分析法课件

a+b 证明:要证 ab 2 只需证: a + b 2 ab
只需证: a + b 2 ab 0 只需证:( a b )2 0 因为: 成立 ( a b) 0 所以 a + b 成立
2
2

ab
上述两种证法有什么异同？
相同
都是直接证明
证法1 从已知条件出发，以已知的定义、 公理、定理为依据，逐步下推，直到推出 要证明的结论为止 综合法
特点：执果索因.
用框图表示分析法的思考过程、特点.
Q P1
P1 P2
P2 P3
…
得到一个明显 成立的结论
现在请大家思考一下如何来完成前面的思考? 求证：3 5 2 6 证明：因为 3、 5、 2和 6都是正数所以
要证 3 5 2 6 只需证3 5 2 15 2 6 2 12 只需证2 15 2 12
事实上，在解决问题时，我们常常把综合法和分析法结合起来使用
根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q' , 根据结论的特 特点去转化条件，得到中间结论P’ ，若由P' 可以推出Q’ 成立，就可 以证明结论成立。
练习.设a, b, c是ABC的三边，S是三角形的面积，求证： c 2 a 2 b 2 4ab 4 3S
分析法和综合法是思维方向相反的两种思考 方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证 结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最 后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的 已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到 待证结论或需求问题。 对于解答证明来说，分析法表现为执果索因， 综合法表现为由因导果，它们是寻求解题思路的 两种基本思考方法，应用十分广泛。
要证c 2 a 2 b 2 4ab 4 3S
只需证 2ab cosC 4ab 2 3ab sin C
只需证 cosC 2 3 sin C
只需证 3 1 sin(C
只需证 3 sin C cosC 2
6 在ABC中， C 0 )2
通过观察已知条件和结论，发现结论中要证的是边长和面积 之间的关系。不等式左边c 2 a 2 b 2能联想到三角形的余弦定 理，不等式的右边涉及到了三角形的面积S，自然可以向面积
1 1 1 公式S ab sin C ac sin B bc sin A，于是尝试转化结论： 2 2 2 将不等式的两边进行变形。
P Q1
Q1 Q2
Q 2 Q3
…
Qn Q
特点：由因导果
直接证明（学生活动）
思考：在《数学5 （必修）》中，我们如何证明 ab 基本不等式 ab (a 0, b 0) ? 2
证法1
对于正数a、b, 有
（ a b） 0
2
a b 2 ab 0 a b 2 ab ab 2 ab
教学过程： 复习
推 理
合情推理
（或然性推理）
演绎推理 （必然性推理） 三段论 （一般到特殊）
归纳推理
(特殊到一般）ຫໍສະໝຸດ 类比推理 （特殊到特殊）演绎推理是证明数学结论、建立数学体系 的重要思维过程. 数学结论、证明思路的发现,主要靠合情推理.
合情推理得到的结论是不可靠的， 需要证明。数学中证明的方法有哪 些呢？
C

6
(
7
6 , 6
)
1 s in(C ) ( ,1] 6 2 2 s in(C


6 原不等式成立
) ( 1,2]
小结
直接证明
综合法
由因导果
执果索因
分析法
综合法和分析法是直接证明中最基本的两种方法， 也是解决数学问题时常用的思维方式，常把它们 结合起来使用.即当遇到较难的新命题时，应当先 用分析法来探求解法，然后将找到的解法用综合 法叙述出来.
a 2 b2 c2 由cos C 可以得到，c 2 a 2 b 2 2ab cos C 2ab
a 2 b2 c2 证明：由cos C 可以得到，c 2 a 2 b 2 2ab cosC 2ab
1 由S ab sin C可得,4 3S 2 3ab sin C 2
不同
证法2 从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条 件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件 吻合为止 分析法
分析法 : 一般地，从要证明的结论出发，
逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后， 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的 条件（已知条件、定理、定义、公理等）为 止，这种证明的方法叫做分析法．
作 业
导学案课后作业
2.2.1综合法和分析法(二)
• 主讲人：孔德鹏
教学目标：
• 1. 会用分析法证明问题，了解分析法的 思考过程。
• 2.根据问题的特点，结合分析法的思考 过程、特点，选择适当的证明方法
重难点
• 1.结合已学过的数学实例，了解直接证 明的基本方法：分析法 • 2.了解分析法和综合法的思考过程、特 点。
只需证15 12
显然15 12成立 所以原不等式 3 5 2 6成立
练习 求证： 3 7 2 5
证明：因为 3 7和2 5 都是正数， 所以要证
3 7 2 5
只需证 ( 3 7) 2 (2 5) 2
展开得 10 2 21 20 即
21 5
只需证21<25，因为21<25成立， 所以不等式
综合法 直接证明 证明的方法 分析法 间接证明（反证法）
综合法： 利用已知条件和某些数学定义、公理、定 理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要 证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法也 叫顺推法. 用P表示已知条件、已有的定义、公理、 定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
3 7 2 5 成立。
S
E A
F
C B
证明： SA 面ABC
SA BC 又 AB BC且AB SA A
BC 面SAB BC AE
又 AE SB, 且BC SB B AE 面SBC AE SC
又 EF SC, 且AE EF E SC 面AEF AF SC
思考：
求证：3 5 2 6
很显然从待证不等式不易发现证明的出发点，因此我们就 应该改变解题策略。
回顾基本不等式：
(a>0,b>0)的证明.
a+b 2
ab
证明:
因为: ( a b )2 0
所以 a + b 2 ab 0 所以 a + b 2 ab 所以 a + b 成立 ab 2