2008年同济大学808真题及详解

⇒ q cr =
2π 2 EI l3
（2）水平支杆位于中间横梁处：
③ q cr = 4.08
π 2 EI l3
④上部： Fcr =
π 2 EI
(2l )2
=
q cr 2
⇒ q cr = 0.5
π 2 EI l3
下部： q cr = 4.08
π 2 EI l3
七、图示为一中间带铰的梁，其弯曲刚度为 EI，若梁的右端竖直下沉 s，求此时
EI 2EI
l
l
l
10
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
解：在柱顶 C 加一水平链杆，则原问题可转化为图(a)、(b)两种情况的叠加。
(a) 对于（b）图，其运动方程为： 5 & + ky = ql sin θt ml & y 8 k= 3EI 12 × 2 EI 6 EI + (2l 3 ) = l 3 l3
由①②③得，MA=0.6T MC=0.4T 作出扭矩图： 0.4T A 0.6T （2） ϕ B = TC ⋅ 15a 0.4T ⋅ 15a 4T = = 3 15 GI P 2 G ⋅ 8πa 4 5Gπa 16 0.6T ⋅ 2a 3T = I P1 20πa 3 D C
（3） τ max, AD =
2 2 σ r3 = σ A + 4τ A =
(− 142.5)2 + 35.4 2
= 159.1MPa < [σ ] = 170MPa
故满足强度要求。 六、图示刚架顶部横梁弯曲刚度为无限大，其余各杆 EI 相同，所有杆件轴向刚 度均为无限大， 请问：若在顶部横梁和中间横梁两处中选择一处增加一个水平支 杆支座，则该刚架的失稳临界荷载 qcr 至少能达到多少？试说明理由并画出此时 刚架失稳变形曲线。 q EI1=∞ EI EI l
∑M
3 = 0 ，N1 ⋅ 2a + N 2 ⋅ a − P ⋅ a = 0 2 ∆l1 − ∆l 3 2 = ∆l 2 − ∆l 3 1 N 1l EA ∆l 2 = N 2 ⋅ 2l EA ∆l 3 = N 3l EA
几何方程：
物理方程： ∆l1 =
由此解得： N1 = 0.65 P σ max =
EI EI EI l
l 解： （1）水平支杆位于顶部横梁处：
5
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
0.7l 0.5 0.7l 2l
① ① Fcr =
② π 2 EI l3
(0.7l )2
π 2 EI
π 2 EI
=
q cr l 2 =
⇒ q cr = 4.08
② Fcr =
(0.5 × 2l )2
q cr l 2
45o
d 解： A = π = 11304mm 2 2 Wp = πd 3 = 339120mm3 16
2
Iy = Iz =
πd 4 = 10173600mm 4 64
将力简化到固端 O： 4 3 N = − P1 × = −8kN M z = P2 × 1 − P1 × × 4 = −18kN ⋅ m 5 5 4 3 M y = − P1 × × 2 = −16kN ⋅ m M n = P1 × × 2 = 12kN ⋅ m 5 5
q
1 2 ql 2
MP 图
九、试用弯矩分配法作图示结构的弯矩图，只需分配两轮。
解：转动刚度： i =
SAC=2i SCB=6i SCF=4i SFE=4i SFC=4i 分配系数： 1 1 1 1 1 µ CA = µ CB = µ CF = µ FC = µ FE = 6 2 3 2 2 弯矩分配：
(b)
令 y=Asinθt，并代入运动方程得： 5 − m l θ 2 A sin θt + kA sin θt = ql sin θt 8 解得， A = 5ql 4 24 EI
图（a）结构的 M 图和原结构柱顶发生单位水平位移时的 M 1 图如（c） 、 （d）所 示。
1 2 ql sinθ t 8
[ (
)
(
)]
三、图中所示两端固定杆 AC，其中 AB 段为直径 4a 的等截面实心圆杆，BC 段 为外径 4a，内径 2a 的等截面空心圆杆，材料剪切模量均为 G，在 D 截面处施加 一个扭矩 T，试求： （1）扭矩图； （2）B 截面扭转角； （3）AC 杆的最大剪应力。
2
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
3 EIs l2
M图
八、图示各杆 EI 相同，右图为用力法求解时的基本结构，试求出其力法方程中 的系数 δ12、δ22 和自由项 Δ1P，且不经计算画出刚架弯矩图的大体形状。
7
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
解：作出 M 1 、 M 2和M P 图，利用图乘法可得： δ 12 = − 1 EI 2 3 1 23l 3 1 × l × 1 × l + l × 1 × l + × 2l × 1 × 2l = − 3 2 2 6 EI 2
