4-2-4燕尾定理.题库学生版

4-2-4_燕尾定理题库学生版

A
G
F
B
D
E
C
【巩固】如图， ABC 的面积为 1，点 D 、 E 是 BC 边的三等分点，点 F 、 G 是 AC 边的三等分点，那么四边形 JKIH 的面积是多少？
8
C
F
D
J
G
E
KI H
A
B
【例 14】如右图，面积为1 的 △ABC 中，BD : DE : EC = 1: 2 :1 ，CF : FG : GA = 1: 2 :1 ，AH : HI : IB = 1: 2 :1 ，求阴影部分面积．
A
D E
I H
B
F
G
C
【例 17】（ 2009 年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形 A1 ，A2 ，A3 ，A4 ，A5 ，A6 的面积是 2009
平方厘米，B1 ，B2 ，B3 ，B4 ，B5 ，B6 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是
平
方厘米．
9
A1 B1 A2
B6 A6
7
A
E D
B
F
C
【例 12】如右图，△ABC 中，G 是 AC 的中点，D 、 E 、 F 是 BC 边上的四等分点， AD 与 BG 交于 M ， AF 与 BG 交于 N ，已知 △ABM 的面积比四边形 FCGN 的面积大 7.2 平方厘米，则 △ABC 的面积是多少平方厘米？ A
NG M
A
E F B
DC
【巩固】如图，E 在 AC 上，D 在 BC 上，且 AE : EC = 2 : 3 , BD : DC = 1: 2 ，AD 与 BE 交于点 F ．四边形 DFEC
的面积等于 22 cm2 ，则三角形 ABC 的面积

小学奥数燕尾定理.学生版

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA例题精讲燕尾定理【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【例 2】如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【例 3】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.BBB【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBAABC DEF FEDCBA【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【巩固】如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，2BD DC=，2CE AE=，AD与BE相交于点F，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDEF48621ABCDEF【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且:2:3AE EC=,:1:2BD DC=，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于222cm，则三角形ABC的面积．ABCDEFABCDEF2.41.62ABCDEF12【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知2AC=，2CD=，3CB=，AM BM=，那么三角形AMN(阴影部分)的面积为多少？AAC【例 4】如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE OABCDE O【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【例 5】如图9，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于。

几何第23讲_基础燕尾模型(学生版)A4

根据等高三角形中的比例关系，我们可以得到如图所示的结论．我们把这种图形，称为燕尾模型．重难点：如何选择合适的份数，使得份数统一．常用的方法：①最小图形面积为中心，进行标份数；②公共部分的整数化，优先考虑．通常已知两内比的燕尾模型，需要借助未知数解决问题．几何第23讲_基础燕尾模型ab S 1 S 2S 3S 4abS 1S 2S 3S 4a bS 1S 2S 3 S 4题模一：已知两外比的应用例1.1.1根据图中的比例关系填空．__________::BOD S S BD DC =△△，__________::ABO S S BD CD =△△； __________::AEO S S AE EC =△△，__________::ABO S S AO OD =△△； __________::ABO S S AO OD =△△，__________::COD S S AO OD =△△； __________::ABO S S BO OE =△△，__________::COE S S BO OE =△△．例1.1.2如图，三角形ABC 中，已知2EC AE =，:2:1BD DC =，已知△AOE 的面积是1，那么△COD 的面积是__________．例1.1.3在△ABC 中，:3:2BD DC =，:3:1AE CE =，OB 的长度是OE 的__________倍．例1.1.4如图，在三角形ABC 中，2AE EC =，BD DC =，已知三角形ABC 面积是1，那么三角形ABO 的面积是_______．例 1.1.5如图，ABC △的三边上各有一点D 、E 、F ，三条线段AD 、BE 、CF 相交于同一点O ．已知ACF △、BOF △的面积分别是65和16，:4:5BD CD =．求COD △的面积．AE ODC B AD OEC B1 AE ODC B例1.1.6如图，已知正方形ABCD 中，F 是BC 边的中点，GC =2DG ，E 是DF 与BG 的交点．四边形ABED 的面积与正方形ABCD 的比是______.例1.1.7如图，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOf 的面积是12，BCDE 的是平行四边形．那么四边形ABCD 的面积是多少？题模二：已知一外比一内比的应用例1.2.1在❒ABC 中，3CE AE =，F 是AD 的中点，❒ABC 的面积是12，则阴影部分的面积是__________．例1.2.2如图，O 点是AD 的中点，:1:2BD CD =．已知△ABC 的面积是24，那么阴影部分的面积是多少？FOED CBAAB C DEF例 1.2.3如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别在三边上，AD 、BE 、CF 交于一点G ，2BD CD =，面积16S =，面积28S =．则ABC ∆的面积为__________．题模三：已知两内比的应用例1.3.1如图，在三角形ABC 中，三角形AEO 的面积是1，三角形ABO 的面积是2，三角形BOD 的面积是3，则四边形DCEO 的面积是多少？例1.3.2如图，点E 和F 分别在线段AC 和AB 上，BE 与CF 相交于点O ．已知BOC △、BOF △、OCE △的面积分别是22、8、11．求ABC S △．例1.3.3如图，三角形ABC 中，BO :OE =1:1，AO :OD =3:1，S △ABC =48平方厘米．则S 四边形DCEO为多少平方厘米？AOEDC BABCD E2 1 3O随练1.1如图，三角形ABC 中已知2个三角形的面积，2BO OD =，那么三角形AOD 的面积是___________．随练1.2如图，△ABC 的面积是30．已知:2:1BD CD =，:2:3AE CE =．那么四边形CDOE 的面积是__________．随练 1.3如图是一个正方形，图中所标数字的单位是厘米，那么阴影部分的面积是______平方厘米．ABCEDOAODC B412 B OE DC A随练1.4如图，在三角形ABC 中，AE ED ，D 点是BC 的四等分点，阴影部分的面积占三角形ABC 面积的几分之几？随练1.5如图，三角形ABC 中，S △ABO =30，S △BCO =50，S △AOC =32，求S △AOD ．作业1求下面图形的面积．A B D CEFAB CDO作业2如图，三角形ABC 的面积是30，AE EC =，3BC DC =，那么三角形AEF 的面积是_________．作业3如图，三角形ABC 中已知2个三角形的面积，3AD DC =，那么，三角形AOD 的面积是__________．作业4如图，已知正方形ABCD 的边长是6．E 点是BC 上靠近B 点的三等分点，F 点是CD的中点．阴影部分的面积是__________．作业5如图，E 、F 分别在长方形ABCD 的边AB 、BC 上，且BF FC =，2BE AE =，设AF 、CE 交于点G ，已知四边形ABCD 面积为4，那么四边形AGCD 的面积为__________．AB C DE O 3 6 2412ABCDE O4 1 3___________,,AE FD C BOABDC 92A OFEDC B作业6（如图）三角形ABC 中，C 是直角，已知AC ＝2厘米，CD ＝2厘米，CB =3厘米，AM =BM ，那么三角形AMN （阴影部分）的面积是______平方厘米．作业7如图所示，在三角形ABC 中，3DC BD =，DE EA =．若三角形ABC 的面积为2，则阴影部分的面积是多少？作业8如图，AD 、BE 、CF 把△ABC 分成六个小三角形，有四个小三角形的面积已经给出，则△ABC 的面积为_______________．作业9在△ABC 中，2CE AE =，2AF FD =，△ABC 的面积是48，则阴影部分的面积是_________．GFED CBAAEFDC B 35304084O ABCDFE作业10已知，如图三角形ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，BE与CD交于点F，三角形BDF，三角形EFC，三角形BCF面积分别为2、3、4，求四边形ADFE的面积。

