第八讲图与网络优化
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第八章图与网络分析-PPT精选文档
v1 v3 v5 v2 v4 v6
图及 其分 类
X:{v1, v3, v5} Y:{v2, v4, v6}
定义5
以点v为端点的边的个数称为点v 的度 （次），记作 d (。 v) 图中d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两度）
顶点 的次
度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂 点。悬挂点的关联边称为悬挂边。度为奇数的 点称为奇点，度为偶数的点称为偶点。
定义7
图G=(V,E)，若E′是E的子集，V′是V的子集，且E′ 中的边仅与V′中的顶点相关联，则称G′=(V′,E′)是G 的一个子图。特别是，若V′=V，则G′称为G的生成 子图(支撑子图)。
子图
v1 e1 e6
v2 e7
e2
e8 e9
v3 e3 v1
e1 e6
v2 e7
e8 v7 v5 (b)
定义8
无向图G=(V,E)，若图G中某些点与边的交替序列 可以排成(vi0,ei1,vi1,ei2,…,vik-1,eik,vik)的形式，且 eit=(vit-1,vit)(t=1,…,k)，则称这个点边序列为连接vi0 与vik的一条链，链长为k。 点边列中没有重复的点和重复边者为初等链。
对于有向图可以类似于无向图定义链和圈，初等 链、圈，此时不考虑边的方向。而当链(圈)上的 边方向相同时，称为道路(回路)。 对于无向图来说，道路与链、回路与圈意义相同。
v2 v4 v6
图及 其分 类
A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , v1
( v2 , v5 ) , ( v3 , v5 ) , ( v4 , v5 ) ,
( v5 , v4 ) , ( v5 , v6 ) }
图及 其分 类
X:{v1, v3, v5} Y:{v2, v4, v6}
定义5
以点v为端点的边的个数称为点v 的度 （次），记作 d (。 v) 图中d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两度）
顶点 的次
度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂 点。悬挂点的关联边称为悬挂边。度为奇数的 点称为奇点，度为偶数的点称为偶点。
定义7
图G=(V,E)，若E′是E的子集，V′是V的子集，且E′ 中的边仅与V′中的顶点相关联，则称G′=(V′,E′)是G 的一个子图。特别是，若V′=V，则G′称为G的生成 子图(支撑子图)。
子图
v1 e1 e6
v2 e7
e2
e8 e9
v3 e3 v1
e1 e6
v2 e7
e8 v7 v5 (b)
定义8
无向图G=(V,E)，若图G中某些点与边的交替序列 可以排成(vi0,ei1,vi1,ei2,…,vik-1,eik,vik)的形式，且 eit=(vit-1,vit)(t=1,…,k)，则称这个点边序列为连接vi0 与vik的一条链，链长为k。 点边列中没有重复的点和重复边者为初等链。
对于有向图可以类似于无向图定义链和圈，初等 链、圈，此时不考虑边的方向。而当链(圈)上的 边方向相同时，称为道路(回路)。 对于无向图来说，道路与链、回路与圈意义相同。
v2 v4 v6
图及 其分 类
A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , v1
( v2 , v5 ) , ( v3 , v5 ) , ( v4 , v5 ) ,
( v5 , v4 ) , ( v5 , v6 ) }
运筹学_08图与网络优化_81图的基本概念_
Leonhard Euler (1707-1783) 在1736年发表第一篇图论方面的论文，奠基了图论中的 一些基本定理。 很多问题都可以用点和线来表示，一般点表示实体，线表示实体间的关联。
基本概念
一个图是由点集
和 中元素的无序对的一个集合
构成的二元组，记为
G =(V，E)，其中 V 中的元素 叫做顶点，V 表示图 G 的点集合；E 中的元素 叫做
e1
e2
v2
v4 e5 e3
e4
e8 e6 v5 e7 v3
3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为有向图，记作D=(V, A)，其中V 表示
有向图D 的点集合，A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧，记作 (vi , vj )。起点vi,终点vj,去掉所有弧上的箭头得到的无向图,称为D的基础图,记为G(D) 。
v2
e1
e8
v1
e7
e6
v7
v6 e5
v5
(b) 子图
v2 e1 v1
e7 e6
v6
v3 e9
e10 v4 v7
e11 v5
(c) 支撑子图
10、由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边序列称为链。
如:v0 ，e1，v1，e2，v2，e3 ， v3 ,…,vn-1 , en ， vn，记作（ v0， v1 ， v2， v3 , …, vn-1 ， vn ），
• 当地的居民热衷于这样一个问题，一个漫步 者如何能够走过这七座桥，并且每座桥只能 走过一次，最终回到原出发地。
• 尽管试验者很多，但是都没有成功。
A D
C B
为了寻找答案，1736年欧拉把陆地缩为一点，把桥作为连接点的边，将这个 问题抽象成图形的一笔画问题。
第8讲图与网络优化.
