初中数学竞赛专题复习 第三篇 初等数论 第22章 [x]与{x}试题 新人教版

第22章[]x与{}x22.1.1★求1-的值．解析因为1200712006+，又1200720071=+=<，所以200612007<．故12006=．22.1.2★若n是正整数，求的值．解析因为3321n n n n<+++()3323311n n n n<+++=+，所以1n n<=+，所以n=．22.1.13★数1232008A=⨯⨯⨯⨯L的末尾有多少个连续的零?解析A的质因数分解式中，5的最高次方幂为23420082008200820085555⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦40080163499=+++=，所以1232008A=⨯⨯⨯⨯L的末尾有499个零．评注在()!12n n=⨯⨯⨯L中，质数p的最高次幂是()2!mn n np np p p⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L，其中m p n≤，且1m p n+>．22.1.4★★设2221111232007S=++++L，求[]S．解析要求[]S，只需证明S介于两个连续的整数之间．所以需要对S进行适当的变形，通过放大、缩小的手段求出S 的范围，从而确定[]S 的取值．由题设知，1S >．考虑到()2111111k k k k k<=---，k =2，3，4，…，2007，可以得到 11111111122320062007S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 1222007=-<， 所以[]1S =．评注 上述解题过程中，首先对S 进行了“放缩”，又通过“拆项”的方法使和式中前后两项能够相互抵消一部分，使和式化简，从而得到了S 的范围．在对和式取整时，利用和式本身的性质进行“缩放”的方法非常重要，需要在平时的学习中多积累一 些和式的性质以及变形技巧．22.1.5★★ 计算和式23123223100101101101⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 的值．解析 因为（23，101）=1，所以，当1,2,,100n =L 时，23101n 都不是整数，即23101n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭都不为零．又因为()2310123101101n n -+ ()()23101231012323101101101101n n n n --⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎧⎫=+++⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎣⎦⎩⎭=23， 而()231012302101101n n -⎧⎫⎧⎫<+<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，且()2310123101101n n -⎧⎫⎧⎫+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭是整数，所以 ()23101231101101n n -⎧⎫⎧⎫+=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 则()231012323122101101n n -⎡⎤⎡⎤+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 从而，可以把231101⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦，232101⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，23100101⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦首尾配对，共配成50对，每一对的和为22，所以 23123223100101101101⨯⨯⨯⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 2251100=⨯=． 22.1.6★★ 已知01a <<，且满足122918303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ，求[]10a 的值． 解析 因为122902303030a a a <+<+<<+<L ，所以130a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，230a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，…，2930a ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦等于0或者1．由题设知，其中有18个等于1，所以12110303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 1213291303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=+==+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 所以110130a <+<， 121230a +<≤． 故183019a <≤，于是196103a <≤，所以[]106a =． 22.1.7★★ 求满足{}[]25125x x +=的所有实数x 的和．解析 原方程可化为{}[]12525x x -=，所以[]1250125x -<≤，可得[]100125x <≤，于是[]x =101，102，…，125，从而，满足条件的实数x 为[]{}[][][]1252452525x x x x x x -=+=+=+ 24101525⋅=+，24102525⋅+，…，24125525⋅+， 它们的和为 ()24255101102125283725⨯++++=L ． 22.1.8★★ 已知20032004T <<，如果要求[]{}x x ⨯是正整数，求满足条件所有实数x 的和． 