ch07树

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第三部分：图论（授课教师：张加勇）
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构造生成树的例子

不同的方法得到不同的生成树(总是删除m-(n-1)条边)
宽度优先
“避圈”
深度优先
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第三部分：图论（授课教师：张加勇）
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最小生成树-Kruskal算法(避圈法)

带权图的生成树中边权和最小的称为最小生成树。
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第三部分：图论（授课教师：张加勇）
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二叉树的子树

定义：设T是根树，T中任一顶点v及其所有后 代的导出子图显然也是根树(以v为根)，称为T 的子树。 有序二叉树的子树分为左子树和右子树。
即使不是正则二叉数，也可以

分左、右，必须注意顶点位置。
左 子 树
8/11/2017 3:41 PM 第三部分：图论（授课教师：张加勇）
及二叉树的访问次序等内容。
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第三部分：图论（授课教师：张加勇）
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§1 无向树及生成树

定义：连通而不含回路的简单无向图称 为无向树，简称树(tree)。
– 下面列出所有不同构的6个顶点的树。
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第三部分：图论（授课教师：张加勇）
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有关树的几个等价命题
– 输入：实数序列w1,w2,…,wt, 且w1w2…wt。 – 输出：具有t个树叶，其权序列为w1,w2,…,wt的最优二叉树。 – 过程： • 作t个叶顶点v1,v2,…vt，其相应的权分别是w1,w2,…,wt。加 入分支点vt+1, 使v1,v2是vt+1的左、右子树。在上述权序列 中用wt+1= w1+w2代替w1,w2两项。 • 考虑“当前的”w序列, 选择其中最小的两项，设其对应 的顶点是vi,vj, 加分支点vt+k, 使以vi,vj为根的子树为其左、 右子树。 • 重复第2步，直至加入t-1个点。 注意：Huffman算法得到的结果可能不唯一(如果“当前”权最 小顶点对不唯一)。
8/11/2017 3:41 PM 第三部分：图论（授课教师：张加勇） 5
连通图边数的下限

连通图的必要条件是mn-1。
(而对于树，m=n-1, 因此可以说“树是边最少的连通图”) – 证明： 对n进行归纳。当n=2时结论显然成立。若G是满足n=k+1的连 通图，考虑G'=G-v(vV), 令|V’|=n', |E’|=m': (1)若G'仍连通, 由归纳假设：m'n'-1, 注意：n'=n-1, m'm-1(G连 通，被删除的点至少关联一条边)，所以：mm'+1n'-1+1=n-1。 (2) 若G'不连通，设G'有(>1)个连通分支G1,G2,…,G，且Gi的 边数和顶点数分别是mi和ni。由归纳假设，mini-1(i=1,2,…)。 注意：n=n1+n2+…+n+1, mm1+m2+…+m+(每个连通分支中 至少有一个顶点在G中与要删除的v相邻，即v的度数不小于), 所以： m m1+m2+…+m+n1+n2+…+n-· 1+=n-1。
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§2 根树及其应用

定义：底图为树的有向图称为有向树。

定义：若n(n2)阶有向树恰含一个入度 为0的顶点，其它顶点入度均为1，则该 有向树称为根树。
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第三部分：图论（授课教师：张加勇）
10
4
3
2
2 W(T)=34
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第三部分：图论（授课教师：张加勇）
不等长编码

如何从信号流中识别字符
– 等长度编码 – 显式表示长度：专用位或特定结束信号 – 匹配的唯一性

如果符号串可以表示成符号传1和2的并置，则1称 为的一个前缀。(注意：1和2可以是空串。) 设 A={1,2,…,m}是符号串的集合，且对任意 i,jA, 若ij, i与j互不为前缀，则称A为前缀码。 若A中的任意串i只含符号0, 1, 则称A是二元前缀码。
右 子 树
14
有序二叉树

任何有序树均可化为有序二叉树
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第三部分：图论（授课教师：张加勇）
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最优二叉树

若 T 是二叉树，且每个叶 v1,v2,…,vt 带有数值权
w1,w2,…wt, 则 二 叉 树 T 的 权 W(T) 定 义 为 ：
ti=1wil(vi), 其中：l(vi)表示vi的层数。

