材料力学第五版孙训方版课后习题答案[1]1

材料⼒学第五版孙训⽅版课后习题答案[1]1
第⼆章
[习题2-2]⼀打⼊基地内的⽊桩如图所⽰，杆轴单位长度的摩擦⼒f=kx**2，试做⽊桩的后⼒图。

解：由题意可得：33
233
110
,,3/()3/(/)l
l N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l =====?
1
有3
[习题2-3] ⽯砌桥墩的墩⾝⾼m l
10=，其横截⾯⾯尺⼨如图所⽰。

荷载kN F 1000=，材料的密度
3/35.2m kg =ρ，试求墩⾝底部横截⾯上的压应⼒。

解：墩⾝底⾯的轴⼒为：
g Al F G F N ρ--=+-=)( 2-3图
)(942.31048.935.210)114.323(10002kN -=+?--=
墩⾝底⾯积：)(14.9)114.323(22m A =?+?=
因为墩为轴向压缩构件，所以其底⾯上的正应⼒均匀分布。

MPa kPa m kN
A N 34.071.33914.9942.31042
-≈-=-==
σ [习题2-7] 图⽰圆锥形杆受轴向拉⼒作⽤，试求杆的伸长。

2-7图
解：取长度为dx 截离体（微元体）。

则微元体的伸长量为：
)
()(x EA Fdx l d =
，??==?l l x A dx
E F dx x EA F l 00)()( l x r r r r =--121，2
2112112d
x l d d r x l r r r +-=+?-=，
22
11222)(u d x l
d
d x A ?=??? ??+-=ππ，dx l d d du d x l d d d 2)22(12112-==+-
du d d l
dx 1
22-=，
)()(22)(221212u du d d l du u d d l
x A dx -?-=?-=ππ因此，
)()(2)()(202100u du
d d E Fl x A dx E F dx x EA F l l l l
--===?π l
l
d x l d d d d E Fl u d d E Fl 0
11221021221)(21)(2??
+--=???
-=ππ
-+--=21221)(2111221d d l l d d d d E Fl π --=
122122)(2d d d d E Fl π2
14d Ed Fl
π= [习题2-10] 受轴向拉⼒F 作⽤的箱形薄壁杆如图所⽰。

已知该材料的弹性常数为ν,E ，试求C 与D 两点间的距离改变量CD 。

解：
EA
F
E A
F νν
νεε-=-=-=/'
式中，δδδa a a A 4)()(22
=--+=，故：δ
ν
εEa F 4'-
=
δνεEa F a a 4'-==?，δνE F a a a 4'
-=-=? δνE F a a 4'-
=，a a a CD 12
145)()(24
3
232=+=
'12
145
)'()'(24
3
232''a a a D C =+= δ
ν
δνE F E F a a CD D C CD 4003.1412145)(12145)('''?
-=?-=-=
-=? [习题2-11] 图⽰结构中，AB 为⽔平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量GPa E 210=，已知m l 1=，221100mm A A ==，23150mm A =，kN F 20=。

试求C
点的⽔平位移和铅垂位移。

2-11图
解：（1）求各杆的轴⼒
以AB 杆为研究对象，其受⼒图如图所⽰。

因为AB 平衡，所以
0=∑X ，045cos 3
=o N
，03=N
由对称性可知，0=?CH ，)(10205.05.021kN F N N =?=== （2）求C 点的⽔平位移与铅垂位移。

A 点的铅垂位移：mm mm mm N mm
N EA l N l 476.0100/21000010001000022111
=??==
B 点的铅垂位移：
mm mm mm N mm
N EA l N l 476.0100/2100001000100002
2222=??==
1、2、3杆的变形协（谐）调的情况如图所⽰。

由1、2、3杆的变形协（谐）调条件，并且考虑到AB 为
刚性杆，可以得到
C 点的⽔平位移：)(476.045tan 1mm l o BH AH CH =??=?=?=?
C 点的铅垂位移：)(476.01mm l C
=?=?
[习题2-12] 图⽰实⼼圆杆AB 和AC 在A 点以铰相连接，在A 点作⽤有铅垂向下的⼒kN F 35=。

