2011年全国新课标(甘肃省卷)高考文科数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、
准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的．
1．已知集合M={0，1，2，3，4}，N={1，3，5}，P=M N ，则P 的子集共有
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．8个
2．复数512i
i
=-
A ．2i -
B ．12i -
C ． 2i -+
D ．12i -+
3．下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是
A ．3
y x =
B ．||1y x =+
C ．21y x =-+
D ．||
2
x y -=
4．椭圆22
1168
x y +=的离心率为
A ．
1
3 B ．
12
C ．3
D ．
2
5．执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 A ．120 B ． 720 C ． 1440 D ． 5040
6．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每
位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13 B ．
12
C ．23
D ．34
7．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=
A ． 45
-
B ．35
-
C ．
35
D ．
45
8．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧 视图可以为
9．已知直线l 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||12AB =，P
为C 的准线上一点，则ABP ∆的面积为 A ．18 B ．24 C ． 36
D ． 48
10．在下列区间中，函数()43x
f x e x =+-的零点所在的区间为
A ．1
(,0)4
-
B ．1(0,)4
C ．11(,)42
D ．13(,)24
11．设函数()sin(2)cos(2)44
f x x x π
π
=+++，则 A ．()y f x =在(0,)2
π
单调递增，其图象关于直线4
x π
=对称 B ．()y f x =在(0,)2
π
单调递增，其图象关于直线2
x π
=对称 C ．()y f x =在(0,)2
π
单调递减，其图象关于直线4
x π
=对称
D ．()y f x =在(0,
)2
π
单调递减，其图象关于直线2
x π
=
对称
12．已知函数()y f x =的周期为2，当[1,1]x ∈-时2
()f x x =，那么函数()y f x =的图象与函
数|lg |y x =的图象的交点共有
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第
22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a+b 与向量ka-b 垂直，则
k=_____________．
14．若变量x ，y 满足约束条件329
69x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
，则2z x y =+的最小值是_________．
15．ABC ∆中，120,7,5B AC AB =︒==，则ABC ∆的面积为_________．
16．已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面
积是这个球面面积的
3
16
，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为______________．
三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知等比数列{}n a 中，11
3
a =
，公比13q =．
（I ）n S 为{}n a 的前n 项和，证明：12
n
n a S -=
（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列{}n b 的通项公式．
18．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．
（I ）证明：PA BD ⊥； （II ）设PD=AD=1，求棱锥D-PBC 的高． 19．（本小题满分12分） 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：
（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润． 20．（本小题满分12分） 在平面直角坐标系xOy 中，曲线2
61y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （I ）求圆C 的方程；
（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．
21．（本小题满分12分） 已知函数ln ()1a x b
f x x x
=
++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=． （I ）求a ，b 的值；
（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1
x
f x x >
-． 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2
140x x mn -+=的两个根．
（I ）证明：C ，B ，D ，E 四点共圆；
（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求C ，B ，D ，E 所在圆的半径．
23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y α
αα=⎧⎨=+⎩
为参数），M 为1C 上的动点，
P 点满足2OP OM =
，点P 的轨迹为曲线2C ．
（I ）求2C 的方程；
（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=
与1C 的异于极点的交
点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求|AB|．
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >． （I ）当a=1时，求不等式()32f x x ≥+的解集．
（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．
2011年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试卷参考答案
一、选择题
（1）B （2）C （3）B （4）D （5）B （6）A （7）B （8）D （9）C （10）C （11）D （12）A 二、填空题
（13）1 （14）-6 （15）4315 （16）3
1
三、解答题 （17）解：
（Ⅰ）因为.3
1
)31(311n n n a =⨯=
- ,23113
11)311(3
1n
n n S -=--= 所以,2
1n
n a S --
（Ⅱ）n n a a a b 32313log log log +++= )21(n +++-=
2
)
1(+-
=n n
所以}{n b 的通项公式为.2
)
1(+-
=n n b n (18)解：
（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，
由余弦定理得BD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD
所以BD ⊥平面P AD. 故 P A ⊥BD
（Ⅱ）如图，作DE ⊥PB ，垂足为E 。

已知PD ⊥底面ABCD ，则PD ⊥BC 。

由（Ⅰ）知BD ⊥AD ，又BC//AD ，所以BC ⊥BD 。

故BC ⊥平面PBD ，BC ⊥DE 。

则DE ⊥平面PBC 。

由题设知，PD=1，则BD=3，PB=2，
根据BE·PB=PD·BD ，得DE=
2
3
， 即棱锥D —PBC 的高为.2
3 （19）解
（Ⅰ）由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为228
=0.3100
+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。

