2018年高考数学(理)二轮专题复习突破精练二：专题对点练13 等差、等比数列与数列的通项及求和(含解析)

专题对点练13等差、等比数列与数列的通项及求和
专题对点练第17页1.S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0,+2a n=4S n+3.
(1)求{a n}的通项公式;
(2)设b n=,数列{b n}的前n项和为T n,求T n.
解(1)由+2a n=4S n+3,可知+2a n+1=4S n+1+3.两式相减可得+2(a n+1-a n)=4a n+1,即2(a n+1+a n)==(a n+1+a n)(a n+1-a n).由于a n>0,因此a n+1-a n=2.
又+2a1=4a1+3,解得a1=3(a1=-1舍去).
所以{a n}是首项为3,公差为2的等差数列,故a n=2n+1.
(2)由a n=2n+1可知b n=.
T n=b1+b2+…+b n=+…+.
2.已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1=9,S3=21.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若a5,a8,S k成等比数列,求k的值.
解(1)设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=9,S3=21,
∴S3=3×9+d=21,解得d=-2,
∴a n=9+(n-1)×(-2)=-2n+11.
(2)∵a5,a8,S k成等比数列,∴=a5·S k,即(-2×8+11)2=(-2×5+11)·,解得k=5.
3.(2017河北衡水中学三调,理17)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1≠0,常数λ>0,且λa1a n=S1+S n对一切正整数n都成立.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设a1>0,λ=100,当n为何值时,数列的前n项和最大?
解(1)令n=1,得λ=2S1=2a1,即a1(λa1-2)=0.
因为a1≠0,所以a1=.
当n≥2时,2a n=+S n,2a n-1=+S n-1,
两式相减,得2a n-2a n-1=a n(n≥2),
所以a n=2a n-1(n≥2),从而数列{a n}为等比数列,
所以a n=a1·2n-1=.
(2)当a1>0,λ=100时,由(1)知,a n=,
设b n=lg=lg=lg 100-lg 2n=2-n lg 2,
所以数列{b n}是单调递减的等差数列,公差为-lg 2,
所以b1>b2>…>b6=lg=lg>lg 1=0,
当n≥7时,b n≤b7=lg<lg 1=0,
所以数列的前6项和最大.
4.(2017河北邯郸二模,理17)已知等差数列{a n}的前n项和为S n,a1≠0,a3=3,且λS n=a n a n+1.在等比数列{b n}中,b1=2λ,b3=a15+1.
(1)求数列{a n}及{b n}的通项公式;
(2)设数列{c n}的前n项和为T n,且c n=1,求T n.
解(1)∵λS n=a n a n+1,a3=3,∴λa1=a1a2,且λ(a1+a2)=a2a3,
∴a2=λ,a1+a2=a3=3.①
∵数列{a n}是等差数列,∴a1+a3=2a2,即2a2-a1=3.②
由①②得a1=1,a2=2,∴a n=n,λ=2,∴b1=4,b3=16,
∴{b n}的公比q=±=±2,
∴b n=2n+1或b n=(-2)n+1.
(2)由(1)知S n=,∴c n=,
∴T n=1-+…
+=1+.
5.(2017宁夏中卫二模,理17)已知等比数列{a n}的公比q>1,且a1+a3=20,a2=8.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=,S n是数列{b n}的前n项和,求S n.
解(1)∵等比数列{a n}的公比q>1,且a1+a3=20,a2=8,
∴a1+a1q2=20,a1q=8,∴2q2-5q+2=0,解得q=2,a1=4.∴a n=2n+1.
(2)b n=,S n=+…+,
S n=+…+.
∴S n=+…+.∴S n=1-.
6.(2017安徽安庆二模,理17)在数列{a n}中,a1=2,a2=4,设S n为数列{a n}的前n项和,对于任意的n>1,n∈N*,S n+1+S n-1=2(S n+1).
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=,求{b n}的前n项和T n.
解(1)对于任意的n>1,n∈N*,S n+1+S n-1=2(S n+1),S n+2+S n=2(S n+1+1),
两式相减可得a n+2+a n=2a n+1.(*)
当n=2时,S3+S1=2(S2+1),即2a1+a2+a3=2(a1+a2+1),解得a3=6.∴当n=1时(*)也满足.
∴数列{a n}是等差数列,公差为2,
∴a n=2+2(n-1)=2n.
(2)∵b n=,∴T n=+…+T n=+…+,
∴T n=+…+,
∴T n=.
7.(2017山东,理19)已知{x n}是各项均为正数的等比数列,且x1+x2=3,x3-x2=2.
(1)求数列{x n}的通项公式;
(2)如图,在平面直角坐标系xOy中,依次连接点P1(x1,1),P2(x2,2)…P n+1(x n+1,n+1)得到折线
P1P2…P n+1,求由该折线与直线y=0,x=x1,x=x n+1所围成的区域的面积T n.
解(1)设数列{x n}的公比为q,由已知q>0.
由题意得所以3q2-5q-2=0.
因为q>0,所以q=2,x1=1,
因此数列{x n}的通项公式为x n=2n-1.
(2)过P1,P2,…,P n+1向x轴作垂线,垂足分别为Q1,Q2,…,Q n+1.
由(1)得x n+1-x n=2n-2n-1=2n-1,
记梯形P n P n+1Q n+1Q n的面积为b n,
由题意b n=×2n-1=(2n+1)×2n-2,
所以T n=b1+b2+…+b n=3×2-1+5×20+7×21+…+(2n-1)×2n-3+(2n+1)×2n-2. ①又2T n=3×20+5×21+7×22+…+(2n-1)×2n-2+(2n+1)×2n-1,②
①-②得-T n=3×2-1+(2+22+…+2n-1)-(2n+1)×2n-1=-(2n+1)×2n-1.
所以T n=.
8.(2017山东潍坊一模,理19)已知数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,数列{b n}是公比大于0的等比数列,且b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7.
(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式;
(2)令c n=求数列{c n}的前n项和T n.
解(1)设等差数列{a n}的公差为d,等比数列{b n}的公比为q,q>0,
∵b1=-2a1=2,a3+b2=-1,S3+2b3=7,
∴a1=-1,b1=2,-1+2d+2q=-1,3×(-1)+3d+2×2×q2=7,
解得d=-2,q=2.∴a n=-1-2(n-1)=1-2n,b n=2n.
(2)c n=
①当n=2k(k∈N*)时,数列{c n}的前n项和T n=T2k=(c1+c3+…+c2k-1)+(c2+c4+…+c2k)
=2k+,
令A k=+…+,
∴A k=+…+,
∴A k=+4+4×,
∴A k=.∴T n=T2k=2k+.
②当n=2k-1(k∈N*)时,数列{c n}的前n项和
T n=T2k-2+a2k-1=2(k-1)++2=2k+.
∴T n=k∈N*.。