2011年福州市高中数学理科

一.选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是是正确的, 将正确答案填写在答题卷相应位置．） 1.如果复数z =(a 2－3a +2)+(a －1)i 为纯虚数,则实数a 的值 ( ).
A.等于1或2
B.等于1
C.等于2
D.不存在 2.曲线f (x )=x 3+x －2在0P 点处的切线平行于直线y =4x －1,则P 0点的坐标为( )
A.(1,0)或(－1,-4)
B.(0,1)
C.(1,0)
D.(-1,-4)
3. 已知数列{}n a 为等差数列，且1713212,tan()a a a a a π++=+则的值为（ ）
A.3
B.3-
C.3±
D.3
3
-
4. 给定下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是( )
A. ①和②
B. ②和③
C. ③和④
D. ②和④ 5.某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x 1.99 3 4 5.1 6.12 y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据,现给出以下拟合曲线,其中拟合程度最好的是( )
A.y ＝2x －2
B.y ＝(1
2)x C.y ＝log 2x D.y
＝1
2
(x 2－1) 6.设22)1(,300
5,y x x y x y x y x ++⎪⎩
⎪⎨⎧≤≥+≥+-则满足约束条件的最大值为
( )
A. 80
B.45
C.25
D.
172
7. 已知12,a a
均为单位向量，那么131,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
是
S ＝1，k ＝1
输出S
开始 否 是
k ＝k ＋1
S ＝2S
k ＞2010?
S ＜1?
S ＝
18
S 是
否
俯视图
左视图
主视图
a
a a
D C
B
A (
)
123,1a a +=
的（ ）
Ａ.充分不必要条件 Ｂ.必要不充分条件 Ｃ.充分必要条件 Ｄ.既不充分又不必要条件 8.某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S 的值为( ) A.1 B.
12
C.
14
D.
18
9.已知F 1、F 2为椭圆
22
12516
x y +=的左、右焦点，若M 为椭圆上 一点，且△MF 1F 2的内切圆的周长等于3π,则满足条件的点M 有( )个. A.0 B.1 C.2 D.4
10.已知函数f (x +1)是定义在R 上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x 1、x 2，不等式
1212()[()()]0x x f x f x --<恒成立，则不等式f (1－x )<0的解集为( ).
A.(1,+∞)
B.(0,+∞)
C.(－∞,0)
D.(－∞,1)
二．填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，将正确答案填写在答题卷相应位置．）
11.二项式10
112x ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
的展开式中第六项的系数等于__________(用数字作答)
12. 在等比数列{}n a 中，首项=1a 32，()4
41
12a x dx =+⎰
，则公比q 为 .
13.四棱锥P ABCD -的顶点P 在底面ABCD 中的投影恰好是A ，其三视图如右图所示,根据图中的信息，在四棱锥P ABCD -的任两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线对数为 .
14.在区间[π,π]-内随机取两个数分别记为,a b ，则使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为 .
15.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0—1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 行． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1
…… ……………………………………
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算过程．）
16．（本小题满分13分） 已知函数31
()sin cos 22
f x x x ππ=
+, x R ∈． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值和最小值；
（Ⅱ）设函数()f x 在[1,1]-上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图象的最高
点为P,求PM 与PN
的夹角的余弦．
17．（本小题满分13分）
“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的． （Ⅰ）求出在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
（Ⅱ）若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列及其期望．
18．（本小题满分13分）
如图,矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE //CF ，BC ⊥CF ,3AD =,EF =2，BE =3，CF =4.
(Ⅰ)求证：EF ⊥平面DCE ；
(Ⅱ)当AB 的长为何值时,二面角A-EF-C 的大小为60°． 19．（本小题满分13分）
已知点M(k,l )、P (m,n ),(klmn ≠0)是曲线C 上的两点，点M 、N 关于x 轴对称，直线MP 、NP 分别交x 轴于点E(x E ,0)和点F (x F ,0)，
（Ⅰ）用k 、l 、m 、n 分别表示E x 和F x ;
（Ⅱ）当曲线C 的方程分别为：2
2
2
(0)x y R R +=> 、22
221(0)x y a b a b
+=>>时，探究
E F x x ⋅的值是否与点M 、N 、P 的位置相关；
D
（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C 的方程为22(0)y px p =>时，探究E x 与F x 经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论.(只要求写出你的探究结论，无须证明).
20．（本小题满分14分）
设函数f (x )=e x +sinx,g (x )=ax,F (x )=f (x )－g (x ). (Ⅰ)若x =0是F (x )的极值点,求a 的值；
(Ⅱ)当 a =1时,设P (x 1,f (x 1)), Q (x 2, g (x 2))(x 1>0,x 2>0), 且PQ //x 轴,求P 、Q 两点间的最短距离； (Ⅲ):若x ≥0时,函数y =F (x )的图象恒在y =F (－x )的图象上方,求实数a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）本题共有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则以所做的前2题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M 有特征值3λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
e ，并且矩阵M 对应的变
换将点(1,2)-变换成(9,15). 求矩阵M ．
（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程是22sin ,
2cos x y αα
=+⎧⎨
=⎩（α是参数）．
现以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，写出曲线C 的极坐标方程． （3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 解不等式2142x x +-->．。