结构力学课件-3静定梁

f
f 2
0
MA 0
YB
l
q
f
f 2
0
YA
qf 2 2l
YB
qf 2 2l
X 0
XA q f XB 0 X A X B qf
O
C
q
f
XA A l /2 YA
l /2 B
XB
YB (b)
X A X B qf
MC 0
XB
f
YB
l 2
0
XB
qf 4
于是
X
A
3 4
qf
XC C
YC f
l /2 B
先计算左截面的内力，可取截面1以左 隔离体进行分析。
根据静力平衡条件求截面未知力：
x0 y0
N1Z P Q1Z P 0
Q1Z P
M1 0
M
Z 1
P 1.5a
0
M
Z 1
1.5Pa
P P
P P
1.5a
M
Z 1
N
Z 1
Q
Z 1
M
U 1
2Pa
N
U 1
1.5a
Q
U 1
计算右截面的内力,也可取截面1以左隔 离体进行分析。在这个隔离体上有集
20
20k N/m
40
40
F
10 G
H
80k N·m
20 40k N
20 C
25
5
20 25
50
40 40
20
20
20k N/m
F
G
H
55
85
20
40
10
50
40k N
80k N·m
20k N/m
AB
25 2m
2m
CD 2m 1m 2m
5
EF
G
H
2m 1m
4m
55
2m 85
50
40
20
40
20
40
N
N
要注明正负号；
剪力—截面上应力沿杆轴法线方向的
Q
Q
合力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的
为正，画剪力图要注明正负号；
弯矩—截面上应力对截面形心的力矩
M
M 之和, 不规定正负号。弯矩图画在杆件受
拉一侧，不注符号。
二、用截面法求指定截面内力
P
2Pa
a
P
1
1.5a P
1.5a P
计算如图所示结构截面 1 的内力
X 0 Y 0 MB 0
QBA 20 4 80 0 NBA 20 0 M BA 20 4 2 80 4 0
QBA 0 NBA 20kN M BA 160 kN m
40 kN
D BC
M BA
N BA
QBA
B
160 kN·m B
B 160
20 kN/m 4m
20 kN/m 4m
如右图(a)是一个多 跨刚架，具有四个支座
反力，根据几何组成分 P
析：Ｃ以右是基本部分、 以左是附属部分，分析 顺序应从附属部分到基 本部分。
q
XC C
P
YC
D XD
(b)
q
C
Q
D (a) C
XC YC
Q
B
A
q
B
A
XA
YB
(c)
YA
§4-3 刚架的内力分析及内力图的绘制
①分段：根据荷载不连续点、结点分段。 ②定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。 ③求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。
N BA
20 N图（kN)
M图
P
Q图
3P
P
DA
E
B
CF
D
aaa a a
Pa
P
0
CF
D
3P
Pa
a aP
A
E
B
Pa
aaa
Pa
1.5Pa Pa
P M图 +
2P Q图
M图
P
+
Q图
40k N
80k N·m
20k N/m
AB
CD
EF
G
H
2m 2m 2m 1m 2m 2m 1m
4m
2m
50构造关系图 40k N
C 20 A B 50
40 80k N·m
例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。
[分析] 该梁为简支梁，弯矩控制截 面为：C、D、F、G 叠加法求作弯矩图的关键是
计算控制截面位置的弯矩值
P=8kN q=4 kN/m m=16kN.m
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
解：（1）先计算支座反力
（2）求控制截面弯矩值
RA 17 kN
MD 0
M BD 160kN m 80
A 2m 2m
20
160
40 M图
B 160
160
D
40
40
M BA
A
80
M图 (kN·m）
20kN/m 4m
N BA QBA
B
A
20
20 60
80 Q图（kN)
B 160
160
D
40
40
A M 图 (kN·m）
20 60
80
Q图（kN)
B 20
0
N BD
10
50
Biblioteka Baidu
M 图（k N·m）
40k N
20k N/m
25 25
5
55
35
15 20
Q 图（k N）
85 40
45
第四章
静定刚架
§4-1 静定平面刚架的组成特点及类型 一、平面刚架结构特点：
刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整 体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。
§4-2 静定刚架支座反力的计算 刚架分析的步骤一般是先求出支座反力，再求出各杆控制截 面的内力，然后再绘制各杆的弯矩图和刚架的内力图。
在支座反力的计算过程中，应尽可能建立独立方程。
下图所示两跨刚架可先建立投影方程 Y 0计算RC ，再对 RC 和 RB的交点 O取矩，建立力矩方程M O 0 ，计算R A，最后建立投影方程 X 0 计算RB 。
y x
0
C
RA A
B
RC
. RB O
如图（a）三铰刚架，具有四个支座反力，可以利用三个整
体平衡条件和中间铰结点C 处弯矩等于零的局部平衡条件，一共
四个平衡方程就可以求出这四个支座反力。
C
C
q
q
f
f
(a)
(b)
A l /2
B l /2
XA A l /2 YA
l /2 B
XB
YB
MB 0
YA l q
水平杆件下侧
q(x)
（1）微分关系 dQ q dx
受拉为正； 竖向杆件右侧
dx
dM Q 受拉为正。
dx
q
Q
M+d M
P
Q
M+ M
d 2M dx2
q
M d x Q+d Q
m
（2）增量关系 Q P
M
d x Q+ Q
M m
（3）积分关系 由d Q = – q·d x
q(x)
MA QA
MB
QB QA
中力矩 2Pa，三个未知力为：
x0
N1U P
y 0 Q1U P 0 Q1U P
M1 0
M
U 1
2Pa
P 1.5a
0
M
U 1
0.5Pa
计算截面 2 的内力
P
现取截面 2 左边的隔离体进行
P
2Pa
a
分析，根据三个平衡条件就可得出
3
1
截面 2 上的三个未知力：
2
1.5a P
1.5a
P 也可取截面 2 右边隔离体计算
xBq(x) dx
xA
由d M = Q·d x
QB
M B
MA
xBQ(x) dx
xA
几种典型弯矩图和剪力图
P
m
q
l /2
l /2
P
2
P
2
Pl 4
1、集中荷载作用点 M图有一夹角，荷载向 下夹角亦向下； Q 图有一突变，荷载 向下突变亦向下。
l /2
l /2
m l
m 2
m 2
2、集中力矩作用点 M图有一突变，力矩 为顺时针向下突变； Q 图没有变化。
④画图：画M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直 线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q，N 图要标
＋，－号；竖标大致成比例。
例1. 试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制Ｍ、Q和N图。
[解] (1)支座反力 H A 80kN, VA 20kN, VB 60kN 。
(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。
取AC部分为隔离体，可计算得： M C 17 1 17kN 取GB部分为隔离体，可计算得： MGr 7 1 7kN
RB 7kN
A CMC 17 QC l
P=8kN
A
D
QC l 17 M C 17
4
MGr
GB
QG 7
QG 7 MGr 7
m=16kN.m
G
B
8
P=8kN q=4 kN/m m=16kN.m
力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座 C 的反力反向
加在基本部分AC 的C 端作为荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图，
将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。
分析下列多跨连续梁结构几何构造关系，并确定内力计算顺序。
P
q
A
B
CD
P
A
B
P
CD
E
F
E
F
GH
q
下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋， 图（c）是具有部分铰结点的刚架。
(a)
(d)
(b)
(c)
刚架结构优点：
（1）内部有效使用空间大； （2）结构整体性好、刚度大； （3）内力分布均匀，受力合理。
(e)
二、常见的静定刚架类型 1、悬臂刚架
2、简支刚架
3、三铰刚架
4、主从刚架
GH
q
A
BC
D
E
F
P
q
A
BC
D
E
F
注意： 从受力和变形方面看：基本部分上的荷载仅能在其自身上产生内力和
弹性变形，而附属部分上的荷载可使其自身和基本部分均产生内力和 弹性变形。因此，多跨静定梁的内力计算顺序也可根据作用于结构上 的荷载的传力路线来决定。
