2015人教A版数学(文)复习课件：2.8函数与方程
高考数学(文)一轮复习课件：1-9函数与方程(人教A版)
高考考点预览
■ ·考点梳理· ■ 1. 函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数 y＝f(x)的零点． (2)几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交 点⇔函数y＝f(x)有零点．
思考：上述等价关系在研究函数零点、方程的根及 图象交点问题时有什么作用？
思考：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则y＝ f(x)在区间[a，b]上的图象是否一定是连续不断的一条曲 线，且有f(a)·f(b)<0呢？
提示：不一定．由图(1)、(2)可知．
3．二分法 (1)二分法的定义 对于在区间[a，b]上连续不断且ff((aa))··ff((bb)<0 的函数y＝ f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二 , 使区间的两端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值 的方法叫做二分法． (2)用二分法求函数零点近似解的步骤 第一步：确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0 ，给定精 确度ε；
观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y＝f(x)－ log3|x|有4个零点．
3. [2012·徐州模拟]根据下面表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为________．
x
－1 0 1 2
3
ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09
x＋2 1 2 3 4
5
答案：(1，2)
3. 二分法是求方程的根的近似值的一种计算方法．其 实质是通过不断地“取中点”来逐步缩小零点所在的范 围，当达到一定的精确度要求时，所得区间的任一点就是 这个函数零点的近似值．
4. 要熟练掌握二分法的解题步骤，尤其是初始区间的 选取和最后精确度的判断.
人教A版高中数学必修一课件 《函数的零点与方程的解》指数函数与对数函数
探究一
探究二
探究三
思想方法 随堂演练
课堂篇 探究学习
解析:(1)令f(x)=log3x+x-3,则f(1)=log31+1-3=-
2<0,f(2)=log32+2-3=log3<0,f(3)=log33+3-3=1>0,f(4)=log34+43=log312>0,则函数f(x)的零点所在的区间为(2,3),所以方程 log3x+x=3的实数解所在的区间为(2,3).
(2)记f(x)=ex-x-2,则该函数的零点就是方程ex-x-2=0的实数解. 由题表可知f(-1)=0.37-1<0,f(0)=1-2<0,f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.394>0,f(3)=20.09-5>0.由零点存在定理可得f(1)f(2)<0,故函数的零点 所在的区间为(1,2).所以k=1.
探究一
探究二
探究三
思想方法 随堂演练
变式训练本例已知条件不变,求a为何值时: (1)方程有唯一实数解; (2)方程的一个解大于1,一个解小于1.
解:(1)令f(x)=ax2-2(a+1)x+a-1.
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
探究三
思想方法 随堂演练
例3 (1)方程log3x+x=3的解所在的区间为 ( )
A.(0,2)
B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)
(2)根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个实数解所在
的区间为(k,k+1)(k∈N),则k的值为
.
分析:(1)构造函数f(x)=log3x+x-3,转化为确定函数f(x)的零点所 在的区间;(2)构造与方程对应的函数,然后根据表格判断函数值的 符号,从而确定零点所在的区间,再求k值.
人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第二节 基本不等式 (2)
≥2+2
2
2
·=4,当且仅当
1
∴0<a<1.∵a+≥2
错误.
2
2
2,当且仅当
1
a=b= 时,等号成立,故
2
1
1
1
1
B 错误; + =(a+b) +
1
a=b=2时,等号成立,故
1
·=2,当且仅当
A正
=2+ +
C 错误;∵a>0,b>0,a+b=1,
1
a=1 时,等号成立,∴a+取不到
2ab
(a,b∈R),当且仅当a=b时,等号成立.
(2)a+b≥2 (a>0,b>0),当且仅当 a=b 时,等号成立.
+ 2
(3)ab≤
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
2
+ 2 2 +
(4)
≤
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时,等号成立.
2
2
3.利用基本不等式求最值
1
(x+y) + 的形式,再展开利用基本不等式求得最值.即将欲求最值的目标
式中的常数用变量替换,构造符合基本不等式应用的条件.
对点训练3(2021重庆八中高三月考)若实数x,y满足x>2y>0,且xy=1,则
2 + 42
的最小值是
-2
.
答案 4
解析 x,y 满足 x>2y>0,且
2
C.若 + ≥2,则必有 a>0,b>0
2025年高考数学总复习课件16第二章第八节函数与方程
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f (x)＝0，有几个解就有几个零点． (2)函数零点存在定理：要求函数f (x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数的零点个数． (3)利用函数图象：作出两函数的图象，观察其交点个数即得零点个数．
A．(0，1)
B．(1，2)
√C．(2，3)
D．(3，4)
C 解析：(方法一)因为函数f (x)是增函数，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0， 所以由函数零点存在定理，得函数f (x)的零点位于区间(2，3)上．故选C． (方法二)函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的 图象的交点横坐标所在的范围．如图所示，可知函数f (x)的零点在(2，3)内．
b]上一定有实根
D．“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效
BC 解析：由结论知A错误，B正确，由函数零点存在定理可得C正确．由于
“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以D错误．故选BC．
第八节 函数与方程
核心考点
提升“四能”
判断函数零点所在的区间
1．函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 函数零点存在定理 1．(教材改编题)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数 零点的是( C )
第八节 函数与方程
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
人教高中数学必修一A版《函数的基本性质》函数的概念与性质说课复习(第2课时函数的最大值、最小值)
x＝5 时，有最大值 f(5)．
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
x2－x（0≤x≤2），
2．已知函数 f(x)＝x－2 1（x>2），
求函数 f(x)的最大值和
最小值．
解：作出 f(x)的图象如图．由图象可知，当 x＝2 时，f(x)取最 大值为 2； 当 x＝12时，f(x)取最小值为－14. 所以 f(x)的最大值为 2，最小值为－14.
