冀教版八年级上册数学第13章 全等三角形 阶段归类专训 三角形全等应用的常见类型
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(1)求证：AC＝BM＋CM；
证明：如图，过点 D 作 DN⊥AC 于点 N， 则∠DNC＝∠DNA＝90°. 因为 DM⊥BE，所以∠DMC＝90°. 所以∠DNC＝∠DMC. 因为 CD 平分∠ACE，所以∠DCN＝∠DCM. 又因为 CD＝CD，所以△CDN≌△CDM(AAS)． 所以 DN＝DM，CN＝CM.
AB＝DE， 所以∠ACB＝∠DCE. 所以∠DCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，即∠ACD＝∠BCE.
3．如图①，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点 C 在△ABC 外作直线 EF，AM⊥EF 于点 M，BN⊥EF 于点 N.
(1)求证：MN＝AM＋BN；
证明：因为∠ACB＝90°，所以∠ACM＋∠BCN＝90°. 又因为 AM⊥EF，BN⊥EF，所以∠AMC＝∠CNB＝90°. 所以∠BCN＋∠CBN＝90°. 所以∠ACM＝∠CBN.
AB＝DE， 因为∠B＝∠E，
BC＝EF， 所以△ABC≌△DEF(SAS)．
所以∠ACB＝∠DFE.
所以 AC∥DF.
5．如图，已知 AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F 是 CD 的中 点．求证：AF⊥CD.
证明：如图，连接 AC，AD. 在△ABC 和△AED 中，
AB＝AE， 因为∠B＝∠E，所以△ABC≌△AED(SAS)．
冀教版八年级上
第十三章 全等三角形
阶段归类专训 三角形全等应用的常见类型
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1．(2019·山西)已知：如图，点 B，D 在线段 AE 上，AD＝BE， AC∥EF，∠C＝∠F.求证：BC＝DF. 证明：因为 AD＝BE， 所以 AD－BD＝BE－BD. 所以 AB＝ED. 因为 AC∥EF， 所以∠A＝∠E.
在△ACM 和△CBN 中， 因为∠∠AAMCMC＝＝∠∠CCNBNB，，
AC＝CB， 所以△ACM≌△CBN(AAS)．
所以 CM＝BN，AM＝CN.
因为 MN＝CN＋CM，所以 MN＝AM＋BN.
(2)如图②，若过点 C 作直线 EF 与线段 AB 相交，且 AM⊥EF 于点 M，BN⊥EF 于点 N，(1)中的结论是否仍然成立？请说 明理由．
BC＝ED， 所以 AC＝AD.
因为 F 是 D 的中点，所以 CF＝DF.
在△ACF 和△ADF 中， 因为CAFC＝＝DADF，，
AF＝AF， 所以△ACF≌△ADF(SSS)．
所以∠AFC＝∠AFD＝12×180°＝90°. 所以 AF⊥CD.
6．如图，点 C 在直线 BE 上，CD 平分∠ACE，∠DAC＝∠DBE， DM⊥BE 于点 M.
解：(1)中的结论不成立，应为 MN＝AM－BN.理由如下： 同理可得△ACM≌△CBN， 所以 CM＝BN，AM＝CN. 因为 MN＝CN－CM，所以 MN＝AM－BN.
4．(2019·甘肃兰州)如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E. 求证：AC∥DF.
证明：因为 BF＝EC， 所以 BF＋FC＝EC＋FC. 所以 BC＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，
(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC 的度数． 解：因为△AOD≌△OBC， 所以∠ADO＝∠OCB＝35°. 因为 OD∥BC， 所以∠DOC＝∠OCB＝35°.
在△ADN 和△BDM 中， ∠DAN＝∠DBM，
因为∠DNA＝∠DMB， DN＝DM，
所以△ADN≌△BDM(AAS)．
所以 AN＝BM.
因为 AC＝AN＋CN，
所以 AC＝BM＋CM.
(2)若 AC＝2，BC＝1，求 CM 的长．
解：由(1)可知 AC＝BM＋CM， 所以 AC＝BC＋2CM. 因为 AC＝2，BC＝1， 所以 CM＝0.5.
7．(2019·四川南充)如图，点 O 是线段 AB 的中点，OD∥BC 且 OD＝BC.
(1)求证：△AOD≌△OBC；
证明：因为点 O 是线段 AB 的中点，所以 AO＝BO.
因为 OD∥BC，所以∠AOD＝∠OBC.
在△AOD 和△OBC 中， 因为∠AOA＝ODO＝B，∠OBC，
OD＝BC， 所以△AOD≌△OBC(SAS)．
在△ABC 和△EDF 中， 因为∠∠CA＝＝∠∠FE，，
AB＝ED， 所以△ABC≌△EDF(AAS)．
所以 BC＝DF.
2．(教材改编题)如图，AC＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D.求证： ∠ACD＝∠BCE.
证明：在△ACB 和△DCE 中， 因为∠ACA＝＝D∠CD，，所以△ACB≌△DCE.