已知杆AB 和AC 的直径分别为mm d 121=和mm d 152=，钢的弹性模量GPa E 210=。

试求A 点在铅垂⽅向的位移。

受⼒图
变形协调图
解：（1）求AB 、AC 杆的轴⼒
以节点A 为研究对象，其受⼒图如图所⽰。

由平衡条件得出：
0=∑X ：045sin 30sin =-o AB o AC
N N
AB AC N N 2=………………………(a)
0=∑
Y ：03545cos 30cos =-+o
AB o AC N N 7023=+AB AC N N ………………(b)
(a)
(b)联⽴解得：
kN N N AB 117.181==；kN N N AC 621.252==
（2）由变形能原理求A 点的铅垂⽅向的位移
222211212221
EA l N EA l N F A +
=? )(12
22
2
1121EA l N EA l N F A +=?
式中，)(141445sin /10001mm l o ==；)(160030sin /8002mm l o ==
2211131214.325.0mm A =??=；2221771514.325.0mm A =??=
故：)(366.1)177
2100001600
25621113210000141418117(3500012
2mm A =??+??=
[习题2-13] 图⽰A 和B 两点之间原有⽔平⽅向的⼀根直径mm d 1=的钢丝，在钢丝的中点C 加⼀竖向荷
载F 。

已知钢丝产⽣的线应变为0035.0=ε，其材料的弹性模量GPa E 210
=，钢丝的⾃重不计。

试求：
（1）钢丝横截⾯上的应⼒（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；（2）钢丝在C 点下降的距离?；（3）荷载F 的值。

解：（1）求钢丝横截⾯上的应⼒
)(7350035.0210000MPa E =?==εσ
（2）求钢丝在C 点下降的距离?
)(72100002000
735mm E l EA Nl l =?=?==
σ。

其中，AC 和BC 各mm 5.3。

996512207.05
.10031000
cos ==α
o
7867339.4)5
.10031000arccos(==α
)(7.837867339.4tan 1000mm o
==?
（3）求荷载F 的值
以C 结点为研究对象，由其平稀衡条件可得：
0=∑Y ：0sin 2=-P a N
ασsin 2sin 2A a N P ==
)(239.96787.4sin 114.325.0735202N ==
[习题2-15]⽔平刚性杆AB 由三根BC,BD 和ED ⽀撑，如图，在杆的A 端承受铅垂荷载F=20KN,三根钢杆的横截⾯积分别为
A1=12平⽅毫⽶，A2=6平⽅毫⽶，A,3=9平⽅毫⽶，杆的弹性模量E=210Gpa ，求：（1）端点A 的⽔平和铅垂位移。

（2）应⽤功能原理求端点A 的铅垂位移。

解：（1）
3
3
233
110
3123111171196
1222,3/()3/(/)cos450sin 4500.450.150
60,401,0,
60100.15 3.87210101210401l
l
N N N N N N N fdx F kl F k F l F x Fx l dx F x l F F F F F F F F KN F KN F KN F l l EA F l l EA -=====?=?-+-+=??-?+?=?
∴=-=-=-===??==??
由胡克定理，
796
x 2y 2100.15 4.76
2101012104.762320.23A l A l l -?==?=?=??+??=↓从⽽得，，（）
（2）
y 1122y +020.33V F A F l F l A ε=??-=?=↓（）
[习题2-17] 简单桁架及其受⼒如图所⽰，⽔平杆BC 的长度l 保
持不变，斜杆AB 的长度可随夹⾓θ的变化⽽改变。

两杆由同⼀种材料制造，且材料的许⽤拉应⼒和许⽤压应⼒相等。

要求两杆内的应⼒同时达到许⽤应⼒，且结构的总重量为最⼩时，试求：（1）两杆的夹⾓；
（2）两杆横截⾯⾯积的⽐值。

解：（1
）求轴⼒
取节点B 为研究对象，由其平衡条件得： ∑=0Y
0sin =-F N AB θ
θ
sin F N AB =
∑=0X
0cos =--BC AB N N θ
θθθ
θcot cos sin cos F F
N N AB BC =?=
-= 2-17 （2）求⼯作应⼒
θ
σsin AB AB AB AB A F
A N ==
BC
BC BC BC A F A N θ
σcot =
=
（3）求杆系的总重量
)(BC BC AB AB l A l A V W +=?=γγ。

