浙江省杭州市富阳市场口中学2015-2016学年高二上学期12月质检数学试卷 含解析

合集下载
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2015—2016学年浙江省杭州市富阳市场口中学高二(上)12月质
检数学试卷
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的)
1.双曲线的渐近线方程是()
A.y=±x B. C.D.
2.已知直线l1:x+ay+1=0与直线垂直,则a的值是()
A.2 B.﹣2 C.D.
3.如果ac<0,bc<0,那么直线ax+by+c=0不通过()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4.若直线l∥平面α,直线m⊂α,则l与m的位置关系是()
A.l∥m B.l与m异面
C.l与m相交D.l与m没有公共点
5.已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B
两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为()
A.B.
C.D.
6.若椭圆+=1(a>b>0)和圆x2+y2=(+c)2,(c为椭圆的半焦距),有四个不同的交
点,则椭圆的离心率e的取值范围是()
A.B. C.D.
7.如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成的角的余弦值是()
A.B.C.D.
8.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(﹣4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆
上,则=()
A.B.C.D.
9.已知点A(2,﹣3)、B(﹣3,﹣2)直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l的斜率k的取值范围是()
A.或k≤﹣4 B.或C.D.
10.若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点,则k的取值范围是()A.[1,+∞)B.[﹣1,﹣)C.(,1]D.(﹣∞,﹣1]
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)
11.已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位cm),则它的体积为cm3.
12.已知圆x2﹣4x﹣4+y2=0上的点P(x,y),求x2+y2的最大值.
13.已知圆x2+y2=4和圆外一点P(﹣2,﹣3),则过点P的圆的切线方程为.
14.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC1的中点,则DE与面BCC1B1所成角的正切值为.
15.如果对任何实数k,直线(3+k)x+(1﹣2k)y+1+5k=0都过一个定点A,那么点A的坐标是.
16.空间四个点P、A、B、C在同一球面上,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,那么这个球面的面积是.
17.如图,已知F1,F2是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线
段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为.
三、解答题(本题有4小题,总共42分,请写出必要的解答过程.)
18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明:PA∥平面EDB;
(2)证明:PB⊥平面EFD.
19.已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(﹣2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
20.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AC=BC=2,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D是CC1的中点.
(1)求二面角D﹣AB﹣C的平面角的正切值;
(2)求A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值.
21.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,点
,点F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.
2015—2016学年浙江省杭州市富阳市场口中学高二(上)
12月质检数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求的)
1.双曲线的渐近线方程是()
A.y=±x B. C.D.
【考点】双曲线的简单性质.
【分析】求出双曲线的a,b结合双曲线的渐近线方程进行求解即可.
【解答】解:由双曲线的方程得a2=1,b2=3,
即a=1,b=,则双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,
法2,令1为0,则由x2﹣=0,得y2=3x2,
即y=±x,
故选:C.
2.已知直线l1:x+ay+1=0与直线垂直,则a的值是()
A.2 B.﹣2 C.D.
【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.
【分析】根据直线l2的斜率以及两直线垂直的性质可得直线l1的斜率的值,待定系数法求出a的值.
【解答】解:∵直线l2的斜率为,直线l1:x+ay+1=0与直线垂直,
∴直线l1的斜率等于﹣2,即=﹣2,
∴a=,
故选C.
3.如果ac<0,bc<0,那么直线ax+by+c=0不通过()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系.
【分析】先把直线ax+by+c=0化为y=﹣再由ac<0,bc<0得到﹣<0,﹣>0,数形结合即可获取答案.
【解答】解:∵直线ax+by+c=0可化为y=﹣,
ac<0,bc<0
∴ab>0,
∴﹣<0,﹣>0,
∴直线过一、二、四象限,不过第三象限.
故答案选C.
4.若直线l∥平面α,直线m⊂α,则l与m的位置关系是()
A.l∥m B.l与m异面
C.l与m相交D.l与m没有公共点
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.