k1
1
若链(圈)中含的边均不相同，则称之为简单圈。 以后说到链(圈)，除非特别交代，均指初等链(圈)。
2018年9月27日
湖州师范学院商学院
12
第八讲
一、图与树
图与网络优化
例子
(v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v3 , v6 , v7 )是一条简单链，但不是初 等链，(v1 , v2 , v3 , v6 , v7 ) 是一条初等链。 (v4 , v1 , v2 , v3 , v5 , v7 , v6 , v3 , v4 ) (v1 , v2 , v3 , v4 , v1 ) 是一个初等圈，
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5
第八讲
一、图与树
图与网络优化
,a11
有向图例子 V v1 ,v2 ,v3 ,v4 ,v5 ,v6 ,v7 , A a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 ,
a1 (v1 , v2 ) , a2 (v1 , v3 ) , a3 (v3 , v2 ) , a4 (v3 , v4 ) a5 (v2 , v4 ) , a6 (v4 , v5 ) , a7 (v4 , v6 ) , a8 (v5 , v3 ) a9 (v5 , v4 ) , a10 (v5 , v6 ) , a11 (v6 , v7 )
是简单圈，但不是初等圈。
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13
第八讲
一、图与树
图与网络优化
连通图
图G中，若任何两点之间至少有一条链，则称G 是连通图，否则称为不连通图。 若G是不连通图，它的每个连通的部分称为G的一 个连通分图(也简称分图)。 思考：右图是连通图吗？
第八讲图与网络优化
求网络最大流的标号法fordfulkerson标号法湖州师范学院商学院6055抹去网络图中的所有标号抹去网络图中的所有标号重复第重复第11到第到第44步步一直一直到在网络中找不到任何增广链到在网络中找不到任何增广链即出现第即出现第33步的结局步的结局1为止为止这时网络中的流量为网络的最大流这时网络中的流量为网络的最大流
铁路交通图 比赛情况图 药品存放图
2019年2月4日
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3
第八讲
一、图与树
图与网络优化
图的相关概念
图是由一些点及一些点之间的连线(不带箭头或带箭头)组 成的图形。 两点之间不带箭头的连线称为边，带箭头的连线称为弧。 如果一个图G由点及边所构成，则称之为无向图(也简称为 图)，记为G=（V，E），式中V，E分别是G的点集合和边集合。 一条连结点Vi，Vj的边记为[Vi，Vj](或 [Vj，Vi]) 。 如果一个图D由点及弧所构成，则称为有向图，记为D=(V， A)，式中V，A分别表示D的点集合和弧集合。一条方向是从vi指 向vj的弧，记为(vi,vj).
1 1 2 2 k1 k1 k
2019年2月4日
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16
第八讲
一、图与树
图与网络优化
例子
(v3 , (v3 ,v2 ), v2 , (v2 ,v4 ), v4 , (v4 ,v5 ), v5 , (v5 ,v3 ), v3 )是一个回路；
(v1 , (v1 , v3 ), v3 , (v3 , v4 ), v4 ,(v4 ,v6 ), v6 ) 是从v1到v6的路；
(v1 , (v1 , v3 ),v3 , (v5 , v3 ),v5 , (v5 , v6 ), v6 ) 是一条链，但不是路。
铁路交通图 比赛情况图 药品存放图
2019年2月4日
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一、图与树
图与网络优化
图的相关概念
图是由一些点及一些点之间的连线(不带箭头或带箭头)组 成的图形。 两点之间不带箭头的连线称为边，带箭头的连线称为弧。 如果一个图G由点及边所构成，则称之为无向图(也简称为 图)，记为G=（V，E），式中V，E分别是G的点集合和边集合。 一条连结点Vi，Vj的边记为[Vi，Vj](或 [Vj，Vi]) 。 如果一个图D由点及弧所构成，则称为有向图，记为D=(V， A)，式中V，A分别表示D的点集合和弧集合。一条方向是从vi指 向vj的弧，记为(vi,vj).