解析 显然，[]2003x =，2003是质数，{}01x <<，设{}2003x p =，由题设，p 是整数，12003p <≤．20032003p x =+，p =1，2，3，…，2002． 和1232002200320022003S ++++=⨯+L 4011007=． 22.1.9★ 解方程[]722x x -=． 解析 原方程可改写为[]722x x =+， 将其代人[][]l x x x <+≤，可得[][][]72l 2x x x +<+≤． 解此不等式组，有 []7522x -<-≤，即[]3.5 2.5x -<-≤，所以[]3x =-．将[]3x =-代入原方程，得52x =-． 所以，原方程的解是52x =-． 评注 若一次方程中同时出现x 和[]x 的一次项，可以通过以下的步骤进行求解：（1）从方程中解出[]x 或x ，分别代入不等式组[]1x x x -<≤或[][]1x x x <-≤，求解后得到[]x 或x 的范围，从而求得[]x 的“可能取值”（注意不一定是解!）．（2）将这些“可能值”代人原方程进行求解．（3）检验．因为在（1）中将[]x 或x 代人不等式组，实际上是“放大”了x 的范围，所以必须验根！ 22.1.10★ 解方程：[]13122x x +=-． 解析 设[]31x n +=，则n 为整数，且()0311x n +-<≤， ① 由原方程知122x n -=，即 1124x n =+． ② 3301124n n ++-<≤， 即7322n -<-≤． 所以，3n =-或2n =-． 代入②，得134x =-,254x =-． 22.1.11★★ 解方程：[]33x x -=．解析 由原方程可化为[]33x x =-，代入不等式组[]1x x x -<≤，有[]313x x x x -<-=≤．整理后得到()2213x x <-≤．当0x <时，因为()210x x ->，所以210x -<，即10x -<<，所以()211x x -<，与()221x x <-矛盾． 当0x >时，因为()212x x ->，所以210x ->，即1x >．又因为()213x x -≤，所以2x <．所以12x <<，故[]1x =．代入原方程，得x =22.1.12★★ 解方程[]2440510x x -+=．解析 这是一个关于x 的二次方程，如果从方程中解出[]x 或x ，并代入不等式组将会使问题复杂化．可 以利用[]x 的性质，通过建立不等关系缩小[]x 的取值范围，从而得到[]x 的可能取值．由原方程知，0x >．因为[][]1x x x <+≤，所以将[]x x =和[]1x x =+分别代入[]244051x x -+中，得到不等式组 [][][]()[]22440510,4140510,x x x x ⎧-+⎪⎨+-+>⎪⎩≤ 即[][][]317,22115,22x x x ⎧⎪⎪⎨⎪><⎪⎩≤≤或 所以[]3522x <≤或[]111722x <≤，[]x =2，6，7，8．代入原方程得，得x =．经检验知，x =22.1.13★★ 已知x 、y 、z 满足：[]{}[]{}{}[]0.9,0.2,1.3,x y z x y z x y z ⎧++=-⎪++=-⎨⎪++=⎩①②③对于数a ，[]a 表示不大于a 的最大整数，{}[]a a a =-．求x 、y 、z 的值．解析 首先注意到，对于任意有理数a ，[]a a ≤，所以{}0a ≥．①+②+③得2220.6z y z ++=，即0.3z y z ++=． ④④－①得到{}[] 1.2y z +=，从而{}0.2y =，[]1z =；④－②得到{}[]0.1x y +=，从而{}0.1x =，[]0y =；④－③得到{}[]1x z +=-，因此{}1x =-，[]0z =．故0.9x =-，0.2y =，1z =．22.1.14★★ 解方程[][]999x x x x +=+（其中[]x 表示不超过x 的最大整数）．解析 若x 是整数，则[]x x =，于是非零整数都是原方程的解．若x 不是整数，则[]x x ≠，由题设得[]()[]()990x x x x --=，所以[]99x x =．设[]x n =，则x n a =+，01a <<．代入上式得()99n a n +=．当0n >时，()2991n n n <<+，这样的整数n 不存在．当0n <时，()2199n n n +<<，只有整数10n =-满足，此时0.1a =．于是9.9x =-．综上所述，原方程的解为所有非零整数和－9.9．22.1.15★★ 证明：对于任意实数x ，有[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦．解析 设{}[x x x =+，其中{}01x <≤，则有[]{}1122x x x +=++，[]{}222x x =+．当{}102x <≤时，{}11122x +<≤，{}102212x <⨯=≤，所以[]12x x ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦，[][]22x x =，于是[][][]1222x x x x ⎡⎤++==⎢⎥⎣⎦． 当{}112x <≤时，{}13122x +<≤，{}12212x <⨯=≤，所以[]{}[]11122x x x x ⎡⎤⎡⎤+=++=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，[][]{}[]22221x x x x =+=+⎡⎤⎣⎦，于是[][][]12122x x x x ⎡⎤++=+=⎢⎥⎣⎦．所以，对于任意实数x ，[][]122x x x ⎡⎤++=⎢⎥⎣⎦恒成立． 说明 本题中的等式有更为一般的形式：对任意实数x ，有[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ， 其中n 为大于l 的一切正整数．这个等式称为埃尔米特（Hermite ）恒等式．22.1.16★★ 设x 、y 为正整数，(),1x y =，求证：()()()11122y x x y x x y y y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ． 