小学数学题燕尾定理练习题

小学数学题燕尾定理练习题燕尾定理（Pigeonhole Principle）是数学中一种常用的思考问题的策略，也是一种计数原理。

它的基本原理是：如果将n+1个物体放入n 个容器中，那么至少会有一个容器中放入了两个或更多的物体。

燕尾定理在解决许多数学问题和实际应用中都具有重要作用。

在这里，我们将通过一些小学数学题来练习燕尾定理的使用。

1. 有一个班级共有25名学生，请证明至少有两名学生的生日在同一个月份。

解析：根据燕尾定理，将25名学生与12个月份相对应，必然会有一个月份至少有两名学生的生日。

2. 一堆蓝色和红色的球共有20个，请证明至少有6个球颜色相同。

解析：假设只有5个球颜色相同，其中蓝色球最多只能有5个，同理，红色球也只能有5个，总共只有10个球，不符合题意。

所以必然会有至少6个球颜色相同。

3. 一个篮子里装有7个苹果和5个橙子，每次从篮子中随机取出一个水果并吃掉，直到篮子中只剩下苹果或者只剩下橙子。

请问最少需要吃掉几个水果？解析：若初始情况篮子中只剩下苹果或只剩下橙子，那么至少需要吃掉0个水果。

但若初始情况篮子中既有苹果又有橙子，那么无论从篮子中取出的是苹果还是橙子，都需要吃掉一个水果。

由于篮子中的水果数量总共为12个，所以最少需要吃掉12个水果。

4. 一个购物袋里装有8个红色苹果和7个绿色苹果，请证明至少需要取出多少个苹果才能保证至少有两个颜色相同的苹果。

解析：根据燕尾定理，将15个苹果与2个颜色相对应，必然会有一个颜色至少有两个苹果。

所以至少需要取出2个苹果才能保证至少有两个颜色相同的苹果。

5. 小明有10双袜子，其中有7双黑色袜子，3双白色袜子，他在没有开灯的情况下去一次取出两只袜子，请问他至少需要取出多少只袜子才能确保取出的两只袜子颜色相同？解析：假设取出的两只袜子分别为一双黑色和一双白色，那么至少需要取出4只袜子。

但若取出的两只袜子中一只为黑色，一只为白色，那么肯定不能确保颜色相同。

燕尾定理.例题精讲

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==【解析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．【例 2】如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．【例 4】如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．【例 5】如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．【例 6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为．【例 7】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．【例 9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【例 10】如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?【例 11】三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．【例 12】如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?【例 14】如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，求阴影部分面积．【例 15】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.【例 16】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.【例 17】（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．【例 18】已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =。

燕尾模型必会的11道题目答案版

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7、
三角形 ABC 中，AF：FB=BD：DC=CE：AE=3:2 ，且三角形 GHI 的面积是 1，求三角形 ABC 的面积。
【解析】【解析】连接 BG，设 SAGC 6 份，根据燕尾定理，
SAGC : SBGC AF : FB 3: 2 ，所以 SBGC 4 份， SABG : SAGC BD : DC 3: 2 ，所以 SABG 9 份，
6、
三角形 ABC 中，AF：FB=BD：DC=CE：AE=4:3 ，且三角形 ABC 的面积是 74，求三角形 GHI 的面积。
【解析】连接 BG，设 SAGC 12 份，根据燕尾定理，
SAGC : SBGC AF : FB 4 : 3 ，所以 SBGC 9 份， SABG : SAGC BD : DC 4 : 3 ，所以 SABG 16 份，
5 x 4
5 13 x x， 4 4
SAFC
5 5 81 405 15 SABC 15 cm2 13 13 2 26 26
【2008 年成都七中育才网班招生考试试题】在正方形 ABCD 中，E、F 分别是所在边的中点，ABCD 面积为 60 平方厘米，则四边形 ABGD 的面积是_______平方厘米。【解答】连接 BD，CG
3、
Hale Waihona Puke 在三角形 ABC 中，BE：EC=3:1，D 是 AE 中点，求 AF：FC。
【解析】连接 DC，设 SDEC 1 份，因为 BE：EC=3:1 所以 SBDE 3 份，又因为 D 是 AE 中点，所以 SABD SBDE 3 份，由燕尾定理，可知

