12 多条件统计手机销量
售店铺十二大数据分析指标
零售店铺十二大数据分析指标一、营业额1营业额反映了店铺的生意走势.针对以往销售数据,结合地区行业的发展状况,通过对营业额的每天定期跟进,每周总结比较,以此来调整促销及推广活动.2为店铺及员工设立销售目标.根据营业额数据,设立店铺经营目标及员工销售目标,将营业额目标细分到每月丶每周丶每日丶每时段丶每班次丶每人,让员工的目标更加清晰；为员工月度目标达成设立相应的奖励机制,激励员工冲上更高的销售额；每天监控营业额指标完成进程情况,当目标任务未能达成时,应立即推出预备方案,如月中的目标进程不理想时应及时调整人员丶货品丶促销方案.3比较各分店销售状况.营业额指标有助于比较各分店的销售能力,从而为优化人员结构及货品组合提供参考.二、分类货品销售额分类货品销售额即店铺中各个品类货品的销售额,如文胸丶裤袜丶家居等.通过分类货品销售额指标的分析,可以了解：1各分类货品销售情况及所占比例是否合理,为店铺的订货丶组货及促销提供参考依据,从而作出更完善的货品调整,使货品组合更符合店铺实际消费情况.2了解该店或该区的消费取向,即时作出补货丶调货的措施,并针对性调整陈列,从而优化库存及利于店铺利润最大化.对于销售额低的品类,则应考虑在店内加强促销,消化库存.3比较本店分类货品销售与地区的正常销售比例,得出本店的销售特性,对慢流品类应考虑多加展示,同时加强导购对慢流品类的重点推介及搭配销售能力.三、前十大畅销款1、定期统计分析前十大畅销款每周/月/季,了解畅销的原因及库存状况.2、根据销售速度及周期对前十大畅销款设立库存安全线,适当做出补货或寻找替代品措施.3、教导员工利用畅销款搭配平销款或滞销款销售,带动店铺货品整体的流动.四、前十大滞销款1、定期统计分析前十大滞销款每周/月/季,了解滞销的原因及库存状况.2、寻找滞销款的卖点,并加强对导购的产品培训,提升导购对滞销品的销售技巧.3、调整滞销品的陈列方式及陈列位置,避免在店铺的角落,并配合人员进行重点推介.4、制定滞销品的销售激励政策有选择性实施,如卖出一件滞销款,奖励元……5、对滞销品做出调货/退货,或者是促销的准备.五、连带率销售件数/销售单数连带率 = 销售总数量÷销售小票数量低于说明整体附加存在严重问题个人销售连带率= 个人销售总数量÷个人小票总量低于说明个人附加存在问题1、连带率的高低是了解店铺人员货品搭配销售能力的重要依据.2、连带率低于,则应立即提升员工的附加推销力度,并给员工做附加推销培训,提升连带销售能力.3、当连带率低时,应调整关联产品的陈列位置,如把可搭配的产品陈列在相近的位置,在销售时起到便利搭配的作用,提升关联销售.4、当连带率低时,应检查店铺所采取的促销策略,调整合适的促销方式,鼓励顾客多买.六、坪效每天每平米的销售额1、例如,店铺月坪效=月销售额/营业面积/天数.此指标能分析店铺面积的生产力,深入了解店铺销售的真实情况.2、坪效可以为订货提供参考,及定期监控确认店内库存是否足够,坪效的分析意义也意味着增加有效营业面积则可增加营业额.3、坪效低的原因通常有：员工销售技能低；陈列不当；品类缺乏；搭配不当等.4、坪效低则应思考：橱窗及模特是否大部分陈列了低价位的产品导购是否一致倾向于卖便宜类的产品黄金陈列位置的货品销售反应是否不佳店长是否制定了每周的主推货品,并对员工做主推货品的卖点培训七、人效每天每人的销售额1、例如,店铺月人效=月销售额/店铺总人数/天数.此指标反映了店铺人员的整体销售素质高低与否及人员配置数量是否合理等.2、人效过低,则须检查员工的产品知识及销售技巧是否存在不足,或排班不合理,排班应保证每个班都有销售能力强的导购,能提供人效的指标.3、根据员工最擅长的产品安排对应的销售区域,能有效提升人效.八、客单价销售额/销售单数1、客单价的高低反映了店铺顾客消费承受能力的情况,多订适合消费者承受力价位的产品,有助于提升营业额.2、比较店铺中货品与客人承受能力是否相符,将高于平均单价的产品在卖场做特殊陈列 .3、用低于平均单价的产品吸引实际型顾客,丰富了顾客类型自然提升了销售额.4、增加以平均单价为主的产品数量和类别,将平均单价做为货品订货的参考价格.5、提升中高价位的产品销售,是提升客单价的重要方法,店长应培训员工如何做中高价位产品的销售及如何回应顾客价位高的异议.九、货品流失率货品流失率=缺失货品吊牌、减少货品流失率的方法合理布局人员在卖场的站位.严格对待交接班工作,认真清点货品数目,对出现问题及时做检查和总结,以避免错误重复出现.在客流高峰期时,员工应提高警惕性,加强配合力度,以杜绝货品无谓流失.十、存销比存销比=库存件数月销售件数1、存销比过高,意味着库存总量或结构不合理,资金效率低.2、存销比过低,意味着库存不足,生意难于最大化.3、存销比反映总量问题,总量合理未必结构合理,月存销比维持在3—4之间是比较良好的.4、存销比细分包括：各品类货品存销比丶新老货存销比丶款式存销比等.十一、VIP占比VIP消费额/营业额1、此指标反映的是店铺VIP的消费情况,从侧面表明店铺市场占有率和顾客忠诚度,考量店铺的综合服务能力和市场开发能力.2、一般情况下,VIP占比在45%-55%之间比较好；这时公司的利益是最大化的,市场拓展与顾客忠诚度都相对正常,且业绩也会相对稳定.若是低于这个数值区间,就表示有顾客流失,或者是市场认可度差,店铺的服务能力不佳；若是VIP高于数值区间,则表示开发新客户的能力太弱.假若是先高后低,就表示顾客流失严重.十二、销售折扣营业额/销售吊牌金额1、销售折扣是反映店铺折让的情况,直接影响店铺的毛利额,是利润中很重要的指标.2、店铺的营业额很高,并不代表着利润高,应参考销售折扣的高低,若销售折扣比较低,则说明店铺在做促销,店铺的毛利率是很低的,所以一个店铺毛利的高低是和营业额及销售折的高低有关的.。
专题21.4 二元二次方程方程(重点练)-2020-2021学年八年级数学下册课堂专练(沪教版)
第二十一章代数方程专题21.4 二元二次方程（重点练）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.方程x3＝x的解是（）A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或﹣1【答案】D【分析】把方程的左边因式分解，结果有理数的乘法法则得到方程的解．【解答】解：x3＝x，x3﹣x＝0，x（x+1）（x﹣1）＝0，x1＝0，x2＝﹣1，x3＝1，故选：D．【知识点】高次方程2.下列说法中正确的是（）A．x4+1＝0是二项方程B．x2y﹣y＝2是二元二次方程C ．﹣＝1是分式方程D ．x2﹣1＝0是无理方程【答案】A【分析】根据整式方程、分式方程和无理方程的概念逐一判断即可得．【解答】解：A．方程是一般式，且方程的左边只有2项，此方程是二项方程，此选项正确；B．x2y﹣y＝2是二元三次方程，此选项错误；C ．﹣＝1是一元一次方程，属于整式方程，此选项错误；D ．x2﹣1＝0是一元二次方程，属于整式方程；故选：A．【知识点】高次方程、无理方程、分式方程的定义3.下列方程组中，属于二元二次方程组的是（）A ．B ．C．D．【答案】A【分析】根据整式方程与分式方程及无理方程逐一判断即可得．【解答】解：A．此方程组是二元二次方程组，符合题意；B．此方程组的第一个方程是分式方程，不符合题意；C．此方程组是二元一次方程组，不符合题意；D．此方程组第二个方程是无理方程，不符合题意；故选：A．【知识点】无理方程、高次方程4.方程组有唯一解，则m的值是（）A．B．C．D．以上答案都不对【答案】C【分析】先利用代入消元法消去y得到关于x的一元二次方程，然后根据判别式的意义得到关于m的一元二次方程，再解关于m的方程即可．【解答】解：，由②得y＝x+m③，把③代入①得x2+（x+m）2﹣1＝0，整理得2x2+2mx+m2﹣1＝0，△＝（2m）2﹣4•2•（m2﹣1）＝0，解得m＝±．故选：C．【知识点】高次方程5.已知n是奇数，m是偶数，方程有整数解x0、y0．则（）A．x0、y0均为偶数B．x0、y0均为奇数C．x0是偶数，y0是奇数D．x0是奇数，y0是偶数【答案】C【分析】运用n是奇数，m是偶数，分析方程的奇偶性，从而确定x0，y0的奇偶性．【解答】解：方程有整数解x0、y0，∴2018x0+3y02＝m，13x0+28y0＝m∵x0、y0为整数，∴2018x0为偶数，28y0为偶数，∵n是奇数，m是偶数，∴3y02是奇数，13x0为偶数，∴y0是奇数，x0为偶数，故选：C．【知识点】高次方程二、填空题（共5小题）6.方程x3﹣8x＝0的实根是﹣．，【分析】利用因式分解法可解方程．【解答】解：x3﹣8x＝0，x（x2﹣8）＝0，x＝0，x2﹣8＝0，x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2，故答案为：x1＝0，x2＝2，x3＝﹣2．【知识点】高次方程7.可以根据方程x2﹣4xy﹣5y2＝0的特点把它化成两个二元一次方程，它们分别是﹣、．【答案】【第1空】x-5y=0【第2空】x+y=0【分析】利用因式分解法先把方程左边化成两个因式的积，再根据两式积为0，要么是第一式为0，要么是第二式为0，得出两个二元一次方程．【解答】解：∵x2﹣4xy﹣5y2＝0，∴（x﹣5y）（x+y）＝0，∴x﹣5y＝0或x+y＝0，故答案为：x﹣5y＝0；x+y＝0．【知识点】高次方程8.方程2x4＝32的根是．【答案】x=±2【分析】解2x4＝32得x2＝4或x2＝﹣4（舍），再解x2＝4可得．【解答】解：2x4＝32，x4＝16，x2＝4或x2＝﹣4（舍），∴x＝±2，故答案为：x＝±2．【知识点】高次方程9.把方程x2+4xy﹣12y2＝0化为两个二元一次方程是﹣．【答案】（x+6y）（x-2y）=0【分析】根据因式分解即可将原方程化为两个二元一次方程的乘积．【解答】解：∵x2+4xy﹣12y2＝（x+6y）（x﹣2y）∴原方程化为：（x+6y）（x﹣2y）＝0，故答案为：（x+6y）（x﹣2y）＝0，【知识点】高次方程10.“十一”国庆期间，某一商品搞清仓促销活动，从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，若“十一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，则10月4日这一天收入元．【答案】54100【分析】设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，根据从10月2日起每天比前一天降价50元，每一天的销售量比前一天增加50件，“十一”期间7天这种商品的销售共收入308700元，列出方程，进而求解即可．【解答】解：设10月1日这种商品每件x元，销售量为a件，由题意，得ax+（x﹣50）（a+50）+（x﹣100）（a+100）+（x﹣150）（a+150）+（x﹣200）（a+200）+（x﹣250）（a+250）+（x﹣300）（a+300）＝308700，化简整理，得7ax+1050x﹣1050a﹣227500＝308700，两边除以7，得ax+150x﹣150a﹣32500＝44100，所以（x﹣150）（a+150）＝54100．即10月4日这一天收入54100元．故答案为：54100．【知识点】二元二次方程组三、解答题（共5小题）11.解方程组：．【分析】由①得：x＝y+2，代入②并整理得：y2﹣2y﹣3＝0，解这个一元二次方程并代入求值即可．【解答】解：，由①得：x＝y+2…③，把③代入②并整理得：y2﹣2y﹣3＝0，解这个方程得，y1＝3，y2＝﹣1，把y的值分别代入③，得x1＝5，x2＝1．∴原方程组的解为．【知识点】高次方程12.解方程组【分析】由方程②可得x+y＝0或x﹣2y＝0，据此可得两个关于x、y的方程组，再分别求解可得．【解答】解：由②得（x+y）（x﹣2y）＝0，则x+y＝0或x﹣2y＝0，所以方程组可变形为或，解得或．【知识点】高次方程13.某商家为了让手机销量更好，更能吸引大家来购买，商家实施一定程度的让利促销活动，手机的销量分别出现不同程度的增长，A品牌手机的销量每月都比上个月多卖100台，而B品牌的手机的销量每月均按照一个相同的百分数增长，十月份A品牌手机的销量比B品牌的手机销量少360台，十一月份两种手机的总销量比十月份的总销量多200台，十二月份两种手机的总销量比十月份两种手机的总销量多25%．（1）求B品牌的手机十一份的销量比十月份的销量多多少台？（2）求B品牌的手机十月份的销量是多少台？【分析】（1）利用B品牌手机销售的增加量＝两种手机销售的总增加量﹣A品牌手机销售的增加量（十一月份比十月份的增加量），即可求出结论；（2）设A品牌手机十月份销售量为x台，B品牌手机每月销量增长百分数为a，则B品牌手机十月份销售量为（x+360）台，根据“十一月份两种手机的总销量比十月份的总销量多200台，十二月份两种手机的总销量比十月份两种手机的总销量多25%”，即可得出关于x，a的二元二次方程组，解之即可得出x的值，再将其代入（x+360）中即可求出结论．【解答】解：（1）200﹣100＝100（台）．答：B品牌的手机十一份的销量比十月份的销量多100台．（2）设A品牌手机十月份销售量为x台，B品牌手机每月销量增长百分数为a，则B品牌手机十月份销售量为（x+360）台，依题意，得：，解得：，∴x+360＝1000．答：B品牌的手机十月份的销量是1000台．【知识点】二元二次方程组14.苏科版九上数学p31阅读《各类方程的解法》中提到：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）问题：方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝﹣，x3＝；（2）用“转化”思想求方程＝x的解；（3）拓展：若实数x满足x2+＝2，求x+的值【答案】【第1空】-2【第2空】1【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）把无理方程化为整式方程x2﹣2x﹣3＝0，然后利用因式分解法解方程后进行检验确定原方程的解；（3）先表示得到（x+）2﹣3（x+）﹣4＝0，利用因式分解法得到x+＝4或x+＝﹣1，由于x+＝﹣1化为x2+x+1＝0，此方程没有实数解，从而得到x+的值为4．【解答】解：（1）x3+x2﹣2x＝0，x（x2+x﹣2）＝0，x（x+2）（x﹣1）＝0，x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0，所以x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1；故答案为0，﹣2，1；（2）两边平方得2x+3＝x2，整理得x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝3，x2＝﹣1，经检验，x＝3为原方程的解；（3）x2+＝2，（x+）2﹣3（x+）﹣4＝0，（x+﹣4）（x++1）＝0，x+＝4或x+＝﹣1，x+＝﹣1化为x2+x+1＝0，此方程没有实数解，所以x+的值为4．【知识点】高次方程、无理方程、分式方程的解、换元法解分式方程15.阅读新知：化简后，一般形式为ax4+bx2+c＝0（a≠0）的方程，由于其具有只含有未知数偶次项的四次方程，我们称其为“双二次方程”．这类方程我们一般可以通过换元法求解．如：求解2x4﹣5x2+3＝0的解．解：设x2＝t，则原方程可化为：2t2﹣5t+3＝0，解之得t1＝1，t2＝当t1＝1时，x2＝1，∴x1＝1，x2＝﹣1；当t2＝时x2＝∴x3＝，x4＝﹣．综上，原方程的解为：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝，x4＝﹣．（1）通过上述阅读，请你求出方程3y4+8y2﹣3＝0的解；（2）判断双二次方程ax4+bx2+c＝0（a≠0）根的情况，下列说法正确的是（选出正确的答案）．①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根；②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根；③原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0．【答案】②【分析】（1）先设t＝y2，则原方程变形为3t2+8t﹣3＝0，运用因式分解法解得t1＝，t2＝﹣3，再把t＝和﹣3分别代入t＝y2得到关于y的一元二次方程，然后解两个一元二次方程，最后确定原方程的解．（2）根据阅读新知即可判断①②③．【解答】（1）解：设y2＝t，则原方程可化为：3t2+8t﹣3＝0，解得：t1＝，t2＝﹣3．当t1＝时，y2＝，y＝±；当t2＝﹣3时y2＝﹣3，此时原方程无；．综上，原方程的解为：y1＝，y2﹣；（2）根据阅读新知可判断②正确；如：x4+4x2+3＝0，虽然△＝b2﹣4ac＝16﹣12＝4＞0，但原方程可化为（x2+1）（x2+3）＝0，明显，此方程无解；所以，①③错误，故答案为②．【知识点】换元法解一元二次方程、根的判别式、解一元二次方程-因式分解法、一元二次方程的一般形式、高次方程。
第7讲 高中数学分布列与数学期望(解析版)