【分析】由线面平行的定义可判断l与α无公共点,直线m在平面α内,故l∥m,或l与m 异面.
【解答】解:∵直线l∥平面α,由线面平行的定义知l与α无公共点,
又直线m在平面α内,
∴l∥m,或l与m异面,
故选D.
5.已知椭圆E:的右焦点为F(3,0),过点F的直线交椭圆E于A、B 两点.若AB的中点坐标为(1,﹣1),则E的方程为()
A.B.
C.D.
【考点】椭圆的标准方程.
【分析】设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得,利用“点差法”可得
.利用中点坐标公式可得x1+x2=2,y1+y2=﹣2,利用斜率计算
公式可得==.于是得到,化为a2=2b2,再利用
c=3=,即可解得a2,b2.进而得到椭圆的方程.
【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
代入椭圆方程得,
相减得,
∴.
∵x1+x2=2,y1+y2=﹣2,==.
∴,
化为a2=2b2,又c=3=,解得a2=18,b2=9.
∴椭圆E的方程为.
故选D.
6.若椭圆+=1(a>b>0)和圆x2+y2=(+c)2,(c为椭圆的半焦距),有四个不同的交点,则椭圆的离心率e的取值范围是()
A.B. C.D.
【考点】圆与圆锥曲线的综合.
【分析】由题设知,由,得2c>b,再平方,4c2>b2,;由,得b+2c<2a,.综上所述,.
【解答】解:∵椭圆和圆为椭圆的半焦距)的中
心都在原点,
且它们有四个交点,
∴圆的半径,
由,得2c>b,再平方,4c2>b2,
在椭圆中,a2=b2+c2<5c2,
∴;
由,得b+2c<2a,
再平方,b2+4c2+4bc<4a2,
∴3c2+4bc<3a2,
∴4bc<3b2,
∴4c<3b,
∴16c2<9b2,
∴16c2<9a2﹣9c2,
∴9a2>25c2,
∴,
∴.
综上所述,.
故选A.
7.如图ABCD﹣A1B1C1D1是正方体,B1E1=D1F1=,则BE1与DF1所成的角的余弦值是
()
A.B.C.D.
【考点】异面直线及其所成的角.
【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点E1,得到的锐角或直角就是异面直线所成的角,在三角形中再利用余弦定理求出此角即可.
【解答】解:如图
先将F1D平移到AF,再平移到E1E,
∠EE1B为BE1与DF1所成的角
设边长为4则,E1E=E1B=,BE=2
cos∠EE1B=,故选A
8.在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC顶点A(﹣4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆
上,则=()
A.B.C.D.
【考点】椭圆的简单性质;正弦定理的应用.
【分析】由椭圆的性质得到A、C 是椭圆的两个焦点,由椭圆的定义知,AB+BC=2a=10,AC=8, 再利用正弦定理得=,从而求出结果.
【解答】解:椭圆中.a=5,b=3,c=4,故A(﹣4,0)和C(4,0)是椭圆的两个焦点,
∴AB+BC=2a=10,AC=8,由正弦定理得===2r,
∴====,
故选D.
9.已知点A(2,﹣3)、B(﹣3,﹣2)直线l过点P(1,1),且与线段AB相交,则直线l 的斜率k的取值范围是()
A.或k≤﹣4 B.或C.D.
【考点】直线的斜率.
【分析】画出图形,由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA,用直线的斜率公式求出k PB和k PA的值,
解不等式求出直线l的斜率k的取值范围.
【解答】解:如图所示:由题意得,所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA,
即k≥或k≤4
故选:A.
10.若直线y=kx+4+2k与曲线有两个交点,则k的取值范围是() A.[1,+∞)B.[﹣1,﹣)C.(,1]D.(﹣∞,﹣1]
【考点】直线与圆锥曲线的关系.
【分析】将曲线方程变形判断出曲线是上半圆;将直线方程变形据直线方程的点斜式判断出直线过定点;画出图形,数形结合求出满足题意的k的范围.
