江苏版2018年高考数学一轮复习专题11.4数学归纳法测理 Word版 含解析

专题11.4 数学归纳法
一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．
上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 用数学归纳法证明2n n a b +≥2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭
n (a ，b 是非负实数，n ∈N ＋)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1命题也成立的关键是________________． 【答案】两边同乘以
2
a b
+ 【解析】要想办法出现a k ＋1
＋b
k ＋1
，两边同乘以
2a b +，右边也出现了要证的2a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭
k ＋1
. 2. 用数学归纳法证明等式(3)(4)
123(3)()2
n n n n *+++++++=∈N 时，第一步验证1n =时，左边应取的项是______________． 【答案】1234+++
3. 利用数学归纳法证明不等式1＋
12＋13＋ 121
n -<f(n) (n≥2，n N *∈)的过程中，由n ＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了______________． 【答案】2k
项
【解析】当n k =时，左边共有21k
-项，当1n k =+时，左边共有1
2
1k +-项，左边增加了
(
)(
)
1
2
1212k k
k
+---=项.
4. 若f n n
()=
++++-1213141
21……，则f k f k ()()+-1等于______________． 【答案】121211
21
1
k k k ++++-+…… 【解析】因为，f n n ()=++++-1213141
21……，所以，
f k f k ()()+-1=
111111111111...............)234212212123421
k k k k k +++++++++-++++-+--（）（ =12121121
1k k k ++++-+…….
5. 用数学归纳法证明: (31)
(1)(2)()2
n n n n n n +++++++= *()n N ∈的第二步中，当1n k =+时等式左边与n k =时的等式左边的差等于 . 【答案】32k +
6. 在应用数学归纳法证明凸n 变形的对角线为)3(2
1
-n n 条时，第一步检验n 等于______________． 【答案】3
【解析】因为凸n 变形的n 最小为3，所以第一步检验n 等于3，故选C. 7.利用数学归纳法证明“22
1
111n n a a a a a
++-++++=- ， (1,a n N ≠∈)”时，在验证1n =成立时，左边应该是 ． 【答案】21a a ++
【解析】用数学归纳法证明“22
1
111n n a a a a
a
++-++++=- ， (1,a n N ≠∈)”时，在验证1n =成立时，将1n =代入，左边以1即0a 开始，以112a a +=结束，所以左边应该是2
1a a ++.
8. 在数列{a n }中，a n ＝1－
12＋13－14＋…＋121n -－12n
，则a k ＋1等于______________． 【答案】a k ＋121k +－1
22
k +
【解析】由于a 1＝1－12，a 2＝1－12＋13－14，…,a k ＝1－12＋13－14＋…＋121k -－1
2k
∴a k ＋1＝a k ＋121k +－1
22
k +.
9. 用数学归纳法证明12
+32
+52
+…+（2n ﹣1）2
=n （4n 2
﹣1）过程中，由n=k 递推到n=k+1时，不等式左边增加的项为______________． 【答案】（2k+1）2
10. 用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)n
n n n n n +++=- ··
··，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为______________． 【答案】2(21)k +
【解析】当n=k 时，左边等于 （k+1）（k+2）…（k+k ）=（k+1）（k+2）…（2k ），当n=k+1时，左边等于 （k+2）（k+3）…（k+k ）（2k+1）（2k+2），故从“k”到“k+1”的证明，左边需增添的代数式是 ()()()
21221k k k +++=2
（2k+1）．
二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

(共3题，共计40分)．
11. 【淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三第二次调研】已知数列{}n a 满足
212111
32,(),()()(1)n n
a n f n g n f n f n a a a =-=
+++=-- ，*n N ∈． （1）求证： 1(2)3g >；（2）求证：当3n ≥时，1
()3g n >．
【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】（1）由题意知，32n a n =-,2
121111
()n n n n g n a a a a ++=
++++ ， …………1分 当2n =时，234111111691
(2)47101403
g a a a =
++=++=>． ……………2分 （2）用数学归纳法加以证明：
12. 【扬州市2015—2016学年度第一学期期末检测试题】已知函数2
32)(x x x f -=，设数列{}n a 满足：
4
1
1=
a ，)(1n n a f a =+. （1）求证：*
N n ∈∀，都有3
1
＜＜n a ； （2）求证：
44313
313313121-≥-++-+-+n n
a a a
【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】（1）解：①当1n =时，114a =
， 有11
03
a <<
1n ∴=时，不等式成立 …………1分
②假设当*()n k k N =∈时，不等式成立，即1
03k a <<
则当1n k =+时，
22
21211()233()3()333k k k k k k k a f a a a a a a +==-=--=--+
于是2
1113()33
k k a a +-=-
13. 【镇江市2016届高三年级第一次模拟考试】(本小题满分10分) 证明：对一切正整数n ，5n
＋2·3n －1
＋1能被8整除．
【答案】略．
【解析】(1) 当n＝1时，能被8整除，(2分)
(2) 假设当n＝k，(k≥2，k∈N*，结论成立，)(2分)
则5k＋2·3k－1＋1能被8整除，设5k＋2·3k－1＋1＝8m，m∈N*，当n＝k＋1时，5k＋1＋2·3k＋1＝5(5k＋2·3k－1＋1)－4·3k－1－4。