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
函数 y＝2x2＋2，x∈N*的最小值是________． 解析：函数 y＝2x2＋2 在(0，＋∞)上是增函数， 又因为 x∈N*，所以当 x＝1 时， ymin＝2×12＋2＝4. 答案：4
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
图象法求函数的最值 已知函数 f(x)＝－2x，x∈（－∞，0），
本部分内容讲解结束
栏目 导引
3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
第3课时 函数奇偶性的概念
课件
第三章 函数的概念与性质
考点
学习目标
结合具体函数，了解函数奇偶 函数奇偶性的
性的含义，掌握判断函数奇偶 判断
性的方法
奇、偶函数的 了解函数奇偶性与函数图象对
图象
称性之间的关系
奇、偶函数的 会利用函数的奇偶性解决简单
3．若函数 f(x)＝1x在[1，b](b>1)上的最小值是14，则 b＝________． 解析：因为 f(x)在[1，b]上是减函数， 所以 f(x)在[1，b]上的最小值为 f(b)＝1b＝14， 所以 b＝4. 答案：4
栏目 导引
第三章 函数的概念与性质
4．已知函数 f(x)＝4x2－mx＋1 在(－∞，－2)上递减，在[－2， ＋∞)上递增，求 f(x)在[1，2]上的值域． 解：因为 f(x)在(－∞，－2)上递减，在[－2，＋∞)上递增，所 以函数 f(x)＝4x2－mx＋1 的对称轴方程为 x＝m8 ＝－2，即 m＝ －16. 又[1，2]⊆[－2，＋∞)，且 f(x)在[－2，＋∞)上递增．
2015届高考数学(浙江文)一轮复习课件：2.8函数与方程
2 1. 函数 f(x)＝ 2x－ －a 的一个零点在区间 (1,2)内，则实数 x a 的取值范围是( A．(1,3) ) C． (0,3) D．(0,2)
B．(1,2)
解析：选 C
由条件可知 f(1)f(2)<0，即 (2－2－a)(4－1－a)<0，
即 a(a－3)<0，解得 0<a<3.
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高频考点全通关——函数零点的应用 闯关四：及时演练，强化提升解题技能
3. 已知 f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c，且 f(a)＝f(b)＝f(c)＝0. 现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0； ④f(0)·f(3)<0.其中正确结论的序号是( A．①③
解析：选 C
) D．②④
B．①④
C．②③
由题设知 f(x)＝0 有 3 个不同零点． 设 g(x)＝x3－6x2＋9x，∴g(x)＝x(x2－6x＋9)＝x(x－3)2， 令 g(x)＝0，得 x＝0 或 x＝3，g′(x)＝3x2－12x＋9， 令 g′(x)>0，得 x<1 或 x>3；令 g′(x)<0，得 1<x<3， 所以 g(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上是单调递增的；在(1,3) 上是单调递减的．g(1)＝4，作出 g(x)的图象，如图所示． ∴f(x)＝g(x)－abc，f(x)有 3 个零点，需将 g(x)的图象向下 平移至如图所示位置．由图象观察可知，f(0)f(1)<0 且 f(0)f(3)>0.
分三步：①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理，得到参数所满 足的不等式；③解不等式，即得参数的取值范围． (2)已知函数零点的个数求参数．常利用数形结合法． (3)借助函数零点比较大小．要比较 f (a)与 f (b)的大小，通常先比较 f (a)、 f (b)与0的大小．
2.3二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)课件(人教版)
(3)-x2-3x+4<0.
1
答案：(1){x｜x<- ，或
2
x>2}
(3){x｜x<-4,或x>1}
(2){x｜x =2}
特别的，若一元二次不等式情势如下，则可直接写相
应解集：
1)(x-x1)(x-x2)>0(x1<x2)解集为 {x｜x<x1 ,或 x>x2} ;
2)(x-a)2<b (b>0)解集为 {x｜a- <x<a+ } .
数据分析
逻辑推理
数学运算
课堂小结
三、本节课训练的数学思想方法
函数结合
方程思想
转化与化归
分类讨论
基础作业：
.
02 能力作业：
.
01
03
拓展延伸：（选做）
例3. 求不等式-x2+2x-3 > 0 的解集 .
解：原不等式可化为x2-2x+3 < 0
因为判别式△=-8<0,
方程x2-2x+3 =0无实根.
原不等式的解集为.
方法总结：二次系数为负，先要化为正，再由判别式及函数
图像情况作出判断.
一元二次不等式求解流程图
练一练
求下列不等式的解集：
(1)2x2-3x>2;
a2-4<0,且判别式△=(a+2)2+4(a2-4)<0.
6
解得：-2≤a<
5
方
法
总
结
当二次系数含参变量时，要考虑它是否为零，
故需要分类讨论.
2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式
【走向高考】2015高考数学(通用版)二轮复习课件 专题1 第4讲 函数与方程、函数的应用
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
0 1 又 当 x>0 时 ， g′(x) ＝ － 1 ＋ x － x2 ＋ x2 ＋ „ － x2 0 1 3 0 1 3 －1 [ 1 · －－x2 ] －1＋x2 ＝ <0， ∴g(x)单 调 递 减 ， 1＋x 1＋x
＝
∴g(x)也只
有 一 个 零 点 ， 记 为
＋x4＋x5∈(π，10)．
专题一 第四讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
(理) ( 2 0 1 4 ·
x2 x3 x4 百校联考 ) 已知 f(x) ＝ 1 ＋ x － 2 ＋ 3 － 4 ＋„＋ F(x)＝f(x＋
0 1 3 0 1 3 x2 x2 x3 x4 x2 设 函 数 2 0 1 3 ，g(x)＝1－x＋ 2 － 3 ＋ 4 －„－2 0 1 3 ，
0 1 f′(x)＝1－x＋x2－x3＋„＋x2 ，当 x≤0 时，f′(x) > 0 ，当 x>0 0 1 3 0 1 3 1－－x2 1＋x2 时， f ′( x ) ＝ ＝ >0， ∴f′(x) > 0 在 R 上恒成立， 1＋x 1＋x
∴f(x)在 R 上为增函数， 又 f(－1)f( 0 ) < 0 ，∴f(x)只有一个零点，
专题一 第四讲
走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
1 2 4 7 .5 x－2x －0 5 . 0≤x≤5， ∴y＝ 2 －0 2 .5 x x>5. 1 所 以 把 利 润 表 示 为 年 产 量 的 函 数 关 系 是 1 2 4 7 .5 x－2x －0 5 . 0≤x≤5， y ＝ 2 －0 2 .5 x x>5. 1
二次函数与一元二次方程-(新教材)人教A版高中数学必修第一册上课用PPT
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
思考
(1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗？
x
(2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省 略吗？
提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式 不等式. (2)不可以，若a=0，就不是二次不等式了.