解析 设r 为整数，且11r y -≤≤，则有()y r x yx rx rx x y yy y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1rx x y ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦， 两边同时叠加，得到()()121x y x y x y y y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L ()()()1211x y x x y x y y y ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤=---+++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭L ． 所以()12y x x x y y y ⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭L ()()112x y --=．评注 对任意实数x ，有 [][][]1,,x x x ⎧--⎪-=⎨-⎪⎩，．当不是整数当是整数 （请读者自证）22.1.17★★★ 如果n 是正整数，求证：解析 任意正整数n ，总存在正整数m ，满足()221m n m <+≤，不妨设2n m k =+，其中02k m ≤≤．（1）当01k m -≤≤时，即221m n m m +-≤≤．则m 12m =+． ① 又因为2211m n m m +++≤≤，所以12m m <+． ② 由①、②式，得221m m <<+，所以2m =． 另一方面，224242442m n m m +++-≤≤，2m =<21m +，即2m =． 故当01k m -≤≤时，等式成立．（2）当2m k m ≤≤时，2222m m n m k m m +=++≤≤，1m +，1m =+．22m +． ③又，+因为 ()22m m =+， 所以()()221m m m m +++++()()()222221441m m m m m m m m >++++++=++．即()2221m >+．21m >+． ④由③、④式，得21m =+． 另一方面，2244242482m m n m m +++++≤≤，21m +22m =+．所以21m =+． 故当2m k m ≤≤时，等式亦成立．综上所述，原等式成立．22.1.18★★ 设a 、b 、c 是正实数，求a b b c c a u c a b +++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦的最小值． 解析 对于实数x ，有[]1x x >-，所以a b b c c a u c a b +++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 3a b b c c a c a b+++>++- 3a b b c c a b a c b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22233++-=≥．由于u 是整数，所以4u ≥．当6a =，8b =，9c =时，4u =．故u 的最小值为4．22.1.19★★ 在1，2，…，2005这2005个正整数中，有多少个可以表示成[]x x ⎡⎤⎣⎦的形式，其中x 是正实数．（这里[]a 表示不超过a 的最大整数．）解析 令{}[]x x x =-，则{}[0,1)x ∈，于是[][]{}()[][]{}[]2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，因为{}[][]0x x x <≤，所以{}[][]01x x x ⎡⎤-⎣⎦≤≤，令[]x n =，则[]x x ⎡⎤⎣⎦可以表示数2n ，21n +，…，21n n +-．由于2444319792005+=<，24520252005=>，所以，欲求的数的个数为444512449902⨯+++==L ． 22.1.20★★★ 将正整数中所有被4整除以及被4除余1的数全部删去，剩下的数依照从小到大的顺序排成一个数列{}n a ：2，3，6，7，10，11，…．数列{}n a 的前n 项之和记为n S ，其中n =1，2，3，…．求S =+++L 的值．（其中[]x 表示不超过x 的最大整数） 解析 易知2142n a n -=-，241n a n =-，1n =，2，…，因此()()()21234212n n n S a a a a a a -=++++++L()5132183n =++++-L()258322n n n n +-==+， ()22122441n n n S S a n n n -=-=+--()221n n =-+， 所以()()222221n n S n <<+，()()2221212n n S n --<<， 故[]22n S n =，[]2121n S n -=-，从而[]n S n =，于是 [][][]122006S S S S =+++L200620071220062⨯=+++=L 2013021=．22.1.21★★★★ 在212006⎡⎤⎢⎥⎣⎦，222006⎡⎤⎢⎥⎣⎦，232006⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，220062006⎡⎤⎢⎥⎣⎦中，有多少个不同的整数?（其中，[]x 表示不超过x 的最大整数）解析 设()22006n f n =，则当n =2，3，…，1003时， 有()()()221120062006n n f n f n ---=- 2112006n -=<， 而，()10f =，()210031003501.52006f ==，所以，从0到501的整数都能取到． 当n =1004，1005，…，2006时，有()()()221120062006n n f n f n ---=- 2112006n -=>， 而()()22100311004100420062006f +== 1501.515022006=++>， 所以，210042006⎡⎤⎢⎥⎣⎦，210052006⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，220062006⎡⎤⎢⎥⎣⎦是互不相同的整数． 从而，在212006⎡⎤⎢⎥⎣⎦，222006⎡⎤⎢⎥⎣⎦，232006⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，220062006⎡⎤⎢⎥⎣⎦中，共有50210031505+=个不同的整数．。