复数与平面向量的联系

课 题：研究性学习课题：复数与平面向量的联系 教学目的：

1. 理解复数与从原点出发的向量的对应关系

2. 了解复数加减法运算的几何意义

教学重点：复数与从原点出发的向量的对应关系．

教学难点：复数加减法运算的几何意义

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.若(,)A x y ，(0,0)O ，则(),OA x y =

2. 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，

b a -),(2121y y x x --= 两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差3. 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --= 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

即 =-=( x 2, y 2) - (x 1,y 1)= (x 2- x 1, y 2- y 1) 4.复平面、实轴、虚轴：复数z =a +bi (a 、b ∈R )与有序实数对(a ，b )是一一对应关系这是因为对于任何一个复数z =a +bi (a 、b ∈R )，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对(a ，b )惟一确定，如z =3+2i 可以由有序实数对(3，2)确定，又如z =－2+i 可以由有序实数对(－2，1)来确定；又因为有序实数对(a ，b )与平面直角坐标系中的点是一一对应的，如有序实数对(3，2)它与平面直角坐标系

中的点A ，横坐标为3，纵坐标为2，建立了一一对应的关系 由此可知，复数集与平面直角坐标系中

的点集之间可以建立一一对应的关系.

点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系

来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴

实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所

确定的复数是z =0+0i =0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数

在复平面内的原点(0，0)表示实数0，实轴上的点(2，0)表示实数2，虚轴上的点(0，－1)表示纯虚数－i ，虚轴上的点(0，5)表示纯虚数5i

非纯虚数对应的点在四个象限，例如点(－2，3)表示的复数是－2+3i ，z =－5－3i 对应的点(－5，－3)在第三象限等等.

复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即

这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.

这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.

5.复数的加(减)法 (a +bi )±(c +di )=(a ±c )+(b ±d )i .

与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加(减).

二、讲解新课： １．复平面内的点(,)Z a b ←−−−→一一对应

平面向量OZ 2. 复数z a bi =+←−−−→一一对应

平面向量OZ 3.复数加法的几何意义：

设复数z 1=a +bi ，z 2=c +di ，在复平面上所对应的向量

为1OZ 、2OZ ，即1OZ 、2OZ 的坐标形式为1OZ =(a ，

b )，2OZ =(

c ，

d )1OZ 、2OZ 为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，则对角线OZ 对应的向量是，

∴OZ = 1OZ +2OZ =(a ，b )+(c ，d )=(a +c ，b +d )＝(a +c )+(b +d )i

4. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设z =(a －c )+(b －d )i ，所以z －z 1=z 2，z 2+z 1=z ，由复数加法几何意义，以OZ 为一条对角线，1OZ 为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边OZ 2所表示的向量2OZ 就

与复数z －z 1的差(a －c )+(b －d )i 对应由于21OZ Z Z = ，所以，两个复数的差z

－z 1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.

三、讲解范例：

例1已知复数z 1=2+i ，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为A 、B ，求对应的复数z ，z 在平面内所对应的点在第几象限？

解：z =z 2－z 1=(1+2i )－(2+i )=－1+i ，

∵z 的实部a =－1＜0，虚部b =1＞0，

∴复数z 在复平面内对应的点在第二象限内.

点评：任何向量所对应的复数，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即AB 所表示的复数是z B －z A . ，而BA 所表示的复数是z A －z B ，故切不可把被减数与减数搞错尽管向量AB 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量AB 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关

例2 复数z 1=1+2i ，z 2=－2+i ，z 3=－1－2i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数. 分析一：利用=，求点D 的对应复数.

解法一：设复数z 1、z 2、z 3所对应的点为A 、B 、C ，正方形的第四个顶点D 对应的复数为x +yi (x ，y ∈R )，是：

OA OD AD -==(x +yi )－(1+2i )=(x －1)+(y －2)i ;

OB OC BC -==(－1－2i )－(－2+i )=1－3i . ∵=，即(x －1)+(y －2)i =1－3i ，

∴⎩⎨⎧-=-=-,32,11y x 解得⎩⎨⎧-==.1,2y x 故点D 对应的复数为2－i .

分析二：利用原点O 正好是正方形ABCD 的中心来解.

解法二：因为点A 与点C 关于原点对称，所以原点O 为正方形的中心，于是(－2+i )+

(x +yi )=0，∴x =2，y =－1.

故点D 对应的复数为2－i .

点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，