推荐学习K12高考数学二轮专题复习 专题七 7.2 计数原理与概率能力训练 新人教A版

专题能力训练18 计数原理与概率

1.已知的展开式的前三项的系数成等差数列.

(1)求的展开式中所有的有理项;

(2)求的展开式中系数的绝对值最大的项.

2.现有甲类产品4件,乙类产品3件,丙类产品2件,将这些产品随机地排成一列,则同类产品不相邻的排法有几种?

3.已知的展开式的各项系数之和等于的展开式中的常数项.求的展开式中含a-1项的二项式系数.

4.有三个车队分别有2辆、3辆、4辆车,现分别从其中两个车队各抽调两辆车执行任务,则不同的抽调方案共有多少种?

5.某出版社的11名工人中,有5人只会排版,有4人只会印刷,还有2人既会排版又会印刷,现从11人中选4人排版,4人印刷,有多少种不同的选法?

6.一个包装箱内有6件产品,其中4件正品,2件次品.现随机抽出两件产品,

(1)求恰好有一件次品的概率;

(2)求都是正品的概率;

(3)求抽到次品的概率.

7.甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动,对购买该商品的顾客两家商场的奖励方案如下:

甲商场:顾客转动如图所示圆盘,当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形,且每个扇形圆心角均为15°,边界忽略不计)即为中奖.

乙商场:从装有3个白球和3个红球的盒子中一次性摸出2球(这些球除颜色外完全相同),如果摸到的是2个红球,即为中奖.

试问:购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大?请说明理由.

8.已知某黄河游览区有两艘游船,这两艘游船每天上午11点出发,下午3点至5点之间返回码头,假如码头只有一个泊位,每艘游船需要停靠码头15 min游客下完后即驶离码头,每艘游船返回时在下午3点至5点之间的任何时刻停靠码头是等可能的.请求出乘坐一艘游船游览该黄河游览区,下午返回码头时,停船的泊位是空的概率.

9.已知图2中的实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图,其中四边形ABCD是边长为1的正方形.若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点,它落在长方体的平面展开图内的概率是.

(1)从正方形ABCD的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段(每条线段被取到的可能性相等),求其中一条线段长度是另一条线段长度的倍的概率;

(2)求此长方体的体积.

10.(2015湖南,文16)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球A1,A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1,a2和2个白球b1,b2的乙箱中,各随机摸出1个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖.

(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果.

(2)有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由.

11.根据世行2013年新标准,人均GDP低于1 035美元为低收入国家;人均GDP为1 035~4 085美元为中等偏下收入国家;人均GDP为4 085~12 616美元为中等偏上收入国家;人均GDP不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP如下表:

(1)判断该城市人均GDP是否达到中等偏上收入国家标准;

(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP都达到中等偏上收入国家标准的概率.

12.某校高三年级共6个班,举行足球赛.

(1)若先从6个班中随机抽取两个班举行比赛,则恰好抽中甲班与乙班的概率是多少?

(2)若6个班平均分成两组,则甲班与乙班恰好在同一组的概率是多少?

(3)若6个班之间进行单循环赛,规定赢一场得2分,平一场得1分,输一场得0分.假定任意两班比赛,赢、平、输的概率都相等,求最终甲班得8分的概率.

参考答案

专题能力训练18计数原理与概率

1.解:(1)由题意知T1=)n,系数T'1=1;

T2=)n-1,系数T'2=n;

T3=)n-2,系数T'3=.

因为T'1,T'2,T'3成等差数列,所以2T'2=T'1+T'3,

即n=1+,得n=8.

将式子展开,则有理项有T1=x4,T4=x,T9=x-2.

(2)的展开式中系数的绝对值最大的项为T6=)3=-1 792,同理T7=1 792x-11.

故所求系数的绝对值最大的项为T6和T7.

2.解:同类产品不相邻的排法种数为2+2+2+2=79.

3.解:设的展开式的通项为

T r+1=(4)5-r

=·45-r(r=0,1,2,3,4,5),

若它为常数项,则=0,即r=2,代入上式可得T3=27,

即常数项是27,从而可得中n=7.

同理可知.

由二项展开式的通项公式知,含a-1项的是第4项,其二项式系数是35.

4.解:由题意可知不同的抽调方案共有=27种.

5.解:根据分类加法计数原理,这个问题可按只会印刷的4人作为分类标准:

第一类:只会印刷的4人全被选出,有种;

第二类:从只会印刷的4人中选出3人,有种;

第三类:从只会印刷的4人中选出2人,有种.

故不同的排法共有=185种.

6.解:将六件产品编号如下:A,B,C,D(正品);e,f(次品).从6件产品中选2件,其包含的基本事件

为:(A,B),(A,C),(A,D),(A,e),(A,f),(B,C),(B,D),(B,e),(B,f),(C,D),(C,e),(C,f),(D,e) ,(D,f),(e,f),共有15种.

(1)设恰好有一件次品为事件A,则事件A中基本事件数为8,因此P(A)=.

(2)设都是正品为事件B,则事件B中基本事件数为6,因此P(B)=.

(3)设抽到次品为事件C,事件C与事件B是对立事件,则P(C)=1-P(B)=1-.

7.解:设顾客去甲商场,转动圆盘,指针指向阴影部分为事件A,试验的全部结果构成的区域为圆盘,面积为πr2(r为圆盘的半径),阴影区域的面积为4×r2=r2,所以P(A)=.

设顾客去乙商场,一次摸出两个红球为事件B,记盒子中3个白球为a1,a2,a3,3个红球为

b1,b2,b3,记(x,y)为一次摸球的结果,则一切可能的结果

有:(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a3,b1),(a3,b2), (a3,b3),(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共15种.

摸到的2个球都是红球的结果有:(b1,b2),(b1,b3),(b2,b3),共3种.

所以P(B)=.

因为P(A)<P(B),所以顾客在乙商场中奖的可能性大.

8.解:设乘坐的游船下午x时刻停靠码头,另一艘游船下午y时刻停靠码头,下午3点记为0时刻,15 min为1个时间单位,到下午5点共8个时间单位,作图如下:

随机试验的全部结果所构成的区域Ω={(x,y)|0≤x≤8,0≤y≤8},则SΩ=64,设“乘坐的游船下午返回时,码头是空的”为事件A,则A={(x,y)|y>x或x-y>1,(x,y)∈

Ω},S A=×8×8+×7×7=,所以P(A)=.

9.解:(1)记事件M:从6条线段中任取2条线段,其中一条线段长度是另一条线段长度的倍.从6条线段中任取2条线段,有15种等可能的取法:AB和BC,AB和AC,AB和CD,AB和AD,AB和BD,BC 和CD,BC和BD,BC和AC,BC和AD,CD和AC,CD和AD,CD和BD,AD和AC,AD和BD,AC和BD.