9Lingo优化软件及其应用-第九章

5：目标函数 这个模型的目标函数是使得总成本(运输总成本加上运 作成本的总和)达到最小。这可以用下面的表达式计算 [TTL_COST]MIN=@SUM(ARC:COST*VOL)+ @SUM(PLANTS:FCOST*OPEN); 目标函数里运输总成本是@SUM(ARC:COST*VOL); 而运作成本总和是@SUM(PLANTS:FCOST*OPEN) 6：约束条件 这个模型有两种类型的约束：第一种是每个客户必须 得到足够的产品以满足需求；第二种是每个工厂的运 输量不能超过它的生产量。 下面的表达式保证所有客户都可以获得足够的产品 @FOR(CUSTOMERS(J):[DEMAND] @SUM(PLANTS(I):VOL(I,J))>=DEM(J));
Lingo优化软件及其应用
Lingo Optimal Software and its Applications
中国科学院研究生院
Lingo设计高级模型
1：确定性模型
最短路问题 确定最佳的工厂位置 飞行计划问题（来源于实际）
2：随机性模型
离散型随机变量的概率分布—二项分布 航空机票超订票问题 Erlang排队模型
P{ X 4} P{ X 0} P{ X 1} P{ X 2} P{ X 3} P{ X 4}
k P{ X k } C 20 0.2 1 0.2 k 20 k
, k 0,1,2,3,4
t =@pbn(0.2,20,4);
Feasible solution found at iteration: Variable Value T 0.6296483 0
飞
行
计
划
的
原
始
数
据
第4月 185.0
第1月
新飞机价格 闲置的熟练飞行员 报酬 教练和新飞行员报 酬（含培训费用） 执行飞行任务的熟 练飞行员报酬
第2月 195.0
第3月 190.0
200.0
7.0
10.0 9.0
6.9
9.9 8Leabharlann 96.89.8 9.8
6.7
9.7 9.7
休假期间的熟练飞 行员报酬
D(V1,V2) F(V2)
V1 D(V1,V3)
V3
V4 F(V3)
V5
2:集合 只建立一个基本集合CITIES，它代表了网络里的城市。 我们用这个基本集合派生出一个集合ROADS是一个疏 集。 3:变量 定义在CITIES集合上的属性F为每一个城市到终点城 市的最短距离。定义在ROADS集合上的属性D表示两 个城市之间的直达距离。 4:公式 我们使用下面的语句计算各城市到城市10的最短距离： @FOR( CITIES( i)| i #LT# @SIZE( CITIES): F( i) = @MIN( ROADS( i, j): D( i, j) + F( j)) );
约
束
条
件
（1）飞机数量限制。 4个月中执行飞行任务的飞机分别为100，150， 150，200（架），但只有80，120，120，160 （架）能够返回供下个月使用。 第一个月：100 第二个月：150 第三个月：150 第四个月：200 + + + + y1 y2 y3 y4 = = = = 110; 80 + y1 + x1; 120 + y2 + x2; 120 + y3 + x3;
3：集合 在这个模型里，我们建立了两个基本集合：一个是 PLANTS(工厂)集合；一个是CUSTOMER(客户)集合。 用这两个集合，我们建立了一个密集ARCS，它是由 工厂集合与客户集合相乘而得。我们用个集合来表达 工厂与客户之间的运输线路。 4：变量 在这个模型里，我们有两类决策变量。定义在集合 ARCS上的属性VOL代表了工厂到客户每一个线路上 的运输量；定义在集合PLANTS上的属性OPEN是用 于表示哪些工厂将开工。具体地说，如果工厂p将开工， 则OPEN(p)的值为1，否则为0。属性OPEN的元素将 用下式定义为二元0/1变量： @FOR(PLANTS:@BIN(OPEN));
用Lingo确定最佳的工厂位置
1：背景 工厂定位模型是运输问题的推广。工厂定位问题具有 较大的决策范围，工厂位置是变量。厂商很可能会遇 到这样一类问题：在满足顾客对产品要求的前提下使 总运输成本达到最小。 2：问题 某公司计划增加一些产品加工点(工厂)，有三个位置可 供选择。现有四个客户需要该公司的产品且需求量已 知。在每一个位置建立工厂都有与其关联的月运作费 用，从工厂到客户的运输成本也不相同。此外，工厂 的运输能力也是有限的，不得突破它的生产能力。现 在需要决定哪些工厂要开工？开工的工厂给每一个客 户运送多少产品使得总运输成本和工厂月运作费用之 和最少。