1 1 2 2 k1 k1 k
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第八讲
一、图与树
图与网络优化
例子
(v3 , (v3 ,v2 ), v2 , (v2 ,v4 ), v4 , (v4 ,v5 ), v5 , (v5 ,v3 ), v3 )是一个回路；
(v1 , (v1 , v3 ), v3 , (v3 , v4 ), v4 ,(v4 ,v6 ), v6 ) 是从v1到v6的路；
(v1 , (v1 , v3 ),v3 , (v5 , v3 ),v5 , (v5 , v6 ), v6 ) 是一条链，但不是路。
图与网络优化模型
第十章 图与网络优化模型在图论中通常用V 表示点，E 表示边（无向），A 表示弧（有向），G 表示图，点和边构成的图称为无向图，G=（V ，E ），点和弧构成的图称为有向图,G=(V ,A)。
对图G 的边（或弧）标上权数，称为赋权图。
求1到7的最短路。
本图是个有向图，弧上的数字不妨理解为距离。
目前用于求解最短路的算法有多种，如：动态规划法，Dijkstra 算法，0-1规划方法等。
下面只介绍0-1规划法设1为起点，7为终点。
引入1,0=ij x 表示：若弧(i,j)在最短路上,1=ij x ,否则，0=ij x Z 为目标函数上各弧的路程之和。
起点1必定有一条弧出发,所以121=∑=nj jx终点n 必定有一条弧到达,所以111=∑-=n i inx其它点有两种情况：(1) 该点不在最短路上，即无进线弧，也无出线弧。
满足：0,1=∑≠=nk i i ikx，且0,1=∑≠=nki i kix(2) 该点在最短路上，即有进线弧，也有出线弧。
满足：1,1=∑≠=nki i ikx，且1,1=∑≠=nki i kix改写上述两个等式为：0,1,1==∑∑=≠=ii nj kj nki i ikx x x⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧===<<====∑∑∑∑∑=====1,0,...,2,1,01,11..min 111111,ij ii ni ji ni ij ni in ni i nj i ijijx n i x nj x x x x t s x wZmodel : sets :city/1..7/;!定义7个城市;links(city,city):dist,x;!定义各城市之间的距离表(若城市i 到城市j 无路,用一个大数表示),决策变量; endsets data :dist=0 2 10 1000 1000 1000 1000 1000 0 7 3 1000 1000 1000 1000 1000 0 1000 4 1000 1000 1000 1000 1000 0 1000 1000 8 1000 1000 5 1000 0 3 7 1000 1000 1000 1000 1000 0 12 1000 1000 1000 4 1000 3 0 ; enddatan=@size (city);min =@sum (links:dist*x); @sum (city(i):x(1,i))=1; @sum (city(i):x(i,n))=1;@for (city(i)|i#gt#1 #and# i#lt#n :@sum (city(j):x(i,j))=@sum (city(j):x(j,i))); @for (city(i):x(i,i)=0); @for (links:@bin (x)); end10.2 旅行售货员TSP 模型有一个旅行推销员，从某个城市出发，要遍访若干城市各一次且仅一次，最后返回原来出发城市。
运筹学( 图与网络优化)
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
§10.1
图的基本概念
一个图(Graph) 定义为三元有序组
(V (G ), E (G ), G )
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是图的顶 点。例如下图 中，它共有4个顶点，6条边；而e 3 与e 4 的交点不是这个图的顶点。
v1
e1
v2 e4
e2
v3
e3
e5
v4
e6
e3
v1
v4
e1 e4
v2
e2
v3 e6
e5
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
u 1
f5 u3 f6
f2 f4
u2
u4
同构
给定两个图
G (V (G), E(G), G )
H (V ( H ), E( H ), H )
称G和H是同构的，记为 G H ， 如果存在两个一一对应 ( , )
: V (G) V ( H )
: E (G) E ( H )
e7
v2
e3 v3
e6
v4
e4