【解答】解:曲线即x2+y2=4,(y≥0)
表示一个以(0,0)为圆心,以2为半径的位于x轴上方的半圆,如图所示:
直线y=kx+4+2k即y=k(x+2)+4
表示恒过点(﹣2,4)斜率为k的直线
结合图形可得

∵解得
∴要使直线与半圆有两个不同的交点,k的取值范围是
故选B
二、填空题(本大题共7小题,每小题4分,共28分)
11.已知一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位cm),则它的体积为12πcm3.
【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图判断几何体为一底面圆的直径为6,母线长为5的圆锥,求出圆锥的高,代入圆锥的体积公式计算可得答案.
【解答】解:由三视图判断几何体为圆锥,其底面圆的直径为6,母线长为5,
∴底面圆的半径为3,高为=4,
∴体积V=π×32×4=12π.
故答案是12π.
12.已知圆x2﹣4x﹣4+y2=0上的点P(x,y),求x2+y2的最大值.
【考点】点与圆的位置关系.
【分析】利用圆的方程求出x的范围,然后整理出x2+y2的表达式,即可求出最大值.
【解答】解:因为圆x2﹣4x﹣4+y2=0化为(x﹣2)2+y2=8,所以(x﹣2)2≤8,
解得2﹣2≤x≤2+2,
圆上的点P(x,y),
所以x2+y2=4x+4≤.
故答案为:.
13.已知圆x2+y2=4和圆外一点P(﹣2,﹣3),则过点P的圆的切线方程为x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0.
【考点】圆的切线方程.
【分析】圆x2+y2=4的圆心坐标为(0,0),半径r=2,当过P的切线方程斜率不存在时,x=﹣2为圆的切线;当过P的切线方程斜率存在时,设切线方程为kx﹣y+2k﹣3=0,圆心到切线的距离
d==r=2,由此能求出切线方程.
【解答】解:由圆x2+y2=4,得到圆心坐标为(0,0),半径r=2,
当过P的切线方程斜率不存在时,x=﹣2为圆的切线;
当过P的切线方程斜率存在时,
设斜率为k,p(﹣2,﹣3),
∴切线方程为y+3=k(x+2),即kx﹣y+2k﹣3=0,
∵圆心到切线的距离d==r=2,
解得:k=,
此时切线方程为5x﹣12y﹣26=0,
综上,切线方程为x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0.
故答案为:x=﹣2或5x﹣12y﹣26=0.
14.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E为BC1的中点,则DE与面BCC1B1所成角的正切值为.
【考点】直线与平面所成的角.
【分析】以D为原点,以DA为x轴,以DC为y轴,以DD1为z轴,建立空直角坐标系,利用向量法能求出DE与面BCC1B1所成角的正切值.
【解答】解:设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,
以D为原点,以DA为x轴,以DC为y轴,
以DD1为z轴,建立空直角坐标系,
∵E为BC1的中点,
∴D(0,0,0),E(1,2,1),
∴=(1,2,1),
设DE与面BCC1B1所成角的平面角为θ,
∵面BCC1B1的法向量=(0,1,0),
∴sinθ=|cos<,>|=||=,
∴cosθ=,
∴tanθ=.
故答案为:.
15.如果对任何实数k,直线(3+k)x+(1﹣2k)y+1+5k=0都过一个定点A,那么点A的坐标是(﹣1,2).
【考点】恒过定点的直线.
【分析】由(3+k)x+(1﹣2k)y+1+5k=0可得3x+y+1+k(x﹣2y+5)=0,进而有x﹣2y+5=0且
3x+y+1=0,由此即可得到结论.
【解答】解:由(3+k)x+(1﹣2k)y+1+5k=0可得3x+y+1+k(x﹣2y+5)=0
∴x﹣2y+5=0且3x+y+1=0
∴x=﹣1,y=2
∴对任何实数k,直线(3+k)x+(1﹣2k)y+1+5k=0都过一个定点A(﹣1,2)
故答案为:(﹣1,2)
16.空间四个点P、A、B、C在同一球面上,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,那么这个球面的面积是3πa2.