γ是重⼒密度（简称重度，单位：3/m kN ）。

)cos (l A l
A BC AB
+=θγ )cos 1
(BC AB A A l +?=θ
（4）代⼊题设条件求两杆的夹⾓条件①：
][sin σθ
σ===AB AB AB AB A F A N ，θσsin ][F
A A
B =
][cot σθσ===
BC
BC BC BC A F A N ， ][c o t
σθF A BC =
条件⑵：W 的总重量为最⼩。

)cos 1(BC AB
A A l W +?=θγ)cos 1
(BC AB A A l +?=θ
γ )][cot cos 1sin ][(
σθθθσγF F l +??=)sin cos cos sin 1(][θ
θ
θθσγ+=Fl
[]???? ??+=θθθσγcos sin cos 12Fl []
+=θθσγ
2sin cos 122Fl 从W 的表达式可知，W 是θ⾓的⼀元函数。

当W 的⼀阶导数等于零时，W 取得最⼩值。

[]02sin 22cos )cos 1(2sin sin cos 2222=
+-?-=θθθθθθσγθFl d dW 022cos 2
2cos 32sin 2=??+-
-θθ
θ 02cos 2cos 32sin 22=---θθθ 12cos 3-=θ，3333.02cos -=θ
o 47.109)3333.0arccos(2=-=θ，'445474.54o o ==θ
（5）求两杆横截⾯⾯积的⽐值
θσsin ][F A AB =
，]
[cot σθ
F A BC =
θθθσθθ
σcos 1cot sin 1]
[cot sin ][===F F
A A BC
AB
因为：
12cos 3-=θ，311cos 22-=-θ，3
1
cos 2=θ
3
1
cos =
θ，3cos 1=θ所以：
3=BC
AB
A A [习题2-18] ⼀桁架如图所⽰。

各杆都由两个等边⾓钢组成。

已知材料的许⽤应⼒MPa 170][=σ，试选择AC 和CD 的⾓钢型号。

解：（1）求⽀座反⼒由对称性可知，
)(220↑==kN R R B A
（2）求AC 杆和CD 杆的轴⼒
以A 节点为研究对象，由其平衡条件得： =
∑Y
2-18
0cos =-αAC A N R
)(667.3665
/3220
sin kN R N A AC ===
α以C 节点为研究对象，由其平衡条件得： 0=∑X
0cos =-αAC CD N N
)(333.2935/45
/3220
cos kN N N AC CD =?=
=α（3）由强度条件确定AC 、CD 杆的⾓钢型号 AC 杆：
222
569.2186.2156/170366667][cm mm mm
N N
N A AC AC ===≥
σ选⽤2∟780?（⾯积2
72.2186.102cm =?）。

CD 杆：
222
255.17488.1725/170293333][cm mm mm
N N
N A CD CD ===≥
σ选⽤2∟675?（⾯积2
594.17797.82cm =?）。

[习题2-19] ⼀结构受⼒如图所⽰，杆件AB 、CD 、EF 、GH 都由两根不等边⾓钢组成。

已知材料的许⽤应⼒MPa 170] [=σ，材料的弹性模量GPa E 210=，杆AC
及EG 可视为刚性的。

试选择各杆的⾓钢型号，并分别求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ?、C ?、A ?。

解：（1）求各杆的轴⼒ )(24030042
.3kN N AB =?= )(603004
8.0kN N CD
=?= 0=∑F
M
02.1605.13003=?-?-?GH N 2-19
)(174)72450(3
1
kN N GH =+=
0=∑Y
030060174=--+EF N
)(186kN N EF =
（2）由强度条件确定AC 、CD 杆的⾓钢型号 AB 杆：
222
12.14765.1411/170240000][cm mm mm
N N
N A AB AB ===≥
σ选⽤2∟55690??（⾯积2
424.14212.72cm =?）。

CD 杆：
2
22
529.3941.352/17060000][cm
mm mm N N N A CD CD ===≥
σ选⽤2∟32540??（⾯积2
78.389.12cm =?）。