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元
素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于 2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所
有顶点的度之和，又等于边数的2倍。 定理 设G是一个图，则
vV ( G )
d (v) 2
第八讲网络最优化模型【共61张PPT】
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
求解最短路问题实际上就是找一条总长度最短的路 线，对于这样的最短路问题，可以建立0-1整数规划数学
模型求解（如下图）。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
最短路模型的求解
为简化求解过程，可以建立专门的最短路求解模型 ，用计算机求解：可以将图中各条边和每条边是的权数 直接录入到求解模型中，直接得到结果。因此可以称下 图就是一个最短路问题的数学表述模型。
条路，使两点间的总距离为最短。
第八讲 网络最优化模型
最短路模型
例8.1 如下图所示，某人每天从住处S开车到工作地T上
班，图中各弧旁的数字表示道路的长度（千米），试问 他从家出发到工作地，应选择哪条路线，才能使路上行 驶的总距离最短？
第八讲 网络最优化模型
最短路模型的基本特征
最短路模型
1、在网络中选择一条路，始于发点（源点）,终于收点（目的
条道路及道路维修。工期和所需劳动力见下表。该公司共 有劳动力120人，任一工程在一个月内的劳动力投入不能超 过80人，问公司应如何分配劳动力以完成所有工程，是否能按
期完成？
工程 A．地下通道 B．人行天桥 C．新建道路 D．道路维修
工期和所需劳动力
工期 5～7月 6～7月 5～8月
8月
需要劳动力（人） 100 80 200 80
赵●
(v1)
e1
e3
钱● (v2)
●孙 (v3) e4
●李 (v4)
第八讲 网络最优化模型
基本概念
图
7、 回路 始点和终点重合的路叫做回路。上图中（v3，v5，v6
，v7，v4 ，v3）就是一条回路。
图与网络优化决策的图论方法
图与网络优化决策的图论方法
图论方法在网络优化决策中起着非常重要的作用。
具体来说，图论方法可以用来表示和分析网络中的各种关系和结构，从而帮助优化决策。
以下列举了一些常见的图论方法在网络优化决策中的应用：
1. 最短路径算法：最短路径算法可以找到网络中两个节点之间的最短路径，从而帮助决策者选择最佳的路径来达到特定的目标。
2. 最小生成树算法：最小生成树算法可以找到一个网络中连接所有节点的最小成本的子图，从而帮助决策者选择最佳的连接方式来降低总体成本。
3. 最大流最小割算法：最大流最小割算法可以找到网络中的最大流量和最小割集，从而帮助决策者优化网络中的流量分配和资源利用。
4. 贪心算法：贪心算法是一种启发式算法，可以通过每次选择最优的局部决策来逐步优化整体决策。
在网络优化决策中，贪心算法可以用来选择最优的节点或边的顺序以达到最佳目标。
5. 随机图算法：随机图算法可以通过随机生成图形来模拟和分析网络中的不确定性和风险因素。
这可以帮助决策者对各种可能情况做出更合理的决策。
总之，图论方法在网络优化决策中可以提供对网络结构和关系的深入理解，帮助决策者做出最佳的选择和决策。
不同的图论方法可以根据具体问题的需求和约束选择和组合使用。
图论与网络优化PPT文档63页
显然比用法律来约束他更有价值。—— 希腊
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
12、法律是无私的，对谁都一视同仁。在每件事上，她都不徇私情。—— 托马斯
13、公正的法律限制不了好的自由，因为好人不会去做法律不允许的事 情。——弗劳德
14、法律是为了保护无辜而制定的。——爱略特 15、像房子一样，法律和法律都是相互依存的。——伯克
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
8 图与网络分析
顶点
赵( v1 ) e1 边 钱 (v2)
e2 e3
孙(v3)
e4
周(v5)
系改成“认识”，可以 用带箭头的连线表示。
V={vi}={v1,v2,…,v7} 吴(v6) E={e }={e ,e ,…,e } i 1 2 5
李(v4)
e5
陈(v7)
定义1 一个图是由点集V={vi}和V中元素的无序对的一个集合E={ek} 所构成的二元组 ,记为 G=(V,E),V中的元素 vi 叫做顶点 ,E中的元素 ek叫做边。 2019/3/25 2 当V，E为有限集合时,G称为有限图,否则,称为无限图
2019/3/25 11
定义12 对于图G=(V,E),|V|=n,构造一个矩阵A=(aij)nn,其中：
1 (vi , v j ) E aij 0 其它