【考点】球内接多面体.
【分析】PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点P、A、B、C的球面即为棱长为a的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,求出对角线长,即可求出球的表面积.
【解答】解:空间四个点P、A、B、C在同一球面上,PA、PB、PC两两垂直,且PA=PB=PC=a,则PA、PB、PC可看作是正方体的一个顶点发出的三条棱,所以过空间四个点P、A、B、C 的球面即为棱长为a的正方体的外接球,球的直径即是正方体的对角线,长为,所以这
个球面的面积.
故答案为:3πa2
17.如图,已知F1,F2是椭圆C:(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q,且点Q为线段PF2的中点,则椭圆C的离心率为.
【考点】圆与圆锥曲线的综合.
【分析】本题考察的知识点是平面向量的数量积的运算,及椭圆的简单性质,由F1、F2是椭圆
(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆C上,线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点
Q,且点Q为线段PF2的中点,连接OQ,F1P后,我们易根据平面几何的知识,根据切线的性质及中位线的性质得到PF2⊥PF1,并由此得到椭圆C的离心率.
【解答】解:连接OQ,F1P如下图所示:
则由切线的性质,则OQ⊥PF2,
又由点Q为线段PF2的中点,O为F1F2的中点
∴OQ∥F1P
∴PF2⊥PF1,
故|PF2|=2a﹣2b,
且|PF1|=2b,|F1F2|=2c,
则|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2
得4c2=4b2+4(a2﹣2ab+b2)
解得:b= a
则c=
故椭圆的离心率为:
故答案为:.
三、解答题(本题有4小题,总共42分,请写出必要的解答过程.)
18.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=2,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.
(1)证明:PA∥平面EDB;
(2)证明:PB⊥平面EFD.
【考点】直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面垂直的判定.
【分析】(1)由题意连接AC,AC交BD于O,连接EO,则EO是中位线,证出PA∥EO,由线面平行的判定定理知
PA∥平面EDB;
(2)由PD⊥底面ABCD得PD⊥DC,再由DC⊥BC证出BC⊥平面PDC,即得BC⊥DE,再由ABCD是正方形证出DE⊥平面PBC,则有DE⊥PB,再由条件证出PB⊥平面EFD.
【解答】解:(1)证明:连接AC,AC交BD于O.连接EO.
∵底面ABCD是正方形,∴点O是AC的中点.
∴在△PAC中,EO是中位线,∴PA∥EO,
∵EO⊂平面EDB,且PA⊄平面EDB,
∴PA∥平面EDB.
(2)证明:∵PD⊥底面ABCD,且DC⊂底面ABCD,∴PD⊥BC.
∵底面ABCD是正方形,∴DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC.∵DE⊂平面PDC,∴BC⊥DE.
又∵PD=DC,E是PC的中点,∴DE⊥PC.∴DE⊥平面PBC.
∵PB⊂平面PBC,∴DE⊥PB.又∵EF⊥PB,且DE∩EF=E,
∴PB⊥平面EFD.
19.已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)设直线ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(﹣2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.
【考点】直线和圆的方程的应用;圆的标准方程.
【分析】(Ⅰ)设圆心为M(m,0)(m∈Z).由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,
所以,由此能求了圆的方程.
(Ⅱ)把直线ax﹣y+5=0代入圆的方程,得(a2+1)x2+2(5a﹣1)x+1=0,由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,故△=4(5a﹣1)2﹣4(a2+1)>0,由此能求出实数a的取值范围.
(Ⅲ)设符合条件的实数a存在,则直线l的斜率为,l的方程为,由于l 垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,由此推导出存在实数使得过点P(﹣2,4)
的直线l垂直平分弦AB.
【解答】(本小题满分14分)
解:(Ⅰ)设圆心为M(m,0)(m∈Z).
由于圆与直线4x+3y﹣29=0相切,且半径为5,
所以,
即|4m﹣29|=25.因为m为整数,故m=1.
