余弦函数的图像与性质-教学设计

余弦函数的图像与性质【教学目标】1.能利用单位圆中的余弦线画出余弦函数的图像.2.能类比正弦函数图像与性质得出余弦函数的性质.3.能理解余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义.4.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间. 【知识梳理】问题1:余弦函数的图像的作法 (1)平移法:余弦函数y=cos x 的图像可以通过将正弦曲线y=sin x 的图像向 平移 个单位长度得到(如图).(2)五点法:余弦曲线在[0,2π]上起作用的五个关键点分别为 . 问题2:余弦函数的定义域、值域和单调区间(1)定义域为 ;(2)值域为 ;(3)单调增区间为 ,减区间为 . 问题3:余弦函数的周期、奇偶性、对称轴和对称中心(1)周期T= ;(2)偶函数;(3)对称轴为 (4)对称中心为 .问题4:余弦函数的复合函数f (x )=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的对称轴、对称中心和单调区间 (1)当ωx+φ=+k π时,即 为对称中心; (2)当ωx+φ=k π时,即 为对称轴;(3)当ωx+φ∈[-π+2k π,2k π]时,求得x 属于的区间为 区间;当ωx+φ∈[2k π,π+2k π]时,求得x 属于的区间为 区间.(注:以上k ∈Z)【典型例题】要点一余弦函数的图像及应用例1画出y ＝cos x (x ∈R)的简图，并根据图像写出： (1)y ≥12时x 的集合；(2)－12≤y ≤32时x 的集合．解：用“五点法”作出y ＝cos x 的简图(1)过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12点作x 轴的平行线，从图像中看出：在[－π，π]区间与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，12，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12点，在[－π，π]区间，y ≥12时，x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π3≤x ≤π3.当x ∈R 时，若y ≥12，则x 的集合为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z(2)过⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32点分别作x 轴的平行线，从图像中看出它们分别与余弦曲线交于⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3＋2k π，－12，k ∈Z ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋2k π，－12，k ∈Z 点和⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2k π，32，k ∈Z ，⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋2k π，32)，k ∈Z 点，那么曲线上夹在对应两直线之间的点的横坐标的集合即为所求，即当－12≤y ≤32时x 的集合为： ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－2π3＋2k π≤x ≤－π6＋2k π或π6＋2k π≤x ≤2π3＋2k π，k ∈Z .规律方法：利用三角函数的图像或三角函数线，可解简单的三角函数不等式，但需注意解的完整性． 跟踪演练1 求函数f (x )＝lg cos x ＋25－x 2的定义域．解 由题意，x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧cos x >025－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧－5≤x ≤5cos x >0，作出y ＝cos x 的图像．结合图像可得：x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－32π∪⎝⎛⎭⎪⎫－π2，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤32π，5.要点二：余弦函数单调性的应用例2求函数y ＝log (cos 2x )的增区间． 解：由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减．∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π2，k ∈Z.∴k π<x <k π＋π4，k ∈Z.∴y ＝log 12 (cos 2x )的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π4，k ∈Z. 规律方法：用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪演练2：比较下列各组数的大小．(1)－sin 46°与cos 221°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π与cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π.解：(1)－sin 46°＝－cos 44°＝cos 136°， cos 221°＝－cos 41°＝cos 139°. ∵180°>139°>136°>0°，∴cos 139°<cos 136°，即－sin 46°>cos 221°. