大学物理学

m
et
三.理想模型质点
en
在所研究的问题中，形状和大小可以忽略的 物体质点。
11
§1-3 位置矢量 运动方程 轨道方程
一.位置矢量描述一个质点在空间位置的矢量
从坐标原点o指向P点的有向线段op=r 位 置 矢量，简称位矢或矢径。 z 由图1-1 可知, P(x,y,z) r oA AB BP r z i、j、k 单位矢量。 C o y x y A r=xi+yj+zk (1-1) B x 图1-1
y
S t
x
图1-2
18
r 则平均速度为 0 t
如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，
S 2R 而平均速率为 t t
即使在直线运动中，如质点经时间t从A点到B点 又折回C点,显然平均速度和平均速率也截然不同:
A C B
AC t
AB BC t
29
x=t3–9t2 +15t+1 (2)质点在0~2s内的位移可表示为 x=x(2)-x(0)=3-1=2m 考虑到t=1s时调头了，故0~2s内的路程应为 s=|x(1)-x(0)|+|x(2)-x(1)|=7+5=12m 例题1-2 质点的位置矢量： 质点作什么样的运动？
2 2 r (3 2t )i (2t 1) j
四.矢量积(向量积、叉积、外积)
c

ab c
c a b absin
积C的方向垂直于矢量a 和b组成 的平面， 指向由右手螺旋法则确定。
b a
c
a axi ay j az k b bxi by j bz k
a b a x a y az bx by bz
19
质点的(瞬时)速度:
r dr t0 lim dt t
质点的(瞬时)速率:
(1-9)
S dS lim = t0 t dt
(1-12)
这表明,质点在t时刻的速度等于位置矢量r 对时间 的一阶导数; 而速率等于路程S对时间的一阶导数。
20
dr r t0 lim dt t
k
(1-19)
而加速度a在三个坐标轴上的分量分别为
d y d 2 y d z d 2 z d x d 2 x ax 2 ,a y 2 ,az 2 dt dt dt dt dt dt
(1-20)
(2) 加速度a 的大小:
2 2 2 a a a x a y az
x
(t t )
O
y
图1-3
23
质点的(瞬时)加速度定义为
d d 2 r a t 0 lim 2 t dt dt
(1-17)
这就是说,质点在某时刻或某位置的(瞬时)加速度 等于速度矢量 对时间的一阶导数,或等于矢径r 对时间的二阶导数。 (1) 在直角坐标系中,加速度的表示式是
在x轴方向的位移为
r ( x2 x1 )i
注意：坐标的增量x = x2-x1是位移，而不是路程!
16
(2)位移和路程是两个不同的概念。 位移代表位置变化，是矢量，在图1-2中，是有向 线段AB, 它的大小是| r ,即割线AB的长度。 路程表示路径长度，是标量， 它的大小是曲线弧AB的长度S 。 A r 在一般情况下, S和 并不相等。 z
大学物理学
1
第一篇 力 学
(Mechanics)
2
第1章 质点运动学
(Kinematics of particle)
(8)
内容提要
描述质点运动的物理量
相对运动
3
161电影网整理发布
§1-1 矢量 一.矢量的表示法
a
a=|a | A A=|A |
o
z a
ax、ay、az分别是矢量a 在 坐标轴x、y、z上的投影(分量)。 i、j、k分别是沿x、y、z轴 正方向的单位矢量(恒矢量)。
r
(3)在直角坐标系中,
r xi yj zk
dr dx dy i dt dt dt dz j k dt
(1-10)
dx dy dz x , y , z dt dt dt
(1-11)
速度的大小：
x y z
2 2

