福建省上杭县第一中学2017-2018学年高二下学期第二次月考(6月)数学(文)试题(解析版)

2017-2018学年度上杭一中6月月考
高二（文）数学试卷
第Ⅰ卷
一、选择题（共12题，每题5分，共60分.）
1. 已知命题：，，则为（）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】分析：根据全称命题的否定的原则：:换量词，否结论，不变条件，写出否定形式即可.
详解：根据全称命题的否定原则得到为，.
故答案为：B.
点睛：全称命题的否定式特称命题，原则是:换量词，否结论，不变条件，特称命题的否定式全称命题,否定形式如上.
2. 若为实数，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由已知得，所以，解得，故选B．
考点：复数的运算．
视频
3. 若全集，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】分析：根据集合的补集运算得到结果即可.
详解：全集，=，.
故答案为：A.
点睛：这个题目考查的是集合的补集运算，也考查到了二次不等式的计算,较为简单.
4. 下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是（）
①是三角函数；②三角函数是周期函数；③是周期函数.
A. ①②③
B. ②①③
C. ②③①
D. ③②①
【答案】B
【解析】试题分析：②是一个一般性的结论,是大前提；①说明是一个三角函数,是一个特殊性的结论,是小前提；
③即是结论.故选B.
考点：三段论.
5. 已知定义在上的奇函数，当时，恒有，且当时，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：求出函数的周期，利用函数的奇偶性以及已知函数的解析式，转化求解即可．
详解：当x≥0时，恒有f（x+2）=f（x），可知函数f（x）的周期为2．
所以f（2017）=f（1），f（2018）=f（0）
又f（x）为奇函数，所以f（﹣2017）=﹣f（2017）
而当x∈[0，1]时f（x）=e x﹣1，
所以f（﹣2017）+f（2018）=﹣f（2017）+f（2018）=﹣f（1）+f（0）=﹣（e1﹣1）+（e0﹣1）=1﹣e，
故选：D．
点睛：此题考察了函数的周期性、奇偶性及其运用，对于抽象函数，且要求函数值的题目，一般是研究函数的单调性和奇偶性，通过这些性质将要求的函数值转化为已知表达式的区间上，将转化后的自变量代入解析式即可.
6. ①已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设且；②设为实数，
，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且.则（）
A. ①的假设正确，②的假设错误
B. ①的假设错误，②的假设正确
C. ①与②的假设都错误
D. ①与②的假设都正确
【答案】B
【解析】分析：根据反证法的概念判断正误即可.
详解：
已知，是实数，若，则且，用反证法证明时，可假设或，故选项不合题意；
②设为实数，，求证与中至少有一个不少于，用反证法证明时，可假设，且，是正确的.
故答案为：B.
点睛：这个题目考查了反证法的原理，反证法即将原命题的结论完全推翻，假设时取原命题结论的补集即可，注意在假设时将或变为且，且变为或，不都变为全都.
7. 已知条件：：，条件：直线与圆相切，则是的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：由题意求得直线与圆相切时的k值，据此可得是的充分不必要条件
详解：圆的标准方程为：，
直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1，
即：，解得：，
据此可得：是的充分不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．
8. 下列函数中，既是偶函数又是上的增函数的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据奇偶性的定义和单调性的定义可判断选项，进行排除得到结果.
详解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=x3为幂函数，为奇函数，不符合题意，
对于B，y=2|x|，有f（﹣x）=2|﹣x|=2|x|=f（x），为偶函数，且当x∈（0，+∞），f（x）=2|x|=2x，在（0，+∞）上为增函数，符合题意；
对于C，函数的定义域为[0，+∞）,定义域关于原点不对称，故得到函数非奇非偶，不合题意；
D，是偶函数，但是是周期函数在上不单调.
故答案为：B.
点睛：这个题目考查了函数奇偶性和单调性的判断，函数奇偶性的判断，先要看定义域是否关于原点对称，接着再按
照定义域验证和的关系，函数的单调性，一般小题直接判断函数在所给区间内是否连续，接着再判断当x变大时y的变化趋势，从而得到单调性.