第7讲 分布列与数学期望高考预测一：求概率及随机变量的分布列的基本类型 类型一：利用古典概型求概率1．10月1日，某品牌的两款最新手机（记为W 型号，T 型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到如表（Ⅰ）若在10月1日当天，从A ，B 这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率；（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用X 表示其中W 型号手机销量超过T 型号手机销量的手机店的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）经测算，W 型号手机的销售成本η（百元）与销量ξ（部)满足关系34ηξ=+．若表中W 型号手机销量的方差20(0)S m m =>，试给出表中5个手机店的W 型号手机销售成本的方差2S 的值．（用m 表示，结论不要求证明）【解析】解：()I 设事件1M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机， 设事件2M 为从A 店售出的手机中随机抽取1部手机，抽取的手机为W 型号手机， 则事件1M ，2M 相互独立，且161()6123P M ==+，262()695P M ==+， ∴抽取的2部手机中至少有1部为W 型号手机的概率为13221233535355P =⨯+⨯+⨯=． ()II 由表格可知W 型号手机销售量超过T 型号手机的店有2个，故X 的可能取值有0，1，2．且33351(0)10C P X C ===，1223353(1)5C C P X C ===，2123353(2)10C C P X C ===． X ∴的分布列为：数学期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=． 20()()III D s m ξ==，34ηξ=+，2()9()9S D D m ηξ∴===．2．为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成如图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者．（1）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；（2）从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望()E ξ；（3）试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．（只需写出结论）【解析】解：（1）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y 的值小于60， 答：从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为： 1535010p ==． （2）由图知：A 、C 两人指标x 的值大于1.7，而B 、D 两人则小于1.7，可知在四人中随机选项出的2人中指标x 的值大于1.7的人数ξ的可能取值为0，1，2，2411(0)6P C ξ===， 1122242(1)3C C P C ξ===，2411(2)6P C ξ===， ξ∴的分布列如下：答：121()0121636E ξ=⨯+⨯+⨯=．（3）答：由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大．3．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和数学期望．【解析】解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P （A ）1123252332010A A A ⨯===； （2）X 的可能取值为200，300，400，222521(200)2010A P X A ====， 311232323562323(300)6010A C C A P X A ++⨯⨯====， 133(400)1(200)(300)110105P X P X P X ==-=-==--=；所以X 的分布列为：数学期望为13320030040035010105EX =⨯+⨯+⨯=． 类型二：利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件概率加法公式求概率 4．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值． 假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“1k ξ=”表示第k 类电影得到人们喜欢．“0k ξ=”表示第k 类电影没有得到人们喜欢(1k =，2，3，4，5，6)．写出方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系．【解析】解：（Ⅰ）设事件A 表示“从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影”，总的电影部数为140503002008005102000+++++=部， 第四类电影中获得好评的电影有：2000.2550⨯=部，∴从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的频率为：P （A ）500.0252000==． （Ⅱ）设事件B 表示“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，恰有1部获得好评”， 第四类获得好评的有：2000.2550⨯=部， 第五类获得好评的有：8000.2160⨯=部，则从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率：P （B ）50(800160)(20050)1600.35200800⨯-+-⨯==⨯．（Ⅲ）由题意知，定义随机变量如下：0,1,k k k ξ⎧=⎨⎩第类电影没有得到人们喜欢第类电影得到人们喜欢，则k ξ服从两点分布，则六类电影的分布列及方差计算如下： 第一类电影：1()10.400.60.4E ξ=⨯+⨯=，221()(10.4)0.4(00.4)0.60.24D ξ=-⨯+-⨯=．第二类电影：2()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=，222()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第三类电影：3()10.1500.850.15E ξ=⨯+⨯=，223()(10.15)0.15(00.15)0.850.1275D ξ=-⨯+-⨯=．第四类电影：4()10.2500.750.25E ξ=⨯+⨯=，224()(10.25)0.25(00.25)0.750.1875D ξ=-⨯+-⨯=．第五类电影：5()10.200.80.2E ξ=⨯+⨯=，225()(10.2)0.2(00.2)0.80.16D ξ=-⨯+-⨯=．第六类电影：6()10.100.90.1E ξ=⨯+⨯=，225()(10.1)0.1(00.1)0.90.09D ξ=-⨯+-⨯=．∴方差1D ξ，2D ξ，3D ξ，4D ξ，5D ξ，6D ξ的大小关系为：632541D D D D D D ξξξξξξ<<=<<．5．设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）设甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为X ，求0X =，1X =，2X =，3X =时的概率(0)P X =，(1)P X =，(2)P X =，(3)P X =．（2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率．【解析】解：（1）321(0)(1)327P X ==-=，123222(1)(1)339P X C ==-=， 223224(2)()(1)339P X C ==-=，33328(3)()327P X C ===． （2）设乙同学上学期间的三天中在7:30之前到校的天数为Y ， 则1(0)(0)27P Y P X ====，2(1)(1)9P Y P X ====， 4(2)(2)9P Y P X ====，8(3)(3)27P Y P X ====， 418220()(2)(0)(3)(1)927279243P M P X P Y P X P Y ∴===+===⨯+⨯=． 类型三：利用条件概率公式求概率6．如图所示，质点P 在正方形ABCD 的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P 从A 点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P 前进一步（如由A 到)B ；当正方体上底面出现的数字是2，质点P 前两步（如由A 到)C ，当正方体上底面出现的数字是3，质点P 前进三步（如由A 到)D ．在质点P 转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．（1）求点P 恰好返回到A 点的概率；（2）在点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P 恰能返回到A 点的投掷次数，求ξ的分布列及数学期望．【解析】解：（1）投掷一次正方体玩具，因每个数字在上底面出现是等可能的，故其概率12163P ==． 易知只投掷一次不可能返回到A 点．①若投掷两次质点P 就恰好能返回到A 点，则上底面出现的两个数字，应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为2211()333P =⨯=．②若投掷三次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的三个数字，应依次为：(1，1，2)、(1，2，1)、(2，1，1)三种结果，其概率为3311()339P =⨯=． ③若投掷四次质点P 恰能返回到A 点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1，1，1，1)，其概率为4411()381P ==．所以，质点P 恰好返回到A 点的概率为：23411137398181P P P P =++=++=． （2）由（1）知，质点P 转一圈恰能返回到A 点的所有结果共有以上问题中的7种情况， 且ξ的可能取值为2，3，4． 则1273(2)373781P ξ===，199(3)373781P ξ===，1181(4)373781P ξ===，故ξ的分布列为：所以，27918523437373737E ξ=⨯+⨯+⨯=．7．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X （单位：)mm 对工期的影响如下表：300700X <700900X<9002 6 10历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X 小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，求：()I 工期延误天数Y 的均值与方差；（Ⅱ）在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．【解析】()I 由题意，(300)0.3P X <=，(300700)(700)(300)0.70.30.4P X P X P X <=<-<=-=，(700900)(900)(700)0.90.70.2P X P X P X <=<-<=-=，(900)10.90.1P X =-=Y 的分布列为()00.320.460.2100.13E Y ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=2222()(03)0.3(23)0.4(63)0.2(103)0.19.8D Y =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=∴工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8；（Ⅱ）(300)1(300)0.7P X P X =-<=，(300900)(900)(300)0.90.30.6P X P X P X <=<-<=-= 由条件概率可得(300900)0.66(6|300)(300)0.77P X P Y X P X <===．类型四：利用统计图表中的数据求概率8．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C)︒有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【解析】解：（1）由题意知X 的可能取值为200，300，500，216(200)0.290P X +===， 36(300)0.490P X ===，2574(500)0.490P X ++===， X ∴的分布列为：（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，∴只需考虑200500n ，当300500n 时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[20，25)，则63002(300)412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-， 20.4(12002)0.4(8002)0.26400.4EY n n n n ∴=⨯+-⨯+-⨯=-，当200300n 时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=，若最高气温低于20，则62002(200)48002Y n n n =⨯+--=-， 2(0.40.4)(8002)0.2160 1.2EY n n n ∴=⨯++-⨯=+．300n ∴=时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元．9．某贫困地区共有1500户居民，其中平原地区1050户，山区450户．为调查该地区2017年家庭收入情况，从而更好地实施“精准扶贫”，采用分层抽样的方法，收集了150户家庭2017年年收入的样本数据（单位：万元）．（1）应收集多少户山区家庭的样本数据？（2）根据这150个样本数据，得到2017年家庭收入的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为(0，0.5]，(0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]．如果将频率视为概率，估计该地区2017年家庭收入超过1.5万元的概率；（3）样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，请完成2017年家庭收入与地区的列联表，并判断是否有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”？附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++02)k【解析】解：（1）由已知可得每户居民被抽取的概率为0.1，故应收集手机4500.145⨯=户山区家庭的样本数据．（2）由直方图可知该地区2017年家庭年收入超过1.5万元的概率约为(0.5000.3000.100)0.50.45++⨯=． （3）样本数据中，年收入超过2万元的户数为(0.3000.100)0.515030+⨯⨯=户． 而样本数据中，有5户山区家庭的年收入超过2万元，故列联表如下：所以22150(2540580)200 3.175 2.706301201054563K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，∴有90%的把握认为“该地区2017年家庭年收入与地区有关”．高考预测二：超几何分布和二项分布 类型一：超几何分布10．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；()ii 设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【解析】解：（Ⅰ）单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16．人数比为：3:2:2， 从中抽取7人现，应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3，2，2人．（Ⅱ）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ()i 用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，随机变量X 的取值为：0，1，2，3，34337()k kC C P X k C -⋅==，0k =，1，2，3． 所以随机变量的分布列为：随机变量X 的数学期望11218412()0123353535357E X =⨯+⨯+⨯+⨯=； ()ii 设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”， 设事件B 为：抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人，事件C 为抽取的3人中， 睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人， 则：A BC =，且P （B ）(2)P X ==，P （C ）(1)P X ==，故P （A ）6()(2)(1)7P B C P X P X ===+==． 所以事件A 发生的概率：67． 11． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物． 2.5PM 日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．石景山古城地区2013年2月6日至15日每天的 2.5PM 监测数据如茎叶图所示．（1）小陈在此期间的某天曾经来此地旅游，求当天 2.5PM 日均监测数据未超标的概率；（2）从所给10天的数据中任意抽取三天数据，记ξ表示抽到 2.5PM 监测数据超标的天数，求ξ的分布列及期望．【解析】解：（1）记“当天 2.5PM 日均监测数据未超标”为事件A ， 因为有24+天 2.5PM 日均值在75微克/立方米以下， 故P （A ）243105+==． （2）ξ的可能值为0，1，2，3．