问题：一元二次不等式的求解方法是 什么？
（12－x）ｍ．由题意，
得（12－x）x＞20， 其中x∈｛x｜0＜x＜12｝． 整理得
一元二次 不等式
x²－12x＋20＜0，
x∈｛x｜0＜x＜12｝． ①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案．
“一元二次不等式”概念
一般地，我们把只含有 一个 未知数，并 且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一 元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是 ax2＋bx＋c>0 或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均 为常数，a≠0.
3
结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知， 原不等式的解集为{x2|x≠ } .
3
二次函数与一元二次方程-【新教材】 人教A 版高中 数学必 修第一 册优秀 课件
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变式训练
3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)mx2－5x<0 是一元二次不等式．( ✕ ) (2)若 a>0，则一元二次不等式 ax2＋1>0 无解．( ✕ ) (3)若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根为 x1，x2(x1<x2)，则 一元二次不等式 ax2＋bx＋c<0 的解集为{x|x1<x<x2}．( ✕ ) (4)不等式 x2－2x＋3>0 的解集为 R.( ✔ )
第三章函数的概念与性质(单元解读)课件高一数学(人教A版必修第一册)
运算求解
能求出简单函数的定义域；能根据函数的表示方法，求出给定自变量所对应的函数值； 能将函数单调性的证明转化为程序化的运算问题。
六、单元教学建议 1.做好初高中衔接 2.使学生经历完整的概念学习过程 3.要重视“事实”的教学价值
4.函数概念的教学要采用“归纳式” 5.函数性质的教学
七、单元学习难点及其突破 1. 判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A,B 必须是非空实数集. (2)A中任意一元素在B中有且只有一个元素与之对应. 对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的 不是函数关系.
a.数学抽象：函数的概念； b.逻辑推理：函数性质的由来； c.数学运算：求定义域、值域、函数解析式等； d.直观想象：抽象函数解不等式； e.数学建模：通过建立函数模型，借助函数与方程的思 想解决实际问题.
三：课时安排
本章数学约需12课时，具体分配如下(仅共参考):
3.1函数的概念及其表示
约4课时
8.函数单调性的应用 (1)函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单 调性，反过来，若已知函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围. (2)若一个函数在区间[a,b] 上是单调的，则此函数在这一单调区间内 的任意子集上也是单调的.
9. 利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性. (2)利用单调性求出最大(小)值. 2. 函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数f(x) 在区间[a,b] 上是增(减)函数，则f(x) 在区间[a,b] 上的最小(大)值是 f(a), 最大(小)值是f(b).
3.2函数的基本性质
约3课时
3.3幂函数
约1课时
3.4函数的应用(一)
一轮复习课时训练§2.8：函数与方程
第二章§8：函数与方程(与一轮复习课件对应的课时训练)满分100，训练时间50分钟一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若关于x 的方程x 3－1x＋k ＝0在x ∈(0,1)上有实数根，则k 的取值范围是 A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)2．函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋lnx ，x>0的零点个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．函数f(x)＝(x －4)ln (x －2)x －3的零点有 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个4．已知函数f(x)＝2x ＋x ，g(x)＝log 2x ＋x ，h(x)＝log 2x －2的零点依次为a ，b ，c ，则A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c5．已知f(x)是定义在[a ，b]上的函数，其图象是一条连续不断的曲线，且满足下列条件： ①f(x)的值域为G ，且G ⊆[a ，b]；②对任意不同的x ，y ∈[a ，b]，都有|f(x)－f(y)|<|x －y|.那么关于x 的方程f(x)＝x 在[a ，b]上的根的情况是A ．没有实数根B ．有且只有一个实数根C ．恰有两个不同的实数根D ．有无数个不同的实数根二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0f (x －1)，x>0，若函数y ＝f(x)－(x ＋a)有且只有两个零点，则a 的取值范围是________．7．已知函数f(x)＝e x ＋x －m 在(1,2)内有零点，g(x)＝ln(x －m)在(4,6)内有零点，若m 为整数，则m 的值为________．8．命题“函数f(x)＝4x －1的零点与g(x)＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25”的逆否命题是________(填“真”或“假”)命题．三、解答题：本大题共2小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知关于x的二次函数f(x)＝x2＋(2t－1)x＋1－2t.(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)＝1必有实数根；(2)若12＜t＜34，求证：方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根．10．