初升高数学衔接PPT课件
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这只是满足于解出来， 只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，
才能提出新看法、巧解法 。 高考试题十分重视对于数学思想方法的考查
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高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查
① 常用数学方法： 配方法、换元法、待定系数法、 数学归纳法、参数法、消去法等；
② 常用数学思想： 函数与方程思想、数形结合思想、 分类讨论思想、转化（化归）思想等。
(x 3)(x 2)(x 2)(x 1)
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（2）一般二次三项式 ax2 bx c 型的因式分解
a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 型的因式分解
a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 a1a2 x2 a1c2 x a2c1x c1c2
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常用的初中知识
因式分解 1公式法： ⑴平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)
（2）完全平方公式 ： (a b)2 a2 2ab b2
（3）立方差公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
（4）立方和公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
有两相异实根 x1,x2 (x1<x2)
有两相等实根
x1=x2= b 2a
{x|x<x1,或x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
{x|x1<x<x2}
Φ
没有实根
R
Φ
若a＜０，可在不等式的两边同乘以－１
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这张表是我们今后求解一元二次不等式的主 要工具，必须熟练掌握，其关键是抓住相应的二 次函数的图像。
一次项系数是 y
把 6 y2 分解成 3y 与 2 y 的积，而 3y (2y) y
正好是一次项系数．
解：
x2 xy 6 y2 (x 3y)(x 2 y)
x x a 2
(4) 由换元思想，只要把
整体看作一个字母
，可不必写出，
只当作分解二次三项式 a2 8a 12
解： (x2 x)2 8(x2 x) 12 (x2 x 6)(x2 x 2)
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反比例函数
定义：图象：ຫໍສະໝຸດ y k x双曲线•(k≠0)
性质：
k>0时，图象在一三象限，在每个象限
内，y随x的增大而减小。
k<0时，图象在二四象限，在每个象限
内，y随x的增大而增大。
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二次函数
• 定义： y ax2 bx c (a≠0)
抛物线
• 图象：
（1）当a>0时，抛物线开口向上；
x1
x2
1 2，
y
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1
2
观察4x2－4x＋1 <0的解
o●
x
无解
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例题讲解
例3 解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0 解:∵ －x2 ＋2x－3 > 0
∴x2 -2x+3 < 0 又∵△<0，
∴原不等式无解.
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例题讲解 例4 解不等式： -3x2+6x>2
2．分组分解法
ma mb na nb
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补：十字相乘法
（1） x2 ( p q)x pq 型的因式分解
其特点是：①二次项系数是1； ②常数项是两个数之积； ③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
∵ x2 ( p q)x pq x2 px qx pq x(x p) q(x p) (x p)(x q)
a1x(a2x c2 ) c1(a2x c2 ) (a1x c1)(a2 x c2 )
a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2 x c2 )
二次项系数 a分解成a1a2, 常，数项c分解成c1c2,
把a1、a2、c1、c2写成
a1 a2
c1 c2
﹛x|-2<x<3﹜ ———————— 第22页/共33页
y>0 -2
y y=x2-x-6
y>0
o
3
x
y<0
问4：x轴上方的点的纵坐标是否大于零？ x轴下方的点的纵坐标是否小于零？
问5：ax2+bx+c>0解集是相应的函数的哪一部分？ ax2+bx+c<0解集呢？
ax2+bx+c>0解集是相应的函数在x轴上方的点的横坐标的取值范围。 ax2+bx+c<0解集是相应的函数在x轴下方的点的横坐标的取值范围。
（2） 15 (5)3, (5) 3 2
x2 2x 15 [x (5)](x 3) (x 5)(x 3)
当二次项系数为1时，把常数项分解成两个数的积， 且其和等于一次项系数
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因式分解：
(1) x2 x 12 (x 4)(x 3) (2) x2 7x 6 (x 1)(x 6)
第3页/共33页
第四步：做好归纳与总结，并建立一本错题库 错题库，记自己常出错的题、难理解的题，作业或考 试做错的题等。 最后，学生可以根据自身学习特点去发现、 寻找适合自己的学习方法。
适合自己的就是最好的
第4页/共33页
高中数学思想方法
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。 而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，
注意：分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试， 才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
第13页/共33页
例2把下列各式因式分解：(1) 12x2 5x 2
(2) 2x2 7x 3 (3) 6x2 7x 5
十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项， 交叉相乘再相加等于一次项系数
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练习 作二次函数y=x2-x-6的图象。它的对应值表与图像如下：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
(1).图象与x轴交点的坐标为_(_-_2_,0_)__(3_,_0_)_, 该坐标与方程 x2-x-6=0的解有什么关系： ____交__点__的__横__坐__标__即__为__方__程的根
y
记忆口诀：.(a>0且△>0) 大于0取两边，小于0取中间
解一元二次不等式的步骤：
o ●x1
● x2 x
①把二次项系数化为正数；
②解对应的一元二次方程；
③根据方程的根、相应二次函数的开口方向画出函数的草图；
④得出不等式的解集．
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例题讲解
例1 解不等式2x2－3x－2>0
o －1/2 ●
(2).当x取 __x_=__-2__或__3_ 时，y=0？ 当x取 x_<__-2__或___x_>_3时，y>0？ 当x取 __-_2_<_x_<_3___ 时，y<0?