(小学奥数)燕尾定理

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交於同一點O ，那麼::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理給出了一個新的轉化面積比與線段比的手段，因為ABO ∆和ACO ∆的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理．該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在於，它可以存在於任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應底邊之間提供互相聯繫的途徑.通過一道例題證明一下燕尾定理：如右圖，D 是BC 上任意一點，請你說明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】三角形BED 與三角形CED 同高，分別以BD 、DC 為底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 與三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 與三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；綜上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】如右圖，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．例題精講燕尾定理O F EDCBA【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】根據燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面積要統一，所以找最小公倍數）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【點評】本題關鍵是把AOB △的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數題四兩撥千斤的巨大力量！【答案】27:16【鞏固】如右圖，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】根據燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面積要統一，所以找最小公倍數）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9【鞏固】如圖，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,則:AF BF =GF EDCBA【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】填空【解析】根據燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF===△△【答案】5:2【鞏固】如右圖，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】根據燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面積要統一，所以找最小公倍數）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【點評】本題關鍵是把AOB △的面積統一，這種找最小公倍數的方法，在我們用比例解題中屢見不鮮，如果能掌握它的轉化本質，我們就能達到解奧數題四兩撥千斤的巨大力量！【答案】15:8【例 2】如圖，三角形ABC 被分成6個三角形，已知其中4個三角形的面積，問三角形ABC 的面積是多少?35304084O FED CBA【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】設BOF S x =△，由題意知:4:3BD DC =根據燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =⨯+=+△，再根據::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面積是844030355670315+++++= 【答案】315【例 3】如圖，三角形ABC 的面積是1，E 是AC 的中點，點D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 與BE 交於點F ．則四邊形DFEC 的面積等於．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】填空【關鍵字】希望杯，五年級，初賽【解析】方法一：連接CF ，根據燕尾定理，12ABF ACFS BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 設1BDF S =△份，則2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如圖所標所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：連接DE ，由題目條件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以則四邊形DFEC 的面積等於512．【答案】512【鞏固】如圖，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面積是30，求陰影部分面積.BBB【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】題中條件只有三角形面積給出具體數值，其他條件給出的實際上是比例的關係，由此我們可以初步判斷這道題不應該通過面積公式求面積. 又因為陰影部分是一個不規則四邊形，所以我們需要對它進行改造，那麼我們需要連一條輔助線，(法一)連接CF ，因為BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面積是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根據燕尾定理，12ABFCBFS AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△, 所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以陰影部分面積是30107.512.5--=．(法二)連接DE ，由題目條件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 111111 2.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以陰影部分的面積為12.5．【答案】12.5【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是2200cm ，E 在AC上，點D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 與BE 交於點F ．則四邊形DFEC 的面積等於．FED CBAABCDE FFEDCBA【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】填空【解析】連接CF ，根據燕尾定理，2639ABF ACFS BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△, 設6ABFS =△份，則9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+=【答案】93【鞏固】如圖，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 與CD 相交於點O ,則ABC △被分成的4部分面積各占ABC △ 面積的幾分之幾？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】連接CO ,設1AEO S =△份，則其他部分的面積如圖所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按從小到大各占ABC △面積的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【答案】920【鞏固】如圖所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 與AP 相交於點X ，若ABC△的面積為6，則ABX △的面積等於．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】填空【關鍵字】香港聖公會數學競賽【解析】方法一：連接PQ ．由於12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC S S =，1126BPQ BCQ ABC S S S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，所以441226 2.455255ABXABPABCABCS S S S ==⨯==⨯=．方法二：連接CX 設1CPX S =△份，根據燕尾定理標出其他部分面積，所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△ 【答案】2.4【巩固】兩條線段把三角形分為三個三角形和一個四邊形，如圖所示，三個三角形的面積分別是3，7，7，則陰影四邊形的面積是多少？【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】方法一：遇到沒有標注字母的圖形，我們第一步要做的就是給圖形各點標注字母，方便後面的計算.再看這道題，出現兩個面積相等且共底的三角形．設三角形為ABC，BE和CD交於F，則BF FE=，再連結DE．所以三角形DEF的面積為3.設三角形ADE的面積為x，則()():33:10:10x AD DB x+==+，所以15x=，四邊形的面積為18．方法二：設ADFS x=△，根據燕尾定理::ABF BFC AFE EFCS S S S=△△△△,得到3AEFS x=+△，再根據向右下飛的燕子，有(37):7:3x x++=，解得7.5x=四邊形的面積為7.57.5318++=【答案】18【鞏固】如圖，三角形ABC的面積是1，2BD DC=，2CE AE=，AD與BE相交於點F，請寫出這4部分的面積各是多少?ABCDEF48621ABCDEF【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】連接CF，設1AEFS=△份，則其他幾部分面積可以有燕尾定理標出如圖所示，所以121AEFS=△,62217ABFS==△,821BDFS=△,242217FDCES+==【答案】27【鞏固】如圖，E在AC上，D在BC上，且:2:3AE EC=,:1:2BD DC=，AD與BE交於點F．四邊形DFEC的面積等於222cm，則三角形ABC的面積．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】填空【解析】連接CF,根據燕尾定理，12ABFACFS BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△, 設1BDF S =△份，則2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如圖所標,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份所以222 4.4945(cm )ABC S =÷⨯=△【答案】45【鞏固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那麼三角形AMN (陰影部分)的面積為多少？A【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】連接BN ．ABC △的面積為3223⨯÷=根據燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△；同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△設AMN △面積為1份，則MNB △的面積也是1份，所以ANB △的面積是112+=份，而ACN △的面積就是224⨯=份，CBN △也是4份，這樣ABC △的面積為441110+++=份，所以AMN △的面積為31010.3÷⨯=．【答案】0.3【例 4】如圖所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中點，那麼:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】填空【解析】連接CD ．由於:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△，根據燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【答案】3:4【鞏固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =，:3:1AE EC =，求:OB OE =？ABCDE OABCDE O【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】連接OC ．因為:3:2BD DC =，根據燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=；又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．則3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::2:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】2:1【鞏固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =，:1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【考點】燕尾定理【難度】3星【題型】解答【解析】題目求的是邊的比值，一般來說可以通過分別求出每條邊的值再作比值，也可以通過三角形的面積比來做橋樑，但題目沒告訴我們邊的長度，所以應該通過面積比而得到邊長的比．本題的圖形一看就聯想到燕尾定理，但兩個燕尾似乎少了一個，因此應該補全，所以第一步要連接OC ．連接OC ．A B CDE O因為:2:1BD DC =，根據燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=；又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．則2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】8:1【例 5】如圖9，三角形BAC 的面積是1，E 是AC 的中點，點D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 與BE 交於點F ，則四邊形DEFC 的面積等於。

图形题-燕尾定理

例1：如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且=EC AE :3:2,2:1:=DC BD ,AD 与BE 交于F ；四边形DFEC 的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积是？例2： ABCD 是边长为12厘米的正方形，E ，F 分别是AB 、BC 的中点，AF 与CE 交于G 点，则四边形AGCD 的面积是平方厘米。

解：例3：如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米。

A B C D EF G A D E G HA B C DE F例4：（2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）如图，ABC ∆中DA BD 2=,EB CE 2=,FC AF 2=,那么ABC ∆的面积是阴影部分面积的倍。

例5：两条线段吧三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？例6：（2007年四中分班考试题）如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC ∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是。

例7：如图所示，在四边形ABCD 中，BE AD 3=，AF AD 3=，四边形AEOF 的A B C D E F G H I 377AB C D E F M N米阿尼及是12，那么平行四边形BODC 的面积为。

作业题1、如图，已知DC BD =，EC=2AE ，三角形ABC 的面积是30，求四边形CEFD 的面积。

2、如图，三角形ABC 的面积是2002cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且5:3:=EC AE ，3:2:=DC BD ，AD 与BE 交于点F ，则四边形DFEC 的面积等于多少？ AB CD E F O AB C D E F。

燕尾定理(含详细解析)

