13.4《课题学习最短路径问题》第1课时PPT课件人教版数学八年级上册

a P
B′
新知探究 知识点 两线一点型
如图,牧马人从A地出发,先到草地边某处牧马,再到河边 饮马,然后回到A地,应该怎样走才能使路程最短？
A
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l2
A
l1
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
线两侧的情况”.
（2）作点C关于OB的对称点C ； 如图,牧马人从A地出发,先到草地边某处牧马,再到河边饮马,然后回到A地,应该怎样走才能使路程最短？
D 则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
2
（3）连接C C ，分别交OA，OB于点 ∙ C 如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马，然后去B地开会，最后回到A地，应该怎样走才能使路程最短？
八年级上册 RJ
13.4课题学习 最短路径问题
第1课时
初中数学
知识回顾
如图，从点A到点B有四条路线可选，哪一条是最近的？
依据“两点之间，线段最短”可知，路线 （3）是最近的.
如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的所有路线中，
哪一条是最短的？
A
(1)
(3)
(2)
l
依据“垂线段最短”可知（2）是最短的.
如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任
意一点，则AC和BC的大小关系是什么？
l C
A
B
依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点 的距离相等”知， AC=BC.
学习目标
1.利用轴对称,平移等变化解决简单的最短路径 问题. 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感受由实 际问题转化为数学问题的思想.
C处，请你帮他设计一条行走路线，
使其所走的路程最短.
O
∙C B
解：（1）如图所示，作点C关于OA的
对称点C ； C A 1 所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短.
1 分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直
A
B
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
如图所示，将A地抽象为一个点，将草地边和河边抽象
为两条直线.
l1
A
B l2
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四
边形AMNB的周长最小.
A1
l1
作法：分别作点A，B关于直
线l1，l2的对称点A1，B1，连 接A1B1分别交直线l1，l2于点 M，N，则点M，N即为所求.
随堂练习
1.两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B， 有一只昆虫沿着A至B的路径在地面爬行，小树的树顶 D处有一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树 顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住时，小鸟飞 行路程最短，在图中画出该点的位置.
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于 点E，则点E即为所求.
如图，点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一
个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？
A
C
l
B
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C即为所
求的位置，可以使得AC+BC的值最小.
依据：两点之间，线段最短.
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两
点在直线同一侧的问题吗？
路程最短？
l1
∙B ∙A
l2
解析：（1）如图，作点A关于直线l1的对称点A′；
（2）作点B关于直线l2的对称
A′ C
点B′；
B ∙
l1
（3）连接A′B′，分别交直线
∙A D
l2
l1，l2于点C，D，连接AC，BD.
B′
所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点
B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短.
分析：本题可以转化为“点A，B均在河岸CD的同侧，请在河岸CD上找一点E，使得AE+BE的值最小”.
1 2 体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感受由实际问题转化为数学问题的思想.
C处，请你帮他设计一条行走路线，
作法：过点A分别作关于直线l1，l2的对称点A1，A2，连接A1A2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.
C 这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
2
处拿糖果，最后回到点C处，按照这样 这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
B
的路线所走的路程最短.
2.如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点
A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡
检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总
D，E，连接CD，CE. O 所以小明先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短.
E 体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感受由实际问题转化为数学问题的思想.
△AMN周长的最小值为AM+MN+AN=A1A2.
所以小明先到点D处拿橘子，再到点E 所以小明先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回到点C处，按照这样的路线所走的路程最短.
问题转化为：当点C在直线l的什么位置时，AB+B′C的
值最小？
A
B
你能证明这个结论吗
l C
B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连
接AC′，BC′，B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
A
A.BC B.CE
C.AD
D.AC
BP+EP的最小值
E CP+EP的最小值
CE的长
P
B
C
D
课堂小结
两点一线型
最
短
路 径
两线一点型
问
题
两线两点型
点在直线异侧
点在直线同侧
A2 N
l2
A
M
l1
A1 l1 A1 MA
B N l2
B1
A C
A C
l
B B
l B′
拓展提升
如图,牧童在A处放牛,家在B处,A,B到河岸的距离分别为 AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD中点距离为600,则 牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,所走的最短距离 为多少？
A1
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得
△AMN的周长最小. 解析：通过轴对称的原理，把
A2
l2
周长最小值转化为两点间距离
N A
最短的问题.△AMN周长的最小 值为AM+MN+AN=A1A2.