9. 执行如图所示的程序框图，为使输出的值大于，则输入正整数的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：由题意结合流程图试运行所给的程序框图，结合S值的变化即可求得最终结果.
详解：结合所给的流程图执行程序：
首先初始化数据：,
第一次循环，应满足，执行，
，；
第二次循环，应满足，执行，
，；
第三次循环，，此时之后程序即可跳出循环，
据此可得输入正整数的最小值为.
本题选择D选项.
点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：
(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．
(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．
(3)按照题目的要求完成解答并验证．
10. 函数的大致图象为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据f（0），f（2）和f（x）在（0，+∞）上是否单调结合选项得出答案．
详解：∵f（0）=1，故A错误；
当x＞0时，f（x）=-e x+2x2，f′（x）=-e x+4x．
∴f′（1）=-e+4>0，f′（3）=-e3+12<0，
∴f（x）在（0，+∞）上不单调，故C,D错误；
故选：B．
点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．对于已知函数表达式选图像的题目，可以通过表达式的定义域和值域进行排除选项，可以通过表达式的奇偶性排除选项；也可以通过极限来排除选项.
11. 我国古代著名的数学著作有《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算机》等部算书，被称为“算经十字”.某校数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学对古代著名的数学著作产生深厚的兴趣.一天，他们根据最近对这十部书的阅读本数情况说了这些话，甲：“乙比丁少”；乙：“甲比丙多”；丙：“我比丁多”；丁：“丙比乙多”，有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中读书本数最少的一个（他们四个人对这十部书阅读本数各不相同）.甲、乙、丙、丁按各人读书本数由少到多的排列是（）
A. 乙甲丙丁
B. 甲丁乙丙
C. 丙甲丁乙
D. 甲丙乙丁
【答案】D
【解析】分析：由四人所说话列出表格，再由四个选项依次分析是否满足只有一人说话为真且此人阅读数最少。

解析：由题意可得列表格如下：
对于选项A,甲，丁说的都对，不符合只有一个人对。

对于选项B,丙，丁说的都对，也不符合只有一个人对，对于选项C,乙说的对，但乙不是最少的，不符，对于选项D,甲说的对，也正好是最少的，符哈，选D.
点睛：对于逻辑推理题，由于关系较复杂，所以常用表格形式列出相互关系，再逐个进行推理验证。

12. 已知，且，有且仅有一个整数解，则正数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分析：构造函数，利用可得，结合可得，利用导数研究函数的单调性，由数形结合思想，列不等式求解即可
详解：
因为，
所以，
设，则，
∴，
即，又因为，∴，
∴，，
则在上为减函数，在上为增函数，
曲线与都过点，
当时，若有且仅有一个整数解，只能为，
则，解之得，故选A.
点睛：构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目
标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）
13. 函数的定义域为__________．
【答案】
【解析】分析：分式满足分母不为0，对数满足真数大于0即可.
详解：函数的定义域即
故答案为：.
点睛：这个题目考查了具体函数的定义域问题，对于函数定义域问题，首先分式要满足分母不为0，根式要求被开方数大于等于0，对数要求真数大于0，幂指数要求底数不等于0即可.
14. 已知为偶函数，则__________．
【答案】
【解析】分析：首先确定当时，，利用分段函数对应自变量的范围，代入相应的式子，求得，再利用偶函数的定义，确定，利用两个式子的对应项系数相等，求得，进而求得两个数的乘积.
详解：当时，，
则有，
所以，所以，从而求得.
点睛：该题考查的是有关分段函数形式的偶函数的解析式的求解问题，在解题的过程中，关键的步骤是建立起所满足的等量关系式，这就要求从解析式出发，所以对自变量的范围加以限制，将式子写出来，利用偶函数的定义，之后利用对应项系数相等求得结果.