A
P
E
aa
2Pa
B
C
a
2a
2Pa 3Pa 4Pa
20 kN/m 4m
VB 60 40
H A 80
VA 20
A 2m 2m (a)
A
80
20
(b)
A
A
(c)
(d) M图
20kN/m 4m
40kN
N BD M BD
B 2m
QBD
X 0 NBD 0
160kN·m
2m D
60
Y 0 QBD 20kN
B
D
40kN
B
2m
D
2m
40kN D
BC
60
2kN·m
4kN·m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN·m
4kN·m
（3）叠加得弯矩图
6kN·m
4kN·m
2kN·m
分段叠加法作弯矩图的方法：
（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的 始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；
（2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯 矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的 直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。
图中：OA段即为线弹性阶段MB
MA
AB段为非线性弹性阶段
M
+
O
YA
M
M M M
MA
M
M
B MB
NB
YB MB
YB
MB
4kN·m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用下
6kN·m
（2）集中力偶作用下
4kN·m 2kN·m
（3）叠加得弯矩图
4kN·m
4kN·m
8kN·m
2kN/m
3m
3m
（1）悬臂段分布荷载作用下
(a)
P
P 1.5a
P
2Pa 1.5a
(d)
M2
2
Q2
N2 N2
M2 a Q2 P
N2 P, Q2 P, M 2 Pa.
P
a
Q3
M3
N3
N3 0, Q3 P, M 3 Pa.
计算截面 3 的内力
此时应取截面 3 以上的隔离体进行 分析比较简单。
三、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）
如图所示梁，其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个 几何不变部分，称它为基本部分；而CE部分就需要依靠基本部分AC才能保 证它的几何不变性，相对于AC 部分来说就称它为附属部分。
A
C
EA
C
E
A
E C
（a）
（b）
（c）
二、分析多跨静定梁的一般步骤
对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析：将支座C 的支反
l
ql 2
ql 2
ql 2 8
3、均布荷载作用段 M图为抛物线，荷载向 下曲线亦向下凸； Q 图为斜直线，荷载向 下直线由左向右下斜
§3-2 分段叠加法作弯矩图
MA
q
MB
P
q
A
YA
YB
MA
q
M假分A 定段：叠在加外法荷的载理MM作论用依下据，：结MB构 NA
B
YA
A
构件材料均处于线弹性阶段。
MA
q
第三章
静定梁
主要任务 ：要求灵活运用隔离体的平衡条件，熟练掌握静定 梁内力图的作法。 分析方法：按构造特点将结构拆成杆单元，把结构的受力分析 问题转化为杆件的受力分析问题。
§3-1 单跨静定梁的内力分析
一、截面上内力符号的规定： 轴力—截面上应力沿杆轴切线方向的
合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图
A
B
C D E FG
1m 1m 2m 2m 1m 1m
A C D E FG B
13 17
26 8
7 15 23 30
M图（kN.m）
17
9
A+ CD
E FG B _
7
Q图（kN）
§3-3 多跨静定梁 一、多跨静定梁的几何组成特性
多跨静定梁常用于桥梁结构。从几何组成特点看，它的组成可以区分 为基本部分和附属部分。
XB
YB (c)
对O点取矩即得：
MO 0
3f X A 2 f qf 2 0
X
A
3 4
qf
O C
q
O’
O
q
f
C
D B
B
A
A
l /2
l /2
注意： 三铰刚架结构中，支座反力的计算是内力计算的关键 所在。
通常情况下，支座反力是两两偶联的，需要通过解联 立方程组来计算支座反力，因此寻找建立相互独立的 支座反力的静力平衡方程，可以大大降低计算反力的 复杂程度和难度。