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π＝cos 235π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋35π＝cos 35π， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π＝cos 174π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π4＝cos π4. ∵0<π4<35π<π，且y ＝cos x 在[0，π]上递减，∴cos 35π<cos π4，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235π<cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－174π 要点三：余弦函数值域(最值) 例3：求下列函数的值域． (1)y ＝－cos 2x ＋cos x ；(2)y ＝2－sin x 2＋sin x .解：(1)y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －122＋14. ∵－1≤cos x ≤1， ∴当cos x ＝12时，y max ＝14.当cos x ＝－1时，y min ＝－2.∴函数y ＝－cos 2x ＋cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，14.(2)y ＝4－2＋sin x 2＋sin x ＝42＋sin x －1.∵－1≤sin x ≤1，∴1≤2＋sin x ≤3， ∴13≤12＋sin x≤1，∴43≤42＋sin x≤4， ∴13≤42＋sin x －1≤3，即13≤y ≤3. ∴函数y ＝2－sin x 2＋sin x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.规律方法：求值域或最大值、最小值问题，一般依据为：①sin x ，cos x 的有界性；②sin x ，cos x 的单调性；③化为sin x ＝f (y )或cos x ＝f (y ) 利用|f (y )|≤1来确定；④通过换元转化为二次函数．跟踪演练3求函数y ＝cos 2x ＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值时的x 的集合．(提示：sin 2α＋cos 2α＝1)解：y ＝cos 2x ＋4sin x ＝1－sin 2x ＋4sin x ＝－sin 2x ＋4sin x ＋1＝－(sin x －2)2＋5. ∴当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y max ＝4；当sin x ＝－1时，即x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，y min ＝－4.所以y max ＝4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z ；y min ＝－4，此时x 的取值集合是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π－π2，k ∈Z .一、选择题1．函数y ＝cos x (0≤x ≤π3)的值域是( )A ．[－1,1]B ．[12，1]C ．[0，12] D ．[－1,0][答案] B[解析] ∵函数y ＝cos x 在[0，π3]上是减函数，∴函数的值域为[cos π3，cos0]，即[12，1]．2．函数y ＝cos 2x －3cos x ＋2的最小值为( ) A ．2 B ．0C ．－14D ．6[答案] B[解析] y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x －322－14，当cos x ＝1时，y 最小＝0. 3．函数y ＝cos x ＋|cos x |，x ∈[0,2π]的大致图像为( )[答案] D[解析] y ＝cos x ＋|cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos x x ∈[0，π2]∪[3π2，2π]0 x ∈[π2，3π2]，故选D.4．方程|x |＝cos x 在(－∞，＋∞)( ) A ．没有根 B ．有且仅有一个根 C ．有且仅有两个根 D ．有无穷多个根 [答案] C[解析] 在同一坐标系中作函数y ＝|x |及函数y ＝cos x 的图像，如图所示．发现有2个交点，所以方程|x |＝cos x 有2个根．5．已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列命题正确的是( )A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数 [答案] B[解析] 由f (x ＋2)＝f (x )可知T ＝2， 再f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cosπx －1，∴f (－x )＝－cos(－πx )－1＝－cosπx －1＝f (x )． 6．函数y ＝cos x3＋cos x 的定义域是( )A ．RB ．{x |x ≠2k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠2k π＋π，k ∈Z }D ．{x |x ≠k π2，k ∈Z }[答案] A[解析] 要使函数有意义，则需3＋cos x >0， 又因为－1≤cos x ≤1，显然3＋cos x >0，所以x ∈R . 二、填空题7．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值围是______________． [答案] (－π，0][解析] ∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数， ∴只有－π<a ≤0时，满足已知条件，∴a ∈(－π，0]． 8．比较大小：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710π________cos(－449π)． [答案] >[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π＋310π＝－cos 310π，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－449π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π＋π9＝－cos π9，由y ＝cos x 在[0，π]上是单调递减的，所以cos 310π<cos π9，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4710>cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－449π.