(3).由图象写出 不等式x2-x-6>0 的解集为
﹛x|x<-2或x>3﹜ ———————— 不等式x2-x-6<0 的解集为
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讨论ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集情况
判别式
△=b2-4ac
△>0 y
△=0 y
△<0 y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
x1 O x2 x
O x1
x
x O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
(3) x2 7x 12 (x 3)(x 4)
当二次项系数为1时，把常数项分解成两个数的积， 且其和等于一次项系数
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例1
(3) x2 xy 6 y2
(4) (x2 x)2 8(x2 x) 12
x （3）分析：把 x2 xy 6 y2 看成
的二次三项式，
这时常数项是 6 y2
(3)10( y 1)2 29( y 1) 10 5( y 1) 22( y 1) 5
(5y 3)(2y 3)
(4)5x2 6xy 8 y2 (x 2y)(5x 4y)
1 2 y
5 4 y
十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项， 交叉相乘再相加等于一次项系数
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用因式分解法解下列方程
(1)x2 2x 3 0 (2)2x2 7x 6 0 (3)(2x 3)2 3(2x 3) 2 0
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初中函数
一次函数
定义：y=kx+b(k≠0)
图象： 一条直线 性质： K>0时，y随x的增大而增大
k<0时，y随x的增大而减小
解：(1)12x2 5x 2 (3x 2)(4x 1)
3 2
41
(2) 2x2 7x 3 (x 3)(2x 1)
(3) 6x2 7x 5 (2x 1)(3x 5)
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因式分解：
(1)6x2 23x 10 (2x 1)(3x 10)
(2)8x2 22 x 15 (2x 3)(4x 5)
， 这里按斜线交叉相乘，
再相加，就得到a1c2 a2c1
如果它正好等于 ax2 bx c 的一次项系数b,
那么 ax2 bx c 就可以分解成 (a1x c1)(a2 x c2 )
第12页/共33页
二次项系数 a分解成a1a2, 常数项c分解成c1c2,
把a1、a2、c1、c2写成
•
性质：
当a<0时，抛物线开口向下。 （2）对称轴：直线 x b
2a
（3）顶点坐标： ( b , 4ac b2 ) 2a 4a
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解一元二次不等式的图像法
问1：方程ax2 bx c 0(a 0)的根有哪几种情况？
1两个不等的实数根 2两个相等的实数根 3没有实数根
问2：函数y ax2 bx c(a 0)的图象与 x轴的位置关系有几种？
●
2
x
解： 因为∆>0， 方程2x2－3x－2＝0 的解是
b2 4ac
(x 1)(x 2) 2
32 4 2 (2) 25 0
所以不等式的解集是
x1
{x |
1 2
x
,
x2 2
1 或x
2}.