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△例题精讲燕尾定理【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】27:16【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】根据燕尾定理有:2:310:15ABG ACG S S ==△△,:5:310:6ABG BCG S S ==△△,所以:15:65:2:ACG BCG S S AF BF ===△△【答案】5:2【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】根据燕尾定理得::2:310:15AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:410:8AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:15:8:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】15:8【例 2】如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】设BOF S x =△，由题意知:4:3BD DC =根据燕尾定理,得::4:3ABO ACO BDO CDO S S S S ==△△△△,所以33(84)6344ACO S x x =⨯+=+△，再根据::ABO BCO AOE COE S S S S =△△△△，列方程3(84):(4030)(6335):354x x ++=+-解得56x =:35(5684):(4030)AOE S =++△,所以70AOE S =△所以三角形ABC 的面积是844030355670315+++++=【答案】315【例 3】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，初赛【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADE S BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【答案】512【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此我们可以初步判断这道题不应该通过面积公式求面积. 又因为阴影部分是一个不规则四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，(法一)连接CF ，因为BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，所以1103ABE ABC S S ==△△，1152ABD ABC S S ==△△．根据燕尾定理，12ABF CBF S AE S EC ==△△，1ABF ACF S BDS CD==△△,所以17.54ABF ABC S S ==△△，157.57.5BFD S =-=△，所以阴影部分面积是30107.512.5--=．(法二)连接DE ，由题目条件可得到1103ABE ABC S S ==△△，11210223BDE BEC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABE BDE S AF FD S ==△△， 1111112.5223232DEF DEA ADC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211032CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以阴影部分的面积为12.5．【答案】12.5【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBAABC DEF FEDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】连接CF ，根据燕尾定理，2639ABF ACF S BD S DC ===△△，36510ABF CBF S AE S EC ===△△, 设6ABF S =△份，则9ACF S =△份,10BCF S =△份，5459358EFC S =⨯=+△份，310623CDF S =⨯=+△份，所以24545200(6910)(6)8(6)93(cm )88DCFE S =÷++⨯+=⨯+= 【答案】93【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】连接CO ,设1AEO S =△份，则其他部分的面积如图所示，所以1291830ABC S =+++=△份，所以四部分按从小到大各占ABC △面积的12 4.5139313.59,,,30306030103020+===【答案】920【巩固】如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【关键词】香港圣公会数学竞赛【解析】方法一：连接PQ ．由于12CP CB =，13CQ CA =，所以23ABQ ABC SS =，1126BPQ BCQABCS S S ==．由蝴蝶定理知，21:::4:136ABQ BPQ ABC ABC AX XP S S S S ===，所以441226 2.455255ABX ABP ABC ABC S S S S ==⨯==⨯=．方法二：连接CX 设1CPX S =△份，根据燕尾定理标出其他部分面积，所以6(1144)4 2.4ABX S =÷+++⨯=△【答案】2.4【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】方法一：遇到没有标注字母的图形，我们第一步要做的就是给图形各点标注字母，方便后面的计算.再看这道题，出现两个面积相等且共底的三角形．设三角形为ABC ，BE 和CD 交于F ，则BF FE =，再连结DE ．所以三角形DEF 的面积为3.设三角形ADE 的面积为x ，则()():33:10:10x AD DB x +==+，所以15x =，四边形的面积为18．方法二：设ADF S x =△，根据燕尾定理::ABF BFC AFE EFC S S S S =△△△△,得到3AEF S x =+△，再根据向右下飞的燕子，有(37):7:3x x ++=，解得7.5x =四边形的面积为7.57.5318++=【答案】18【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】连接CF ，设1AEF S =△份，则其他几部分面积可以有燕尾定理标出如图所示，所以121AEF S =△,62217ABF S ==△,821BDF S =△,242217FDCE S +==【答案】27【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】连接CF ,根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，23ABF CBF S AE S EC ==△△,设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，2ABF S =△份，4AFC S =△份，24 1.623AEF S =⨯=+△ 份,34 2.423EFC S =⨯=+△份,如图所标,所以2 2.4 4.4EFDC S =+=份,2349ABC S =++=△份所以222 4.4945(cm )ABCS =÷⨯=△【答案】45【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】连接BN ．ABC △的面积为3223⨯÷=根据燕尾定理，::2:1ACN ABN CD BD ==△△；同理::1:1CBN CAN BM AM ==△△设AMN △面积为1份，则MNB △的面积也是1份，所以ANB △的面积是112+=份，而ACN △的面积就是224⨯=份，CBN △也是4份，这样ABC △的面积为441110+++=份，所以AMN △的面积为31010.3÷⨯=．【答案】0.3【例 4】如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】连接CD ．由于:1:1ABD BED S S =△△，:3:4BED BCD S S =△△，所以:3:4ABD BCD S S =△△，根据燕尾定理，::3:4ABD BCD AF FC S S ==△△．【答案】3:4【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？A BCDE OABCDE O【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】连接OC ．因为:3:2BD DC =，根据燕尾定理，::3:2AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即32AOB AOC S S ∆∆=；又:3:1AE EC =，所以43AOC AOE S S ∆∆=．则3342223AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::2:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】2:1【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．本题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC ．连接OC ．A B CDE O因为:2:1BD DC =，根据燕尾定理，::2:1AOB AOC S S BD BC ∆∆==，即2AOB AOC S S ∆∆=；又:1:3AE EC =，所以4AOC AOE S S ∆∆=．则2248AOB AOC AOE AOE S S S S ∆∆∆∆==⨯=，所以::8:1AOB AOE OB OE S S ∆∆==．【答案】8:1【例 5】如图9，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于。

五年级几何燕尾定理及答案

燕尾模型知识框架共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则S PM PABS QM QAB∆=∆特殊情况：当PQ∥AB时，易知△PAB与△QAB的高相等，从而S△PAB=S△QAB例题精讲【例 1】如图，三角形ABC中，:4:9BD DC=，:4:3CE EA=，求:AF FB．O F EDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】根据燕尾定理得::4:912:27AOB AOC S S BD CD ===△△ ::3:412:16AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:27:16:AOC BOC S S AF FB ==△△【点评】本题关键是把AOB △的面积统一，这种找最小公倍数的方法，在我们用比例解题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化本质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤的巨大力量！【答案】27:16。

【巩固】如图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】解答【解析】根据燕尾定理得::3:415:20AOB AOC S S BD CD ===△△ ::5:615:18AOB BOC S S AE CE ===△△（都有AOB △的面积要统一，所以找最小公倍数）所以:20:1810:9:AOC BOC S S AF FB ===△△【答案】10:9。

【例 2】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBA33321F EDC BAABCDEF【考点】燕尾定理【难度】3星【题型】填空【解析】方法一：连接CF ，根据燕尾定理，12ABF ACF S BD S DC ==△△，1ABF CBF S AES EC==△△, 设1BDF S =△份，则2DCF S =△份，3ABF S =△份，3AEF EFC S S ==△△份，如图所标所以551212DCEF ABC S S ==△ 方法二：连接DE ，由题目条件可得到1133ABD ABC S S ==△△，11212233ADE ADC ABC S S S ==⨯=△△△，所以11ABD ADES BF FE S ==△△， 111111122323212DEF DEB BEC ABC S S S S =⨯=⨯⨯=⨯⨯⨯=△△△△，而211323CDE ABC S S =⨯⨯=△△．所以则四边形DFEC 的面积等于512．【答案】512。

初中数学《燕尾模型》题型及答案解析

“燕尾”型模型展现图示特点凹四边形ABDC 结论1.∠BDC =∠A +∠B +∠C ;2.AB +AC >BD +CD1、找模型遇到凹四边形的角度问题，考虑用“燕尾”型基础模型12、用模型“燕尾”型通常是把凹四边形的角转换在两个三角形内，根据三角形内外角关系解决角度问题结论1:∠BDC =∠A +∠B +∠C证法1：如图①，连接AD 并延长，则∠1=∠B +∠3,∠2=∠C +∠4,∴∠BDC =∠1+∠2=∠B +∠3+∠C +∠4,∴∠BDC =∠A +∠B +∠C .证法2:如图②,延长BD 交AC 于点E ,∵∠BEC 是△ABE 的外角,∴∠BEC =∠A +∠B .又∵∠BDC 是△CDE 的外角,∴∠BDC =∠BEC +∠C =∠A +∠B +∠C .结论2:AB +AC >BD +CD证明：如图②，延长BD 交AC 于点E ，则在△ABE 中,AB +AE >BE ,即AB +AE>BD +DE ,在△CDE 中,DE +CE >CD .∵AC =AE +CE ,∴AB +AC =AB +AE +CE >BD +DE +CE >BD +CD .思考延伸：同学们可尝试连接BC ，进行结论的证明.提示：使用三角形内角和定理来证明！图示特点在△ABC 中,点D ,E ,F 分别在BC ,AC ,AB 上,且AD ,BE ,CF 相交于同一点O 结论1.S △AOB :S △AOC =BD :CD ;2.S △AOB :S △COB =AE :CE ;3.S △BOC :S △AOC =BF :AF1、找模型遇到类似“共边”的两个三角形的面积或线段比值相关问题，考虑用“燕尾”型基础模型22、用模型一般依据三角形面积公式，建立面积与线段之间的关系结论1:S △AOB :S △AOC =BD :CD证明:如图,分别过点B ,C 作BH ,CG 垂直于AD 交于点H ,G ,在△ABC 中,∵S AOB =12AO ⋅BH ,S AOC =12AO ⋅CG ,S AOB :S AOC =12AO ⋅BH :12AO ⋅CG =BH :CG ,在△BHD 和△CGD 中,∠BHD =∠CGD =90°,∠BDH =∠CDG ,∴△BHD ∽△CGD ,∴BH CG =BD CD,∴S AOB :S AOC =BD :CD .满分技法：燕尾相邻的两个三角形同底不等高，常根据三角形的面积公式“12×底×高”可推导“同底不等高”的三角形的面积比即为对应高的比模型典例1.将一副直角三角板按如图所示放置，使两直角顶点重合，则直角为公共角∠1的度数为()A.75°B.105°C.135°D.165°思路点拨：两个三角板斜边相交构成凹四边形，且已知对应角度数，结合三角形内外角关系即可求解。