15. 若函数是在上的减函数，则的取值范围是__________．
【答案】[
【解析】分析：根据一次函数以及对数函数的性质得到关于a的不等式组，解出即可．
详解：由题意得：
解得：﹣6≤a＜1，
故答案为：[﹣6，1）．
点睛：本题考查了一次函数以及对数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题，对于已知分段函数的单调性求参的
问题，一方面要满足每一段上都要满足单调性，另一方面在分段处也要满足单调性.
16. 已知点，是函数的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段总是位于，两点之间函数图象的上方，因此有结论成立.运用类比思想方法可知，若点，是函数
的图象上任意不同两点，则类似地有__________成立．
【答案】
【解析】分析：由类比推理的规则得出结论，本题中所用来类比的函数是一个变化率越来越大的函数，而要研究的函数是一个变化率越来越小的函数，其类比方式可知．
详解：
由题意知，点A、B是函数y=a x（a＞1）的图象上任意不同两点，函数是变化率逐渐变大的函数，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有成立；而函数y=sinx（x∈（0，π））其变化率逐渐变小，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的下方，故可类比得到结论．
故答案为：．
点睛：本题考查类比推理，求解本题的关键是理解类比的定义，及本题类比的对象之间的联系与区别，从而得出类比结论．
三、解答题（共6小题，共计70分）
17. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）当时，先求出集合，，从而求出的值；（2）先根据题意求出，根据，则有，解出的取值范围即可．
试题解析：（1）当时，，则
．
（2）根据题意，得，若，则有，解可得，∴的取值范围是．
考点：1、集合的运算；2、参数取值问题.
18. 已知命题：函数在上是减函数，命题：，.
（1）若为假命题，求实数的取值范围；
（2）若“或”为假命题，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】分析：第一问利用命题的否定和命题本身是一真一假的，根据命题q是假命题，得到命题的否定是真命题，结合二次函数图像，得到相应的参数的取值范围；第二问利用“或”为假命题，则有两个命题都是假命题，所以先求命题p为真命题时参数的范围，之后求其补集，得到m的范围，之后将两个命题都假时参数的范围取交集，求得结果.
详解：（1）因为命题，
所以：，，
当为假命题时，等价于为真命题，
即在上恒成立，
故，解得
所以为假命题时，实数的取值范围为.
（2）函数的对称轴方程为，
当函数在上是减函数时，则有
即为真时，实数的取值范围为
“或”为假命题，故与同时为假，
则，
综上可知，当“或”为假命题时，实数的取值范围为
点睛：该题考查的是有关利用命题的真假判断来求有关参数的取值范围，在解题的过程中，需要明确复合命题的真值表，以及二次函数的图像和性质要非常熟悉.
19. 某高校为调查学生喜欢“应用统计”课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的名学生，得到数据如下表：
（1）判断是否有的把握认为喜欢“应用统计”课程与性别有关？
（2）用分层抽样的方法从喜欢统计图课程的学生中抽取名学生作进一步调查，将这名学生作为一个样本，从中选选人，求恰有个男生和个女生的概率.
下面的临界值表供参考：
（参考公式：，其中）
【答案】（1）没有（2）
【解析】分析：（1）计算K2的值，与临界值比较，即可得到结论；
（2）确定样本中有4个男生，2个女生，利用列举法确定基本事件，即可求得结论．
详解：（1）由公式，
所以没有99.5%的把握认为喜欢统计专业与性别有关．
（2）设所抽样本中有m个男生，则人，
所以样本中有4个男生，2个女生，
从中选出3人的基本事件数有20种
恰有两名男生一名女生的事件数有12种
所以.
点睛：(1)古典概型的重要思想是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，他们是否是等可能的．(2)用列举法求古典概型，是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复、不遗漏．(3)注意一次性抽取与逐次抽取的区别：一次性抽取是无顺序的问题，逐次抽取是有顺序的问题.
20. 已知奇函数的定义域为.
（1）求实数，的值；
（2）判断函数的单调性，若实数满足，求的取值范围.