EF 杆：
2
22
412.10118.1094/170186000][cm mm mm
N N N A EF EF ===≥
σ选⽤2∟54570??（⾯积2
218.11609.52cm =?）。

GH 杆：
2
22
353.10529.1023/170174000][cm mm mm
N N N A GH GH ===≥
σ选⽤2∟54570??（⾯积2
218.11609.52cm =?）。

（3）求点D 、C 、A 处的铅垂位移D ?、C ?、A ?
)(7.2694.24.14422100003400
240000mm EA l N l AB AB AB AB ≈=??==?
)(907.03782100001200
60000mm EA l N l CD CD CD CD =??==?
)(580.18.11212100002000
186000mm EA l N l EF EF EF EF =??==?
)(477.18
.11212100002000
174000mm EA l N l GH GH GH GH =??==
EG 杆的变形协调图如图所⽰。

3
8.1=--?GH EF GH D l l l
38
.1477.1580.1477.1=
--?D )(54.1mm D =?
)(45.2907.054.1mm l CD D C =+=+?=? )(7.2mm l AB A ==?
[习题2-21] （1）刚性梁AB ⽤两根钢杆AC 、BD 悬挂着，其受⼒如图所⽰。

已知钢杆AC 和BD 的直径分别为mm d 251 =和mm d 182=，钢的许⽤应⼒MPa 170][=σ，弹性模量GPa E 210=。

试校核钢杆的强
度，并计算钢杆的变形AC l ?、BD l ?及A 、B 两点的竖向位移A ?、B ?。

解：（1）校核钢杆的强度
①求轴⼒
)(667.661005.43
kN N AC =?= )(333.331005
.45.1kN N BC
=?= ②计算⼯作应⼒
2
22514.325.066667mm
N
A N AC AC AC ??==
σ
MPa 882.135=
2
21814.325.033333mm
N
A N BD BD BD ??==
σ 2-21
MPa 057.131=
③因为以上⼆杆的⼯作应⼒均未超过许⽤应⼒170MPa ，即][σσ≤AC ；][σσ≤BD ，所以AC
及BD 杆的强度⾜够，不会发⽣破坏。

（2）计算AC l ?、BD l ?
)(618.1625.4902100002500
66667mm EA l N l AC AC AC AC =??==?
)(560.134
.2542100002500
33333mm EA l N l BD BD BD BD =??==
（3）计算A 、B 两点的竖向位移A ?、B ?
)(618.1mm l AC A =?=?，)(560.1mm l BD B =?=?
第三章 [习题3-2] 实⼼圆轴的直径mm d
100=，长m l 1=，其两端所受外⼒偶矩m kN M e ?=14，材料的切变模量GPa G 80=。

试求：
（1）最⼤切应⼒及两端⾯间的相对转⾓；
（2）图⽰截⾯上A 、B 、C 三点处切应⼒的数值及⽅向；（3）C 点处的切应变。

解：（1）计算最⼤切应⼒及两端⾯间的相对转⾓
p
e p W M W T
==
max τ。

式中，)(19634910014159.316
1
161333mm d W p =??==
π。

3-2 故：MPa mm
mm N W M p e 302.71196349101436max
=??==τ p
GI l T ?=
，式中，)(981746910014159.3321
321444mm d I p =??==π。

故： o p rad m
m N m
m N GI l T 02.1)(0178254.010*******/10801140004
1229===?=
-? （2）求图⽰截⾯上A 、B 、C 三点处切应⼒的数值及⽅向 M P a
B A
302.71max ===τττ，由横截⾯上切应⼒分布规律可知： MPa B C 66.35302.715.02
1=?==ττ， A 、B 、C 三点的切应⼒⽅向如图所⽰。

（3）计算C 点处的切应变
3
43
10446.0104575.4108066.35--?≈?=?=
=
MPa
MPa G
C
C τγ [习题3-3] 空⼼钢轴的外径mm
D 100=，内径mm d
50=。