八年级数学上册三角形有关的角-燕尾模型专项练习(含解析)

三角形有关的角-燕尾模型专项练习如图：这样的图形称之为“燕尾模型”结论：∠BDC=∠A+∠B+∠C一、单选题1．如图，在三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝70°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC外，若∠2＝18°，则∠1的度数为（）A．50°B．118°C．100°D．90°2．如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．24°B．25°C．30°D．36°二、填空题3．如右图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．4．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝__．5．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E等于__．6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．7．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝__．8．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是__．9．如图，在ABC ∆中，80ABC ∠=︒，50ACB ∠=︒，BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠，则BPC ∠=______.三、解答题10．如图(1)所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：（1）观察“规形图”,试探究∠BDC 与∠A 、∠B 、∠C 之间的关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论．．．．．．，解决以下三个问题： ①如图(2)，把一块三角尺XYZ 放置在△ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、图(1)XZ 恰好经过点B 、C ，若∠A=50°，则∠ABX+∠ACX =__________°；②如图(3)DC 平分∠ADB,EC 平分∠AEB,若∠DAE=50°，∠DBE=130°，求∠DCE 的度数；（写出解答过程） ③如图（4），∠ABD ，∠ACD 的10等分线相交于点G 1、G 2⋅⋅⋅、G 9，若∠BDC=140°，∠BG 1C=77°，则∠A 的度数=__________°． 11．如图，ABC ∆中，（1）若ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，请用A ∠表示1BO C ∠、2BO C ∠；（2）若ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅依次从下到上），请用A ∠表示1BO C ∠，1n BO C -∠.12．如图，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，BE ，CD 相交于点F ，62A ∠=︒，35ACD ∠=︒，20ABE ∠=︒，求BFD ∠的度数.13．如图，BG 是ABD ∠的平分线，CH 是ACD ∠的平分线，BG 与CH 交于点O ，若150BDC ∠=︒，110BOC ∠=°，求A ∠的度数.14．如图，AM 、CM 分别平分BAD ∠和BCD ∠，若42B ∠=︒，54D ∠=︒，求M ∠的度数.15．如图，在ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点I ，试说明BIC ∠、A ∠之间的数量关系.16．如图，已知DE 分别交ABC ∆的边AB 、AC 于D 、E ，交BC 的延长线于F ，62B ∠=︒，76ACB ∠=︒，93ADE ∠=︒，求DEC ∠的度数.参考答案1．B【分析】在△ABC 中利用三角形内角和定理可求出∠C 的度数，由折叠的性质，可知：∠CDE ＝∠C ′DE ，∠CED ＝∠C ′ED ，结合∠2的度数可求出∠CED 的度数，在△CDE 中利用三角形内角和定理可求出∠CDE 的度数，再由∠1＝180°﹣∠CDE ﹣∠C ′DE 即可求出结论．解：在△ABC 中，∠A ＝60°，∠B ＝70°，∴∠C ＝180°﹣∠A ﹣∠B ＝50°．由折叠，可知：∠CDE ＝∠C′DE ，∠CED ＝∠C′ED ，∴∠CED ＝18022︒+∠＝99°， ∴∠CDE ＝180°﹣∠CED ﹣∠C ＝31°， ∴∠1＝180°﹣∠CDE ﹣∠C′DE ＝180°﹣2∠CDE ＝118°．故选：B ．【点拨】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质，利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE 的度数是解题的关键．2．B【详解】∵∠A=20°，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于D 1， ∴∠D 1BC+∠D 1CB=12(∠ABC+∠ACB)= 12(180°-∠A)， ∴∠1D =180°- 12(180°-∠A)= 12∠A+90°=100°，同理：∠2D =60°，∠3D =40°，∠4D =30°，∠5D =25°.故选B3．360°【分析】根据三角形的外角性质可得∠BNP ＝∠A ＋∠B ，∠DPQ ＝∠C ＋∠D ，∠FQM ＝∠E ＋∠F ，∠HMN ＝∠G ＋∠H ，再根据多边形的外角和定理即可求解．解：由图形可知：∠BNP ＝∠A ＋∠B ，∠DPQ ＝∠C ＋∠D ，∠FQM ＝∠E ＋∠F ，∠HMN ＝∠G ＋∠H ，∵∠BNP ＋∠DPQ ＋∠FQM ＋∠HMN ＝360°， ∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝∠BNP ＋∠DPQ ＋∠FQM ＋∠HMN ＝360°．故答案为：360°．【点拨】本题考查了三角形的外角性质和多边形外角和等于360度，将∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F ＋∠G＋∠H的和转化为∠BNP＋∠DPQ＋∠FQM＋∠HMN的和是解题的关键．4．180°【分析】先根据三角形外角的性质得出∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，再由三角形内角和定理即可得出结论．解：∵∠CFB是△ACF的外角，∠BGF是△DEG的外角，∴∠CFB＝∠A＋∠C，∠BGF＝∠D＋∠E，∵∠B＋∠CFB＋∠BGF＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．故答案为：180°．【点拨】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．5．180°【分析】根据三角形外角的性质可知∠B＋∠A＝∠1，∠D＋∠E＝∠2，再根据三角形内角和定理即可得出结论．解：如图，∵∠B＋∠A＝∠1，∠D＋∠E＝∠2，∵∠1＋∠2＋∠C＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°．故答案为：180°．【点拨】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，熟知“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解答此题的关键．6．360°【分析】连接CF，根据三角形的外角得到由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB ＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°．解：如图，连接FC，由三角形外角的性质可得：∠2＝∠G＋∠H，∠3＝∠A＋∠B，∠1＝∠D＋∠E＝∠4＋∠5，根据四边形的内角和为360°，可得：∠2＋∠3＋∠GFE＋∠4＋∠5＋∠DCB＝360°即∠G＋∠H＋∠A＋∠B＋∠GFE＋∠D＋∠E＋∠DCB＝360°，故答案为360°．【点拨】本题考查了三角形的内角与外角，解决本题的关键是熟记三角形的外角的性质．7．720°【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得∠2与∠H、∠G的关系，∠1与∠2、∠D的关系，根据多边形的内角和公式，可得答案．解：如图：由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠2＝∠H ＋∠G ，∠1＝∠2＋∠D ，∠1＝∠H ＋∠G ＋∠D ，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H＝∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠E ＋∠F ＋∠H ＋∠G ＋∠D＝180°×（6－2）＝270°．故答案为：720°．【点拨】本题考查了多边形的内角与外角，先求出∠1＝∠H ＋∠G ＋∠D ，再求出多边形的内角和． 