则称矩阵A为图G的邻接矩阵。 例3 对图8-15所表示的图可以构造邻接矩阵A如下：
v2 v1 v3 图 8-15 v5 v4 v6
2019/3/25 8
定义8 无向图G (V , E ), 若G中某些点与边的交替系列可以排 成 vi0 , ei1 , vi1 , ei2 ,, vik 1 , eik , 的形式， 且 eit vit 1 , vit (t 1,2,, k ) 则称这个点边系列为连 v 0,与 vit 的一条链，链长为 k。 {v1,e7,v5, e8,v1,e9,v4,e接 10,vi 2 e2,v 1}为一个圈。 图 8-12 中， v1 e2 v2 S={v6 ,e6 ,v5 ,e7 ,v1 ,e8 ,v5 ,e7 ,v1 ,e9 ,v4 ,e4 e3 e1 e9 e10 ,v3}为一条连结v6 ,v3的链。 v6 e7 e8 v3 S1={v6 ,e6 ,v5 ,e7 ,v1 ,e8 ,v5 ,e5 ,v4 ,e4 ,v3} e6 e4 e5 v5 v4 为一条连结v6 ,v3的简单链。 图 8-12 S2={v6 ,e6 ,v5 ,e5 ,v4 ,e4 ,v3}为初等链。
赵( v1 ) e1 边 钱 (v2)
e2 e3
孙(v3)
e4
周(v5)
系改成“认识”，可以 用带箭头的连线表示。
V={vi}={v1,v2,…,v7} 吴(v6) E={e }={e ,e ,…,e } i 1 2 5
李(v4)
e5
陈(v7)
定义1 一个图是由点集V={vi}和V中元素的无序对的一个集合E={ek} 所构成的二元组 ,记为 G=(V,E),V中的元素 vi 叫做顶点 ,E中的元素 ek叫做边。 2019/3/25 2 当V，E为有限集合时,G称为有限图,否则,称为无限图
2019/3/25 11
定义12 对于图G=(V,E),|V|=n,构造一个矩阵A=(aij)nn,其中：
1 (vi , v j ) E aij 0 其它
则称矩阵A为图G的邻接矩阵。 例3 对图8-15所表示的图可以构造邻接矩阵A如下：
v2 v1 v3 图 8-15 v5 v4 v6
2019/3/25 8
定义8 无向图G (V , E ), 若G中某些点与边的交替系列可以排 成 vi0 , ei1 , vi1 , ei2 ,, vik 1 , eik , 的形式， 且 eit vit 1 , vit (t 1,2,, k ) 则称这个点边系列为连 v 0,与 vit 的一条链，链长为 k。 {v1,e7,v5, e8,v1,e9,v4,e接 10,vi 2 e2,v 1}为一个圈。 图 8-12 中， v1 e2 v2 S={v6 ,e6 ,v5 ,e7 ,v1 ,e8 ,v5 ,e7 ,v1 ,e9 ,v4 ,e4 e3 e1 e9 e10 ,v3}为一条连结v6 ,v3的链。 v6 e7 e8 v3 S1={v6 ,e6 ,v5 ,e7 ,v1 ,e8 ,v5 ,e5 ,v4 ,e4 ,v3} e6 e4 e5 v5 v4 为一条连结v6 ,v3的简单链。 图 8-12 S2={v6 ,e6 ,v5 ,e5 ,v4 ,e4 ,v3}为初等链。
8 图与网络4--最大流问题
t
10(8) v2 9(9) v4
网络的最大流
Page 20
(4) 修改增广链上的流量，非增广链上的流量不变，得到新的 可行流。
(1)
f 13 1
v1
9(3)
(1)
v3
f s1 1
8(7)
(∞)
5(4)
5(4)
f 3t 1
(1)
●
2(0)
s
7(5)
6(1)
t
10(8)
v2
9(9)
v4
网络的最大流
i j j i j j
si j
(i s, t )
f
i
f jt W ，W为网络流的总流量。
(即从vs点发出的物资总量等于vt点输入的量。)
网络的最大流
Page 6
结论：任何网络上一定存在可行流。（零流即是 可行流） 网络最大流问题：
指满足容量限制条件和中间点平衡的条件下，使v(f)值 达到最大。
1. 容量网络：对网络上的每条弧(vi,vj)都给出一个最大的通 过能力，称为该弧的容量，简记为cij。容量网络中通常规定 一个发点(也称源点，入次为0，记为s)和一个收点(也称汇点， 出次为0，记为t)，网络中其他点称为中间点。 4 1 6 2 ③
4 s 8
① 4 ②
7
t 9
2
④
网络的最大流
2. 网络的最大流 是指网络中从发点到收点之间允许通过的最大流量。 3. 流与可行流
Page 21
(5) 擦除所有标号，重复上述标号过程，寻找另外的增广链。
(1)
v1
9(4)
(1)
v3
5(5)
8(8)
图论与网络优化PPT63页
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
图论与网பைடு நூலகம்优化