三、解答题9．若函数f (x )＝a －b sin x 的最大值为32，最小值为－12，求函数y ＝1－a cos bx 的最值和周期．[解析] (1)当b >0时，若sin x ＝－1，f (x )max ＝32；若sin x ＝1，f (x )min ＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝32，a －b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.此时b ＝1>0符合题意，所以y ＝1－12cos x .(2)当b ＝0时，f (x )＝a ，这与f (x )有最大值32，最小值－12矛盾，故b ＝0不成立．(3)当b <0时，显然有⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝32，a ＋b ＝－12.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1，符合题意．所以y ＝1－12cos(－x )＝1－12cos x .综上可知，函数y ＝1－12cos x 的最大值为32，最小值为12，周期为2π.一、选择题1．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是( ) A ．cos0<cos 12<cos1<cos30°<cosπB ．cos0<cos π<cos 12<cos30°<cos1C ．cos0>cos 12>cos1>cos30°>cosπD ．cos0>cos 12>cos30°>cos1>cosπ[答案] D[解析] 在[0，π2]上，0<12<π6<1，又余弦函数在[0，π2]上是减少的，所以cos0>cos 12>cos π6>cos1>0.又cos π<0，所以cos0>cos 12>cos π6>cos1>cos π.2．函数f (x )＝－x cos x 的部分图像是( )[答案] D[解析] 由f (x )＝－x cos x 是奇函数，可排除A ，C.令x ＝π4，则f (π4)＝－π4cos π4＝－2π8<0.故答案选D. 二、填空题3．若cos x ＝2m －13m ＋2，且x ∈R ，则m 的取值围是________．[答案] (－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，＋∞ [解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m －13m ＋2＝|cos x |≤1， ∴|2m －1|≤|3m ＋2|.∴(2m －1)2≤(3m ＋2)2.∴m ≤－3，或m ≥－15.∴m ∈(－∞，－3]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫－15，＋∞. 4．设f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤x <0，sin x 0≤x <π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154π＝________. [答案]22[解析] ∵T ＝3π2，∴kT ＝k ·3π2(k ∈Z )都是y ＝f (x )的周期，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15π4＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3×3π2＋3π4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4 ＝sin 3π4＝sin π4＝22.三、解答题5．利用余弦函数的单调性，比较cos(－23π5)与cos(－17π4)的大小．[分析] 利用诱导公式化为[0，π]上的余弦值，再比较大小． [解析] cos(－23π5)＝cos 23π5＝cos 3π5，cos(－17π4)＝cos 17π4＝cos π4.因为0<π4<3π5<π，且函数y ＝cos x ，x ∈[0，π]是减函数，所以cos π4>cos 3π5，即cos(－23π5)<cos(－17π4)．6．求下列函数的定义域． (1)y ＝cos sin x ；(2)y ＝1－2cos x ＋lg(2sin x －1)． [解析] (1)要使y ＝cos sin x 有意义，需有cos(sin x )≥0，又∵－1≤sin x ≤1，而y ＝cos x 在[－1,1]上满足cos x >0， ∴x ∈R .∴y ＝cos sin x 的定义域为R .(2)要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，2sin x －1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x >12.由下图可得cos x ≤12的解集为{x |π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，k ∈Z }．sin x >12的解集为{x |π6＋2k π<x <5π6＋2k π，k ∈Z }．它们的交集为{x |π3＋2k π≤x <5π6＋2k π，k ∈Z }，即为函数的定义域．7．函数f (x )＝12－a 4＋a cos x －cos 2x (0≤x ≤π2)的最大值为2，数a 的值．[解析] 令t ＝cos x ，由0≤x ≤π2，知0≤cos x ≤1，即t ∈[0,1]．所以原函数可以转化为y ＝－t 2＋at ＋12－a4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －a 22＋a 24＋12－a4，t ∈[0,1]．(1)若a2≤0，即a ≤0时，当t ＝0时，y max ＝12－a4＝2，解得a ＝－6.(2)若0<a 2<1，即0<a <2时，当t ＝a2时，y max ＝a 24＋12－a 4＝2，解得a ＝3或a ＝－2，全舍去．(3)若a2≥1，即a ≥2时，当t ＝1时， y max ＝－1＋a ＋12－a 4＝2，解得a ＝103.综上所述，可知a ＝－6或103.。