8．180°【分析】由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠4＝∠A ＋∠2，∠2＝∠D ＋∠C ，进而利用三角形的内角和定理求解．解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4＝∠A ＋∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2＝∠D ＋∠C ，在△BEG 中，∵∠B ＋∠E ＋∠4＝180°，∴∠B ＋∠E ＋∠A ＋∠D ＋∠C ＝180°．故答案为：180°．【点拨】本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系． 9．115︒【分析】先根据角平分线的性质求出PBC PCB ∠+∠的度数，再利用三角形内角和定理即可求解. 解：∵BP 平分ABC ∠，CP 平分ACB ∠， ∴1(8050)652PBC PCB ∠+∠=︒+︒=︒， ∴18065115BPC ∠=︒-︒=︒.【点拨】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键. 10．（1）∠BDC=∠A+∠B+∠C，详见解析；（2）①40；②∠DCE=90°；③70【分析】（1）根据题意观察图形连接AD并延长至点F，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可证∠BDC=∠BDF+∠CDF；（2）①由（1）的结论可得∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC，然后把∠A=50°，∠BXC=90°代入上式即可得到∠ABX+∠ACX的值；②结合图形可得∠DBE=∠DAE+∠ADB+∠AEB，代入∠DAE=50°，∠DBE=130°即可得到∠ADB+∠AEB 的值，再利用上面得出的结论可知∠DCE=12（∠ADB+∠AEB）+∠A，易得答案．③由②方法，进而可得答案．解：（1）连接AD并延长至点F，由外角定理可得∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD；∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∴∠BDC＝∠BAD+∠B+∠C+∠CAD.∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD；∴∠BDC＝∠BAC +∠B+∠C；（2）①由（1）的结论易得：∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，∵∠A＝50°，∠BXC＝90°，∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣50°＝40°．故答案是：40；②由（1）的结论易得∠DBE＝∠DAE +∠ADB+∠AEB，∠DCE＝∠ADC＋∠AEC＋∠A∵∠DAE=50°，∠DBE=130°，∴∠ADB+∠AEB＝80°；∵DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,∴∠ADC=12∠ADB,∠AEC=12∠AEB∴∠DCE＝12(∠ADB+∠AEB)+∠A=40°+50°=90°；③由②知，∠BG1C＝110(∠ABD+∠ACD)+ ∠A，∵∠BG1C＝77°，∴设∠A 为x°， ∵∠ABD+∠ACD ＝140°﹣x°， ∴110(140﹣x)＋x ＝77， ∴14﹣110x+x ＝77， ∴x ＝70，∴∠A 为70°．故答案是：70．【点拨】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出∠BDC=∠A+∠B+∠C 是解答的关键，注意：三角形的内角和等于180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 11．（1）111203BO C A ∠=︒+∠，22603BO C A ∠=︒+∠；（2）111180n BO C A n n-∠=⨯︒+∠，111180n n BO C A n n --∠=⨯︒+∠. 【分析】（1）根据三角形内角和可得180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，再根据ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，可得111(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠222(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠然后根据三角形内角和定理即可用含A ∠表示1BO C ∠、2BO C ∠；（2）根据（1）中所体现的规律解答即可.解：（1）∵180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，∴180ABC ACB A ∠+∠=︒-∠，∵ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，∴111(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠222(180),3O BC O CB A ∠+∠=︒-∠ ∴11111180()180(180)12033BO C O BC O CB A A ∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠，22222180()180(180)6033BO C O BC O CB A A ∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠=︒+∠；（2）由（1）可知1111180(180)180n BO C A A n n n-∠=︒-︒-∠=⨯︒+∠， 1111180(180)180n n n BO C A A n n n---∠=︒-︒-∠=⨯︒+∠. 【点拨】本题考查了三角形内角和定理及角的n 等分线的性质.熟练应用三角形内角和定理求角的度数是解题的关键.12．63BFD ∠=︒.【分析】根据三角形的外角性质先求出BDF ∠的度数，再利用三角形内角和定理即可注出BFD ∠的度数. 解：在△ADC 中，97BDF A ACD ∠=∠+∠=︒，在在△BDF 中，180180209763BFD ABE BDF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒.【点拨】本题考查了三角形内角和定理及三角形外角的性质.熟练找出三角形内角与外角的关系是解题的关键.13．70A ∠=︒.【分析】根据三角形的外角的性质得出燕尾角的基本图形的结论得出∠BDC 、∠BOC ，在根据角平分线的性质即可得出解：由燕尾角的基本图形与结论可得，BDC BOC OBD OCD ∠=∠+∠+∠①BOC A ABO ACO ∠=∠+∠+∠② BG 是ABD ∠的平分线，GH 是ACD ∠的平分线ABO OBD ∴∠=∠，ACO OCD ∠=∠．①-②得，270A BOC BDC ∠=∠-∠=︒．【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．14．48M ∠=︒.【分析】根据三角形内角和定理用∠B 、∠M 表示出∠BAM-∠BCM ，再用∠B 、∠M 表示出∠MAD-∠MCD ，再根据角平分线的定义可得∠BAM-∠BCM=∠MAD-∠MCD ，然后求出∠M 与∠B 、∠D 关系，代入数据进行计算即可得解；解：根据三角形内角和定理，∠B+∠BAM=∠M+∠BCM ，∴∠BAM-∠BCM=∠M-∠B ，同理，∠MAD-∠MCD=∠D-∠M ，∵AM 、CM 分别平分∠BAD 和∠BCD ，∴∠BAM=∠MAD ，∠BCM=∠MCD ，∴∠M-∠B=∠D-∠M ，∴∠M=12（∠B+∠D ）=12（42°+54°）=48°；【点拨】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义．注意利用“8字形”的对应角相等求出角的关系是解题的关键，要注意整体思想的利用．15．1902BIC A ∠=︒+∠，见解析. 【分析】根据角平分线的性质和三角形的内角和定理得出∠BIC=180°-12（∠ABC+∠ACB ）=180°-90°+12∠A=90°+12∠A ，解：在ABC 中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A ∵ABC ∠与ACB ∠的平分线相交于点I ， ∴12∠=∠CBI ABC ，12∠=∠BCI ACB , 在BIC 中1)180()(1802︒-=∠︒=∠+∠∠+∠-BIC IBC ICB ABC ACB ()11180902-2180=︒-∠=︒+∠︒A A ．【点拨】本题主要考查三角形内角和定理，以及角平分线的性质定理，熟练掌握相关的性质是解题的关键 16．135DEC ∠=︒.【分析】根据三角形的内角和定理即可求解解：在ABC 中，=180--∠︒∠∠A B ACB =180︒-62︒-7642︒=︒，∴∠DEC=9342135A ADE ∠+∠=︒+︒=︒【点拨】本题主要考查三角形内角和定理和外角的性质，掌握三角形内角和为180°及三角形的一个外角等于不相邻两个内角的和是解题的关键．。