16、人民应该为法律而战斗，就像为 了城墙 而战斗 一样。 ——赫 拉克利 特 17、人类对于不公正的行为加以指责 ，并非 因为他 们愿意 做出这 种行为 ，而是 惟恐自 己会成 为这种 行为的 牺牲者 。—— 柏拉图 18、制定法律法令，就是为了不让强 者做什 么事都 横行霸 道。— —奥维 德 19、法律是社会的习惯和思想的结晶 。—— 托·伍·威尔逊 20、人们嘴上挂着的法律，其真实含 义是财 富。— —爱献 生
运筹学第8章 图与网络优化R52
v4 a5 v3 a6 a4 D=(V, A) a3 a2 v2 v1 v4 e5 v3 e6 e4 G(D) e3 e2 v2 v1
基础图
25
有向图、弧、路、初等路
设有向图的弧为a=(u ,v),则起点为u,终点为v； 路： 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路； 连通图： 若不考虑方向是无向连通图; 强连通图：任两点有路;
26
v3 a2 v1 a1 v2 a3 a4
a8
v5 a10
v7 a9 v6
•路 • 初等路 • 回路
a6
a5 v4
a11
a7
( v 1 , a 2 , v 3 , a 4 , v 4 , a 7 , v 6 )是 从 v 1 到 v 6 的 路 ， 也 是 一 条 初 等 路 。 在 上 图 中 ， ( v 3 , a 3 , v 2 , a 5 , v 4 , a 6 , v 5 , a 8 , v 3 )是 一 个 回 路 。
v3 v1 v2
v5
v7
v6
v4
15
端点,关联边,相邻
若边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj是
边e的端点，称边e为点vi或vj的关联 边。若点vi，vj与同一条边关联，称 点vi和vj相邻；若边ei和ej具有公共 的端点，称边ei和ej相邻。 e2 v2 e6 v4
e1 v1 e4 e3
e5 e7
vV2 vV
vV1
2m为偶数，且偶点的次之和 d (v ) 也为偶数，所以 d (v ) 必为偶 vV2 数，即奇数点的个数必为偶数。
19
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 交错序列, 如: （v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
基础图
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有向图、弧、路、初等路
设有向图的弧为a=(u ,v),则起点为u,终点为v； 路： 初等路: 各顶点都不相同的路； 初等回路:u = v 的初等路； 连通图： 若不考虑方向是无向连通图; 强连通图：任两点有路;
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v3 a2 v1 a1 v2 a3 a4
a8
v5 a10
v7 a9 v6
•路 • 初等路 • 回路
a6
a5 v4
a11
a7
( v 1 , a 2 , v 3 , a 4 , v 4 , a 7 , v 6 )是 从 v 1 到 v 6 的 路 ， 也 是 一 条 初 等 路 。 在 上 图 中 ， ( v 3 , a 3 , v 2 , a 5 , v 4 , a 6 , v 5 , a 8 , v 3 )是 一 个 回 路 。
v3 v1 v2
v5
v7
v6
v4
15
端点,关联边,相邻
若边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和vj是
边e的端点，称边e为点vi或vj的关联 边。若点vi，vj与同一条边关联，称 点vi和vj相邻；若边ei和ej具有公共 的端点，称边ei和ej相邻。 e2 v2 e6 v4
e1 v1 e4 e3
e5 e7
vV2 vV
vV1
2m为偶数，且偶点的次之和 d (v ) 也为偶数，所以 d (v ) 必为偶 vV2 数，即奇数点的个数必为偶数。
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链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 交错序列, 如: （v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
例子
(v1,v2,v3,v4,v5,v3,v6,v7 )是一条简单链，但不是初 等链，(v1,v2,v3,v6,v7 ) 是一条初等链。
(v1, v2, v3, v4 , v1)是一个初等圈，(v4,v1,v2, v3,v5,v7 ,v6,v3,v4 ) 是简单圈，但不是初等圈。
一、图与树
树的性质
定理5 图G是树的充分必要条件是任意两个顶点之间 恰有一条链。