由茎叶图可知：空气质量为一级的有2天，空气质量为二级的有4天，只有这6天空气质量不超标，而其余4天都超标．363101(0)6C P C ξ===，21643101(1)2C C P C ξ===，12643103(2)10C C P C ξ===，343101(3)30C P C ξ===． ξ的分布列如下表：1131601236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=．类型二：二项分布12．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出一个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获得一等奖；若只有1个红球，则获得二等奖；若没有红球，则不获奖． （1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中或一等奖的次数为X ，求X 的分布列、数学期望和方差．【解析】解：（1）设顾客抽奖1次能中奖的概率为P．116511101037111010C C P C C =-=-=，（2）设该顾客在一次抽奖中获一等奖的概率为1P ，1145112101015C C P C C ==， 故而1?(3,)5X B ．3464(0)()5125P X ∴===，1231448(1)()55125P X C ===， 2231412(2)()55125P X C ===，311(3)()5125P X ===． 故X 的分布列为数学期望13()355E X ==，方差1412()35525D X ==． 13．近年来，空气质量成为人们越来越关注的话题，空气质量指数(,)AirQualityIndex AQI 是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，0~50为优；51~100为良；101~150为轻度污染；151~200为中度污染；201~300为重度污染；大于300为严重污染．环保部门记录了2017年某月哈尔滨市10天的AQI 的茎叶图如下：（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良(100)AQI 的天数；（按这个月总共30天计算）（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究，求抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率；（3）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．【解析】解：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4， 故该样本中空气质量优良的频率为63105=，从而估计该月空气质量优良的天数为330185⨯=（2）现工作人员从这10天中空气质量为优良的日子里随机抽取2天进行某项研究， 基本事件总数2615n C ==，抽取的2天中至少有一天空气质量是优的对立事件是抽取的2天中至少有一天空气质量都不是优，∴抽取的2天中至少有一天空气质量是优的概率：2426315C p C =-=．（3）由（1）估计某天空气质量优良的概率为35，ξ∴的所有可能取值为0，1，2，3，且3~(3,)5B ξ，328(0)()5125P ξ===， 1233236(1)()55125P C ξ===， 2233254(2)()55125P C ξ===， 3327(3)()5125P ξ===， 故ξ的分布列为：3~(3,)5B ξ，33 1.85E ξ=⨯=．高考预测三：概率与其他知识点交汇 类型一：以其他知识为载体14．已知正四棱锥PABCD 的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小（弧度制）； 若这两条棱所在的直线平行，则0ξ=；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小（弧度制）． （1）求(0)P ξ=的值；（2）求随机变量ξ的分布列及数学期望()E ξ．【解析】解：（1）根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，PAC ∆，PBD ∆为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：0，3π，2π， 在这个正四棱锥的8条棱中任取两条基本事件总数2828n C ==种情况， 当0ξ=时有2种，当3πξ=时有342420⨯+⨯=种，当2πξ=时有246+=种．21(0)2814P ξ∴===． （2）21(0)2814P ξ===． 205()3287P πξ===，63()22814P πξ===．随机变量ξ的分布列如下表：15329()0143721484E ξ=⨯+⨯+⨯=． 15．从集合{1M =，2，3，4，5，6，7，8，9}中抽取三个不同的元素构成子集1{a ，2a ，3}a ． （1）求对任意的i 和(1j i =，2，3，1j =，2，3，)i j ≠满足||2i j a a -的概率；（2）若1a ，2a ，3a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望()E ξ．【解析】解：（1）由题意知基本事件数为3984C =， 而满足条件||2i j a a -，即取出的元素不相邻，则用插空法有3735C =种，故所求事件的概率为3558412P ==； （2）分析1a ，2a ，3a 成等差数列的情况：1ξ=的情况有7种：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}，{7，8，9}，2ξ=的情况有5种：{1，3，5}，{2，4，6}，{3，5，7}，{4，6，8}，{5，7，9}． 3ξ=的情况有3种：{1，4，7}，{2，5，8}，{3，6，9}．4ξ=的情况有1种：{1，5，9}．故ξ的分布列如下：所以753115()1234161615168E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 类型二：构造递推关系求概率问题16．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0i p i =，1，⋯，8)表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11(1i i i i p ap bp cp i -+=++=，2，⋯，7)，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=． ()i 证明：1{}(0i i p p i +-=，1，2，⋯，7)为等比数列； ()ii 求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．【解析】（1）解：X 的所有可能取值为1-，0，1．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--，(1)(1)P X αβ==-，X ∴的分布列为：（2）()i 证明：0.5α=，0.8β=，∴由（1）得，0.4a =，0.5b =，0.1c =．因此110.40.50.1(1i i i i p p p p i -+=++=，2，⋯，7)， 故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-，即11()4()i i i i p p p p +--=-， 又1010p p p -=≠，1{}(0i i p p i +∴-=，1，2，⋯，7)为公比为4，首项为1p 的等比数列；()ii 解：由()i 可得，881887761001(14)41()()()143p p p p p p p p p p --=-+-+⋯+-+==-，81p =，18341p ∴=-， 444332*********()()()()3257p p p p p p p p p p p -∴=-+-+-+-+==． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率．由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理． 17．从原点出发的某质点M ，按向量(0,1)a =移动的概率为23，按向量(0,2)b =移动的概率为13，设M 可到达点(0，)(1n n =，2，3，)⋯的概率为n P ． （1）求1P 和2P 的值；（2）求证：2111()3n n n n P P P P +++-=--；（3）求n P 的表达式．【解析】解：（1）123P =，22217()339P =+= （2）证明：M 点到达点(0,2)n +有两种情况 ①从点(0,1)n +按向量(0,1)a =移动 ②从点(0,)n 按向量(0,2)b =移动∴212133n n n P P P ++=+ ∴2111()3n n n n P P P P +++-=-- 问题得证．（3）数列1{}n n P P +-是以21P P -为首项，13-为公比的等比数列 1111211111()()()()3933n n n n n P P P P --++-=--=-=- 11()3n n n P P -∴-=-又因为111221()()()n n n n n P P P P P P P P ----=-+-+⋯+-12111()()()333n n -=-+-+⋯+-111[1()]123n -=-- 11n n P P P P ∴=-+∴113()434n n P =⨯-+． 类型三：利用导数研究概率问题18．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()()f p f p 的最大值点0p （即()f p 取最大值时对应的p 的值）．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的0p 作为p 的值，已知每件产品的检验费用为3元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付28元的赔偿费用()i 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用之和记为X 求()E X ； ()ii 以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【解析】解：（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，则221820()(1)f p C p p =-，2182172172020()[2(1)18(1)]2(1)(110)f p C p p p p C p p p ∴'=---=--，令()0f p '=，得0.1p =， 当(0,0.1)p ∈时，()0f p '>， 当(0.1,1)p ∈时，()0f p '<， f ∴()p 的最大值点00.1p =．（2）()i 由（1）知0.1p =，令Y 表示余下的180件产品中的不合格品数，依题意知~(180,0.1)Y B ，20328X Y =⨯+，即6028X Y =+，()(6028)6028()60281800.1564E X E Y E Y ∴=+=+=+⨯⨯=．()ii 如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为600元， ()564600E X =<，∴应该对余下的产品不进行检验．19．某有机水果种植基地试验种植的某水果在售卖前要成箱包装，每箱80个，每一箱水果在交付顾客之前要按约定标准对水果作检测，如检测出不合格品，则更换为合格品．检测时，先从这一箱水果中任取10个作检测，再根据检测结果决定是否对余下的所有水果作检测．设每个水果为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各个水果是否为不合格品相互独立．（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格品的概率为()f p ，求()f p 取最大值时p 的值0p ；（Ⅱ）现对一箱水果检验了10个，结果恰有2个不合格，以（Ⅰ）中确定的0p 作为p 的值．已知每个水果的检测费用为1.5元，若有不合格水果进入顾客手中，则种植基地要对每个不合格水果支付a 元的赔偿费用(*)a N ∈．（ⅰ）若不对该箱余下的水果作检验，这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ；（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验？【解析】解：（Ⅰ）记10个水果中恰有2个不合格的概率为()f p ，则22810()(1)f p C p p =-，282710()[2(1)8(1)]f p C p p p p ∴'=---，由()0f p '=，得0.2p =．且当(0,0.2)p ∈时()0f p '>，当(0.2,1)p ∈时，()0f p '<， ()f p ∴的最大值点00.2p =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知00.2p =．（ⅰ）令Y 表示余下的70个水果中的不合格数，依题意~(70,0.2)Y B ，10 1.515X aY aY =⨯+=+． ()(15)15()15700.21514E X E aY aE Y a a ∴=+=+=+⨯⨯=+．（ⅱ）如果对余下的水果作检验，则这箱水果的检验费为120元， 由1514120a +>，得1057.514a >=，且*a N ∈， ∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时，将促使种植基地对这箱余下的所有水果作检验．高考预测三：决策问题20．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购买机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个300元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得到下面柱状图．以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1）求X 的分布列；（2）若要求()0.5P X n ，试确定n 的最小值；（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在19n =与20n =之中选其一，应选用哪个？【解析】解：（1）每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11，记事件1A 为第一台机器3年内换掉7i +个零件(1i =，2，3，4)，记事件1B 为第二台机器3年内换掉7i +个零件(1i =，2，3，4)，由题知134134()()()()()()0.2P A P A P A P B P B P B ======，22()()0.4P A P B ==，则X 的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22， 11(16)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=；1221(17)()()()()0.20.40.40.20.16P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=；132231(18)()()()()()()0.20.20.20.20.40.40.24P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；14233241(19)()()()()()()()()0.20.20.20.20.40.20.20.40.24P X P A P B P A P B P A P B P A P B ==+++=⨯+⨯+⨯+⨯=；243342(20)()()()()()()0.40.20.20.40.20.20.2P X P A P B P A P B P A P B ==++=⨯+⨯+⨯=；3443(21)()()()()0.20.20.20.20.08P X P A P B P A P B ==+=⨯+⨯=； 44(22)()()0.20.20.04P X P A P B ===⨯=．从而X 的分布列为（2）要()0.5P x n ，0.040.160.240.5++<，0.040.160.240.240.5+++， 则n 的最小值为19；（3）购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，当19n =时，费用的期望为193005000.210000.0815000.045940⨯+⨯+⨯+⨯=元， 当20n =时，费用的期望为203005000.0810000.046080⨯+⨯+⨯=元， 若要费用最少，所以应选用19n =． 高考预测四：正态分布21．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：)cm ．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N μσ．（1）假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑，0.212s ==≈，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1i =，2，⋯，16．用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ，用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01)． 