2
22
a b i 10 j
5
b
a b
ab
ab
三.标量积(点积、数量积、内积)
a b a b cos ab cos
a axi ay j az k b bxi by j bz k
a b axbx ayby azbz
6
a b ab cos
a
ax x ay
az y
i j kxi ay j az k
a a ax a y az
4
二.矢量的加、减法
a + b =？ a b c =? c
b
a 三角形法 a - b =？ a a 多边形法
b
a 3i 4 j b 2i 6 j
27
以上内容的学习要点是：认真学习用微积分 来处理物理问题的方法。
§1-6 运动学的两类问题
求 导
r=xi+yj+zk
积

dr dt
d a dt
分
28
例题1-1 一质点沿x轴运动,运动方程为x=t 3 –9t 2 +15t+1 (SI),求: (1)质点首先向哪个方向运动?哪些时刻质点调头 了？ (2)质点在0~2s内的位移和路程。 解（1）质点做直线运动时，调头的条件是什么？ 调头的必要条件是速度为零，即 dx =3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0 dt 可得：t=1 ,5s;又由于1,5s前后速度改变 了方向(正负号），所以t=1,5s调头了。 因t=0时速度 =+15m/s,所以质点首先 向x轴正方向运动。
x x
A
o
y 图1-1
y
B
13
二.运动方程
x x( t ), y y( t ), z z( t )
r r( t )
(1-4) (1-3)
它们都叫做质点的运动方程。 三.轨道方程 质点所经的空间各点联成的曲线的方程，称为轨 道方程。 例：x=6cos2t y=6sin2t 运动方程
8
3. 在直角坐标系中,考虑到 i, j , k 是常量,有
A Axi Ay j Az k
dAy dA dAx dAz i j k dt dt dt dt
dAx , 由于Ax(t), Ay(t), Az(t)是普通的函数，所以 dt dAy dAz 就是普通函数的微商。 , dt dt
A C B
B C

A r
S

位移=AC路程=AB+BC 只有当t→0时,才有 |Δr | S 。
x
o
r(t)
B
r(t+t)
y
图1-2
17
二.速度、速率
定义: 单位时间内的位移平均速度。 z
C

r t
A r
S

r(t)
B
单位时间内的路程平均速率。 o
r(t+t)
S dS lim = t0 t dt
(1)速率=速度的大小。
(1-9)
(1-12)
S lim lim = (当t 0 , r s) t0 = t0 t t dr (2) =r 大小的导数+r 方向的导数。 dt dr dr dr 例: (A) ; (B) (C) ; dt dt 21 dt
i
j
k
7
五.矢量函数A(t)的微商
dA lim A t0 t dt
1.矢量函数的微商与标量函数的微商不同： 矢量函数的微商=矢量大小的微商+矢量方向的微商 dA 2. 的方向，一般不同于A 的方向。 dt dA 只有当t0时， A 的极限方向，才是 的方向。 dt dA 特别是,当A的大小不变而只是方向改变时, dt 就时刻保持与A垂直。
解 x =3+2t2, y =2t2-1， y =x-4 直线 d dr a 4i 4 j 4ti 4tj , dt dt 质点作匀加速直线运动。
30
例题1-3 已知某一粒子在oxy平面内运动,其矢径 为:r=Rcos t i+Rsin t j，其中R、为正值常量。 (1)试分析该粒子的运动情况; (2)时间t=/ 2/内的位移和路程。 (1)由矢径的表达式可知, x=Rcos t ， y=Rsin t 从以上两式中消去t,得到粒子的轨道方程： x2+y2=R2 这是一个以原点o为中心,半径为R的圆。 由于t=0时,x=R, y=0,而t>0+时,x>0,y>0,由此判定 粒子是作逆时针方向的圆周运动。 解
31
r R cos ti R sintj
粒子在任一时刻t的速度、加速度为 dr R sinti R cos tj dt d 2 2 2 R cos ti R sintj r a dt
§1-5 加速度 一.加速度
如图1-3所示, 设时刻t质点位于A点，速度为 (t), 经时间t运动到B点，速度为(t+t), 则在时间t内质点速度的增量为
(t t ) (t )
为了描述速度随时间的 变化情况，我们定义：质 点的平均加速度
z
(t )
A.