证明 必要性。 因G是连通的，故任两个点之间 至少有一条链。但如果某两个点之间有两条链的话， 那么图G中含有圈，这与树的定义矛盾，从而任两个点 之间恰有一条链。
充分性：设图G中任两个点之间恰有一条链，那么 易见G是连通的。如果G中含有圈，那么这个圈上的两 个顶点之间有两条链，这与假设矛盾，故G不含圈，于 是G是树。
一、图与树
支撑子图
给了一个图G=(V，E)，如果G′=(V′，E′)， 使V=V′及E′∈E ，则称G′是G的一个支撑子图。
设v∈V(G)，用G−v表示从图G中去掉点v及v的关 联边后得到的一个图。
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
和有向图有关的概念和术语
设给定一个有向图，D=(V，A)，从D中去掉所有弧上的箭 头，就得到一个无向图，称之为D的基础图，记之为G(D)。
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
树的性质
定理4 图G=(V，E)是一个树的充分必要条件是G不含
圈，且恰有p−1条边。
证明：充分性 。只要证明G是连通的。用反证法，
设G是不连通的，G含s个连通分图G1，G2，…，
Gs(s≥2)。因每个Gi(i=1，2，…，s)是连通的，并且
给定D中的一条弧a=(u，v)，称u为a的始点，v为a的终点， 称弧a是从u指向v的。
设 (vi1 ,ai1 ,vi2 ,ai2 L ,vik1 ,aik1 ,vik )是D中的一个点弧交错序列，如果这 个序列在基础图G(D)中所对应的点边序列是一条链，则称这个 点弧交错序列是D的一条链。类似定义圈和初等链(圈)。
(v1 , (v1 ,v3 ),v3, (v5 ,v3),v5 , (v5 , v6 ), v6 ) 是一条链，但不是路。
注：对无向图，链 与路(圈与回路)两个概 念是一致的。
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
树
树：一类极其简单然而却很有用的图。
树的定义： 一个无圈的连通图称为树。
如果 (vi1 ,ai1 ,vi2 ,ai2 L ,vik1 ,aik1 ,vik ) 是D中的一条链，并且对t=1， 2路，的…第，一k个-1点，和均最有后一点a相it 同 (，v，it 则, v称it称+1之)之为为从回路。类v的i似1到一定v条it 义路初。等若 路(回路)。
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e1 [v1, v2 ] , e2 [v1, v2 ] , e3 [v2, v3] , e4 [v3, v4 ]
e5 [v1, v4 ] , e6 [v1, v3] , e7 [v4, v4 ]
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
有向图例子 V v1,v2 ,v3 ,v4 ,v5 ,v6 ,v7, A a1,a2 ,a3,a4 ,a5 ,L ,a11
铁路交通图
比赛情况图
药品存放图
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
图的相关概念
图是由一些点及一些点之间的连线(不带箭头或带箭头)组 成的图形。
两点之间不带箭头的连线称为边，带箭头的连线称为弧。
如果一个图G由点及边所构成，则称之为无向图(也简称为 图)，记为G=（V，E），式中V，E分别是G的点集合和边集合。 一条连结点Vi，Vj的边记为[Vi，Vj](或 [Vj，Vi]) 。
若两个点之间有多于一条的边，称这些边为多重 边(如前图中的e1,e2)。
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
图的相关概念
一个无环，无多重边的图称为简单图；一个无环， 但允许有多重边的图称为多重图。
以点v为端点的边的个数称为v的次，记为dG(v)或 d(v)。次为奇数的点，称之为奇点；次为偶数的点， 称之为偶点。
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
树的性质
定理6 图G有支撑树的充分必要条件是图G是连通的。
证明：必要性是显然的。
充分性。设图G是连通图，如果G不含圈，那么G本身是一 个树，从而G是它自身的一个支撑树。现设G含圈，任取一个圈， 从圈中任意地去掉一条边，得到图G的一个支撑子图G1。如果G1 不含圈，那么G1是G的一个支撑树(因为易见G1是连通的)；如果 G1仍含圈，那么从G1中任取一个圈，从圈中再任意去掉一条边， 得到图G的一个支撑子图G2，如此重复，最终可以得到G的一个 支撑子图Gk，它不含圈，于是Gk是G的一个支撑树。
如果一个图D由点及弧所构成，则称为有向图，记为D=(V， A)，式中V，A分别表示D的点集合和弧集合。一条方向是从vi指 向vj的弧，记为(vi,vj).
