如果把平面内 的一条直线变换成新投影面的 垂直线，那么该平面则变换成 垂直线， 新投影面的垂直面。 新投影面的垂直面。 作图过程： 作图过程：在平面内取一条 水平线AD AD， AD变换成新投 水平线AD，将AD变换成新投 影面的垂直线。 影面的垂直线。 α
a′1d′1 ′ ′
● ●
c′1 ′
●
b′1 ′
反映平面对哪个投 影面的夹角？ 影面的夹角？
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求α，H面不动；求β，V面不动。 面不动； 面不动。
c′ ′ V a′ ′
X C
V1 c′ 1 a′1
bΧ Χ
A B
c
α
b′1
X1
a
b H
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5 . 将投影面的垂直面变成投影面的平行面
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1.用换面法在直线AB上取一点C，使AC=25。 1.用换面法在直线AB上取一点C AC=25。 用换面法在直线AB上取一点
c′
c
a ′1
c′1 b ′1
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2.求 ABC与EF的交点 并判别可见性. 的交点， 2.求△ABC与EF的交点，并判别可见性.
e′ ′ a′ ′
k1 V H d′
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无法显示图像。计算机可能没有足够的内存以打开该图像，也可能是该图像已损坏。请重新启动计算机，然后重新打开该文件。如果仍然显示红色 “x”，则可能需要删除该图像，然后重新将其插入。
b′ a′ m′ m a k′ ●
n′ c′ c n
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bk
(f)直线与平面相交 (f)直线与平面相交
1.先把V面换成V 得到中间新投影体系: 1.先把V面换成V1面， V1⊥H，得到中间新投影体系 先把 H面没动，空间点A到H面的距离没变。 面没动，空间点A 面的距离没变。
V — 2.再把H面换成H 得到新投影体系: 2.再把H面换成H2面， H2⊥ V1，得到新投影体系: X2 H1 再把 2 面没动，空间点A 面的距离没变。 V1面没动，空间点A到V1面的距离没变。
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2
换面法中的主要名称： 换面法中的主要名称：
旧投影
新投影
a'
B
b1'
V
旧轴
V1 b' X A a
被保留 的投影
b a1' α X1
新轴
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3
H
二、新投影面的选择原则
a′ ′
V V1
A B a
H H
a1 b1
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b′ ′
b
新投影面必须使空间物体处于最有利的特殊 空间物体处于 1. 新投影面必须使空间物体处于最有利的特殊 位置。 位置。 为了能用正投影原理，新投影面必须垂直于 2. 为了能用正投影原理，新投影面必须垂直于 某一保留的投影面(如图V ⊥H)， 某一保留的投影面(如图V1⊥H)，以构成一个相 互垂直的两投影面的新体系。 互垂直的两投影面的新体系。
一次换面后可 求解平面实形 a'
V
a'1
V1
实形
问题的关键： 问题的关键： 新投影轴必须 平行于该平面 的积聚性投影。 的积聚性投影。 b'
c' b'1
A
c' 1
C B
X
X1
b
H
a
c
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6. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析： 空间分析： 一般平面
c′ ′ b′ ′ b2●
.
垂直面
空间及投影分析： 在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时 在投影图中,两平面的交线垂直于投影面时，则两平面 交线垂直于投影面 也垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线， 也垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角 即为所求。 即为所求。 d′ ′ a′ ′ XV H c′ ′ a c b c2
空间及投影分析： 空间及投影分析：因为高 CE⊥AB，根据直角投影 ⊥ ， 定理， 换成平行线， 定理，把ab换成平行线， 换成平行线 则c'1e'1⊥ a'1b'1. C
b' a' b
X
V H
c
e e' 1 a a'1 c' 1
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b'1
A
E
B
求平面ABC ABD的两面角。（逆推法 ABC和 的两面角。（逆推法） 例6：求平面ABC和ABD的两面角。（逆推法）
于新投影轴。 于新投影轴。
点的新投影到新投影轴的距离等于 等于旧投影 2. 点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影 到旧投影轴的距离。 到旧投影轴的距离。
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6
⑶ 求新投影的作图方法 更换H 更换H面
a′ ′ XV H a ax X1 H 1 V
.
a1 ax1
作图规律： 作图规律： 首先确定好新投影轴， 首先确定好新投影轴，由点的保留投影 向新投影轴作垂线， 向新投影轴作垂线，并使垂线上的距离等于 旧投影到旧投影轴的距离。 旧投影到旧投影轴的距离。
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4
三、点的投影变换规律
⒈ 一次换面 ⑴ 新投影体系的建立
a′ ′ a’1
V
A
V1
ax
X
ax1 a
H X1
V1 V 新投影体系: 新投影体系: X1 — 旧投影体系: 旧投影体系: X — H H 点的投影： 标注规定. A点的投影：a′(V), a(H)，a′1(V1)-标注规定.
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X1 V a' X A b' B
b' a1(b'1) ’ X V H b
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11
•
a'
b
H
a