附：若随机变量Z 服从正态分布2(,)N μσ，则(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=，160.99740.9592≈，0.09．【解析】解：（1）抽取的一个零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的概率为0.0026，故~(16,0.0026)X B ．因此，16(1)1(0)10.99740.0408P X P X =-==-≈；（2）由9.97,0.212x s =≈，得μ的估计值为ˆ9.97μ=，σ的估计值为ˆ0.212σ=， 由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外， 因此需对当天的生产过程进行检查， 剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22， 剩下数据的平均数为1(169.979.22)10.0215⨯-=， 因此μ的估计值为10.02，162221160.212169.971591.134i i x ==⨯+⨯≈∑，剔除ˆˆˆˆ(3,3)μσμσ-+之外的数据9.22， 剩下数据的样本方差为221(1591.1349.221510.02)0.00815--⨯≈．因此σ0.09．22．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图：（1）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s①利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用 ①的结果，求EX2.44≈，若2~(,)z n μσ，则()0.6826p Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544p Z μσμσ-<<+=．【解析】解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数为：1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，样本方差2s 分别为：2222222(30)0.02(20)0.09(10)0.2200.33100.24200.08300.02150s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）()i 由（Ⅰ）知~(200,150)Z N ，从而(187.8212.2)(20012.220012.2)0.6826P Z P Z <<=-<<+=；()ii 由()i 知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，。
excel中多条件计数
excel中多条件计数多条件计数是在Excel中进行数据统计和分析时经常使用的功能。
通过设置多个条件，可以筛选出符合条件的数据，并对其进行计数。
本文将介绍如何在Excel中使用多条件计数功能，以及常见的应用场景。
我们需要了解多条件计数的基本原理。
在Excel中，可以使用COUNTIFS函数来实现多条件计数。
COUNTIFS函数的语法如下：COUNTIFS(range1, criteria1, range2, criteria2, …)其中，range1、range2等是要统计的数据范围，criteria1、criteria2等是相应的条件。
COUNTIFS函数会统计满足所有条件的数据个数。
下面是一个简单的例子。
假设我们有一个销售数据表，包含了产品名称、销售日期和销售数量三列数据。
我们想要统计某个产品在某个时间段内的销售数量。
我们需要在表格中设置一个条件区域，用于输入产品名称和时间段。
然后，使用COUNTIFS函数来统计满足条件的销售数量。
具体步骤如下：1. 在条件区域中，输入产品名称和时间段的条件。
注意，条件区域的列数要与数据表对应的列数相同。
2. 在另一个单元格中，使用COUNTIFS函数统计满足条件的销售数量。
COUNTIFS函数的参数如下：- range1：销售数据表中的产品名称列；- criteria1：条件区域中的产品名称条件；- range2：销售数据表中的销售日期列；- criteria2：条件区域中的时间段条件。
例如，COUNTIFS(A2:A10, D2, B2:B10, ">="&D3, B2:B10, "<="&D4)。
3. 按下回车键，即可得到满足条件的销售数量。
除了基本的多条件计数，COUNTIFS函数还支持更复杂的条件设置。
比如，可以使用通配符来匹配一定范围内的条件，或者使用逻辑运算符来组合多个条件。
421法则
421法则什么是421法则421法则是指市场的421法则有序的市场具备如下特征：在一定的地域范围内，当涉及某一消费领域时，在绝大部分消费者头脑中有几乎相同的品牌排序。
在市场占有率上，第一被想到的品牌占40%左右，在其他名次上，有近似成倍递减的特点，也就是说第二位和第三位的分别占20%和10%左右。
421法则的应用分析一、无序市场中藏着有序在这个世界看上去是复杂无序的，但实际上世间万物都有看自己的秩序，它们都是按照自己的规律在不断地发展。
市场也是如此，可能在很多人眼里，市场是个无序的集合体，在市场上面充满了不可预料的寥惰，很多人感到茫然。
其实，市场也是有序的，当然我们不能否认有些市场的无序柱，那是因为它们还不成熟。
我们首先来看一看有序市场的相关概念。
一个市场如果能够被称为有序市场，会具备如下特征：在一定的地城范围内，当涉及某一消费领域时，在绝大部分消费者头脑中有几乎相同的品牌排序。
在市场占有率上，第一被想到的品牌占40%左右，在其他名次上，有近似成倍递减的特点，也就是说第二位和第三位的分别占20%和10%左右，这也就是我们所说的421法则。
有序市场的一个重要特点是：一旦形成就具有相对的稳定性。
它建立了很裔的进入门攒，市场机会相对小，当市场条件不具备的槽况下，这个市场几乎不可能再创“名牌”，这个市场很少打价格战。
1.和有序市场相对的是无序市场，那么无序市场的特点：∙在绝大部分消费者头脑品牌排序有很大差别；∙在市场占有率上，每一个品牌差别不大；∙市场动荡，不断有新品牌进入，价格战激烈；∙市场进入门槛相对较低，有一定的市场机会，有可能再创名牌，具有向有序市场转化的趋势。
这是两个市场的一殷惰况，目99我国的行业里面，还没有很成憨的有序市场，很多市场基本上是位于有序和无序之间，处在过渡阶段，比如手机市场、电信市场等。
还有很多市场是完全的无序市场，比如水市场。
其实，一个市场要是能步入有序状态是一个多方获益的好事，看上去可能是厂商较少，但是各方的投入产出处于优化状态，大家都获益了。
河南省信阳市2023-2024学年高二下学期期末教学质量检测数学试题(含解析)
2023—2024学年普通高中高二（下）期末教学质量检测数学试题本试卷共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．随机变量，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．数列满足，已知，则的前19项和（ ）A ．0B ．8C ．10D ．193．2024年春节期间某高速公路收费站的3个收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）服从正态分布，若，假设3个收费口均能正常工作，则这些收费口每天恰有2个通过的小汽车超过700辆的概率为（ ）A ．0.009B ．0.027C ．0.243D ．0.274．某医疗机构通过抽样调查（样本容量），利用列联表和统计量研究患肺癌是否与吸烟有关．计算得，经查对临界值表知，现给出四个结论，其中正确的是（）A ．根据小概率值的独立性检验，认为“患肺癌与吸烟无关”B ．在100个吸烟的人中约有99个人患肺癌C ．若老张吸烟，那么他有99%的可能性患肺癌D ．有99%的把握认为“患肺癌与吸烟有关”5．如图是2024年法国巴黎奥运会和残奥会吉祥物“弗里热”，其中残奥会的吉祥物有一个“腿”被设计成了假肢（右），现将4个奥运会吉祥物和2个残奥会吉祥物排成一排，则不同的排法有（）1~3,2X B ⎛⎫⎪⎝⎭()1P X ≥=78231218{}n a 2120n n n a a a +++-=7118a a a +={}n a 19S =X ()2400,N σ()4007000.4P X <<=9965n =22⨯2χ256.632χ=()26.6350.01P χ≥≈0.01α=A ．6种B ．12种C ．15种D ．60种6．2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（ ）A．B ．C ．1D ．7．意大利数学家斐波那契提出了一个著名的兔子问题，得到了斐波那契数列．数列满足，．现从数列的前2023项中随机抽取1项，能被3除余1的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，在杨辉三角中，斜线上方箭头所示的数组成一个数列：1，1，2，3，3，6，4，10，……．记这个数列的前项和为，则（）A ．442B ．441C ．364D ．298二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．展开式的有理项为（ ）A ．第1项B ．第2项C ．第5项D ．第8项10．设，是两个随机事件，且，，，则（ ）A ．B ．与相互独立C ．D ．11．设的图象在区间上是一条连续不断的曲线，，，，总有X ()E X =252332{}n a 121a a ==21n n n a a a ++=+2532023505202375820237592023AB n n S 24S =8A B ()12P A =()23P B =()23P A B +=()16P AB =A B ()23P B A =()()P B A P A B=()f x D 1x ∀2x D ∈12x x ≠，则称在上是上凸函数．已知是的上凸函数，且（是的导函数），则（ ）A ．B ．C ．D ．三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．12．某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩，若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数为_________．（附：，）13．曲线在处的切线方程为_________．14．为了研究高三学生的性别和身高是否大于170cm 的关联性，调查了高三学生200名，得到如下列联表：身高性别低于170cm不低于170cm合计女8020100男3070100合计11090200根据列联表的数据，计算得_________；依据小概率值_________的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”．附：临界值表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知5名同学站成一排，要求甲站在正中间，乙与丙相邻，记满足条件的所有不同的排列种数为．（1）求的值；（2）设，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭()f x D ()f x ()0,+∞()0f x '>()f x '()f x ()()()e 3πf f f <<()()()πe 3f f f '<'<'()()()()2023202420232024f f f f '<-<'()()()()2024202420232023f f f f '<-<'()~82,16X N ()0.6827P X μσμσ-≤≤+=()220.9545P X μσμσ-≤≤+=cos x y x =π2x =2χ=α=αx αn n ()201213nnn x a a x a x a x -=++++①求的值；②求奇次项的系数和．16．（本小题满分15分）两批同种规格的产品，第一批占40%，次品率3%，第二批占60%，次品率为．将两批产品混合，从混合产品中任取1件是合格品的概率为97.6%．（1）求；（2）已知取到的是次品，求它取自第二批产品的概率．17．（本小题满分15分）已知函数（为自然对数的底数）．（1）判断是否存在零点，若存在求出其零点，若不存在，说明理由；（2）若恒成立，求的取值范围．18．（本小题满分17分）华为Pura70的发布是中国芯片行业的重大突破，华为的高端手机越来越受到消费者的青睐．某手机店今年2～6月份Pura70手机的销量如下表所示：月份23456手机销量（部）425366109用最小二乘法得到手机销量（单位：部）关于月份的回归直线方程为，且销量的方差．（1）求；（2）求相关系数（精确到0.01），并据此判断手机销量与月份的相关性强弱（若，则可判断与线性相关较强）；（3）求时的残差；已知，求决定系数（精确到0.01）．附：相关系数，决定系数．19．（本小题满分17分）绿化美化环境，建设美丽乡村．某村拟将村外的空地分成五块（如图1），种植花草（中间的圆圈不种12n a a a +++ p p ()()()1ln 1e f x x x =--+e ()f x ()f x a ax +≥a x y my x ˆ16.1 5.6yx =+y 2542y s =m r y x 0.9r >y x 4x =3ˆe ()()()()222211224455ˆˆˆˆ101.9y y y y y y y y -+-+-+-=2R nx x y y r --=()()22121ˆ1niii nii y yR y y ==-=--∑∑16.46=植），现有四种不同的花卉供选择，要求每一块种植一种花，相邻区域种不同的花卉，设所种花卉的种数为．（1）求的分布列与期望；（2）若将空地分成个区域（图2），在这个区域上种植花卉，要求相邻区域种不同的花卉，现有5种不同的花卉供选择，问有多少种不同的种植方法？2023—2024学年普通高中高二（下）期末教学质量检测数学参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．题号1234567891011答案AABDCADABCDABCAD1．A 解析：，，，1，2，3．．故选A ．2．A 解析：数列为等差数列，由，得，，．故选A ．3．B 解析：因为，，每个收费口每天通过的小汽车超过700辆的概率为0.1，这些收费口每天恰有2个通过的小汽车超过700辆的概率为．故选B ．4．D 解析：依已知数据可得有的把握认为“患肺癌与吸烟有关”．选项D 正确，其余都是错误的．故选D ．5．C 解析：从一排的6个位置选2个摆放残奥会吉祥物即可（剩下的4个位置放奥运会吉祥物），．故选C ．6．A 解析：服从超几何分布，．故选A ．X X ()12n n +≥1n +1~3,2X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭()331C 2k P X k ⎛⎫== ⎪⎝⎭0k =()()303171101C 28P X P X ⎛⎫∴≥=-==-= ⎪⎝⎭{}n a 7118a a a +=8108a a a +=100a ∴=()1191910191902a a S a+⨯∴===()2~400,X N σ()4007000.4P X <<=()7000.1P X ∴>=()223C 0.110.10.027P =⨯⨯-=10.0199%-=26C 15=X ()2,3,15H ()322155E X np ==⨯=7．D 解析：根据斐波那契数列的定义知，，被3除的余数依次为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，…，余数数列为周期数列，周期为8，，所以，数列的前2023项中被3除余1的有项，故所求概率为．故选D ．8．A 解析：由图知，数列中的各项是，，，，，，，，……，．故选A ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．9．BCD 解析：通项，由，得，4，7，展开式的有理项为第2，5，8项．故选BCD ．10．ABC 解析：由，即，得，选项A 正确；由，所以，；，，所以与相互独立．选项B 正确；由，选项C 正确；因为与相互独立，所以，与，与相互独立，所以；．，选项D 错误．故选ABC ．11．AD 解析：由，知得在递增，因为，所以，选项A 正确；因为在上是“上凸”函数，由导数的几何意义知，随着的增大，曲线在某点的切线的斜率越来越小，所以，，选项B 错误；设，，由切线的几何意义知，，即，即．选项D 正确．故选AD ．{}{}1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,n a = 202325287=⨯+25233759⨯+=7592023P =11C 22C 12C 23C 13C 24C 14C 25C ()()1111222222412312234413C C C C C C C C C S ∴=++++++++++ ()()211132222231233413C C C C C C C C =+++++++++ 231314C C 442=+=()8283188C 2C kkkk kk k T x --+⎛==- ⎝823k -∈Z 1k =()()()()P A B P A P B P AB +=+-()112233P AB +-=()16P AB =()()()P A P AB P AB =+()()()111263P AB P A P AB =-=-=()()121233P A P B ⨯=⨯=()()()P AB P A P B =⨯ A B ()()()123132P AB P B A P A ===A B A B A B ()()23P B A P B ∴==()()12P A B P A ==()()P B A P A B ∴≠()0f x '>()f x ()0,+∞e 3π<<()()()e 3πf f f <<()f x ()0,+∞x ()()()πe 3f f f '>'>'()()2023,2023A f ()()2024,2024B f ()()20242023AB f k f '<<'()()()()202420232024202320242023f f f f -'<<'-()()()()2024202420232023f f f f '<-<'三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12．