已知间距为m l 7.2=的两横截⾯的相对扭转⾓
o 8.1=?，材料的切变模量GPa G 80=。

试求：
（1）轴内的最⼤切应⼒；
（2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率。

解；（1）计算轴内的最⼤切应⼒
)(9203877)5.01(10014159.3321
)1(32144444mm D I p =-=-=
απ。

)(184078)5.01(10014159.3161
)1(16134343mm D W p =-=-=απ
式中，D d /=α。

p
GI l
T ?=?， mm
mm mm N l
GI T p
27009203877/80000180/14159.38.142=
=
mm N ?=45.8563014)(563.8m kN ?=
MPa mm mm
N W T p 518.4618407845.85630143
max =?==
τ（2）当轴以min /80r n =的速度旋转时，轴所传递的功率
)(563.880
549.9549
.9m kN N
n N M T k k e ?=?=== )(74.71549.9/80563.8kW N k =?=
[习题3-5] 图⽰绞车由两⼈同时操作，若每⼈在⼿柄上沿着旋转的切向作⽤⼒F 均为0.2kN ，已知轴材料的许⽤切应⼒MPa 40] [=τ，试求：
（1）AB 轴的直径；
（2）绞车所能吊起的最⼤重量。

解：（1）计算AB 轴的直径
AB 轴上带⼀个主动轮。

两个⼿柄所施加的外⼒偶矩相等： )(08.04.02.0m kN M M e e ?=?==右左
)(16.02m kN M M e e ?==右主动轮
扭矩图如图所⽰。

3-5 由AB 轴的强度条件得：
][163
max τπτ≤==
d
M W M e p e 右
右 mm mm N mm N M d e 7.21/4014159.38000016][1632
3
==≥τπ右
（2）计算绞车所能吊起的最⼤重量
主动轮与从动轮之间的啮合⼒相等：
35.02.0从动轮主动轮e e M M =，)(28.016.020.035
.0m kN M e ?=?=
从动轮由卷扬机转筒的平衡条件得：
从动轮e M P =?25.0，28.025.0=?P )(12.125.0/28.0kN P ==
[习题3-6] 已知钻探机钻杆（参看题3-2图）的外径mm D 60=，内径mm d 50=，功率kW P 355.7=，
转速min /180r n =，钻杆⼊⼟深度m l
40=，钻杆材料的GMPa G 80=，许⽤切应⼒MPa 40][=τ。

假
设⼟壤对钻杆的阻⼒是沿长度均匀分布的，试求：（1）单位长度上⼟壤对钻杆的阻⼒矩集度m ；
（2）作钻杆的扭矩图，并进⾏强度校核；（3）两端截⾯的相对扭转⾓。

解：（1）求单位长度上⼟壤对钻杆的阻⼒矩集度m )(390.0180
355
.7549.9549
.9m kN n N M k e ?=?== 设钻杆轴为x 轴，则：
0=∑x
M
，e M ml =，
)/(00975.040
390
.0m kN l M m e ===
（2）作钻杆的扭矩图，并进⾏强度校核
①作钻杆扭矩图
x x mx x T 00975.040
39
.0)(-=-
=-=。

]40,0[∈x
0)0(=T ； )(390.0)40(m kN M T e ?-==
扭矩图如图所⽰。

②强度校核，p
e
W M =
max
τ式中，)(21958])60
50
(1[6014159.3161)1(16134343mm D W p
απ MPa mm
mm N W M p e 761.17219583900003max =?==
τ因为MPa 761.17max
=τ，MPa 40][=τ，即][max ττ≤，所以轴的强度⾜够，不会发⽣破坏。

（3）计算两端截⾯的相对扭转⾓
=40
)(p
GI dx
x T ? 式中，)(658752])60
50
(1[6014159.3321)1(32144444mm D I p
=-=-=
απ 40
240
4
122640
]2
[10658752/108000975.000975.01|)(|x m m kN xdx GI GI dx x T p
p ?
-===
05.8)(148.0≈=rad
[习题3-8] 直径mm d
50=的等直圆杆，在⾃由端截⾯上承受外⼒偶m kN M e ?=6，⽽在圆杆表⾯上的A 点将移动到A 1点，如图所⽰。

已知mm AA s 31==
，圆杆材料的弹性模量GPa E 210=，试求泊松⽐ν
（提⽰：各向同性材料的三个弹性常数E 、G 、ν间存在如下关系：)
1(2ν+=E
G 。