（以第二次世界大战中的实例为背景，简化） 在甲乙双方的一场战争中，一部分甲方部队被乙方部队包 围长达4个月。由于乙方封锁了所有水陆交通通道，被包围的甲 方部队只能依靠空中交通维持供给。运送4个月的供给分别需要 2，3，3，4次飞行，每次飞行编队由50架飞机组成（每架飞机 需要3名飞行员），可以运送10万吨物资。每架飞机每个月只能 飞行一次，每名飞行员每个月也只能飞行一次。在执行完运输 任务后的返回途中有20%的飞机会被乙方部队击落，相应的飞行 员也因此牺牲或失踪。 在第一个月开始时，甲方拥有110架飞机和330名熟练的飞 行员。在每个月开始时，甲方可以招聘新飞行员和购买新飞机。 新飞机必须经过一个月的检查后才可以投入使用，新飞行员必 须在熟练飞行员的指导下经过一个月的训练才能投入飞行。每 名熟练飞行员可以作为教练每个月指导20名飞行员（包括他自 己在内）进行训练。每名飞行员在完成一个月的飞行任务后， 必须有一个月的带薪假期，假期结束后才能再投入飞行。 各项费用如下表，请安排一个飞行计划
MODEL:! 工厂定位问题; SETS: PLANTS / P1, P2, P3/: FCOST, CAP, OPEN; CUSTOMERS / C1, C2, C3, C4/ : DEM; ARCS( PLANTS, CUSTOMERS) : COST, VOL; ENDSETS DATA: FCOST = 91, 70, 24; ! 每个工厂的月运作费用; CAP = 39, 35, 31; ! 每个工厂的生产能力; DEM = 15, 17, 22, 12; ! 每个客户的月需求; ! 单位产品的运输成本; COST = 6, 2, 6, 7, 4, 9, 5, 3, 8, 8, 1, 5; ENDDATA ! 目标函数; [TTL_COST] MIN = @SUM( ARCS: COST * VOL) + @SUM( PLANTS: FCOST * OPEN); !需求约束; @FOR( CUSTOMERS( J): [DEMAND] @SUM( PLANTS( I): VOL( I, J)) >= DEM( J) ); ! 供应约束; @FOR( PLANTS( I): [SUPPLY] @SUM( CUSTOMERS( J): VOL( I, J)) <= CAP( I) * OPEN( I) ); !限制OPEN为0/1变量; @FOR( PLANTS: @BIN( OPEN)); END
对每一个客户，我们计算出接收运输量的总和，并且 让它大于或等于客户的需求量。为了限制工厂的运输 量不超过它的生产能力： @FOR(PLANTS(I):[SUPPLY] @SUM(CUSTOMERS(J):VOL(I,J))<= CAP(I)*OPEN(I)); 对于每一个客户，计算出了运输量的总和，并且让它 小于或等于工厂的生产能力乘上表示工厂开工与否的 指示器OPEN。
!x<=4时的概率;
t4_all = @pbn(0.2,20,4) ;
!x=0时的概率; t0 =@pbn(0.2,20,0); !x=1时的概率; t1 = @pbn(0.2,20,1) - t0;
!x=2时的概率;
t2 = @pbn(0.2,20,2) - t1-t0; !x=3时的概率; t3 = @pbn(0.2,20,3) - t2-t1-t0; !x=4时的概率; t4 = @pbn(0.2,20,4) -t3-t2-t1-t0;
航空机票超订票问题 某航空公司执行两地的飞行任务。已知飞 机的有效载客量为150人。按民用航空管理有关 规定：旅客因有事或误机，机票可免费改签一 次，此外也可在飞机起飞前退票。航空公司为 了避免由此发生的损失，采用超量订票的方法， 即每班售出票数大于飞机载客数。但由此会发 生持票登机旅客多于座位数的情况，在这种情 况下，航空公司让超员旅客改乘其它航班，并 给旅客票价的20%作为补偿。现假定两地的机 票价格为1500元，每位旅客有0.04的概率发生 有事、误机或退票的情况，问航空公司多售出 多少张票使该公司的预期损失达到最小？
约
束
条
件
（2）飞行员数量限制。 4个月中执行飞行任务的熟练飞行员分别为300， 450，450，600（人），但只有240，360，360， 480（人）能够返回（下个月一定休假）。 第一个月：300+0.05*u1+v1 第二个月：450+0.05*u2+v2 第三个月：450+0.05*u3+v3 第四个月：600+0.05*u4+v4 = = = = 330; u1+v1; u2+v2+240; u3+v3+360;
5.0
4.9
4.8
4.7
定
义
决
策
变
量
设4个月开始时甲方新购买的飞机数量分别 为x1,x2,x3,x4架，闲置的飞机数量分别为 y1,y2,y3,y4架。4个月中，飞行员中教练和新 飞行员数量分别为u1,u2,u3,u4人，闲置的熟练 飞行员数量分别为v1,v2,v3,v4人。