2
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例题讲解
例2 解不等式 4x2－4x＋1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是
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第二步：上课认真听讲，做好笔记，课后及时复习 并做好老师布置的作业
做到“三个一遍” 上课要认真听一遍， 课后要动手推一遍， 考试前要想一遍 这就是所谓的“重复是学习之母”。
第三步：至少要有一本课外书，并将课外书的例题、习题 进行解答（这相当于自己请了一位老师），在做题中学会 一些技巧与方法。
x1
x2
x1(x2)
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y ax2 bx c y
问3：图像与x轴交点的纵坐标是多少？ 此时相应的横坐标是否为ax2+bx+c＝0的根？
0 x1
x2 x
当 y 0， 二次方程为 ax2 bx c 0
0 时，二次函数与x轴有一个交点，说明二次方程有一个根． 0 时，二次函数与x轴有两个交点，说明二次方程有两个根． 0 时，二次函数与x轴没有交点，说明二次方程无实根．
a1 a2
c1 c2
，这里按斜线交叉相乘，
再相加，就得到a1c2 a2c1
如果它正好等于 ax2 bx c 的一次项系数b,
那么 ax2 bx c 就可以分解成 (a1x c1)(a2 x c2 )
ax2 bx c (a1x c1)(a2x c2 )
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法， 叫做十字相乘法．
教法与学法不同
初中数学教学内容少、教学要求低，因而教学进度较慢， 对于某些重点、难点、教师可以有充裕的时间反复讲解，演练， 从而各个击破 高中教学内容丰富，教学要求高，教学进度快，题目难度加深， 侧重对学生思想方法的渗透和思维品质的培养 因此，学好高中数学第一步要做到预习课本，解答课后习题， 自行批改纠错 。
∴ x2 ( p q)x pq (x p)(x q)
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
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例1把下列各式因式分解：(1) x2 5x 24 (2) x2 2x 15
（1） 24 (3)8, (3) 8 5 x2 5x 24 [x (3)](x 8) (x 3)(x 8)
能力要求不同
与初中相比，高中阶段所学数学知识的深度和广度发生变化， 初中的知识相对浅显，重视知识的结果， 而高中更重视知识内在联系和其形成过程， 要求学生在理解记忆的基础上掌握知识的来龙去脉， 对学生的抽象思维及逻辑思维都有较高的要求 因此，从初中到高中的衔接工作中，
关键提高自学能力和思维能力
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才能提出新看法、巧解法 。 高考试题十分重视对于数学思想方法的考查
第5页/共33页
高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查
① 常用数学方法： 配方法、换元法、待定系数法、 数学归纳法、参数法、消去法等；
② 常用数学思想： 函数与方程思想、数形结合思想、 分类讨论思想、转化（化归）思想等。
(x 3)(x 2)(x 2)(x 1)
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（2）一般二次三项式 ax2 bx c 型的因式分解
a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 型的因式分解
a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 a1a2 x2 a1c2 x a2c1x c1c2
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常用的初中知识
因式分解 1公式法： ⑴平方差公式：a2 b2 (a b)(a b)
（2）完全平方公式 ： (a b)2 a2 2ab b2
（3）立方差公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
（4）立方和公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2 )
有两相异实根 x1,x2 (x1<x2)
有两相等实根
x1=x2= b 2a
{x|x<x1,或x>x2}
{x|x≠
b
}
2a
{x|x1<x<x2}
Φ
没有实根
R
Φ
若a＜０，可在不等式的两边同乘以－１
第24页/共33页
这张表是我们今后求解一元二次不等式的主 要工具，必须熟练掌握，其关键是抓住相应的二 次函数的图像。
一次项系数是 y
把 6 y2 分解成 3y 与 2 y 的积，而 3y (2y) y
正好是一次项系数．
解：
x2 xy 6 y2 (x 3y)(x 2 y)
x x a 2
(4) 由换元思想，只要把
整体看作一个字母
，可不必写出，
只当作分解二次三项式 a2 8a 12
解： (x2 x)2 8(x2 x) 12 (x2 x 6)(x2 x 2)
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反比例函数
定义：图象：ຫໍສະໝຸດ y k x双曲线•(k≠0)
性质：
k>0时，图象在一三象限，在每个象限
内，y随x的增大而减小。
k<0时，图象在二四象限，在每个象限
内，y随x的增大而增大。
第18页/共33页
二次函数
• 定义： y ax2 bx c (a≠0)
抛物线
• 图象：
（1）当a>0时，抛物线开口向上；
x1
x2
1 2，
y
所以,原不等式的解集是
x
|
x
1
2
观察4x2－4x＋1 <0的解
o●
x
无解
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例题讲解
例3 解不等式 －x2 ＋2x－3 > 0 解:∵ －x2 ＋2x－3 > 0
∴x2 -2x+3 < 0 又∵△<0，
∴原不等式无解.