解：整根轴的扭矩均等于外⼒偶矩：m kN M T
e ?==6。

设1,O O 两截⾯之间的相对对转⾓为?，则2d s ?
=??，d
s
GI l T P ?=
=
2? 式中，)(6135925014159.332
1
321444mm d I p =??==
π 3-8
GPa MPa mm
mm mm mm mm N s I d l T G p 4874.81372.8148736135922501000106246===???=
由)
1(2ν+=
E
G 得：289.014874.81221012=-?=-=G E ν [习题3-10] 长度相等的两根受扭圆轴，⼀为空⼼圆轴，⼀为实⼼圆轴，两者的材料相同，受⼒情况也⼀样。

实⼼轴直径为d ；空⼼轴的外径为D ，内径为d 0，且
8.00
=D
d 。

试求当空⼼轴与实⼼轴的最⼤切应⼒均达到材料的许⽤切应⼒（][max ττ=），扭矩T 相等时的重量⽐和刚度⽐。

解：（1）求空⼼圆轴的最⼤切应⼒，并求D 。

p
W T
=
max τ式中，)1(16
1
43απ-=
D W p
，故： ][1.27)8.01(163
43max,τππτ==-=
D T
D T 空
]
[1.273τπT
D =
3-10 （1）求实⼼圆轴的最⼤切应⼒
p W T =
max τ，式中，3161d W p π= ，故：][161633max,τππτ===d
T
d T
实
][163τπT d =
，69375.116]
[][1.27)(3=?=
T
T d D τπτπ，192.1=d D （3）求空⼼圆轴与实⼼圆轴的重量⽐
512.0192.136.0)(36.0)8.01()(25.0)(25.0222
222
02=?==-=-=d D d D l d l d D W W γ
πγπ实空（4）求空⼼圆轴与实⼼圆轴的刚度⽐
44401845.0)8.01(321D D I p ππ=-=
空，4403125.032
1
d d I p ππ==实 192.1192.15904.0)(5904.003125.001845.0444
4=?===d D d
D GI GI p p ππ实空 [习题3-11] 全长为l ，两端⾯直径分别为21,d d 的圆台形杆，在两端各承受⼀外⼒偶矩e M ，如图所⽰。

试求杆两端⾯间的相对扭转⾓。

解：如图所⽰，取微元体dx ，则其两端⾯之间的扭转⾓为：
P
e GI dx
M d =
式中，432
1d I p
π= l
x
r r r r =--121
2
2112112d
x l d d r x l r r r +-=+?-=
11
22d x l
d d r d +-== 4411
24)(u d x l
d d d =+-= dx l d d du 12-=
，du d d l
dx 1
2-= 故：-=-?===
=l e l
e l
e
l
p e
l
p e u du d d G l M du d d l
u G
M d dx G
M I dx G M GI dx M 0412********)(3213232πππ?
l
e l e l e d x l d d d d G l M u d d G l M u du d d G l M 0
311212*********)(332]31[)(32)(32??
??+---=--=-=?πππ =
++= --= ---32312
221213231323121313212332)(33211)(332d d d d d d G l M d d d d d d G l M d d d d G l M e e e πππ [习题3-12] 已知实⼼圆轴的转速min /300r n =，传递的功率kW p 330=，轴材料的许⽤切应⼒
MPa 60][=τ，切变模量GPa G 80=。

若要求在2m 长度的相对扭转⾓不超过o 1，试求该轴的直径。

解：180
1π
≤=?=
p e P GI l M GI l T 式中，)(504.10300
330
549.9549
.9m kN n N M k e
===；4321d I p π=。

故：
G l M I e p π180≥
，G
l M d e ππ180321
4≥? mm mm
N mm mm N G l M d e 292.111/8000014.3200010504.10180321803242
2642==?≥π取mm d 3.111=。