由试验结果知，用B 配方生产的产品中优质品的频率为3210
0.42100
+=，
所以用B 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42
（Ⅱ）由条件知用B 配方生产的一件产品的利润大于0当且仅当其质量指标值t≥94，由试验结果知，质量指标值t≥94的频率为0.96，所以用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率估计值为0.96.
用B 配方生产的产品平均一件的利润为
68.2)442254)2(4(100
1
=⨯+⨯+-⨯⨯（元） (20）解：
（Ⅰ）曲线162
+-=x x y 与y 轴的交点为（0，1），与x 轴的交点为（).0,223(),0,223-+ 故可设C 的圆心为（3，t ），则有,)22()1(32
222t t +=-+解得t=1.
则圆C 的半径为.3)1(32
2=-+t
所以圆C 的方程为.9)1()3(2
2=-+-y x
（Ⅱ）设A （11,y x ），B （22,y x ），其坐标满足方程组：
⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-.
9)1()3(,
02
2y x a y x 消去y ，得到方程
.012)82(222=+-+-+a a x a x
由已知可得，判别式.0416562
>--=∆a a
因此，,4
41656)28(2
2,1a a a x --±-=
从而
2
1
20,422121+-=
-=+a a x x a x x ①
由于OA ⊥OB ，可得,02121=+y y x x 又,,2211a x y a x y +=+=所以
.0)(222121=+++a x x a x x
②
由①，②得1-=a ，满足,0>∆故.1-=a
（21）解：
（Ⅰ）22
1
(
ln )
'()(1)x x b x f x x x
α+-=
-+
由于直线230x y +-=的斜率为12-，且过点(1,1)，故(1)1,
1'(1),2f f =⎧⎪
⎨=-⎪⎩即
1,
1,22
b a b =⎧⎪⎨-=-⎪⎩
解得1a =，1b =。

（Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1
f ()1x x x x
=
++，所以
)1ln 2(11
1ln )(22x
x x x x x x f -+-=-=
考虑函数()2ln h x x =+
x
x 12-(0)x >，则
2
2
22
2)1()1(22)(x
x x x x x x h --=---=' 所以当1≠x 时，,0)1(,0)(=<'h x h 而故 当)1,0(∈x 时，;0)(11
,0)(2
>->x h x x h 可得
当),1(+∞∈x 时，;0)(11
,0)(2
>-<x h x
x h 可得
从而当.1
ln )(,01ln )(,1,0->>--≠>x x
x f x x x f x x 即且 （22）解：
（I ）连接DE ，根据题意在△ADE 和△ACB 中， AD×AB=mn=AE×AC ，
即
AB
AE
AC AD =
.又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB
因此∠ADE=∠ACB 所以C ，B ，D ，E 四点共圆。

（Ⅱ）m=4， n=6时，方程x 2-14x+mn=0的两根为x 1=2，x 2=12. 故 AD=2，AB=12.
取CE 的中点G ，DB 的中点F ，分别过G ，F 作AC ，AB 的垂线，两垂线相交于H 点，连接DH.因为C ，B ，D ，E 四点共圆，所以C ，B ，D ，E 四点所在圆的圆心为H ，半径为DH. 由于∠A=900，故GH ∥AB ， HF ∥AC. HF=AG=5，DF= 2
1
(12-2)=5. 故C ，B ，D ，E 四点所在圆的半径为52 （23）解：
（I ）设P(x ，y)，则由条件知M(
2
,2Y
X ).由于M 点在C 1上，所以
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬⎫
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==ααsin 222,cos 22y x 即 ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧+==ααs i n
44c o s 4y x
从而2C 的参数方程为
4cos 44sin x y α
α
=⎧⎨
=+⎩（α为参数）
（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。

射线3
π
θ=
与1C 的交点A 的极径为14sin 3
π
ρ=， 射线3
π
θ=
与2C 的交点B 的极径为28sin
3
π
ρ=。

所以21||||AB ρρ-==（24）解：
（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为
|1|2x -≥。

由此可得 3x ≥或1x ≤-。

故不等式()32f x x ≥+的解集为
{|3x x ≥或1}x ≤-。

(Ⅱ) 由()0f x ≤ 得
30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组
30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩ 或30
x a
a x x ≤⎧⎨
-+≤⎩
即 4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2
x a a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2
a
x x ≤-
由题设可得2
a
-
= 1-，故2a =。