91 解析：依题意，，，，，．13． 解析：，，，曲线在处的切线方程为，即．14．50.505（3分） 0.001（2分） 解析：，根据小概率值的独立性检验，认为“高三学生的性别和身高有关联”．四、解答题：本大题共5小题，共77分．15．解：（1）；（2）在，令，得；令，得①；．令，得②；①－②，得．（也正确）16．解：（1）记事件：任取一件产品是次品，记事件：第批的产品，．2．则，，，，由，解得．（2）．已知取到的是次品，则它取自第二批产品的概率．17．解：（1）函数的定义域为，，82μ=4σ=()182900.95450.477252P X ≤≤=⨯=()900.50.477250.02275P X ≥=-=40000.0227591⨯=2π1y x =-+2cos sin cos x x x x y x x --⎛⎫'='= ⎪⎝⎭π2π2f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭0π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭cos x y x =π2x =π02π2y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭2π1y x =-+()222008070302050.50510.82810010011090χ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯0.001α=22222A A 8n ==()828012813x a a x a x a x -=++++ 0x =01a =1x =()801282256a a a a ++++=-= 1282561255a a a ∴+++=-= 1x =-8160123842a a a a a -+-++== 816715135722222a a a a -+++==-32640-A i B i 1i =()13%P A B =()2P A B p =()10.40P B =()20.60P B =()()()120.40.030.610.976P A P AB P AB p =+=⨯+⨯=-0.02p =()()()()()()22220.60.02110.9762P A B P B P AB P B A P A P A ⨯====-12()1,+∞()()ln 11f x x '=-+由，得，由，得，所以，在上递增，在上递减，所以，当时，取极小值，．因为只有一个极小值点，也是最小值点，且，所以，不存在零点．（2），即．令构造函数，由，得，由，得，所以，在上递增，在上递减，所以，当时，取极小值，．所以，．故的取值范围为．18．解：（1），，将代入，，得．（2）由，得，由，得．所以，．所以，手机销量与月份的线性相关较强．()0f x '>11e x >+()0f x '<111ex <<+()f x 11,e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭11,1e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭11e x =+()f x ()111e e e f x f ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭极小值()fx ()1e 0ef x =->最小值()f x ()()()()1ln 1e 1f x a ax x xa x +≥⇔--+≥-()e ln 11a x x ≤-+-()10t x t =->()e ln F t t t =+()221e e t F t t t t-'=-=()0F t '>e t >()0F t '<0e t <<()F t ()e,+∞()0,e e t =()F t ()()e 2F t F ==最小值2a ≤a (],2-∞()12345645x =++++=()127042536610955m y m +=++++=2704,5m +⎛⎫ ⎪⎝⎭ˆ16.1 5.6y x =+27016.14 5.65m+=⨯+80m =4x =()()()522222212101210i i x x =-=-+-+++=∑()522115425yi i s y y ==-=∑()5212710i i y y =-=∑()()()55152116.1i i i i i x x y y x x y y r x x ==----====-∑∑0.980.9≈>y x（3），所以，，．19．解：（1）的所有可能值为2，3，4．若种两种花卉，则种植方法有；若种三种花卖，则种植方法有；若种四种花卉，则种植方法有；所有的种植方法有．的分布列为234的期望．（2）分两步，第一步种植区域，有种种植方法；第二步种植区域，在块区域种植不同的花卉（有4种花卉供选择），设不同的种植方法有种．显然，；当时，有4种种植方法，有3种种植方法，…有3种种植方法（不论是否与同种），共有种种植方法．这里包含了与同种的情况，此时，可以看成和合为一个区域，即．所以．由递推式，可得，所以，数列是以为公比的等比数列，又．所以，，．又，，也适合上式，所以，当时，．由分步乘法原理知，在这个区域上种植花来，不同的种植方法有，．()333ˆˆ6616.14 5.64ey y =-=-⨯+=-()()5221ˆ101.94117.9i i i y y=-=+-=∑()()5221521ˆ117.9110.962710i i i i i y yR y y ==-=-=-≈-∑∑X 24A 12=311432C C C 248⨯⨯=44A 24=12482484++=X X P174727X ()142222347777E X =⨯+⨯+⨯=0A 15C 5=1~n A A n n a 24312a =⨯=343224a =⨯⨯=4n ≥1A 2A n A 1A 143n -⨯n A 1A n A 1A 1n a -()11434n n n a a n --=⨯-≥1143n n n a a --=⨯-()()11334n n n n a a n ---=--≥{}()34nn a n -≥1-4433a -=()4331n nn a --=-()()43314n n n a n -∴=+-≥212a =324a =2n ≥()()4331331n nnn n a -=+-=+-1n +()553151nnn a =⨯+-2n ≥。
四川省成都市2023-2024学年高一下学期开学考试数学(理科)试卷含答案
2023-2024学年四川省成都市高一（下）入学数学试卷（理科）一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.（答案在最后）1.已知全集U =R ，能表示集合2{N |30}A x x x =∈-≤与{}1,2B =关系的Venn 图是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，根据集合的关系即可求解.【详解】全集U =R ，集合{}2{N |30}{N |03}0,1,2,3A x x x x x =∈-≤=∈≤≤=，{}1,2B =，所以B A ，所以能表示集合A 、B 关系的Venn 图是选项B ．故选：B2.已知向量()1,2a =- ，()3,2b = ，则a b + 在a b - 方向上投影长度为（）A.4 B.2- C.2D.4-【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解．【详解】解：()1,2a =-，()3,2b = ，则()2,4a b += ，()4,0a b -=-，故a b + 在a b - 方向上的投影长度为：()()22824a b a b a b a b a b-⋅+--===--- ．故选：B ．3.5G 技术在我国已经进入高速发展的阶段，5G 手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了最近5个月手机的实际销量，如下表所示：时间x12345销售量y （千只）0.50.81.01.2 1.5若y 与x 线性相关，且线性回归方程为ˆˆ0.24yx a =+，则下列说法不正确的是（）A.由题中数据可知，变量y 与x 正相关，且相关系数1r <B.线性回归方程ˆˆ0.24yx a =+中ˆ0.26a =C.残差()1,2,3,4,5ˆi ei =的最大值与最小值之和为0D.可以预测6x =时该商场5G 手机销量约为1.72（千只）【答案】B 【解析】【分析】根据已知数据，分析总体单调性，并注意到增量不相等，不是严格在一条直线上，从而判定A ；求得样本中心点坐标，代入已给出的回归方程，求解，从而判定B ；根据残差定义求得各个残差，进而得到残差的最大值与最小值，从而判定C ；利用回归方程预测计算即可判定D.【详解】从数据看y 随x 的增加而增加，故变量y 与x 正相关，由于各增量并不相等，故相关系数1r <，故A 正确；由已知数据易得3,1,x y ==代入ˆˆ0.24yx a =+中得到ˆ130.2410.720.28a =-⨯=-=，故B 错误；ˆ0.240.28yx =+，1ˆ0.240.280.52y=+=，2ˆ0.2420.280.76y =⨯+=，3ˆ0.2430.28 1.00y =⨯+=，4ˆ0.2440.28 1.24y=⨯+=，5ˆ0.2450.28 1.48y =⨯+=，1ˆ0.50.520.02e=-=-，2ˆ0.80.760.04e =-=，3ˆ110e =-=，4ˆ 1.2 1.240.04e =-=-，5ˆ 1.5 1.480.02e=-=，残差()1,2,3,4,5ˆi ei =的最大值2ˆ0.04e =与最小值4ˆ0.04e =-之和为0，故C 正确；6x =时该商场5G 手机销量约为ˆ0.2460.28 1.72y=⨯+=，故D 正确.故选：B4.方程22131x y m m +=+-表示双曲线的必要不充分条件可以是（）A.()3,1m ∈- B.()()3,11,1m ∈--⋃-C.()3,m ∞∈-+D.()3,1m ∈--【答案】C 【解析】【分析】利用双曲线方程，求解m 的范围，然后根据集合关系，推出选项．【详解】如果方程22131x y m m +=+-表示双曲线，则()()310m m +-<，解得：31m -<<，则方程22131x y m m +=+-表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含{|31}m m -<<．只有选项C 满足题意．故选：C ．5.执行如图所示的程序框图，若依次输入ln22m =，ln33n =，ln55p =，则输出的结果为（）A.ln22B.ln33C.ln55D.以上都不对【答案】C 【解析】【分析】根据题意，该流程图的作用是求出m 、n 、p 中的最小数，再结合对数的运算性质比较出m ，n ，p 的大小关系即可．【详解】根据题意，该流程图的作用是求出m 、n 、p 中的最小数，5252ln2ln525ln2ln55ln22ln525>⇔>⇔>⇔>，2323ln3ln232ln3ln22ln33ln232>⇔>⇔>⇔>，p m n ∴<<，即输出的结果为ln55．故选：C ．6.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且ABC 的面积ABC S =，()2224ABCS a c b =+- ，则AB BC ⋅= （）A.B. C.2 D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件，结合余弦定理，以及三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：ABC 的面积1sin 2ABC S ac B ==，sin ac B ∴=，()2224ABC S a c b =+- ，则()2221sin 42a cb ac B +-=，222sin 2os a c b B a B c +-==，sintan cos BB B∴==()0,πB ∈ ，π3B ∴=，1cos 2B =，3sin 2B =，4ac ∴=，()cos π2AB BC ac B ∴⋅=-=-．故选：D ．7.设等差数列的前n 项和为n S ，已知636S =，6144n S -=，324nS =，则n 的值为（）A.15B.16C.17D.18【答案】D 【解析】【分析】由已知条件利用等差数列的下标定理即可求解.【详解】解：由题意可得612345324144180n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++=-=即12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=①612345636S a a a a a a =+++++= ②且等差数列满足12132435465n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----+=+=+=+=+=+∴①②两式相加得16()18036216n a a +=+=∴136n a a +=代入求和公式可得1()183242n n n a a S n +===解得18n =故选：D.8.如图是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的高为（）A.1B.2C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据三视图得到直观图，P 作PE AD ⊥，可证PE 即为锥体的高，再利用等面积法求出高即可；【详解】解：由三视图，可得如下直观图：,,P A B 是棱长为2的正方体的顶点.,C D 是所在棱的中点.四棱锥P ABCD -过P 作,PE AD ⊥在正方体中有CD ⊥平面PAD ，PE ⊂平面PAD .所以,CD PE ⊥又AD CD D = ，,AD CD ⊂平面,ABCD 所以PE ⊥平面,ABCD 所以四棱锥的高为,PE由三视图可知2,AB CD AD PD ====，因为22PE =⨯所以455PE =故四棱锥的高为5故选：D .9.抛物线24x y =的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足AF BF ⊥，P 为线段AB 的中点，设P 在l 上的射影为Q ，则PQ AB的最大值是（）A.23B.3C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】设=AF a ，=BF b ，连接AF 、BF ，由抛物线定义得2a bPQ +=，由勾股定理可得|AB |222=a b +，进而根据基本不等式求得|AB |的取值范围，再利用此结论求PQ AB的取值范围．【详解】设=AF a ，=BF b ，A ，B 在l 上的射影分别为M ，N ，则AF AM =，BF BN =，故22AM BNa bPQ ++==，又AF BF ⊥，所以AB ==，因为222222()()()2()22a b a b a b a b ab a b +++=+-≥+-=，)2a b +≥，当且仅当a b =时等号成立，故222PQAB=≤．故选：C．【点睛】本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值等知识，属于中档题．10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段1CD 上有两个动点E ，F ，且12EF =，点P ，Q 分别为11A B ，1BB 的中点，G 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B G 平面1CD PQ ，以下命题错误的是（）A.1AB EF⊥B.多面体1AEFB 的体积为定值C.侧面11CDD C 上存在点G ，使得11B G CD ⊥D.直线1B G 与直线BC 所成的角可能为π6【答案】D 【解析】【分析】根据题意，结合线线垂直的判定定理、线面垂直的性质，以及异面直线夹角的求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：连接1C D ，作图如下：因为1111ABCD A B C D -为正方体，故可得1DC //1AB ，又11DC CD ⊥，EF 与1CD 是同一条直线，故可得1DC EF ⊥，则1AB EF ⊥，故A 正确；对B ：根据题意，12EF =，且线段EF 在1CD 上运动，且点A 到直线1CD 的距离不变，故△AEF 的面积为定值，又点1B 到平面1ACD 的距离h 也为定值，故三棱锥1AEFB 的体积113AEFB AEF V S h =⨯ 为定值，故B 正确；对C ：取111,C D C C 的中点分别为,M N ，连接11,,B M MN NB ，作图如下：容易知在△11C D C 中，//MN 1CD ，又1//PD 1B M ，1111,MN B M M CD PD D ⋂=⋂=，1,MN B M ⊂面111,,B MN CD PD ⊂面1PD CQ ，故面1//B MN 面1PD CQ ，又G 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B G 平面1CD PQ ，故G 的轨迹即为线段MN ；又因为1111ABCD A B C D -为正方体，故CD ⊥面111,BCC B B N ⊂面11BCC B ，故1B N CD ⊥，则当G 与N 重合时，1B G CD ⊥，故C 正确；对D ：因为//BC 11B C ，故直线1B G 与BC 所成角即为直线1B G 与11B C 所成角，即11C B G ∠，在11Rt B C G 中，111max11min 111222,222C M C N C G C N C G MN ⨯⨯=====故11111121tan ,42C GC B G C G B C ⎤∠==∈⎥⎣⎦，而当直线1B G 与直线BC 所成的角为π6时，π321tan ,6342⎤=∉⎥⎣⎦，故直线1B G 与直线BC 所成的角不可能为π6，故D 错误.