[习题3-16] ⼀端固定的圆截⾯杆AB ，承受集度为m 的均布外⼒偶作
⽤，如图所⽰。

试求杆内积蓄的应变能。

已矩材料的切变模量为G 。

解：G d dx
x m d G dx x m GI dx x T dV p 4
2242221632
122)(ππε=??== p
l GI l m G d l m G d l m dx x G d m V 632
16316163
24324320242=?===?πππε
3-16
[习题3-18] ⼀圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉⼒F 如图，簧丝直径mm d 10=，材料的许⽤切应⼒MPa 500][=τ，切变模量为G ，弹簧的有效圈数为n 。

试求：
（1
）弹簧的许可切应⼒；
（2）证明弹簧的伸长))((162
221214
R R R R Gd
Fn ++=?。

解：（1）求弹簧的许可应⼒
⽤截⾯法，以以簧杆的任意截⾯取出上⾯部分为截离体。

由平
衡条件可知，在簧杆横截⾯上：
剪⼒F Q =扭矩FR T =
最⼤扭矩：2max
FR T =
][)41(16164232322max "'max τπππτττ≤+=+=+=
+=R d d
FR d FR d F W T A Q p ， N mm
mm
mm mm N mm R d R d F 3.957)
1004101(10016/5001014.3)41(16]
[][2
33223=?+=+=τπ
因为102010/200/>==d
D ，所以上式中⼩括号⾥的第⼆项，即由Q 所产⽣的剪应⼒可以忽略不计。

此时N mm mm N mm R d R d F 25.98110016/5001014.3)41(16][][2
332
23==+=τπ
（2）证明弹簧的伸长))((162
221214
R R R R Gd
Fn ++=
外⼒功：?=F W 21 ， p
GI d R T dU 2)
(2α?=
ααπααπππd n
R R R GI F d R GI F GI d R FR U n
p
n
p
n
p 3
20
1
212
20
3
2
20
2]2[222)()(?
-+=
=
=
1
2414
224R R R R GI n F p --?=π U W =，1
2414
2
2421R R R R GI n F F p --?=?π
))((162212
2214
12414
2R R R R d
G n F R R R R GI n F p ++=--?=?πππ
[习题3-19] 图⽰矩形截⾯钢杆承受⼀对外⼒偶
m kN M e ?=3。

已知材料的切变模量GPa G 80=，试求：
（1）
杆内最⼤切应⼒的⼤⼩、位置和⽅向；（2）横截⾯短边中点处的切应⼒；（3）杆的单位长度扭转⾓。

解：（1）求杆内最⼤切应⼒的⼤⼩、位置和⽅向
，，
，
由表得，
，
长边中点处的切应⼒，在上⾯，由外指向⾥（2）计算横截⾯短边中点处的切应⼒MPa
短边中点处的切应⼒，在前⾯由上往上（3）求单位长度的转⾓
单位长度的转⾓
[习题3-23] 图⽰为薄壁杆的的两种不同形状的横截⾯，其壁厚及管壁中线的周长均相同。

两杆的长度和材料也相同，当在两端承受相同的⼀对扭转外⼒偶矩时，试求：（1）最⼤切应⼒之⽐；
（2）
相对扭转⾓之⽐。

解：（1）求最⼤切应⼒之⽐
开⼝：t
e I M δ
τ=
开⼝max,
303032
231δπδπr r I t =??= 依题意：a r 420=π，故：
330303
432231δδπδπa r r I t ==??=
2
3max,4343
δδδδτa M a M I M e e t e ===
开⼝闭⼝：δδτ20max,22a M A M e
e ==闭⼝，δ
δδττ2324322
max,max,a M a a M e e =?=闭⼝开⼝（3）求相对扭转⾓之⽐
开⼝：330303432231δδπδπa r r I t
==??=，3
'
43δ?Ga M GI M GI T e t e t ===开⼝闭⼝：δ
δδδ?3
42020'
4444Ga M Ga a M GA s M GA Ts
e e e =?===
闭⼝ 22
33
''4343δ
δδ??a M Ga Ga M e e =?=闭⼝开⼝
第四章 4-1试求图⽰各梁中指定截⾯上的剪⼒和弯矩 a （5）=h （4）
001100110002
22220002213
2241111
22312
114
0,222233RA RB S S q F F a q a q F q a a q a a M q a q a q a
F M q a a q a a q a ----==
==-==-===-
=
b （5）=f （4）。