M
l1
A1
新知探究 知识点3 两线两点型
如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到 河边饮马，然后去B地开会，最后回到A地，应该怎样 走才能使路程最短？
AM+MN+NB+AB=A B +AB，依 相传古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.
11
B
N
l2
据的是两点之间，线段最短.
B1
随堂练习
1.某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，
OB分别表示桌面，其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌
面上摆满了糖果，站在C处的学生
A
小明先拿橘子再拿糖果，然后回到
M
A
B
N
l2
B1
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边
形AMNB的周长最小. 如图，点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？
依据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”知， AC=BC.
如图，直线l是线段AB的垂直平分线，点C是直线l上任意一点，则AC和BC的大小关系是什么？
课堂导入
相传古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名
叫海伦.有一天，一位将军专程拜访海伦，请教一个百
思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边
饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能
使路程最短？从此这个被称为“将军饮马”的问题广
泛流传.
B
A l
新知探究 知识点1 两点一线型
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
B
A
l
分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，
同时使得对直线上任意一点C，满足BC=B′C，就可以
将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”.那么在直
线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性
质可知：对于直线l上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，
边上的一动点，要使EC+ED最小，请确定点E的位置.
A
解：如图所示，作点D关于线段
AB的对称点D′，连接CD′交线段 AB于点E，则点E即为所求.
E D′
C
D
B
3.如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线，
P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP+EP最
小值的是（ B ）
分析：本题可以转化为“点A，B均在 C
D
河岸CD的同侧，请在河岸CD上找一
点E，使得AE+BE的值最小”.
A
B
解：延长AC至点A′，使得A′C=AC， A′
连接A′B交CD于点E. ∵AC⊥CD，BD⊥CD，
C
E. D
∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.
∠A′CE=∠BDE，A
B
在△A′CE和△BDE中, ∠A′EC=∠BED，
如图所示，将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一
条直线.
B
A
l
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
如图： 点A，B在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动 点，当点C在什么位置的时候，AC+BC的值最小？
B A
l
作图问题：在直线 l 上求作一点C，使AC+BC最短．
如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？
解析：通过轴对称把周长最小问 利用轴对称,平移等变化解决简单的最短路径
体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感受由实际问题转化为数学问题的思想. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感受由实际问题转化为数学问题的思想.
A1
l1
题转化为两点间距离最短问题， M A 如图，牧马人从A地出发，先到草地边某处牧马，再到河边饮马，然后去B地开会，最后回到A地，应该怎样走才能使路程最短？
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得 △AMN的周长最小.
l2
A l1
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得
△AMN的周长最小.
作法：过点A分别作关于直线l1，
A2 N
l2
l2的对称点A1，A2，连接A1A2分
A
别交直线l1，l2于点M，N，则 点M，N即为所求.
M
l1
也可作点D关于AB的对称点D′，连接CD′同样交AB于点 E的位置，则点E即为所求.
2.如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB
边上的一动点，要使EC+ED最小，请确定点E的位置.
A
分析：点C，D为线段AB同侧的两点，
E
在线段AB上找到一点E使得CE+DE
的值最小.
C
D
B
2.如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB
体会图形的变化在解决最值问题中的作用,感受由实际问题转化为数学问题的思想. △AMN周长的最小值为AM+MN+AN=A1A2.
你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
四边形AMNB的周长的最小值为 解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接DC′交AB于点E，则点E即为所求.
利用轴对称,平移等变化解决简单的最短路径 相传古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A
在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，
l
所以AC+BC<AC′+BC′.
C′ C
B′
新知探究 跟踪训练
如图,A,B两个小镇在河的同侧,现要在笔直的河边a上修
建一个自来水厂分别向两个镇供水,如何选择自来水厂
的位置,可使用的水管最短？
A
解：如图,作点B关于河边a的对称点
B
B′,连接AB′交河边a于点P,则点P所在 的位置为所求的自来水厂的位置.
A′C=BD，
∴△A′CE≌△BDE（AAS），∴CE=DE，A′E=BE.
∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.