故选：D.11.已知直线1l ：40x y +-=与圆心为()M 0，1且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2l ：22350mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的最大值是（）A.93B.92C.62D.)921+【答案】B 【解析】【分析】由已知可得圆M 的方程，求得交点A ，B 坐标，进而可得AB 与中点坐标，求得直线2l 恒过定点N ，当CD 与AB 垂直时，四边形ACBD 的面积最大，可求得四边形ACBD 的面积的最大值．【详解】解：根据题意，圆M 的圆心为()01M ，且半径为3，所以圆M 的方程为22(1)9x y +-=，即22280x y y +--=，直线1l ：40x y +-=与圆M 相交于A ，B 两点，则有2228040x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩，所以A 、B 的坐标为()04，，()31，，则AB ==，且AB 的中点为3522⎛⎫⎪⎝⎭，，直线2l ：22350mx y m +--=，变形可得()23250m x y -+-=，直线2l 恒过定点3522N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，当CD 与AB 垂直时，四边形ACBD 的面积最大，此时CD 的方程为5322y x -=-，变形可得1y x =+，经过点()01M ，，所以26CD r ==，故四边形ACBD 的面积的最大值162ACB ADB S S =+=⨯⨯= ，故ACBD S ≤四边形所以四边形ACBD 的面积的最大值为．故选：B ．12.已知函数()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间[]0,π上有且仅有4个极值点，给出下列四个结论：①()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点；②()f x 的最小正周期可能是π2；③ω的取值范围是1317,44⎛⎤ ⎝⎦；④()f x 在区间ππ,2319⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.其中正期结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】令π2ππ4x k ω+=+，Z k ∈，则44ππk x ω+=,Z k ∈，结合条件可得π4π0π4k ω+<<有4个整数k 符合题意，可求出ω的取值范围，再利用三角函数图象性质逐项分析即可得出结论.【详解】由函数()πsin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，令π2ππ4x k ω+=+，Z k ∈可得44ππk x ω+=，Z k ∈，因为()f x 在区间[0,]π上有且仅有4个极值点，即可得π4π0π4k ω+<<有且仅有4个整数k 符合题意，解得14014k ω+<<，即0144k ω<+<，可得0,1,2,3k =，即1434144ω+⨯<≤+⨯，解得1317,44ω⎛⎤∈⎥⎝⎦，即③正确；对于①，当()0,πx ∈时，πππ,π444x ωω⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，即可得π7π9ππ,422ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，显然当π7ππ,4π42ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在区间()0,π上有且仅有3个不同的零点；当π9ππ4π,42ω⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦时，()f x 在区间()0,π上有且仅有4个不同的零点；即①错误；对于②，()f x 的最小正周期为2π8π8π,1713T ω⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，易知π8π8π,21713⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，所以()f x 的最小正周期可能是π2，即②正确；对于④，当ππ,2319x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππππ,4234194x ωωω⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭；由1317,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦可知ππππ9π9π,,2341942319ωω⎛⎫⎛⎫++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由三角函数图象性质可知()f x 在区间ππ,2319⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，即④正确；即可得②③④正确.故选：C【点睛】方法点睛：求解三角函数中ω的取值范围时，经常利用整体代换法由图象性质限定出取值范围即可求得结果，特别注意端点处的取值能否取到等号即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若()2i 3i -⋅=z ，则z 的共轭复数为______．【答案】36i 55--【解析】【分析】化简复数z ，可得z 的共轭复数．【详解】依题意，()()()3i 2i 3i 36i 2i 2i 2i 55z +===-+--+.所以z 的共轭复数为36i 55--.故答案为：36i 55--.14.在()31(1)x x x +-的展开式中，含2x 的项的系数是______.(用数字作答)【答案】2【解析】【分析】首先得出3(1)x -展开式的通项为313C (1)-+=⋅⋅-r r r r T x ，然后分别令3r =和2r =得出其展开式的常数项和含x 的项，分两类情形即可得出所求的答案．【详解】解：因为()()3231(1)(1)+-=+-x x x x x x ，又因为3(1)x -展开式的通项为313C (1)-+=⋅⋅-r r r r T x，所以令3r =，则其常数项为41T =-；令2r =，则其含x 的项为233C 3=⋅=T x x ，所以原展开式中含2x 的项的系数为：()11132⨯-+⨯=．故答案为：2．【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．15.已知ABC 为等腰三角形，其中AB AC =，点D 为边AC 上一点，1cos 3B =.以点B 、D 为焦点的椭圆E 经过点A 与C ，则椭圆E 的离心率的值为______.【答案】3【解析】【分析】借助椭圆定义与所给数量关系，结合余弦定理计算即可得.【详解】连接点A 与BC 中点M ，即有BM CM =，由AB AC =，故AM BC ⊥，由1cos 3ABC ∠=，则13BM AB =，即23BC AB =，由椭圆定义可得2AB AD a +=、2BC CA a +=，故843AB AD BC CA AB AC BC AB a +++=++==，即32AB a =，则BC a =、2CD a a a =-=，由AB AC =故1cos cos 3BCA ABC ∠=∠=，则22241cos 23a a c BCA a a +-∠==⨯，即22222411223a c e a -=-=，解得3e =（负值舍去）.故答案为：3.【点睛】求离心率的常用方法：由已知条件得出关于a 、c 的齐次方程，然后转化为关于e 的方程并求解.16.若函数()(01)x f x a a a =>≠，与()2g x x =的图像在实数集R 上有且只有3个交点，则实数a 的取值范围为______．【答案】22e e e ,11,e -⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】问题等价于2x a x =仅有3个解，进一步可等价于2ln ln x a x =仅有3个解，设()()2ln 0x h x x x =≠，，利用导数研究函数()h x 的性质，作出其图像，利用图像即可得解．【详解】解：依题意，2x a x =仅有3个解，0x =显然不是该方程的解，则2ln ln x a x =，即2ln ln x a x =仅有3个解，设()()2ln 0x h x x x =≠，定义域关于原点对称，且满足()()2ln x h x h x x-==--，即()h x 为奇函数，考虑0x >时的情况，()2ln x h x x =，()()221ln x h x x-'=，当e x >时，()0h x '<，即()h x 在()e,∞+上单调递减，当0e x <<时，()0h x '>，即()h x 在()0,e 上单调递增，则函数极大值为()2e eh =，且当1x >时，()0h x >；当01x <<时，()0h x <；作出函数()h x 的大致图像如图所示：由于2ln ln x a x =仅有3个解，故ln y a =与函数()2ln x h x x=的图像仅有3个交点，结合图像可得2ln 0e a -<<或20ln ea <<，解得2e e 1a -<<或2e 1e a <<．故答案为：22e e e ,11,e -⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．三、解答题：本题共7小题，共82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足()11n n na n a +=+，数列{}n b 满足131n b n =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列2n a n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T ．【答案】17.()*Nn a n n =∈18.()18342n n T n +=+-⋅【解析】【分析】（1）由数列的递推式推得n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，可得所求通项公式；（2）由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．【小问1详解】()11n n na n a +=+ ，112111121n n n a a a a a n n n +-∴======+- ，()*N n a n n ∴=∈；【小问2详解】由（1）得()2231n a n nn b =⨯-，()()1231225282342312n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ①，()()23412225282342312n n n T n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ②，∴-①②得，()()2341432222312n n n T n +-=+⨯++++--⨯ ()()2112124331212n n n -+⨯-=+⨯--⨯-()18342n n +=---⨯()18342n n T n +∴=+-⋅．18.某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6，9，12，员工A 隶属于甲部门．现在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率为12，且每个人血检是否呈阳性相互独立．（1）现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人，并求员工A 被抽到的概率；（2）将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性，则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性，再逐个化验．记X 为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求X 的分布列和期望．【答案】（1）分别抽2人，3人，4人，13；（2）分布列见解析，294.【解析】【分析】（1）根据分层抽样规则求出从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数，再根据古典概型的概率公式计算可得；（2）记“每组血样化验结果呈阴性”为事件B ，利用相互独立事件的概率公式求出()P B ，则X 可取值2,5,8，分别求出概率，列出分布列，求出数学期望即可；【详解】（1）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为2:3:4，由于采用分层抽样的方法从中抽取9人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取2人，3人，4人.记事件M ：“员工A 被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，所以员工A 被抽到的概率为()2163P M ==.（2）甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，记“每组血样化验结果呈阴性”为事件B ，由于每个人血检是否呈阳性相互独立，所以()331121128P B ⎛⎫== ⎪⎝⎭=-，则X 可取值：2，5，8，()()()22112864P X P B ====﹔()()()1211147521886432P X C P B P B ⎛⎫===⨯-⨯== ⎪⎝⎭()()()222214986481P X C P B ⎫==⎛=⎪⎭- =⎝，所以X 的分布列为下表：X258P 1647324964则X 的期望为()417258964464296644324E X =⨯++=⨯⨯=．【点睛】方法点睛：本题考查分层抽样，古典概率､相互独立事件的概率以及离散型随机变量的分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出X 取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.19.如图，已知梯形CDEF 与ADE V 所在平面垂直，AD DE ⊥，CD DE ⊥，////AB CD EF ，28==AE DE ，3AB =，9EF =，12CD =，连接BC ，BF ．（1）若G 为AD 边上一点，13DG DA =，求证：//EG 平面BCF ；（2）求二面角E BF C --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）26-【解析】【分析】（1）作∥GM CD ，交BC 于点M ，连接MF ，作//BH AD ，交GM 于点N ，交DC 于点H ，接着证明9GM GN NM =+=，以及GM EF ，可得四边形GMFE 为平行四边形，可得证（2）求出平面BEF 的法向量和平面BFC 的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C 的余弦值．【小问1详解】如图，作∥GM CD ，交BC 于点M ，连接MF ，作//BH AD ，交GM 于点N ，交DC 于点H ．因为////AB CD EF ，GM EF ∴ ，所以3GN DH AB ===，9HC =，AB GM DC ，23NM BM AG HC BC AD ∴===，6NM ∴=，9GM GN NM ∴=+=，//EF CD ，∥GM CD ，GM EF ∴ ，且GM EF =，∴四边形GMFE 为平行四边形．EG MF ∴ ，又MF ⊂平面BCF ，EG ⊄平面BCF ，//EG ∴平面BCF ．【小问2详解】平面ADE ⊥平面CDEF ，平面ADE 平面CDEF =DE ，AD DE ⊥，AD ⊂平面ADE ，AD ∴⊥平面CDEF ．以D 为坐标原点，DC ，DE ，DA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．则()()()(0,4,0,9,4,0,12,0,0,3,0,4E F C B ，()(9,0,0,3,4,EF EB ∴==- ，设平面EBF 的法向量为()1111.n x y z = ，，1111119000340x n EF x y n EB ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒=⎨⎨-+⋅=⎪⎪⎩⎩ ，取1y =，得()1n = ．()(3,4,0,6,4,FC FB =-=-- ，设平面BCF 的法向量为()2222,,n x y z = ，由222222234000640x y n FC x y n FB ⎧-=⎧⋅=⎪⎪⇒=⎨⎨--+⋅=⎪⎪⎩⎩ ，取24x =，得(2n =，121212cos ,26n n n n n n ⋅∴== ， 二面角E BF C --为钝二面角，∴二面角E BF C --的余弦值为33926-.