五年级下册数学扩展专题练习几何燕尾模型a级学生版全国通用无答案

知识框架共边定理（燕尾定理）有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

例题精讲【例 1】如图，三角形ABC中，BD: DC = 4:9 , CE: EA = 4:3，求AF: FB .【巩固】如图，三角形ABC中，BD: DC=3:4 , AE: CE = 5:6，求AF: FB .【例2】如图，三角形ABC的面积是1 , E是AC的中点，点D在BC上，且BD: DC = 1:2 ,AD与BE 交于点F.则四边形DFEC的面积等于.【巩固】如图，已知BD = DC， EC = 2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影部分面积.2 / 13【例3】如图，三角形ABC 的面积是2 0 0 2m EAE : EC =3:5 , BD : DC =2:3 , AD 与BE 交于点F .则四边形DFEC 的面积等于 __________△ ABC 面积的几分之几?在AC 上，点D 在BC 上，且【巩固】如图，已知BD =3DC ，EC =2AE ，BE 与CD 相交于点0 ,则△ ABC 被分成的4部分面积各占【例4】如图所示，在△ ABC 中，CP =1CB,CQ = 3CA , BQ 与AP 相交于点X ，若△ ABC 的面积为6，则△ ABX 的面积等于【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7,则阴影四边形的面积是多少?【巩固】如图，三角形ABC的面积是1，BD=2DC，CE=2AE，AD与BE相交于点F，请写出这4部分的面积各是多少？【巩固】如图，E在AC上，D在BC上，且AE: EC=2:3 , BD: DC=1:2，AD与BE交于点F .四边形DFEC的面积等于22 cm2，则三角形ABC的面积A【巩固】三角形ABC中，C是直角，已知AC=2 , CD=2 , CB=3 , AM = BM , 影部那么三角形AMN（阴分）的面积为多少？【例5】如图所示，在△ ABC中，BE: EC=3:1 , D是AE的中点，那么AF: FC【巩固】在^ABC中，BD: DC = 3: 2，AE: EC = 3:1，求OB: OE =？【例6】如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点，则四边形的面积等于____【巩固】如图，A ABC中，点E在AB上，点F在AC上，BF与CE相交于点P，如果,四边形AEPF ' NBEP S x FPP ' PBPC【例7】如图，三角形田地中有两条小路和，交叉处为，张大伯常走这两条小路，他知道=，且=。

4-3-6 燕尾定理.学生版

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==S 3S 1S 4S 2EDCBA【解析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .例题精讲燕尾定理O F EDCBA【巩固】如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【例 2】如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?35304084O FED CBA【例 3】如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBA33321F E DC BAABCDEF【巩固】如图，已知BD DC =，2EC AE =，三角形ABC 的面积是30，求阴影部分面积.【巩固】如图，三角形ABC 的面积是2200cm ，E 在AC 上，点D 在BC 上，且:3:5AE EC =,:2:3BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．FED CBAABC DEF FEDCBA【巩固】如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △面积的几分之几？OE DCBA13.54.59211213O E D CBA【巩固】如图所示，在ABC △中，12CP CB =，13CQ CA =，BQ 与AP 相交于点X ，若ABC △的面积为6，则ABX △的面积等于．XQPABC XQPABC4411XQPCBA【巩固】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【巩固】如图，三角形ABC 的面积是1，2BD DC =，2CE AE =，AD 与BE 相交于点F ，请写出这4部分的面积各是多少?ABCDE F48621ABCDEF【巩固】如图，E 在AC 上，D 在BC 上，且:2:3AE EC =,:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．四边形DFEC的面积等于222cm ，则三角形ABC 的面积．A BCDE FA BCDEF 2.41.62A BC DE F 12【巩固】三角形ABC 中，C 是直角，已知2AC =，2CD =，3CB =，AM BM =，那么三角形AMN (阴影部分)的面积为多少？【例 4】如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．FE D C B AFE DCB A【巩固】在ABC ∆中，:3:2BD DC =， :3:1AE EC =，求:OB OE =？A BCDE OABCDE O【巩固】在ABC ∆中，:2:1BD DC =， :1:3AE EC =，求:OB OE =？A B CDE O【例 5】如图9，三角形BAC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC=1:2，AD 与BE 交于点F ，则四边形DEFC 的面积等于。

几何五大模型之五(燕尾定理)