（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）定义域为R的偶函数f(x)，当x＞0时，f(x)＝lnx－ax(x∈R)，方程f(x)＝0在R上恰有5个不同的实数解．(1)求x＜0时，函数f(x)的解析式；(2)求实数a的取值范围．参考答案及其解析一、选择题：本大题共5小题，每小题8分，共40分.1．解析：设f(x)＝x 3－1x，显然f(x)在(0,1)上为单调增函数，∴f(x)∈(－∞，0)， 而－k ＝x 3－1x，∴由题意得－k ＜0，k ＞0.∴k 的范围是(0，＋∞)． 答案：A2．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0x 2＋2x －3＝0得x ＝－3.又⎩⎪⎨⎪⎧x>0－2＋lnx ＝0得x ＝e 2，∴f(x)的零点个数为2. 答案：C3．解析：当f(x)＝0时，(x －4)ln(x －2)＝0.∴x －4＝0或ln(x －2)＝0，得x ＝4或x ＝3，而当x ＝3时f(x)无意义，∴f(x)的零点为x ＝4，一个．答案：B4．解析：由f(x)＝2x ＋x ＝0时，2x ＝－x ＞0，∴2a ＝－a ＞0，a ＜0.g(x)＝log 2x ＋x ＝0时，log 2x ＝－x ＜0，则log 2b ＝－b ＜0，∴0＜b ＜1.h(x)＝log 2x －2＝0时，log 2x ＝2，∴c ＝4.答案：A5．解析：设g(x)＝f(x)－x ，则由题意知g(x)在[a ，b]上连续．由条件①得g(a)＝f(a)－a ≥0，g(b)＝f(b)－b ≤0，故g(x)在[a ，b]上必有零点．又设g(x)在[a ，b]上存在两个或两个以上的零点，x 1，x 2是其中的两个零点，即g(x 1)＝f(x 1)－x 1＝0，g(x 2)＝f(x 2)－x 2＝0.则有f(x 1)－x 1＝f(x 2)－x 2，得|f(x 1)－f(x 2)|＝|x 1－x 2|与已知矛盾．故g(x)在[a ，b]上有且只有一个零点，即f(x)＝x 在[a ，b]上有且只有一个实数根．故选B 项．答案：B二、填空题：本大题共3小题，每小题8分，共24分．6．解析：作出y ＝f(x)及y ＝x ＋a 的图象如图所示．当a<1时y ＝f(x)与y ＝x ＋a 的图象有两个不同的交点，函数y ＝f(x)－(x ＋a)有两个零点．答案：(－∞，1)7．解析：f(x)＝e x ＋x －m 在(1,2)内有零点，又f(x)在(1,2)内是增函数，∴f(1)＜0，且f(2)＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧e ＋1－m ＜0e 2＋2－m ＞0， ∴e ＋1＜m ＜e 2＋2.∵g(x)的零点为x ＝m ＋1，∴4＜m ＋1＜6，∴3＜m ＜5，∴e ＋1＜m ＜5，m ∈Z ，∴m ＝4.答案：48．解析：∵g(x)＝4x ＋2x －2在R 上连续，且g(14)＝2＋12－2＝2－32＜0， g(12)＝2＋1－2＝1＞0，设g(x)的零点为x 0，则14＜x 0＜12，∴0＜x 0－14＜14. 又∵f(x)＝4x －1 的零点为14，∴原命题为真命题，∴逆否命题为真命题． 答案：真三、解答题：本大题共2小题，共36分．9.（本小题满分18分，（1）小问8分，（2）小问10分）已知关于x 的二次函数f(x)＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t.(1)求证：对于任意t ∈R ，方程f(x)＝1必有实数根；(2)若12＜t ＜34，求证：方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根． 解：(1)证明：由f(1)＝1知f(x)＝1必有实数根．(2)当12＜t ＜34时，因为f(－1)＝3－4t ＝4(34－t)＞0， f(0)＝1－2t ＝2(12－t)＜0， f(12)＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t ＞0， 所以方程f(x)＝0在区间(－1,0)及(0，12)内各有一个实数根． 10.（本小题满分18分（1）小问8分，（2）小问10分）解：(1)设x ＜0，则－x ＞0.∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝ln(－x)＋ax.(2)∵f(x)为偶函数，∴f(x)＝0的根关于原点O 对称．由f(x)＝0恰有5个不同的实数解，知5个实根中有两个正根，两个负根，一个零根且两个正根和两个负根互为相反数，∴当x ＞0时，f(x)图象与x 轴恰有两个不同的交点．下面研究x ＞0时的情况：∵f ′(x)＝1x－a ，∴当a ≤0时，f ′(x)＞0，x ∈(0，＋∞)， 即f(x)＝lnx －ax 在(0，＋∞)上为单调增函数，故f(x)＝0在(0，＋∞)上不可能有两实根．∴a ＞0，令f ′(x)＝0，得x ＝1a. 当0＜x ＜1a时，f ′(x)＞0，f(x)递增； 当x ＞1a时，f ′(x)＜0，f(x)递减． ∴f(x)在x ＝1a处取得极大值－lna －1. 又当x →0时，f(x)→－∞；当x →＋∞，f(x)→－∞，要使x ＞0时，f(x)与x 轴有两个交点，当且仅当－lna －1＞0，解得0＜a ＜1e ，故实数a 的取值范围为(0，1e )．。
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品课件 第4章 指数函数与对数函数 函数的零点与方程的解 (2)
-2,1
.
探究点二
判断函数零点所在的区间
【例2】 (1)二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的部分对应值如下表:
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
y6Βιβλιοθήκη m-4-6
-6
-4
n
6
不求a,b,c的值,判断方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根所在区间是( A )
A.(-3,-1)和(2,4)
B.(-3,-1)和(-1,1)
2
∴函数 f(x)=x-log 1 x+1 在(0,+∞)上单调递增,
2
1 1
1
3
∵f(4)=4-log 1 4+1=-4<0,
2
1
1
1 1
1
4
1 1
1
1
3
3
f(3)=3-log 1 3+1=3-log23=log216 -log227 <0,f(2)=2-log 1 2+1=2>0,
2
2
∴函数 f(x)=x-log 1 x+1
f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),
使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
名师点睛
定理要求具备两个条件:(1)函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的;
(2)f(a)f(b)<0.两个条件缺一不可.