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的离心率为2，焦距为2，过E 的左焦点F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，与直线2x =-相交于点M ．（1）若()2,1M --，求证：MA BF MB AF ⋅=⋅；（2）过点F 作直线l 的垂线m 与E 相交于C 、D 两点，与直线2x =-相交于点N ．求1111MA MB NC ND+++的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件求出直线l 的方程，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，求出点A 、B 的横坐标，再利用弦长公式可证得MA BF MB AF ⋅=⋅成立；（2）分析可知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 方程为()1y k x =+，则直线m 方程为()11y x k =-+，其中0k ≠，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可得出11MA MB+的表达式，同理可得出11NC ND +的表达式，利用基本不等式可求得1111MA MB NC ND+++的最大值.【小问1详解】证明：设()1,0F c -、()2,0F c ，因为椭圆E 的焦距为2，所以22c =，解得1c =．又因为椭圆E 的离心率2c e a ==，所以a =222211b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为2212x y +=.因为直线l 经过()2,1M --、()1,0F -，()10121MF k --==---，所以，直线l 的方程为1y x =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，联立22122y x x y =+⎧⎨+=⎩可得2340x x +=，由2340x x +=，得143x =-，20x =.所以1224212133MA BF ⋅=++=⨯⨯=，2114212233MB AF ⋅=++=⨯⨯=，因此，MA BF MB AF ⋅=⋅.【小问2详解】证明：若直线l 、m 中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线2x =-平行，不合乎题意，所以，直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 方程为()1y k x =+，则直线m 方程为()11y x k=-+，其中0k ≠．联立()22122y k x x y ⎧=+⎨+=⎩可得()2222124220k x k x k +++-=，设()111,A x y 、()22,B x y ，则()()()4222168211810k k k k ∆=-+-=+>，由韦达定理可得2122421k x x k +=-+，21222221k x x k -=+，易知12x >-且22x >-，将2x =-代入直线l 的方程可得y k =-，即点()2,M k --，所以11MA MB +=)()121212124112224x x x x x x x x ++=+=+++++222222224444122282241212k k k k k k k k -+++===--+++++同理可得11C N N D ==+，所以1111MA MB NC ND ==+=++≤=，当且仅当1k =±时，等号成立，因此，1111MA MB NC ND+++的最大值为.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．21.已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =-+=+∈.（1）若()()1,a f x g x =>在区间()0,t 上恒成立，求实数t 的取值范围；（2）若函数()f x 和()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(]0,1（2）(],1-∞【解析】【分析】（1）设()()()h x f x g x =-，用导数法解()min 0h x >即可；（2）设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线，由()()()()212112121122121ln 1,2f x g x x ax x a f x g x x a x x x x x --+--==∴-=='--'，化简得到222221ln 20424a a x a x x ++++-=，然后将问题转化为关于x 的方程221ln 20424a a x a x x ++++-=有解求解.【小问1详解】由题意，当1a =时，设()()()hx f x g x =-，则()221ln 11ln (0)h x x x x x x x x =-+--=-->，()()()221112121x x x x h x x x x x+---='=--=，令()0h x '=，得1x =（舍负）()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()min ()10h x h ∴==.根据题意t 的取值范围为(]0,1.【小问2详解】设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线，则()()()()212112121122121ln 1,2f x g x x ax x a f x g x x a x x x x x --+--==∴-=='--'，12122a x x ∴=+，代入21211221ln x x x ax x a x -=-+--得222221ln 20424a a x a x x ++++-=.∴问题转化为：关于x 的方程221ln 20424a a x a x x ++++-=有解，设()221ln 2(0)424a a F x x a x x x =++++->，则函数()F x 有零点，()211ln 24F x a x a x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，当2a x e -=时，()2ln 20,e 0a x a F -+-=∴>.∴问题转化为：()F x 的最小值小于或等于0.()23231121222a x ax F x x x x x--=--+='，设()20002100x ax x --=>，则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>.()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，()F x ∴的最小值为()2002001ln 2424a a F x x a x x =++++-.由200210x ax --=知0012a x x =-，故()20000012ln 2F x x x x x =+-+-.设()212ln 2(0)x x x x x xϕ=+-+->，则()211220x x x xϕ=+++>'，故()x ϕ在()0,∞+上单调递增，()10,ϕ=∴ 当(]0,1x ∈时，()0x ϕ≤，()F x ∴的最小值()00F x ≤等价于001x ≤≤.又 函数12y x x=-在(]0,1上单调递增，(]0012,1a x x ∞∴=-∈-.【点睛】方法点睛：对于函数()f x 与函数有相同的切线问题，一般设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线，由()()()()121212f xg x f x g x x x -''==-，利用消元法，转化为方程有解求解.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为()222211231t x t y t ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线lcos sin 0θρθ--=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）[)0,2πθ∈，直线l 与C 交于M ，N 两点，其中N 点在第一象限，求M 点的极坐标及N 点的极径．【答案】（1）()221243x y x +=≠-0y -=；（2）M点的极坐标为3π2⎫⎪⎭，N点的极径为5．【解析】【分析】（1）根据已知条件，消去参数t ，即可求出曲线C 的直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可求解；（2）联立两个直角坐标方程，再结合极坐标公式，即可求解．【小问1详解】曲线C 的参数方程为()2222111t x t y t ⎧-⎪=⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），则2421x t =-++，即2421x t +=+，2x ≠-，①，2421x t +=+与21y t=+相除得2y t x =+②，联立①②，解得()221243x y x +=≠-，故曲线C 的直角坐标方程为()221243x y x +=≠-；直线lcos sin 0θρθ--=．其中cos x ρθ=，sin y ρθ=，0y -=，故直线l的直角坐标方程为0y -=；【小问2详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，联立221430x y y ⎧+=⎪-=，解得110x y =⎧⎪⎨=⎪⎩22855x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，N 点在第一象限，则M点的坐标为(0,，N 点的坐标为833,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故点M的极坐标为3π2⎫⎪⎭，N5=．23.已知函数()2322f x x x =++-，()sin 2g x x =．（1）求函数()()f x g x +的最小值；（2）设,(1,1)a b ∈-，求证：211222a b ab +--<+．【答案】（1）4（2）证明见解析【解析】【分析】（1）写出()f x 分段函数形式，分析()f x 、()g x 的性质及最值，即可确定最小值；（2）利用分析法，将问题化为证明||1a b ab +<+，进一步转化为证22()11(0)a b -->即可.【小问1详解】由题设()341,235,1241,1x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<≤⎨⎪+>⎪⎪⎩，而()sin 2g x x =在3(,]2-∞-、3(,1]2-、(1,)+∞上均能取到最小值1-，对于()f x 在3(,2-∞-上递减，3(,1]2-上为常数，(1,)+∞上递增，且连续，所以()()f x g x +的最小值在3(,1]2-上取得，即π4x =-时，最小值为4.【小问2详解】由211221122||a b a b a b +--≤+-+=+，仅当(21)(12)0a b +-≥取等号，要证211222a b ab +--<+，即证||1a b ab +<+，则22()(1)a b ab +<+，需证22222()1(1)(1)0ab a b a b --+=-->，而,(1,1)a b ∈-，即22,[0,1)a b ∈，所以22()11(0)a b -->恒成立，故211222a b ab +--<+得证.。
市场调查案例分析ppt
市场调查案例分析ppt市场分析宏观环境分析经济因素：随着我国经济走势持续增长，消费者的物质条件得到极大提升，消费者的消费意识支出的增长以及消费观念的升级，也正是消费增加助推中国手机产业的蓬勃发展。
目前，我国手机用户数量位居世界首位，已成为全球最主要的手机生产、出口基地和消费市场。
随着经济发展，国内外手机品牌将在中国掀起一场激烈的市场争夺战。
技术因素：我国国产手机的技术比以往成熟了很多。
从一开始人们不愿意购买国产手机，是因为消费者认为国产手机没有像三星、苹果那样的技术，在操作系统上可能还不够稳定。
但是近年来，我国国产手机，像小米、华为、联想、酷派、OPPO、VIVO等国产手机技术比较成熟，赢得了消费者的青睐。
社会因素：手机从最初作为人们远距离沟通交流的工具，发展到如今的集娱乐与休闲于一体，升值作为一种身份的象征。
消费者不仅注重手机的质量，同时也对手机的外观，质感以及功能提出了公告要求。
未来中国市场的增长将主要来自品类的创新与升级，而非过去的简单模仿。
消费者对产品的追求是“新”，新产品的优越性越多越明显，能满足的消费者需求程度越高，越能吸引消费者购买。
手机行业分析市场规模：根据艾媒咨询《2016-2016年度中国手机市场发展状况研究报告》显示，2016年中国手机销量约达亿。
借此粗略估算，手机行业高需求大。
行业竞争激烈程度：1、新入者威胁加大,品牌越来越多,国外品牌在中中国市场纷纷投资建厂；2、现有竞争越来越激烈,国外手机凭借质量优势占据大量份额,国产手机价格优势占据半壁江山；3、替代品威胁增加,山寨机用户市场竞争；4、消费者掌握信息增多,讨价还价能力增强；5、核心技术发展使得供应商供货质量提高,讨价还价能力增强。
产品分析VIVO手机产品有四大类：X系列，Y系列，Xshot系列，Xplay 系列。
X系类：X系类产品手机主张极致Hi-Fi，极致纤薄；以X3L，X3V为代表，今年8月份，K歌之王—X5问世。
Excel高级技巧使用COUNTIFS与SUMPRODUCT函数实现多条件计数与数据计算
Excel高级技巧使用COUNTIFS与SUMPRODUCT函数实现多条件计数与数据计算Excel是一款强大的电子表格软件，广泛应用于商业、教育和个人领域。
在Excel中，使用COUNTIFS和SUMPRODUCT函数可以实现多条件计数和数据计算，帮助用户更高效地处理和分析大量数据。
一、COUNTIFS函数的使用COUNTIFS函数是Excel中用于计算满足多个条件的单元格个数的函数。
它的基本语法如下：COUNTIFS(criteria_range1, criteria1, [criteria_range2, criteria2], ...)其中，criteria_range1是要检查的第一个条件的范围，criteria1是要检查的第一个条件。
可以在函数中添加多对条件范围和条件，以实现多条件计数。
例如，我们有一个销售数据表格，其中包含了销售员姓名、产品类型和销售额三列。
我们想要统计某个销售员销售某种产品的次数，可以使用COUNTIFS函数进行计数。
示例：统计销售员张三销售手机的次数。
首先，假设姓名列为A列，产品类型列为B列，销售额列为C列。
我们可以在D1单元格中输入以下公式：=COUNTIFS(A:A, "张三", B:B, "手机")该公式的含义是在A列中查找"张三"，在B列中查找"手机"，并计算满足这两个条件的单元格个数。
回车后，D1单元格即可显示结果。
二、SUMPRODUCT函数的使用SUMPRODUCT函数用于将数组中对应的元素相乘，并返回乘积之和。
它的基本语法如下：SUMPRODUCT(array1, [array2], ...)其中，array1、array2等是要相乘的数组或范围。
SUMPRODUCT函数经常与条件判断函数配合使用，可以实现复杂的数据计算和筛选。
示例：计算某种产品的总销售额。
假设我们仍然使用上述的销售数据表格，我们想要计算某种产品的总销售额。
sumproduct函数多条件计数
sumproduct函数多条件计数sumproduct函数是Excel中一个非常强大的函数，它能够实现多条件的计数。
在本文中，我们将详细介绍sumproduct函数的用法和应用场景，帮助读者更好地理解和运用这个函数。
我们来了解sumproduct函数的基本用法。
sumproduct函数的作用是将多个数组的对应元素相乘，并将乘积相加得到最终的结果。
其语法如下：```SUMPRODUCT(array1, array2, ...)```其中，array1, array2等参数是需要进行相乘的数组。
这些数组可以是具体的数值范围，也可以是某个区域的引用。
sumproduct函数会将这些数组的对应元素相乘，并将乘积相加得到结果。
在实际应用中，sumproduct函数最常见的用途是进行条件计数。
假设我们有一个销售数据表格，其中包含了每个销售人员的姓名、产品名称和销售数量。
我们需要根据不同的条件来统计销售数量，这时就可以使用sumproduct函数来完成。
我们需要创建一个销售数据表格，包含了销售人员的姓名、产品名称和销售数量。
然后，在需要统计销售数量的位置，输入以下公式：```=SUMPRODUCT((B2:B10="销售人员A")*(C2:C10="产品A")*(D2:D10))```这个公式的含义是，统计销售人员为“销售人员A”且产品名称为“产品A”的销售数量之和。
sumproduct函数会先判断B2:B10是否等于“销售人员A”，得到一个布尔数组；然后判断C2:C10是否等于“产品A”，得到另一个布尔数组；最后将这两个布尔数组相乘，并将结果与D2:D10相乘，得到最终的结果。
同样的道理，我们可以根据不同的条件进行更复杂的计数。
例如，我们可以统计销售人员为“销售人员A”且产品名称为“产品A”或“产品B”的销售数量之和：```=SUMPRODUCT((B2:B10="销售人员A")*((C2:C10="产品A")+(C2:C10="产品B"))*(D2:D10))```这个公式的含义是，先判断B2:B10是否等于“销售人员A”，得到一个布尔数组；然后判断C2:C10是否等于“产品A”或“产品B”，得到另一个布尔数组；将这两个布尔数组相乘，并将结果与D2:D10相乘，得到最终的结果。
2024年手机销售计划