τ max,BC =
0.4T ⋅ 2a 8T = I P2 75πa 3
3T 20πa 3 四、试绘出图示结构的弯矩图和剪力图。 故 AC 杆的最大剪应力 τ max =
解：先计算附属部分 EG 段，然后计算基本部分 GH 段和 AE 段。由此可得，弯 矩图、剪力图：
3
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
弯矩图（qa2）
剪力图（qa）
五、图示等截面圆形折杆，截面直径 d=120mm，折杆夹角为 90◦，下端固定，受 力和尺寸如图所示，P1 平行于 xOy 平面，P2 作用在 xOy 平面内，材料许用应力 [σ]=170MPa。试按第三强度理论（最大剪应力理论）验算固端 A 点的强度。
N 0k =1 P1
12
+
cos 270 o − τ x sin 270 o = −τ ① ②
1 1 +ν ( σ 45o − νσ 135o ) = τ E E
3 Q 3 N CD − F = × 2A 2 bh 2bhEε 45o 3(1 + ν )
由①②解得 N CD = F +
（2） M (x ) = N CD ⋅ (2l − x ) − F ⋅ (3l − x )
4
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
σA = =−
N M z yA M y zA − − A Iz Iy
8 × 10 3 18 × 10 3 × 60 cos 45 o 16 × 10 3 × 60 sin 45 o − − 11304 10173600 10173600 = −142.5MPa τA = M n 12 × 10 6 = = 35 .4 MPa WP 339120
δ 22 =
3 1 1 2 40l × 2l × 2l × × 2l × 2 + 2l × 2l × 2l = EI 2 3 3EI
∆ 1P =
1 2 1 1 8ql 3 × × 2l × ql 2 × = EI 3 2 2 3EI
M1 图
2l
2l
X2
M2图
8
敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
3EI l2
3EI l2
3EI l2 （c）M 图 （d） M 1 图
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敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
根据叠加原理， 可得原结构的最大动力弯矩 M D = M max + M 1 A ， 由此可绘出最大 动力弯矩图如（e）所示。
5 2 ql 8
1 2 ql 2
5 2 ql 8
（e）MD 图
F FE 0.5
E EF
3 0.125 3.125
1.5 0.062 1.562
0.75 0.031 0.781
B
C
3.125
D
A
3.125
M图
十、求图示结构 CD 横梁的最大水平位移，并作结构的最大动力弯矩图。已知 θ= 3EI ，忽略立柱 AC、BD 的质量。 ml 4
m ， EI ′ = ∞
qsinθt
N 2 = 0.20 P
N 3 = 0.15 P
N 1 0.65 P 20 = ≤ [σ ] ⇒ P = [σ ]A A A 13
二、图示超静定结构有高为 h、宽为 b 的矩形截面横梁 AB 和圆截面细长杆 CD 组成，承受荷载 F 如图所示。梁 AB 和杆 CD 的材料相同，弹性模量为 E，泊松 比为 ν，测得梁侧面 1/2 高度处沿 45 o 方向的伸长线应变为 ε45̊ 。试求： （1）杆 CD 的轴力； （2）横梁 AB 上 C 截面的转角（要求用积分法） 。
解： （1） I P1
π (4a ) = = 8π a 4 32
4
I P2
π (4a ) 15 ( = 1 − α 4 ) = × 8π a 4 32 16
4
平衡方程：MA+MC=T 几何方程： ϕ AC = ϕ AD + ϕ DB + ϕ BC = 0 物理方程： ϕ AD = −
① ② ③
(T − T A ) ⋅ 32a (T − TA ) ⋅ 15a T A ⋅ 32a ϕ DB = ϕ BC = GI P1 GI P1 GI P 2
EI 6 SCD=0
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敬畏耶和华是智慧的开端（箴 1:7）
结点 杆端 μ MF 分配与 传递 M E 0.781
A AC
C CA 0.167 -3 -0.125 -3.125 CB 0.5 27 -9 -0.375 17.625 1.562 F 17.625 9 5.5 -9 CD -9 -6 0.75 -0.25 -5.5 -3 1.5 -0.125 0.063 -1.562 CF 0.333 FC 0.5