故所求圆的方程为(x﹣1)2+y2=25.…
(Ⅱ)把直线ax﹣y+5=0,即y=ax+5,
代入圆的方程,消去y,
整理,得(a2+1)x2+2(5a﹣1)x+1=0,
由于直线ax﹣y+5=0交圆于A,B两点,
故△=4(5a﹣1)2﹣4(a2+1)>0,
即12a2﹣5a>0,
由于a>0,解得a>,
所以实数a的取值范围是().
(Ⅲ)设符合条件的实数a存在,
则直线l的斜率为,
l的方程为,
即x+ay+2﹣4a=0
由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上,
所以1+0+2﹣4a=0,解得.
由于,故存在实数
使得过点P(﹣2,4)的直线l垂直平分弦AB.…
20.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,AC=BC=2,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,D是CC1的中点.
(1)求二面角D﹣AB﹣C的平面角的正切值;
(2)求A1B与平面BB1C1C所成角的正弦值.
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面所成的角.
【分析】(Ⅰ)取AB中点E,连接DE,CE,证明∠DEC即为二面角D﹣AB﹣C的平面角,即可求二面角D﹣AB﹣C的平面角的正切值;
(2)连接BC1,证明∠A1BC1即为A1B与平面BB1C1C所成角,即可求A1B与平面BB1C1C 所成角的正弦值.
【解答】解:(Ⅰ)取AB中点E,连接DE,CE
因为直棱柱,CC1⊥面ABC,所以CC1⊥AB,
又因为△ABC为等腰直角三角形,
所以CE⊥AB,所以AB⊥面DEC,即AB⊥DE,
所以∠DEC即为二面角D﹣AB﹣C的平面角
因为CD=1,CE=,
(II)连接BC1.
因为直棱柱,所以CC1⊥AC,且AC∥A1C1,所以CC1⊥A1C1.
而由于AC⊥BC,所以A1C1⊥B1C1,
所以A1C1⊥面BB1C1C,
所以∠A1BC1即为A1B与平面BB1C1C所成角.
因为A1C1=2,BC1=,所以sin∠A1BC1=.
21.已知椭圆=1(a>b>0)的离心率e=,左、右焦点分别为F1、F2,点,点F2在线段PF1的中垂线上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M、N两点,直线F2M与F2N的倾斜角分别为α,β,且α+β=π,求证:直线l过定点,并求该定点的坐标.
【考点】椭圆的标准方程;恒过定点的直线;直线与圆锥曲线的综合问题.
【分析】(1)根据椭圆的离心率求得a和c的关系,进而根据椭圆C的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0)又点F2在线段PF1的中垂线上推断|F1F2|=|PF2|,进而求得c,则a和b
可得,进而求得椭圆的标准方程.
(2)设直线MN方程为y=kx+m,与椭圆方程联立消去y,设M(x1,y1),N(x2,y2),根据韦达定理可表示出x1+x2和x1x2,表示出直线F2M和F2N的斜率,由α+β=π可推断两直线斜率之和为0,把x1+x2和x1x2代入即可求得k和m的关系,代入直线方程进而可求得直线过定点.
【解答】解:(1)由椭圆C的离心率得,其中,
椭圆C的左、右焦点分别为F1(﹣c,0),F2(c,0)又点F2在线段PF1的中垂线上
∴|F1F2|=|PF2|,∴解得c=1,a2=2,b2=1,
∴.
(2)由题意,知直线MN存在斜率,设其方程为y=kx+m.由
消去y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2﹣2=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),
则△=(4km)2﹣4(2k2+1)(2m2﹣2)≥0
即2k2﹣m2+1≥0
则,且
由已知α+β=π,得.
化简,得2kx1x2+(m﹣k)(x1+x2)﹣2m=0
∴整理得m=﹣2k.
∴直线MN的方程为y=k(x﹣2),因此直线MN过定点,该定点的坐标为(2,0)
2016年11月17日。

相关文档
最新文档