思考辨析
1.若f(a)f(b)>0,则f(x)在[a,b]上有零点吗?
3 2
解析 解方程 6x +x-1=0,即(3x-1)(2x+1)=0,解得
高三数学一轮复习精品教案2：2.8函数与方程教学设计
第八节函数与方程1．函数零点(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间『a，b』上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系续表3.二分法对于在区间『a，b』上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．1．(人教A 版教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2，4)B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(2.5，3)『解析』 由零点存在性定理知x 0∈(2，3)，故选C. 『答案』 C2．在下列区间中，函数f (x )＝e x ＋4x －3的零点所在的区间为( ) A ．(－14，0) B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)『解析』 显然f (x )＝e x ＋4x －3的图象连续不间断，又f (12)＝e －1＞0，f (14)＝4e －2＜0.∴由零点存在定理知，f (x )在(14，12)内存在零点．『答案』 C3．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，－12『解析』 由题意知2a ＋b ＝0， 即b ＝－2a .令g (x )＝bx 2－ax ＝0得x ＝0或x ＝a b ＝－12，故选C.『答案』 C4．(2012·北京高考)函数f (x )＝x 12－(12)x 的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3『解析』 在同一平面直角坐标系内作出y 1＝x 12与y 2＝(12)x 的图象如图所示，易知，两函数图象只有一个交点．因此函数f (x )＝x 12－(12)x 只有1个零点．『答案』 B5．(2013·德州调研)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0，1)上有零点，则实数a 的取值范围是________．『解析』 函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在(0，1)上递增． 由已知条件f (0)f (1)＜0，即a (a ＋2)＜0，解得－2＜a ＜0. 『答案』 (－2，0)(1)(2012·天津高考)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(2)(2013·湛江模拟)设函数y ＝x 3与y ＝(12)x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间(端点值为连续整数的开区间)是________．『思路点拨』 (1)先根据零点存在性定理证明有零点，再根据函数的单调性判断零点的个数．(2)画出两个函数的图象寻找零点所在的区间．『尝试解答』 (1)因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0，1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)设f (x )＝x 3－(12)x －2，则x 0是函数f (x )的零点．在同一坐标系下画出函数y ＝x 3与y ＝(12)x－2的图象，如图所示． ∵f (1)＝1－(12)－1＝－1＜0，f (2)＝8－(12)0＝7＞0∴f (1)f (2)＜0， ∴x 0∈(1，2)．『答案』 (1)B (2)(1，2),确定函数f (x )零点所在区间的常用方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上；(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间『a ，b 』上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．(1)函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内( )A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点(2)(2013·汕头模拟)函数f (x )＝ln(x －2)－2x 的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)『解析』 (1)令f (x )＝x －cos x ＝0，则x ＝cos x ，设函数y ＝x 和y ＝cos x ，在同一坐标系下做出它们在『0，＋∞)的图象，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f (x )＝x －cos x 在『0，＋∞)内有且仅有一个零点．(2)由题意知函数f (x )的定义域为{x |x ＞2}，∴排除A. ∵f (3)＝－23＜0，f (4)＝ln 2－12＞0，f (5)＝ln 3－25＞0，∴f (3)·f (4)＜0，f (4)·f (5)＞0，∴函数f (x )的零点在(3，4)之间，故选C.『答案』(1)B(2)C若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，参考数据如下：那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.1)为()A．1.25B．1.375C．1.406 25 D．1.5『思路点拨』(1)二分法求近似零点，需将区间一分为二，逐渐逼近；(2)必须满足精确度要求，即|a－b|＜0.1.『尝试解答』根据题意知函数的零点在1.406 25至1.437 5之间，又|1.437 5－1.406 25|＝0.031 25＜0.1，故方程的一个近似根可以是1.406 25.『答案』C,1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y＝f(x)的图象在『a，b』内连续不间断，②f (a )·f (b )＜0.(2)在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计算次数．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1，2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．『解析』 在(1，2)内取中点x 0＝32，令f (x )＝x 3－2x －1，∵f (32)＝278－4<0，f (2)＝8－4－1>0，f (1)＜0，∴f (x )＝0的根在(32，2)内．『答案』 (32，2)(2013·临沂模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)． (1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．『思路点拨』 解答(1)可用基本不等式求出最值或数形结合法求解，(2)转化为两个函数f (x )与g (x )有两个交点，从而数形结合求解．『尝试解答』 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e 2x ≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是『2e ，＋∞)，因此，只需m ≥2e ，则g (x )＝m 就有零点．故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)． 法二 作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.故当g (x )＝m 有实数根时，m 的取值范围为『2e ，＋∞)．(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)的大致图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2，∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2，故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．