证明：如图，过点 D 作 DN⊥AC 于点 N， 则∠DNC＝∠DNA＝90°. 因为 DM⊥BE，所以∠DMC＝90°. 所以∠DNC＝∠DMC. 因为 CD 平分∠ACE，所以∠DCN＝∠DCM. 又因为 CD＝CD，所以△CDN≌△CDM(AAS)． 所以 DN＝DM，CN＝CM.
AB＝DE， 所以∠ACB＝∠DCE. 所以∠DCE－∠ACE＝∠ACB－∠ACE，即∠ACD＝∠BCE.
3．如图①，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点 C 在△ABC 外作直线 EF，AM⊥EF 于点 M，BN⊥EF 于点 N.
(1)求证：MN＝AM＋BN；
证明：因为∠ACB＝90°，所以∠ACM＋∠BCN＝90°. 又因为 AM⊥EF，BN⊥EF，所以∠AMC＝∠CNB＝90°. 所以∠BCN＋∠CBN＝90°. 所以∠ACM＝∠CBN.
AB＝DE， 因为∠B＝∠E，
BC＝EF， 所以△ABC≌△DEF(SAS)．
所以∠ACB＝∠DFE.
所以 AC∥DF.
5．如图，已知 AB＝AE，∠B＝∠E，BC＝ED，F 是 CD 的中 点．求证：AF⊥CD.
证明：如图，连接 AC，AD. 在△ABC 和△AED 中，
AB＝AE， 因为∠B＝∠E，所以△ABC≌△AED(SAS)．
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第十三章 全等三角形
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1．(2019·山西)已知：如图，点 B，D 在线段 AE 上，AD＝BE， AC∥EF，∠C＝∠F.求证：BC＝DF. 证明：因为 AD＝BE， 所以 AD－BD＝BE－BD. 所以 AB＝ED. 因为 AC∥EF， 所以∠A＝∠E.
在△ACM 和△CBN 中， 因为∠∠AAMCMC＝＝∠∠CCNBNB，，
AC＝CB， 所以△ACM≌△CBN(AAS)．
所以 CM＝BN，AM＝CN.
因为 MN＝CN＋CM，所以 MN＝AM＋BN.
(2)如图②，若过点 C 作直线 EF 与线段 AB 相交，且 AM⊥EF 于点 M，BN⊥EF 于点 N，(1)中的结论是否仍然成立？请说 明理由．
BC＝ED， 所以 AC＝AD.
因为 F 是 D 的中点，所以 CF＝DF.
在△ACF 和△ADF 中， 因为CAFC＝＝DADF，，
AF＝AF， 所以△ACF≌△ADF(SSS)．
所以∠AFC＝∠AFD＝12×180°＝90°. 所以 AF⊥CD.
6．如图，点 C 在直线 BE 上，CD 平分∠ACE，∠DAC＝∠DBE， DM⊥BE 于点 M.
解：(1)中的结论不成立，应为 MN＝AM－BN.理由如下： 同理可得△ACM≌△CBN， 所以 CM＝BN，AM＝CN. 因为 MN＝CN－CM，所以 MN＝AM－BN.
4．(2019·甘肃兰州)如图，AB＝DE，BF＝EC，∠B＝∠E. 求证：AC∥DF.
证明：因为 BF＝EC， 所以 BF＋FC＝EC＋FC. 所以 BC＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，
(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC 的度数． 解：因为△AOD≌△OBC， 所以∠ADO＝∠OCB＝35°. 因为 OD∥BC， 所以∠DOC＝∠OCB＝35°.
在△ADN 和△BDM 中， ∠DAN＝∠DBM，
因为∠DNA＝∠DMB， DN＝DM，
所以△ADN≌△BDM(AAS)．
所以 AN＝BM.
因为 AC＝AN＋CN，
所以 AC＝BM＋CM.
(2)若 AC＝2，BC＝1，求 CM 的长．
解：由(1)可知 AC＝BM＋CM， 所以 AC＝BC＋2CM. 因为 AC＝2，BC＝1， 所以 CM＝0.5.
7．(2019·四川南充)如图，点 O 是线段 AB 的中点，OD∥BC 且 OD＝BC.
(1)求证：△AOD≌△OBC；
证明：因为点 O 是线段 AB 的中点，所以 AO＝BO.
因为 OD∥BC，所以∠AOD＝∠OBC.
在△AOD 和△OBC 中， 因为∠AOA＝ODO＝B，∠OBC，
OD＝BC， 所以△AOD≌△OBC(SAS)．
在△ABC 和△EDF 中， 因为∠∠CA＝＝∠∠FE，，
AB＝ED， 所以△ABC≌△EDF(AAS)．
所以 BC＝DF.
2．(教材改编题)如图，AC＝DC，AB＝DE，∠A＝∠D.求证： ∠ACD＝∠BCE.
证明：在△ACB 和△DCE 中， 因为∠ACA＝＝D∠CD，，所以△ACB≌△DCE.