显然：给定一棵二叉正则树， 可以产生唯一得二元前缀码。
0
0
1
0
1
1 ห้องสมุดไป่ตู้1
0 1
10
11
000
0010
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0011
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最佳前缀码

问题：二进前缀码 A={1,2,…,m}表示 m个不同得
字母，如果各字母使用频率不同，如何设计编码方
• 5, 5, 10, 10, 10, 15, 20, 25
8/11/2017 3:41 PM 第三部分：图论（授课教师：张加勇） 22
根树的遍历

三种遍历根树中所有顶点的递归算法：
– 中序行遍法：依次为： 左子树，根，右子树
• h, d, i, b, e, a, f, c, g b d e c a
– 前序行遍法：依次为：
根，左子树，右子树
• a, b, d, h, i, e, c, f, g
f
g
– 后序行遍法：依次为：
左子树，右子树，根
• h, i, d, e, b, f, g, c, a
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h
i
第三部分：图论（授课教师：张加勇）
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逆波兰表示法

用根树表示表达式：分支点对应于运算符， 叶顶点对应于运算分量。
– 例子：(a*(b+c)+d*(e*f))/(g+(h-i)*j) /
采用后序行遍法列出 该树的所有顶点，得： abc+*def**+ghi-j*+/ 这称为逆波兰表示，

+ *
a b
+
*
g
* j i
+ d
c e
*
f
h
注意：不需要括弧便可唯一地表示计算顺序。
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第三部分：图论（授课教师：张加勇）
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进一步限定根树性质的几个定语

有序：同层中每个顶点排定次序。
r叉(元)：每个分支点至多有r个儿子。
r叉(元)正则：每个分支点恰好有r个儿子 完全：每个叶的层数恰等于树高。
注意：完全正则2叉树共有(2k+1-1) 个顶点(k是树高)
第7章 树
§1 无向树及生成树
§2 根树及其应用
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第三部分：图论（授课教师：张加勇）
1
树是一类结构较为简单的图，是用途
极为广泛的离散数学模型，特别是二叉树，
它在计算机科学中用得最多。因此在学习
时应很好地掌握好诸如树的充要条件、生
成树、最优生成树、根树、树的各种算法、

具有相同权序列的二叉树中权最小的一个称为 最优二叉树。
2 2 2 3 W(T)=38 2 3 5 3 5 2 3 2 2 5 3 3 2 W(T)=34
16
3 5 W(T)=47
3 W(T)=36
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第三部分：图论（授课教师：张加勇）
求最优二叉树的算法

Huffman算法
8/11/2017 3:41 PM 第三部分：图论（授课教师：张加勇） 6
生成树

定义：若图 G 的生成子图是树，则该子 图称为G的生成树。 无向图G连通 当且仅当 G有生成树。
– 证明(充分性显然)： 注意：若G是有回路的连通图，删除回路 上的一条边， G 中的回路一定减少。 ( 因此， 用“避圈法”总可以构造连通图的生成 树。)

下列六个命题等价： – (1) T是不含回路的简单连通图。 – (2) T的每对顶点间具有唯一基本通路。 – (3) T连通，但删除任意一条边则不再连通。 – (4) T无回路，但在任意不相邻的顶点对之间加一条 边则产生唯一的基本回路。 – (5) T连通且n=m+1。 – (6) T无回路且n=m+1。
• 0：25% 1: 20% • 2: 15% • 4: 10% • 6: 5% 3: 10% 5: 10% 7: 5%
0 0 0 1 1 0 1 20 1 11
1
25 01
0
– 则对应的权为：
15 1 0 001 10 0 10001 5 5 00000 00001
10 10 101 100 传送 1 个字母的加 权平均长度：2.85
m=|E|, 则m=n-1。
– 证明：
对n进行归纳。当n=1, T是平凡图，结论显然成立。 假设当nk时结论成立。 若n=k+1。因为T中每条边都是割边，任取eE, T-{e} 含两个连通分支，设其为T1, T2, 并设它们边数分别是m1, m2, 顶点数分别是n1, n2, 根据归纳假设：m1=n1-1, m2=n2-1, 注意：n1+n2=n, m1+m2=m-1, m=m1+m2+1=(n1-1)+(n2-1)+1=n1+n2-1=n-1。