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例题讲解 例4 解不等式： -3x2+6x>2
2．分组分解法
ma mb na nb
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补：十字相乘法
（1） x2 ( p q)x pq 型的因式分解
其特点是：①二次项系数是1； ②常数项是两个数之积； ③ 一次项系数是常数项的两个因数之和．
∵ x2 ( p q)x pq x2 px qx pq x(x p) q(x p) (x p)(x q)
a1x(a2x c2 ) c1(a2x c2 ) (a1x c1)(a2 x c2 )
a1a2 x2 (a1c2 a2c1)x c1c2 (a1x c1)(a2 x c2 )
二次项系数 a分解成a1a2, 常，数项c分解成c1c2,
把a1、a2、c1、c2写成
a1 a2
c1 c2
﹛x|-2<x<3﹜ ———————— 第22页/共33页
y>0 -2
y y=x2-x-6
y>0
o
3
x
y<0
问4：x轴上方的点的纵坐标是否大于零？ x轴下方的点的纵坐标是否小于零？
问5：ax2+bx+c>0解集是相应的函数的哪一部分？ ax2+bx+c<0解集呢？
ax2+bx+c>0解集是相应的函数在x轴上方的点的横坐标的取值范围。 ax2+bx+c<0解集是相应的函数在x轴下方的点的横坐标的取值范围。
（2） 15 (5)3, (5) 3 2
x2 2x 15 [x (5)](x 3) (x 5)(x 3)
当二次项系数为1时，把常数项分解成两个数的积， 且其和等于一次项系数
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因式分解：
(1) x2 x 12 (x 4)(x 3) (2) x2 7x 6 (x 1)(x 6)
第3页/共33页
第四步：做好归纳与总结，并建立一本错题库 错题库，记自己常出错的题、难理解的题，作业或考 试做错的题等。 最后，学生可以根据自身学习特点去发现、 寻找适合自己的学习方法。
适合自己的就是最好的
第4页/共33页
高中数学思想方法
美国著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。 而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，
注意：分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试， 才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．
第13页/共33页
例2把下列各式因式分解：(1) 12x2 5x 2
(2) 2x2 7x 3 (3) 6x2 7x 5
十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项， 交叉相乘再相加等于一次项系数
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练习 作二次函数y=x2-x-6的图象。它的对应值表与图像如下：
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y 6 0 -4 -6 -6 -4 0 6
(1).图象与x轴交点的坐标为_(_-_2_,0_)__(3_,_0_)_, 该坐标与方程 x2-x-6=0的解有什么关系： ____交__点__的__横__坐__标__即__为__方__程的根
y
记忆口诀：.(a>0且△>0) 大于0取两边，小于0取中间
解一元二次不等式的步骤：
o ●x1
● x2 x
①把二次项系数化为正数；
②解对应的一元二次方程；
③根据方程的根、相应二次函数的开口方向画出函数的草图；
④得出不等式的解集．
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例题讲解
例1 解不等式2x2－3x－2>0
o －1/2 ●
(2).当x取 __x_=__-2__或__3_ 时，y=0？ 当x取 x_<__-2__或___x_>_3时，y>0？ 当x取 __-_2_<_x_<_3___ 时，y<0?