【答案】（1），（2）
【解析】试题分析：（1）根据奇函数的定义得到，即，整理得，故a=1，再根据奇函数的定义域对称求b；（2）根据单调性的定义证明即可；（3）根据函数的单调性得到关于m的不等式组，解不等式组可得所求范围。

试题解析：
（1）∵f（x）是奇函数，
∴，
即，
∴，
∴，
整理得
∴a﹣1=0，
解得：a=1，
故﹣a﹣2=﹣3，
∵函数的定义域为[﹣a﹣2，b]，关于原点对称，
故b=3；
（2）函数f（x）在[﹣3，3]递增，
证明如下：设x1，x2[﹣3，3]，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，
∵﹣3≤x1＜x2≤3，
∴﹣＜0，
又+1＞0， +1＞0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0，
∴f（x1）＜f（x2），
∴f（x）在[﹣3，3]单调递增；
（3）由（1）得f（x）在[﹣3，3]递增，
又f（m﹣1）＜f（1﹣2m），
∴，
解得：﹣1≤m＜，
∴实数m的取值范围[﹣1，）．
点睛：解答本题时注意以下几点：
（1）若奇函数在原点处有定义，即奇函数的定义域内包含0，则必有，利用此结论可简化运算，但在解答题中尽量少用；
（2）解函数不等式时，一是要根据函数的单调性进行转化，二是在解题中不要忽视定义域的限制。

21. 已知函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，函数的图象恒不在轴的上方，求实数的取值范围.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】分析：（1）函数的定义域是（0，+∞）．f（x）=lnx﹣ax+a，f′（x）=﹣a，对a分类讨论即可得出单调性；（2）当x≥1时，函数g（x）=（x+1）f（x）﹣lnx=xlnx﹣a（x2﹣1）的图象恒不在x轴的上方，⇔g（x）max≤0，x≥1．g′（x）=1+lnx﹣2ax=h（x），h′（x）=﹣2a，对a分类讨论利用导数研究其单调性极值与最值即可得出a的范围．
详解：（1）∵，，∴.
①当时，则，所以在上单调递增；
②当时，则由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）由题意得，
∵当时，函数的图象恒不在轴的上方，∴在上恒成立.
设，，则.
令，则，
①若，则，故在上单调递增，∴，
∴在上单调递增，∴，从而，不符合题意.
②若，当时，，在上单调递增，∴，
∴在上单调递增，∴，从而在上，不符合题意；
③若，则在上恒成立，∴在上单调递减，∴，
∴在上单调递减，∴，从而恒成立.
综上可得实数的取值范围是.
点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值） .
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，以轴
正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知曲线和曲线交于，两点（在、之间），且，求实数的值.
【答案】（1）,（2）
【解析】分析：（1）曲线C1消参能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程转化为ρ2cos2θ+2ρcosθ﹣ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程；（2）将曲线C1的参数方程代入曲线C2：y2=2x，得，设A，B 对应的参数为t1，t2，由题意得|t1|=2|t2|，且P在A，B之间，则t1=﹣2t2，由此能求出a．
详解：（1）的参数方程，消参得普通方程为，
的极坐标方程为，两边同乘得，即.
（2）将曲线的参数方程代入曲线：得，设，对应的参数为，，由题意得且
在，之间，则，
，解得.
点睛：本题考查曲线的普通方程和直角坐标方程的求法，考查实数值的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故
，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）设关于的不等式的解集为，且，求的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）由绝对值的定义去掉绝对值符号，分类求解；
（2）题意说明不等式在上恒成立，而在上不等式又可化为，在上不等式又可化为，分别求出的范围，再求交集即得.
详解：（1）当时，，
，
所以或或，
即或或，
解得或或．
所以原不等式的解集为．
（2）因为，所以当时，不等式，
即在上恒成立，
当时，，即，
所以，在恒成立
所以，即
当时，即
所以，在恒成立
所以，即
综上，的取值范围是.
点睛：本题考查解含绝对值不等式，一般是根据绝对值定义去掉绝对值符号，分类求解，有时也可根据绝对值的性质（例如平方后）去绝对值符号后求解.。