(2013·淮南模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋2x －1|，x ≤0，2x －1＋a ， x ＞0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为________．『解析』 由于当x ≤0，f (x )＝|x 2＋2x －1|时图象与x 轴只有1个交点，即只有1个零点，故由题意只需方程2x －1＋a ＝0有1个正根即可，变形为2x ＝－2a ，结合图形只需－2a ＞1⇒a ＜－12即可．『答案』 a ＜－12一个口诀用二分法求函数零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看．同号去，异号算，零点落在异号间．周而复始怎么办？精确度上来判断．两个防范1.函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的实根．2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．三种方法函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间『a ，b 』上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．从近两年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型以客观题为主，主要考查学生转化与化归及函数与方程的思想．思想方法之五 用函数与方程思想解决图象公共点问题(2012·山东高考)设函数f (x )＝1x，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)．若y ＝f (x )的图象与y ＝g (x )的图象有且仅有两个不同的公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则下列判断正确的是( )A ．当a <0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2>0B ．当a <0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2<0C ．当a >0时，x 1＋x 2<0，y 1＋y 2<0D ．当a >0时，x 1＋x 2>0，y 1＋y 2>0『解析』 由题意知函数f (x )＝1x ，g (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)的图象有且仅有两个公共点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，等价于方程1x ＝ax 2＋bx (a ，b ∈R ，a ≠0)有两个不同的根x 1，x 2，即方程ax 3＋bx 2－1＝0有两个不同非零实根x 1，x 2，因而可设ax 3＋bx 2－1＝a (x －x 1)2(x －x 2)，即ax 3＋bx 2－1＝a (x 3－2x 1x 2＋x 21x －x 2x 2＋2x 1x 2x －x 2x 21)，∴b ＝a (－2x 1－x 2)， x 21＋2x 1x 2＝0，－ax 2x 21＝－1，∴x 1＋2x 2＝0，ax 2>0，当a >0时，x 2>0，∴x 1＋x 2＝－x 2<0，x 1<0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2>0.当a <0时，x 2<0，∴x 1＋x 2＝－x 2>0，x 1>0， ∴y 1＋y 2＝1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2<0.『答案』 B易错提示：(1)不能把函数图象的交点问题转化为方程的根的问题，找不到解决问题的切入点．(2)不能把方程根的情况与相应函数的极值大小联系起来，思维受阻，无法解答． 防范措施：(1)明确函数图象的交点、方程的根与函数的零点三者之间的关系是解决问题的关键所在．(2)方程的根的情况与函数的极值的大小有密切的关系，求解时应注意寻找它们之间的关系．1．(2012·湖北高考)函数f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7『解析』 根据x 2的范围判断y ＝cos x 2在区间『0，4』上的零点个数．当x ＝0时，f (x )＝0.又因为x ∈『0，4』，所以0≤x 2≤16.因为5π<16<11π2，所以函数y＝cos x 2在x 2取π2，3π2，5π2，7π2，9π2时为0，此时f (x )＝0，所以f (x )＝x cos x 2在区间『0，4』上的零点个数为6.『答案』 C2．(2013·威海模拟)设方程log 4x －(14)x ＝0，log 14x －(14)x ＝0的根分别为x 1、x 2，则( )A ．0＜x 1x 2＜1B ．x 1x 2＝1C ．1＜x 1x 2＜2D ．x 1x 2≥2『解析』 在同一坐标系内画出函数y ＝(14)x ，y ＝log 4x ，y ＝log 14x 的图象，如图所示，则x 1＞1＞x 2＞0，由log 4x 1＝(14)x 1，log 14x 2＝(14)x 2得log 4x 1x 2＝(14)x 1－(14)x 2＜0，∴0＜x 1x 2＜1，故选A. 『答案』 A。
人教A版高中数学必修1第三章3.1.2用二分法求方程的近似解课件
快快动手吧！
借助计算器或计算机用二分法求方程 2+x 3x
=7的近似解（精确到0.1）
20:00:06
20
1.二分法的定义；
2.用二分法求函数零点近似值的步骤。
记忆口诀：定区间，找中点，中值计算两边看. 同号去，异号算，零点落在异号间. 周而复始怎么办? 精确度上来判断.
3.作业：p92 第3、5题
20:00:06
17
例题分析
例1.用二分法求函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3) 内的零点的近似解(精确度0.1)
请看下面的表格：
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18
区间
端点的符号
中点的值 中点函数值 的符号
（2，3） f(2)<0, f(3)>0 2.5 f(2.5)<0
(2.5,3) f(2.5)<0,f(3)>0 2.75 f(2.75)>0
7
分析：如何求方程 x3+3x-1=0 的近似解 x1. （精确度0.1）
-
+
f(0)<0，f(1)>0 0<x1<1
0
1
-
+
f(0)<0，f(0.5)>0 0<x1<0.5
0
- +0.5
1
0 0.25 0.5
1 f(0.25)<0，f(0.5)>0 0.25<x1<0.5
-+
0 0.25 0.375
x0∈(a,c)；
（3）若f(c)·f(b)<0 ，则令a=c，此时零点
x0∈(c,b).
20:00:06
16
第二章 一元二次函数、方程和不等式章节复习与小结课件(人教版)
方法二：令g(x)=x2-2ax+2-a,
由已知，得x2-2ax+2-a≥0在［-1，+∞)上恒成立，
0,
即Δ=4a2-4(2-a)≤0或 a 1解, 得-3≤a≤1.
g 1 0.
即所求a的取值范围为［-3,1］.
利用基本不等式求最值 【名师指津】 利用基本不等式求最值的方法
基本不等式通常用来求最值问题：一般用a+b≥ 2 ab (a>0, b>0)解“定积求和，和最小”问题，用ab≤ (a b)2 解
f
2 0, 2 0
解得 1 7 x 1 3 .
2
2
即x的取值范围是（ 1 7 ,1） . 3
2
2
课堂小结
y
y
x1 O x2 x
O x1 =x2 x
y Ox
方程ax2 + bx + c = 0 有两个不等
(a > 0)的根
实根 x1 < x2
有两个相等实根
x1 = x2
无实根
ax2 + bx + c > 0 (a > 0)的解集
ax2 + bx + c < 0 (a > 0)的解集
x x < x1或x > x2
性质6同向同正可乘性：
a c
b dLeabharlann 00⇒_a_c_>__b_.d
性质7可乘方性：a>b>0⇒_a_n_>__bn(n∈N，n≥1).
性质8可开方性：a>b>0⇒ n a n b (n∈N，n≥2).