(3).由图象写出 不等式x2-x-6>0 的解集为
﹛x|x<-2或x>3﹜ ———————— 不等式x2-x-6<0 的解集为
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讨论ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0(a>0)的解集情况
判别式
△=b2-4ac
△>0 y
△=0 y
△<0 y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
x1 O x2 x
O x1
x
x O
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
ax2+bx+c>0 (a>0)的解集
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集
(3) x2 7x 12 (x 3)(x 4)
当二次项系数为1时，把常数项分解成两个数的积， 且其和等于一次项系数
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例1
(3) x2 xy 6 y2
(4) (x2 x)2 8(x2 x) 12
x （3）分析：把 x2 xy 6 y2 看成
的二次三项式，
这时常数项是 6 y2
(3)10( y 1)2 29( y 1) 10 5( y 1) 22( y 1) 5
(5y 3)(2y 3)
(4)5x2 6xy 8 y2 (x 2y)(5x 4y)
1 2 y
5 4 y
十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项， 交叉相乘再相加等于一次项系数
第15页/共33页
用因式分解法解下列方程
(1)x2 2x 3 0 (2)2x2 7x 6 0 (3)(2x 3)2 3(2x 3) 2 0
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初中函数
一次函数
定义：y=kx+b(k≠0)
图象： 一条直线 性质： K>0时，y随x的增大而增大
k<0时，y随x的增大而减小
解：(1)12x2 5x 2 (3x 2)(4x 1)
3 2
41
(2) 2x2 7x 3 (x 3)(2x 1)
(3) 6x2 7x 5 (2x 1)(3x 5)
第14页/共33页
因式分解：
(1)6x2 23x 10 (2x 1)(3x 10)
(2)8x2 22 x 15 (2x 3)(4x 5)
， 这里按斜线交叉相乘，
再相加，就得到a1c2 a2c1
如果它正好等于 ax2 bx c 的一次项系数b,
那么 ax2 bx c 就可以分解成 (a1x c1)(a2 x c2 )
第12页/共33页
二次项系数 a分解成a1a2, 常数项c分解成c1c2,
把a1、a2、c1、c2写成
•
性质：
当a<0时，抛物线开口向下。 （2）对称轴：直线 x b
2a
（3）顶点坐标： ( b , 4ac b2 ) 2a 4a
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解一元二次不等式的图像法
问1：方程ax2 bx c 0(a 0)的根有哪几种情况？
1两个不等的实数根 2两个相等的实数根 3没有实数根
问2：函数y ax2 bx c(a 0)的图象与 x轴的位置关系有几种？
●
2
x
解： 因为∆>0， 方程2x2－3x－2＝0 的解是
b2 4ac
(x 1)(x 2) 2
32 4 2 (2) 25 0
所以不等式的解集是
x1
{x |
1 2
x
,
x2 2
1 或x
2}.
2
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例题讲解
例2 解不等式 4x2－4x＋1 > 0
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是
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第二步：上课认真听讲，做好笔记，课后及时复习 并做好老师布置的作业
做到“三个一遍” 上课要认真听一遍， 课后要动手推一遍， 考试前要想一遍 这就是所谓的“重复是学习之母”。
第三步：至少要有一本课外书，并将课外书的例题、习题 进行解答（这相当于自己请了一位老师），在做题中学会 一些技巧与方法。
x1
x2
x1(x2)
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y ax2 bx c y
问3：图像与x轴交点的纵坐标是多少？ 此时相应的横坐标是否为ax2+bx+c＝0的根？
0 x1
x2 x
当 y 0， 二次方程为 ax2 bx c 0
0 时，二次函数与x轴有一个交点，说明二次方程有一个根． 0 时，二次函数与x轴有两个交点，说明二次方程有两个根． 0 时，二次函数与x轴没有交点，说明二次方程无实根．
a1 a2
c1 c2
，这里按斜线交叉相乘，
再相加，就得到a1c2 a2c1
如果它正好等于 ax2 bx c 的一次项系数b,
那么 ax2 bx c 就可以分解成 (a1x c1)(a2 x c2 )
ax2 bx c (a1x c1)(a2x c2 )
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法， 叫做十字相乘法．
教法与学法不同
初中数学教学内容少、教学要求低，因而教学进度较慢， 对于某些重点、难点、教师可以有充裕的时间反复讲解，演练， 从而各个击破 高中教学内容丰富，教学要求高，教学进度快，题目难度加深， 侧重对学生思想方法的渗透和思维品质的培养 因此，学好高中数学第一步要做到预习课本，解答课后习题， 自行批改纠错 。
∴ x2 ( p q)x pq (x p)(x q)
运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．
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例1把下列各式因式分解：(1) x2 5x 24 (2) x2 2x 15
（1） 24 (3)8, (3) 8 5 x2 5x 24 [x (3)](x 8) (x 3)(x 8)
能力要求不同
与初中相比，高中阶段所学数学知识的深度和广度发生变化， 初中的知识相对浅显，重视知识的结果， 而高中更重视知识内在联系和其形成过程， 要求学生在理解记忆的基础上掌握知识的来龙去脉， 对学生的抽象思维及逻辑思维都有较高的要求 因此，从初中到高中的衔接工作中，
关键提高自学能力和思维能力
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