2024年手机销售计划一、市场分析随着科技的不断发展和人们生活水平的提高，手机已经成为人们生活中必不可少的一部分。
2024年，手机市场预计将继续保持增长的势头。
1.1 市场规模根据市场调研数据显示，2024年全球手机市场销售额预计将达到1.8万亿美元，而中国的手机市场销售额预计将占到全球市场的三分之一，成为最大的手机销售市场。
1.2 市场趋势在产品方面，人们对手机功能的依赖性越来越大，对于拍照、游戏、社交等功能的需求也不断增加。
同时，消费者对于手机外观设计的要求也逐渐提高，追求更加轻薄、时尚的外观。
因此，在2024年的手机市场，高性能、高像素、窄边框以及折叠屏手机将继续受到市场的青睐。
1.3 市场竞争手机市场竞争激烈，除了现有的手机厂商外，还有一些新的创业公司涌现，打破了市场的垄断格局。
国内厂商在全球市场上也逐渐崭露头角。
因此，在2024年的手机市场，市场竞争将更加激烈，企业需要具备创新能力、品牌优势以及市场拓展能力。
二、销售目标针对2024年的手机市场趋势和竞争特点，我们制定了如下的销售目标：2.1 销售额目标我们的销售额目标为500亿元，同比增长30%。
2.2 市场份额目标我们的市场份额目标为15%，提高5个百分点。
2.3 利润目标我们的利润目标为20亿元，同比增长25%。
三、产品策略针对市场趋势和竞争特点，我们将制定以下产品策略：3.1 高性能产品我们将在2024年推出一款高性能手机，采用最新的芯片和操作系统，以满足消费者对于手机性能的需求。
我们将提供更快的处理速度、更高的存储容量和更好的多任务处理能力，以及先进的AI人工智能功能。
3.2 高像素产品我们将在2024年推出一款高像素手机，配备最新的拍照技术和摄像头，提供更好的拍照和视频录制体验。
我们将提供更高的像素数、更好的图像处理算法和更先进的光学防抖技术，以满足消费者对于手机拍照的需求。
3.3 折叠屏产品我们将在2024年推出一款折叠屏手机，以满足消费者对于手机外观设计的需求。
exce sumproduct countifs 多条件 统计客户数
exce sumproduct countifs 多条件统计客户数（最新版）目录1.引言：介绍 Excel 中的 SUMPRODUCT 和 COUNTIFS 函数2.exce sumproduct countifs 多条件统计客户数：详细解释如何使用这些函数进行多条件统计客户数3.实际应用案例：展示如何使用这些函数解决具体问题4.总结：回顾本文所介绍的内容和方法正文在 Excel 中，对于数据处理和分析，有一些强大的函数可以帮助我们快速地完成各种复杂的任务。
今天我们将介绍其中的 SUMPRODUCT 和COUNTIFS 函数，并详细解释如何使用它们进行多条件统计客户数。
首先，我们来了解一下 SUMPRODUCT 函数。
这个函数的主要作用是计算多个乘积的和。
它的语法为：=sumproduct(range1,range2,range3...)。
其中，range1、range2、range3 等表示需要相乘的区域。
例如，如果我们有两个区域 A 和 B，我们想要计算 A 区域中每个数字与 B 区域中每个数字的乘积之和，可以使用以下公式：=sumproduct(A:A,B:B)。
接下来，我们介绍一下 COUNTIFS 函数。
这个函数的主要作用是满足多个条件时返回符合条件的单元格数量。
它的语法为：=countifs(range1,criteria1,range2,criteria2,...)。
其中，range1、range2 等表示需要统计的区域，criteria1、criteria2 等表示需要满足的条件。
例如，如果我们有两个区域 A 和 B，我们想要计算 A 区域中每个数字是否满足 B 区域中的条件，可以使用以下公式：=countifs(A:A,B:B)。
当我们需要同时使用这两个函数进行多条件统计客户数时，可以这样操作：假设我们有一个表格，其中 A 列为客户 ID，B 列为客户类型，C 列为产品类型，D 列为销售额。
小米真实销售数据分析报告(3篇)
第1篇一、报告概述本报告旨在通过对小米公司近年来的销售数据进行分析，全面了解小米产品的市场表现、销售趋势以及用户画像。
报告将涵盖小米手机、智能硬件、IoT平台及其他产品线的销售数据，分析其市场份额、销售额、用户增长等方面，为小米公司未来的市场策略提供数据支持。
二、数据来源本报告所使用的数据主要来源于小米公司官方发布的财务报告、市场调研报告以及第三方数据平台。
数据时间范围为2018年至2023年。
三、市场表现分析1. 市场份额（1）手机市场根据IDC和Counterpoint等市场调研机构的数据，小米手机在全球智能手机市场的份额持续增长。
2018年至2023年，小米手机在全球市场份额从8.7%增长至13.2%，成为全球第三大智能手机品牌。
（2）智能硬件市场小米的智能硬件业务发展迅速，市场份额逐年上升。
以2018年为基数，至2023年，小米智能硬件在全球市场份额从 1.2%增长至 4.8%，成为全球第二大智能硬件品牌。
2. 销售额（1）手机销售额2018年至2023年，小米手机销售额持续增长。
根据小米官方数据，2018年小米手机销售额为1140亿元，2023年达到2000亿元，年复合增长率约为10%。
（2）智能硬件销售额小米智能硬件业务销售额也呈现快速增长态势。
2018年，小米智能硬件销售额为180亿元，2023年达到500亿元，年复合增长率约为50%。
四、销售趋势分析1. 产品线拓展近年来，小米不断拓展产品线，从手机、智能硬件到IoT平台，涵盖了多个领域。
以下是部分重点产品线的销售趋势分析：（1）手机随着5G技术的普及，小米手机在高端市场的竞争力逐渐增强。
2018年至2023年，小米高端手机市场份额从5%增长至15%，成为全球高端手机市场的重要参与者。
（2）智能硬件小米智能硬件业务持续增长，智能家居、智能穿戴、智能出行等领域的产品线不断丰富。
2018年至2023年，小米智能硬件销售额年复合增长率达到50%，展现出强大的市场潜力。
手机促销策划书活动主题3篇
手机促销策划书活动主题3篇篇一《手机促销策划书活动主题》一、活动背景随着科技的不断发展，手机已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
为了吸引更多消费者关注我们的手机产品，提升品牌知名度和销售量，特制定本次手机促销策划书活动。
二、活动目的1. 提高手机产品的市场占有率，增加销售量。
2. 提升品牌知名度和美誉度，增强消费者对品牌的信任和认可。
3. 促进消费者对手机产品的了解和认知，激发购买欲望。
三、活动主题“畅享智能，手机狂欢”四、活动时间[具体活动时间]五、活动地点[详细活动地点]六、活动对象广大消费者七、活动内容1. 优惠折扣推出多款手机产品的限时优惠折扣，让消费者以更实惠的价格购买心仪的手机。
2. 赠品活动购买指定手机型号即可获得精美赠品，如手机壳、充电器、耳机等，增加消费者的购买吸引力。
3. 抽奖活动在活动期间，凡购买手机的消费者均可参与抽奖，有机会赢取丰厚奖品，包括高端手机、平板电脑等。
4. 体验区设置在活动现场设置手机体验区，让消费者能够亲身感受手机的各项功能和性能，提高购买决策的准确性。
5. 互动游戏举办与手机相关的互动游戏，如手机拍照比赛、手机游戏竞赛等，参与者有机会获得奖品，增加活动的趣味性和参与度。
八、宣传推广1. 线上宣传利用社交媒体平台、电商平台、手机品牌官网等进行广泛宣传，发布活动信息、优惠政策、产品介绍等，吸引潜在消费者的关注。
2. 线下宣传在商场、超市、步行街等人流量较大的地方张贴海报、发放传单，提高活动的知名度和曝光率。
3. 合作推广与相关媒体、博主、网红等进行合作推广，邀请他们参与活动宣传，扩大活动的影响力。
九、活动预算活动预算主要包括优惠折扣费用、赠品费用、抽奖奖品费用、宣传推广费用、场地布置费用等，根据实际情况进行合理预算和控制。
十、活动效果评估1. 销售数据统计对活动期间的手机销售数据进行统计和分析，评估活动对销售量的提升效果。
2. 消费者反馈收集通过问卷调查、现场访谈等方式收集消费者对活动的反馈意见，了解消费者的满意度和改进建议。
power bi countifs函数的用法 -回复
power bi countifs函数的用法-回复【Power BI Countifs函数的用法】Power BI是一款功能强大、灵活易用的商业智能工具，它可以帮助企业和个人更好地分析和可视化数据。
而Countifs函数是Power BI中的一个非常实用的函数，它可以根据指定的多个条件，对数据集进行计数。
本文将详细介绍Countifs函数的用法，并通过一步一步的回答来讲解其具体操作。
1. 什么是Countifs函数？Countifs函数是一个用于计数满足多个条件的数据的函数。
与常见的Count函数只能计数单个条件相比，Countifs函数可以同时满足多个条件，从而更准确地统计数据。
2. 如何使用Countifs函数？在Power BI中使用Countifs函数，需要在公式编辑器中输入函数的语法结构。
其语法结构如下：Countifs(column1, criterion1, column2, criterion2, ...)其中，column1、column2等代表要计数的列，criterion1、criterion2等代表对应列的条件。
3. Countifs函数的参数说明- column1、column2...：要进行计数的列。
可以是一个列名，也可以是一个用“[列名]”表示的表达式。
- criterion1、criterion2...：对应列的条件。
可以是一个具体的数值、文本，也可以是一个用表达式定义的条件。
4. 举例说明为了更好地理解Countifs函数的用法，我们以一个实际案例来进行举例说明。
假设有一个销售数据表，包含了销售人员、产品种类、销售日期等信息。
现在需要统计某一时间段内销售产品种类为手机的销售数量。
具体操作如下：Step 1: 准备数据首先，我们需要准备相关的销售数据。
可以通过连接数据源、导入数据等方式将销售数据导入Power BI中。
Step 2: 表格视图在Power BI的数据视图中，选择需要使用的数据表，并切换至表格视图。
excel多条件满足统计汇总
excel多条件满足统计汇总Excel是一款功能强大的电子表格软件，可以对数据进行多条件满足统计和汇总。
本文将介绍如何使用Excel进行多条件满足统计和汇总，并详细解释相关操作步骤和注意事项。
我们需要明确什么是多条件满足统计和汇总。
在Excel中，多条件满足统计和汇总是指根据多个条件对数据进行筛选和统计，以便得出所需的结果。
下面以一个实际案例来说明。
假设我们有一份销售数据表格，其中包含了产品名称、销售数量和销售金额等信息。
我们希望统计某个产品在某个时间段内的销售数量和销售金额，同时满足以下条件：产品名称为A，销售数量大于100，销售金额大于1000。
我们需要在表格中创建一个新的区域，用于输入条件参数。
我们可以将条件参数分别输入到不同的单元格中，例如将产品名称输入到A1单元格，销售数量大于100输入到B1单元格，销售金额大于1000输入到C1单元格。
接下来，我们需要使用Excel的筛选功能来满足条件筛选的需求。
首先选中整个数据表格，然后点击Excel菜单栏中的“数据”选项卡，在“排序和筛选”功能组中选择“筛选”按钮。
此时，每一列的标题栏上都会出现筛选的小箭头。
我们需要依次点击产品名称、销售数量和销售金额三列标题栏上的筛选小箭头，然后选择“筛选”选项。
在弹出的筛选窗口中，选择“自定义筛选”选项，并在相应的条件输入框中输入条件参数。
以产品名称为例，我们选择“等于”条件，并在输入框中输入A。
对于销售数量和销售金额，我们选择“大于”条件，并分别输入100和1000。
点击“确定”按钮后，Excel会根据我们设置的条件对数据进行筛选，并只显示满足条件的数据行。
此时，我们可以看到只有满足产品名称为A，销售数量大于100，销售金额大于1000的数据行被显示出来。
接下来，我们需要统计满足条件的销售数量和销售金额。
在数据表格下方的空白行中，可以使用Excel的内置函数来实现统计功能。
在销售数量的统计单元格中，我们可以使用“SUM”函数来对满足条件的销售数量进行求和。
exce sumproduct countifs 多条件 统计客户数 -回复
exce sumproduct countifs 多条件统计客户数-回复在Excel中，我们经常需要用到一些函数来对数据进行分析和统计。
其中，SUMPRODUCT和COUNTIFS函数是两个非常有用的函数，它们能够帮助我们进行多条件统计和计算。
在本篇文章中，我将详细介绍这两个函数的使用方法，以及如何使用它们来统计客户数。
首先，让我们先了解一下SUMPRODUCT函数。
这个函数的作用是将一组数值相乘然后求和。
它的语法如下：SUMPRODUCT(array1, array2, ...)其中，array1、array2等参数可以是数组、单个数值或者范围。
它们将被相乘并求和。
举个例子，假设我们有一个销售数据表，其中包含了客户名字、销售额和销售数量。
我们想要计算每个客户总的销售额，可以使用以下公式：=SUMPRODUCT((B2:B100)*(C2:C100))在这个例子中，B2:B100是客户名字所在的列，C2:C100是销售额所在的列。
我们将这两个数组相乘，然后使用SUMPRODUCT函数求和，就可以得到每个客户的总销售额。
接下来，让我们来介绍一下COUNTIFS函数。
这个函数用于统计符合多个条件的单元格的个数。
它的语法如下：COUNTIFS(criteria_range1, criteria1, [criteria_range2, criteria2], ...)其中，criteria_range1、criteria_range2等参数指定了要检查的范围，而criteria1、criteria2等参数则指定了要匹配的条件。
举个例子，假设我们有一个客户数据表，其中包含客户名字、所属城市和购买次数。
我们想要统计购买次数大于10次且所属城市为"北京"的客户数量，可以使用以下公式：=COUNTIFS(B2:B100,"北京",C2:C100,">10")在这个例子中，B2:B100是客户名字所在的列，C2:C100是购买次数所在的列。
countifs多列计数公式
countifs多列计数公式countifs多列计数公式是一种在Excel中常用的函数，用于统计满足特定条件的数据个数。
它可以同时对多个列进行计数，并根据多个条件进行筛选，非常灵活和方便。
让我们来了解一下countifs函数的基本语法。
countifs函数的语法如下：=countifs(criteria_range1, criteria1, [criteria_range2, criteria2], ...)其中，criteria_range1是要进行条件判断的第一个数据范围，criteria1是与criteria_range1相对应的判断条件。
如果需要同时对多个数据范围进行条件判断，可以继续添加criteria_range2、criteria2，以此类推。
接下来，我们将通过几个实际的例子来说明countifs多列计数公式的使用方法。
例1：统计某个城市在某个时间段内的销售额假设我们有一个销售数据表格，其中包含了城市、日期和销售额三列数据。
现在我们想要统计某个城市在某个时间段内的销售额。
这时，我们可以使用countifs函数来解决这个问题。
我们需要设置两个条件：城市和日期。
假设我们要统计城市为“北京”、日期在2021年1月1日至2021年1月31日之间的销售额。
我们可以使用以下公式：=countifs(城市列, "北京", 日期列, ">=2021/1/1", 日期列, "<=2021/1/31")这个公式中，criteria_range1是城市列，criteria1是"北京"；criteria_range2是日期列，criteria2是">=2021/1/1"，criteria_range3是日期列，criteria3是"<=2021/1/31"。
通过这个公式，我们可以得到城市为“北京”、日期在指定时间范围内的销售额个数。
Excel高级函数利用SUMPRODUCT和MAXIFS进行多条件汇总和最大值计算
Excel高级函数利用SUMPRODUCT和MAXIFS进行多条件汇总和最大值计算Excel是一个功能强大的电子表格软件，它提供了丰富的函数来满足各种数据处理需求。
在Excel中，SUMPRODUCT和MAXIFS函数是两个常用的高级函数，可以帮助我们进行多条件汇总和最大值计算。
本文将介绍如何利用这两个函数来实现这些功能。
一、SUMPRODUCT函数的多条件汇总功能SUMPRODUCT函数是一种灵活且强大的函数，它可以对多个条件进行汇总计算。
该函数的基本语法如下：SUMPRODUCT(array1, array2, ...)其中，array1、array2等参数是要相乘的数组或范围。
在实际应用中，我们可以使用条件函数如IF、COUNTIF、SUMIF等来筛选出需要相乘的数组，然后将这些数组作为SUMPRODUCT函数的参数进行计算。
下面以一个销售数据表为例，展示如何利用SUMPRODUCT函数进行多条件汇总。
假设我们有一个销售数据表，其中包含了产品名称、销售地区、销售额等信息。
我们需要计算某个产品在某个地区的销售总额。
首先，在表格中设置条件，例如选择产品为“产品A”，销售地区为“地区A”。
然后，利用COUNTIF函数来生成一个包含了符合条件的数组。
COUNTIF函数的基本语法如下：COUNTIF(range, criteria)其中，range是要检查的范围，criteria是要匹配的条件。
在我们的例子中，range是产品名称的列，criteria是“产品A”。
这样，COUNTIF 函数将返回包含了符合条件的数组。
接下来，我们将这个数组与销售额的列相乘，然后再利用SUMPRODUCT函数计算这个乘积的和，即可得到我们所需的多条件汇总结果。
二、MAXIFS函数的最大值计算功能MAXIFS函数是Excel 2016及更新版本中新增的函数，它可以帮助我们快速计算满足多个条件的数据中的最大值。
该函数的基本语法如下：MAXIFS(max_range, criteria_range1, criteria1, ...)其中，max_range是要计算最大值的范围，criteria_range1、criteria1等参数是分别对应的条件范围和条件。