燕尾定理例题精讲燕尾定理：在三角形ABC 中，AD，BE， CF 订交于同一点O ，那么，S ABO :S ACO BD:DCAEFOB D C上述定理给出了一个新的转变面积比与线段比的手段，由于ABO 和ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在很多几何题目中都有着宽泛的运用，它的特别性在于，它能够存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间供给相互联系的门路.经过一道例题证明燕尾定理：如右图， D 是BC上随意一点，请你说明：S1 : S4S2 : S3BD : DCAB【分析】三角形三角形三角形S2 E S3S1S4DCBED 与三角形CED同高，分别以BD 、DC为底，因此有S1:S4 BD:DC ；ABE 与三角形 EBD 同高，S1: S2ED :EA ；ACE 与三角形 CED 同高，S4: S3ED :EA，因此 S1 :S4S2 :S3；综上可得，S1:S4S2 :S3BD:DC .【例1】（2009年第七届希望杯五年级一试一试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E是BC 上，且 BD : DC 1: 2 ，AD与BE交于点F．则四边形DFEC 的面积等于AC的中点，点．D 在AEFBDC【稳固】如图，已知BD DC ， EC 2 AE ，三角形ABC 的面积是 30 ，求暗影部分面积.AEFB D C2，E在AC 上，点D在BC 上，且 AE:EC 3:5, BD:DC2:3，【稳固】如图，三角形 ABC 的面积是200 cmAD与 BE交于点 F ．则四边形DFEC的面积等于．AEFBDC【稳固】如图，已知 BD3DC ，EC2AE ，与 CD 订交于点 O ,则△ ABC 被分红的4部分面积各占△ ABCBE 面积的几分之几？AEOB DC【稳固】 ( 2007年香港圣公会数学比赛) 如下图，在△ABC中， CP 11CB ，CQ CA， BQ与AP订交于点 X ，若△ABC的面积为 6 ，则△ ABX 的面积等于23．CQPXA B【稳固】如图，三角形ABC的面积是1，BD2DC， CE 2 AE， AD 与 BE 订交于点F，请写出这 4 部分的面积各是多少?AEFBD C【稳固】如图， E 在AC 上，D在BC上，且AE :EC 2 :3 , BD : DC 1: 2 ，AD与BE交于点F．四边形 DFEC 的面积等于22 cm 2，则三角形 ABC 的面积．AEFBDC【稳固】三角形ABC 中， C 是直角，已知 AC 2 ， CD 2 ， CB 3 ，AM BM，那么三角形 AMN (暗影部分 ) 的面积为多少？AMNC D B【稳固】如图，长方形ABCD 的面积是 2 平方厘米，EC2DE ，F是 DG 的中点．暗影部分的面积是多少平方厘米 ?A D A DF E x FEx yyB C B CG G【例2】如下图，在四边形ABCD 中， AB3BE ， AD 3 AF ，四边形 AEOF 的面积是12，那么平行四边形 BODC 的面积为________．AFE O DB C【例3】ABCDAGCD 是边长为的面积是12厘米的正方形， E 、 F_________ 平方厘米．分别是AB、BC边的中点，AF与CE交于G，则四边形D CFGA E B【例4】如图，正方形ABCD 的面积是面积是 _____平方厘米．120 平方厘米， E 是AB 的中点，F是 BC 的中点，四边形BGHF的ADE GHB F C【例5】如下图，在△ ABC中，BE : EC 3 :1 ，D是AE的中点，那么AF : FC．AFDB E C【稳固】在ABC中，BD:DC3:2，AE :EC3:1，求 OB :OE？AOEB D C【稳固】在ABC中，BD:DC 2 :1，AE :EC1: 3，求OB :OE？AEOB D C【例6】（ 2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E、F分别是AB、 BC 上的点，且1AB，CF 1AE BC ，AF与CE订交于G，若矩形ABCD的面积为120，则AEG与CGF的34面积之和为．A DEGB F C【例7】如右图，三角形ABC 中， BD : DC4: 9 ， CE : EA 4 : 3，求 AF : FB ．AEF OB D C【稳固】如右图，三角形ABC 中， BD:DC 3:4， AE :CE 5:6，求 AF :FB .AEF OB D C【稳固】如图，BD :DC2:3, AE:CE 5:3,则AF:BFAEF GBD C【稳固】如右图，三角形ABC 中， BD :DC2:3， EA :CE 5:4，求 AF :FB .AEF OB D C【例8】( 2008年“学而思杯” 六年级数学试题)如右图，三角形ABC中，AF :FB BD : DC CE : AE 3:2，且三角形 ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE的面积为________，三角形 GHI 的面积为______．AEG HFIB D C【稳固】如右图，三角形ABC中，AF : FB BD : DC CE : AE 3: 2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC 的面积．AEF HI GBD C【稳固】 (2009年第七届“走进美好的数学花园”初赛六年级) 如图，ABC 中BD2DA ，CE 2 EB ，AF2FC ，那么ABC 的面积是暗影三角形面积的倍．ADGFH IB E C【稳固】如图在△ ABC 中，DCEA FB1, 求△GHI 的面积的值．△的面积DB EC FA2ABCAEHFI GB D C课后作业1、如图，已知BD 3DC ， EC 2 AE ，BE与 CD 订交于点 O ,则△ ABC 被分红的4部分面积各占△ABC 面积的几分之几？AEOB D C2、两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如下图，三个三角形的面积分别是 3，7 ， 7，则暗影四边形的面积是多少？3773、右图的大三角形被分红 5 个小三角形，此中 4 个的面积已经标在图中，那么，暗影三角形的面积是．241 34、如图，三角形ABC的面积是1，BD 2DC，CE 2 AE，AD与BE订交于点F，请写出这4部分的面积各是多少 ?AEFBD C5、如右图，三角形ABC 中， BD : DC 4 : 9 ， CE : EA 4: 3，求 AF : FB ．AEF OB D C。

燕尾定理.例题精讲

燕尾定理：在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.通过一道例题证明一下燕尾定理：如右图，D 是BC 上任意一点，请你说明：1423:::S S S S BD DC ==【解析】三角形BED 与三角形CED 同高，分别以BD 、DC 为底，所以有14::S S BD DC =；三角形ABE 与三角形EBD 同高，12::S S ED EA =；三角形ACE 与三角形CED 同高，43::S S ED EA =，所以1423::S S S S =；综上可得1423:::S S S S BD DC ==.【例 1】（2009年第七届希望杯五年级一试试题）如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于．【例 2】如图所示，在四边形ABCD 中，3AB BE =，3AD AF =，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________．【例 3】 ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，则四边形AGCD 的面积是_________平方厘米．【例 4】如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．【例 5】如图所示，在ABC △中，:3:1BE EC =，D 是AE 的中点，那么:AF FC = ．【例 6】（2009年清华附中入学测试题）如图，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且13AE AB =，14CF BC =，AF 与CE 相交于G ，若矩形ABCD 的面积为120，则AEG ∆与CGF ∆的面积之和为．【例 7】如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．【例 8】 (2008年“学而思杯”六年级数学试题)如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．【例 9】两条线段把三角形分为三个三角形和一个四边形，如图所示，三个三角形的面积分别是3，7，7，则阴影四边形的面积是多少？【例 10】如图，三角形ABC 被分成6个三角形，已知其中4个三角形的面积，问三角形ABC 的面积是多少?【例 11】三角形ABC 的面积为15平方厘米，D 为AB 中点，E 为AC 中点，F 为BC 中点，求阴影部分的面积．【例 12】如右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米？【例 13】如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?【例 14】如右图，面积为1的ABC △中，::1:2:1BD DE EC =，::1:2:1CF FG GA =，::1:2:1AH HI IB =，求阴影部分面积．【例 15】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.【例 16】如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.【例 17】（2009年数学解题能力大赛六年级初试试题）正六边形1A ，2A ，3A ，4A ，5A ，6A 的面积是2009平方厘米，1B ，2B ，3B ，4B ，5B ，6B 分别是正六边形各边的中点；那么图中阴影六边形的面积是平方厘米．【例 18】已知四边形ABCD ，CHFG 为正方形，:1:8S S =乙甲，a 与b 是两个正方形的边长，求:?a b =。

燕尾模型专题

燕尾模型共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么=∆∆S S BD DC ABO ACO ::．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为∆ABO 和∆ACO 的形状很像燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.1.如图在△ABC 中，===DB EC FA DC EA FB 31，求积面的△积面的△ABC GHI 的值．连接BG ，设△S BGC =1份，根据燕尾定理△△==S S AF FB AGC BGC ::3:1，△△==S S BD DC ABG AGC ::3:1，得△=S AGC 3(份)，△=S ABG 9(份)，则△=S ABC 13(份)，ABCDEFG HIABCDEFG HIABCDE FO因此△△=S S ABC AGC 133，同理连接AI 、CH 得△△=S S ABC ABH 13，△△=S S ABC BIC 133，所以△△==---S S ABC GHI 1313133334。

2如图，=BD DC :2:3，=AE CE :5:3，则=AF BF :根据燕尾定理有△△==S S ABG ACG :2:310:15，△△==S S ABG BCG :5:310:6，所以△△===S S AF BF A C G B C G:15:65:2:。

3.如右图，三角形ABC 中，===AF FB BD DC CE AE :::4:3，且三角形ABC 的面积是74，求三角形GHI 的面积．连接BG ，△S AGC =12份根据燕尾定理，△△===S S AF FB AGC BGC ::4:312:9，ABCDEF GABCDEFG H IABCDEFG H I△△===S S BD DC ABG AGC ::4:316:12，得△=S BGC 9(份)，△=S ABG 16(份)，则△=++=S ABC 9121637(份)，因此△△=S S ABC AGC 3712，同理连接AI 、CH 得△△=S S ABC ABH 3712，△△=S S ABC BIC 3712，所以△△==---S S ABC GHI 3737371212121三角形ABC 的面积是74，所以三角形GHI 的面积是⨯=377421。

4-2-4燕尾定理.题库学生版