知识梳理
Δ= b2 - 4ac
2.一元二次不等式及其解法
人教A版数学(文)复习课件：2.7函数的图象
【互动探究】若本例题(1)中，函数y=f(2x+1)是“偶函数”改
为“奇函数”，则函数y=f(2x)的图象关于下列哪个点成中心
对称( )
(A)(1，0)
(C)( 1 ，0)
2
(B)(-1，0) (D)( 1 ，0)
2
【解析】选C.∵y=f(2x+1)是奇函数，
∴f(2x+1)的图象关于原点(0，0)对称. 又f(2x)的图象可由f(2x+1)的图象向右平移 1 个单位得到，
_______.
【解析】∵y=f(x)的对称轴为x=0， 又y=f(x) 左 移y=f(x+1)，
一个单位
∴y=f(x+1)的一条对称轴为x=-1. 答案：x=-1
4.若关于x的方程|x|=a-x只有一个解，则实数a的取值范围是 _______. 【解析】在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象， 如图所示：
【拓展提升】1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调 性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究， 但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象研究方程根的个数 当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根， 方程f(x)=0的根就是函数f(x)图象与x轴的交点的横坐标，方 程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象的交点的横坐标. 3.利用函数的图象研究不等式 当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等 式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结 合求解.
【思路点拨】求解本题先由f(4)=0,求得函数解析式，再根据 解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求 解(2)(3)(4)(5)四个小题.
高三数学第一轮复习课件(ppt)目录
第一章
集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念与运算 1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
目录 CONTENTS
第二章
函数
2.1 函数及其表示 2.2 函数的单调性与最值 2.3 函数的奇偶性与周期性 2.4 一次函数、二次函数 2.5 指数与指数函数 2.6 对数与对数函数 2.7 幂函数 2.8 函数的图象及其变换 2.9 函数与方程 2.10 函数模型及其应用
12.1 算法与程序框图 12.2 基本算法语句 12.3 合情推理与演绎推理 12.4 直接证明与间接证明 12.5 数学归纳法 12.6 数系的扩充与复数的引入
目录 CONTENTS
选修4系列
选修4-1 几何证明选讲(选考) 选修4-4 坐标系与参数方程(选考) 选修4-5 不等式选讲(必考)
目录 CONTENTS
第十一章
概率与统计
11.1 事件与概率 11.2 古典概型与几何概型 11.3 离散型随机变量及其分布列 11.4 二项分布及其应用 11.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 11.6 随机抽样与用样本估计总体 11.7 变量间的相关关系
目录 CONTENTS
第十二章 算法初步、推理与证明、复数
目录 CONTENT第S五章
平面向量
5.1 平面向量的概念及其线性运算
5.2 平面向量的基本定理及坐标运算
5.3 平面向量的数量积及其应用
第六章
数列
6.1 数列的概念与简单表示法 6.2 等差数列及其前n项和 6.3 等比数列及其前n项和 6.4 数列的通项与求和 6.5 数列的综合应用
目录 CONTENTS
人教A版高中数学必修一课件 《章末复习提升课》函数的概念与性质
1．已知二次函数 f(x)满足 f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，则该二次函
数的解析式为________． 解析：设二次函数的解析式为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由题意得
ca＝＋1b，＋c＝2， 4a＋2b＋c＝5，
a＝1， 解得b＝0，故 f(x)＝x2＋1.
c＝1， 答案：f(x)＝x2＋1
函数的单调性和奇偶性
已知 f(x)＝x－x a(x≠a)． (1)若 a＝－2，试证明 f(x)在(－∞，－2)内单调递增； (2)若 a>0 且 f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求 a 的取值范围．
【解】 (1)证明：∀x1<x2<－2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1x＋1 2－x2x＋2 2＝（x12＋（2x）1－（xx22）＋2）. 因为(x1＋2)(x2＋2)>0，x1－x2<0， 所以 f(x1)<f(x2)， 所以 f(x)在(－∞，－2)内单调递增．
－x2－ax－5（x≤1），
2．已知函数 f(x)＝ax（x>1）
是 R 上的增函数，
求 a 的取值范围．
解：因为 f(x)在 R 上是单调递增的函数，所以 f(x)需满足在区间 (－∞，1]和(1，＋∞)上都是单调递增的，并且端点处(x＝1)的 函数值－12－a－5≤a1，即 a≥－3；f(x)＝－x2－ax－5 的对称轴 为直线 x＝－a2，f(x)在(－∞，1]上单调递增，所以－a2≥1，即 a≤ －2；f(x)＝ax在(1，＋∞)上单调递增，所以 a<0.综上所述，a 的 取值范围是[－3，－2]．
章末复习提升课
函数的定义域和值域
(1)函数 f(x)＝ 31x－2 x＋(3x－1)0 的定义域是(
第4章指数函数与对数函数(复习课件)高一数学(人教A版必修第一册)课件
y=ax为减函数,则0<a<1,y=loga(-x)为增函数,与C项中
y=loga(-x)的图象不符.
答案:B
典例
例3（2）若直线y=2a与函数y=|ax-1|+1(a>0,且a≠1)的图象
有两个公共点,则a的取值范围是
.
解析:当a>1时,通过平移变换和翻折变换可得如图(1)所示的图
往往是选择题,常借助于指数函数、对数函数的图象特
征来解决;二是判断方程的根的个数时,通常不具体解方
程,而是转化为判断指数函数、对数函数等图象的交点
个数问题.这就要求画指数函数、对数函数的图象时尽
量准确,特别是一些关键点要正确,比如,指数函数的图象
必过点(0,1),对数函数的图象必过点(1,0).
题型四 函数的零点与方程的根
4. 恒成立问题，采用分离参数，转化为求最值问题.
专题三
指数函数、对数函数图象的应用
典例
例3（1）已知a>0,且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是( )
解析:由y=loga(-x)的定义域为(-∞,0)知,图象应在y轴左
侧,可排除A,D选项.当a>1时,y=ax应为增函数,y=loga(-x)
f(3)＝20，g(3)≈6.7，h(3)≈12.5.