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
无向图例子
点的集合：V=v1,v2 ,v3 ,v4
边的集合：E e1,e2 ,e3 ,e4 ,e5 ,e6 ,e7
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
树的性质
由定理5，很容易推出如下结论：
(1) 从一个树中去掉任意一条边，则余下的图是 不连通的。由此可知，在点集合相同的所有图中，树 是含边数最少的连通图。
(2) 在树中不相邻的两个点间添上一条边，则恰 好得到一个圈。进一步地说，如果再从这个圈上任意 去掉一条边，可以得到一个树。
vi1和vi
的链，记为
k
(vi1
,vi2
,L
,vik1 ,vik )
称点 vi2 ,vi3 L ,vik1为链的中间点。
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
图的相关概念
链 (vi1 ,vi2 ,L ,vik1 ,vik ) 中，若 vi1 vik，则称之为一 个圈，记为 (vi1 ,vi2 ,L ,vik1 ,vi1 ) 。
不含圈，故每个Gi是树。设Gi有pi个点，则由必要性，
Gi有pi− 1条边，于是
s
s
s
q(G)= q(Gi )= (pi - 1)= pi - s = p(G) - s p(G) - 2
i=1
i=1
i=1
这与q(G)=p(G) − 1的假设矛盾。
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第八讲 图与网络优化
a1 (v1, v2 ) , a2 (v1, v3) , a3 (v3, v2 ) , a4 (v3, v4 ) a5 (v2, v4 ) , a6 (v4, v5 ) , a7 (v4,v6 ) , a8 (v5, v3) a9 (v5, v4 ) , a10 (v5, v6 ) , a11 (v6, v7 )
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
图的相关概念
定理2 任一个图中，奇点的个数为偶数。
证明:设V1和V2分别是G中奇点和偶点的集合， 由定理1，有：
d(v) d(v) d(v) 2q
vV1
vV2
vV
因 d(v)是偶数， d(v)也是偶数，故 d(v)
必定也是vV偶数，从而V1v的V2 点数是偶数。
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
树的性质
定理3 设图G=(V，E)是一个树，p(G)≥2，则G中至少有两个
悬挂点。
证明:令 p (v1 ,v2 ,L ,vk ) 是G中含边数最多的一条初等链，
因p(G)≥2，并且G是连通的，故链P中至少有一条边，从而v1与 vk是不同的。
vV1
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10
第八讲 图与网络优化
一、图与树
图的相关概念
给定一个图G=(V,E)和一个点、边交错序 列 (vi1 ,ei1 ,vi2 ,L , ,vik1 ,eik1 ,vik ) 如果满足：
eit [vit ,vit1 ] (t=1，2，…，k-1)
则称为一条联结
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
连通图
图G中，若任何两点之间至少有一条链，则称G 是连通图，否则称为不连通图。
若G是不连通图，它的每个连通的部分称为G的一 个连通分图(也简称分图)。
思考：右图是连通图吗？
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14
第八讲 图与网络优化
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第八讲 图与网络优化
一、图与树
树的性质
定义 设图T=(V，E′)是图G=(V，E)的支撑子 图，如果图T=(V，E′)是一个树，则称T是G的一个支 撑树。