由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理．
(2)因为h(x)＝30|log2x－2|在x≥4时是增函数，h(16)＝60，
所以整治后有16个月的污染度不超过60.
以有2m-3<1,解得m<2.故实数m的取值范围为(-∞,2).
解题技能
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与x轴的 (x1,0),(x2,0) _____________ 交点
零点 x1,x2
(x1,0)
x1
无交点
无
3.二分法 (1)二分法的定义. f(a)·f(b)＜0 的函数 对于在区间［a，b］上连续不断且______________ 一分为二 ， y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________ 使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法 叫做二分法.
3
+3-3=1>0,又因为函数f(x)在(0，+∞)上是连续且单调递增 的，所以方程log3x+x=3的解所在的区间为(2，3).
【拓展提升】确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)=0易解时，可先解方程，再看 求得的根是否落在给定区间上. (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间 ［a,b］上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有， 则函数y=f(x)在区间(a，b)内必有零点. (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x轴在给定区间 上是否有交点来判断.
【解析】选C.由零点存在性定理知x0∈(2,3).
3.在下列区间中，函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(
1 ，） 0 4 1 1 C （ ，） 4 2
)
A（
B (0， )
1 4 1 3 D ( ，) 2 4
【解析】选C.显然f(x)=ex+4x-3的图象连续不断，又
2.用二分法求函数y=f(x)在区间(2，4)上的近似零点，验证 f(2)·f(4)＜0，给定精确度ε =0.01，取区间(2，4)的中点
x1 24 3, 计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0所在的区 2
间为(
) (B)(3，4) (D)(2.5，3)
(A)(2，4) (C)(2，3)
(2)用二分法求函数零点近似值的步骤. f(a)·f(b)＜0 给定精确 第一步：确定区间［a,b］,验证______________, 度ε .
第二步：求区间(a,b)的中点c.
第三步:计算f(c),
①若f(c)=0,则c就是函数的零点； ②若f(a)·f(c)＜0,则令b=c(此时零点x0∈(a,c)); ③若f(c)·f(b)＜0,则令a=c(此时零点x0∈(c,b)).
(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac＜0时没有零点.(
(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似
)
值.(
)
【解析】(1)错误.函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐 标. (2)错误.函数f(x)=x2-x，在(-1，2)上有两个零点，但 f(-1)f(2)＞0. (3)正确.当b2-4ac＜0时，二次函数图象与x轴无交点，从而二
第四步：判断是否达到精确度ε ：即若|a-b|＜ε ,则得到零点
近似值a(或b)，否则重复第二、三、四步.
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )
(2)函数y=f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)， 则f(a)f(b)＜0.( )
(D)2， 1
2
【解析】选C.由题意知2a+b=0，即b=-2a，令g(x)=bx2-ax=0 得x=0或 x a 1 ，故选C.
b 2
考向 1
函数零点的求解与判断
【典例1】(1)(2012·天津高考)函数f(x)=2x+x3-2在区间(0， 1)内的零点个数是( (A)0 (B)1 ) (D)3
次函数没有零点.
(4)错误.当函数零点左右两侧函数值同号时，无法使用二分法
求零点的近似值.
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
1.如图所示的函数图象与x轴均有交点，但不能用二分法求交 点横坐标的是( )
【解析】选A.二分法适用于函数图象在［a，b］上连续不断且
f(a)f(b)＜0的函数，观察图象知选A.
【规范解答】(1)选B.因为f′(x)=2xln 2+3x2＞0,x∈(0,1),
所以函数f(x)=2x+x3-2在(0，1)上单调递增，且f(0)=1+0-2
=-1＜0，f(1)=2+1-2=1＞0，所以有1个零点.
(2)设f(x)=x3-( )x-2，则x0是函数f(x)的零点，在同一坐标
系下画出函数y=x3与y=( )x-2的图象如图所示.
第八节 函数与方程
1.函数零点 f(x)=0 的实数x叫做 (1)定义：对于函数y=f(x)(x∈D)，把使_______
函数y=f(x)(x∈D)的零点.
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x) x轴 有交点⇔函数y=f(x)有_____. 零点 的图象与____
(3)零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间［a，b］上的图
f(a)·f(b)＜0 ，那么函数 象是连续不断的一条曲线，并且有______________
(a，b) 内有零点，即存在x0∈(a,b),使得 y=f(x)在区间_______ f(x0)=0 _______.
2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ >0 二次函数 y=ax2+bx +c(a>0) 的图象 Δ =0 Δ <0
1 2
1 2
∵f(1)=1-( )-1=-1＜0, f(2)=8-( )0=7＞0, ∴f(1)f(2)＜0,
1 2
1 2
∴x0∈(1,2).
答案：(1，2)
【互动探究】把本例题(2)改为“方程log3x+x=3的解为x0,若 x0∈(n，n+1)，n∈N，试判断其解所在的区间”. 【解析】构造函数，转化为求函数的零点所在的区间 .令 f(x)=log3x+x-3,则f(2)=log32+2-3= log 3 2 <0,f(3)=log33
1 1 f（ ） e 1 ＞0，f（ ） 4 e 2＜0. 2 4
1 ∴由零点存在性定理知，f(x)在 ( 1 ， ) 内存在零点. 4 2
4.若函数f(x)=ax+b有一个零点是2，那么函数g(x)=bx2ax(b≠0)的零点是( (A)0，2 (C)0， 1
2
ห้องสมุดไป่ตู้
) (B)0，
1 2
1 x-2 ) 的图象的交点为 2
(C)2
(2)(2013·湛江模拟)设函数y=x3与y=(
(x0,y0),若x0∈(n,n+1),n∈N,则x0所在的区间是________.
【思路点拨】(1)根据零点存在性定理证明有零点，根据函数 的单调性判断零点的个数.
(2)画出两个函数的图象寻找零点所在区间 .