一元二次方程根的判别式练习题

一元二次方程根的判别式练习题
（一）填空
1．方程x2＋2x-1＋m=0有两个相等实数根，则m=____．
2．a是有理数，b是____时，方程2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）=0的根也是有理数．
3．当k＜1时，方程2（k+1）x2＋4kx+2k-1=0有____实数根．
5．若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根，则m的值为____．
6．方程4mx2-mx＋1=0有两个相等的实数根，则 m为____．
7．方程x2-mx＋n=0中，m，n均为有理数，且方程有一个根是2
8．一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）中，如果a，b，c是有理数且Δ=b2-4ac是一个完
全平方数，则方程必有____．
9．若m是非负整数且一元二次方程（1-m2）x2+2（1-m）x-1=0有两个实数根，则m的值为
____．
10．若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根，则k的取值范围是____．
11．已知方程2x2-（3m＋n）x＋m·n=0有两个不相等的实数根，则m，n的取值范围是____．
12．若方程a（1-x2）＋2bx＋c（1＋x2）=0的两个实数根相等，则a，b，c的关系式为_____．
13．二次方程（k2-1）x2-6（3k-1）x+72=0有两个实数根，则k为___．
14．若一元二次方程（1-3k）x2＋4x-2=0有实数根，则k的取值范围是____．
15．方程（x2＋3x）2+9（x2+3x）＋44=0解的情况是＿解．
16．如果方程x2＋px＋q=0有相等的实数根，那么方程x2-p（1＋q）x＋q3＋2q2＋q=0____
实根．
（二）选择
那么α= [ ]．
18．关于x的方程：m（x2＋x+1）=x2+x＋2有两相等的实数根，则m值为 [ ]．
19．当m＞4时，关于x的方程（m-5）x2-2（m＋2）x+m=0的实数根的个数为 [ ]．
A．2个； B．1个； C．0个； D．不确定．
20．如果m为有理数，为使方程x2-4（m-1）x＋3m2-2m+2k=0的根为有理数，则k的值为
[ ]．
则该方程
[ ]．
A．无实数根； B．有相等的两实数根；
C．有不等的两实数根； D．不能确定有无实数根．
22．若一元二次方程（1-2k）x2+8x=6没有实数根，那么k的最小整数值是 [ ]．
A．2； B．0； C．1； D．3．23．若一元二次方程（1-2k）x2+12x-10=0有实数根，那么k的最大整数值是 [ ]．A．1； B．2； C．-1； D．0．24．方程x2+3x+b2-16=0和x2+3x-3b＋12=0有相同实根，则b的值是 [ ]．A．4； B．-7；
C．4或-7； D．所有实数．
[ ]．
A．两个相等的有理根； B．两个相等的实数根；
C．两个不等的有理根； D．两个不等的无理根．
26．方程2x（kx-5）-3x2+9=0有实数根，k的最大整数值是 [ ]．
A．-1； B．0； C．1； D．2．27．若方程k（x2-2x＋1）-2x2＋x＝0有实数根，则
[ ]．
28．若方程（a-2）x2＋（-2a＋1）x＋a=0有实数根，则 [ ]．
29．若m为有理数，且方程2x2＋（m＋1）x-（3m2-4m+n）=0的根为有理数，则n的值为 [ ]．A．4； B．1； C．-2； D．-6．30．方程x|x|-3|x|+2=0的实数根的个数是[ ]．
A．1； B．2； C．3； D． 4．（三）综合练习
有两个相等的实数根．求证：a2+b2=c2．
32．如果a，b，c是三角形的三条边，求证：关于x的方程a2x2+（a2＋b2－c2）x＋b2=0无解．
33．当a，b为何值时，方程x2+2（1+a）x＋（3a2+4ab＋4b2＋2）=0有实数根．
34．已知：关于x的方程x2+（a-8）x+12-ab=0，这里a，b是实数，如果对于任意a值，方程永远有实数解，求b的取值范围．
35．一元二次方程（m-1）x2+2mx＋m＋3=0有两个不相等的实数根，求m的最大整数值．36．k为何值时，方程x2+2（k-1）x+ k2+2k-4=0：
（1）有两个相等的实数根；（2）没有实数根；
（3）有两个不相等的实数根．
37．若方程3kx2-6x＋8=0没有实数根，求k的最小整数值．
38．m是什么实数值时，方程2（m＋3）x2＋4mx＋2m-2=0：
（1）有两个不相等的实数根；（2）没有实数根．
39．若方程3x2-7x＋3k-2=0有两个不相同的实数根，求k的最大整数值．
40．若方程（k+2）x2+4x-2=0有实数根，求k的最小整数值．
41．设a为有理数，当b为何值时，方程
2x2＋（a＋1）x-（3a2-4a＋b）＝0
的根对于a的任何值均是有理数？
42．k为何值时，方程k2x2＋2（k＋2）x＋1=0：
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．
43．已知方程（b-x）2-4（a-x）（c-x）=0（a，b，c为实数）．求证
（1）此方程必有实根；
（2）若此方程有两个相等的实数根，则a= b= c．
44．若方程（c2＋a2）x＋2（b2-c2）x＋c2-b2=0有两个相等的实数根，且a，b，c是三角形ABC的三边，证明此三角形是等腰三角形．
有相等的实数根，求证r1＝r2或r1+r2＝d．
46．求证：方程（x-a）（x-a-b）=1有两个实数根，其中一个大于a，另一个小于a．47．已知方程x2＋2x＋1＋m=0没有实数根．求证方程x2＋（m-2）x-m-3=0一定有两个不相等的实数根．
48．已知 a，b，c是三角形的三边．求证方程a2x2＋（a2+c2-b2）x＋c2=0无实数根．49．若方程b（x2-4）+4（b-a）x-c（-4+x2）=0的两个根不相等，且a，b，c为△ABC的三边，求证：△ABC不是等边三角形．
50．k为何值时，方程4kx+k=x2+4k2+2：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？（3）无实数根？
51．设实数x满足方程（x-2）2+（kx+2）2=4，求k的最大值．
53．如果方程（3k-4）x2+6（k＋2）x＋3k+4=0没有实数根，那么方程kx2-2（k-1）x＋（k ＋4）=0有实数根吗？为什么？
54．m是什么实数值时，方程2x2＋（n＋1）x-（3n2-4n+m）=0有有理根？
1．2 一元二次方程的根的判别式
（一）填空
1．2
2．1
3．有两个不相等的
4．6，-4
6．16
7．4，1
8．两个有理数根
9．m=0
11．m，n为不等于零的任意实数
12．b2-c2+a2=0
13．任意实数
14．k≤1
15．无实数
16．也有相等的
（二）选择
17．B 18．A 19．A 20．B 21．C
22．A 23．B 24．A 25．B 26．D
27．C 28．B 29．B 30．C
（三）综合练习
已知方程有两个相等的实根，得Δ=0，即
化简得4m（a2-c2+b2）=0．由于m＞0，所以a2-c2+b2=0，即a2+b2=c2．
32．提示：Δ＝（a2+b2-c2）2-4a2b2=（a2+b2-c2+2ab）（a2+b2-c2-2ab）=[（a+b）2-c2][（a-b）2-c2]=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）．因为a，b，c是三角形的三条边，所以a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0，因此Δ＜0，所以方程无解．
33．当a=1，b=-0.5时，方程有实数根．提示：由方程有实数根得Δ=[2（1+a）］2-4（3a2+4ab+4b2+2）=-4[（1-a）2+（a+2b）2]≥0．又因为（1-a）2≥0，（a+2b）2≥0，故而有（1-a）2+（a+2b）2≥0，所以只有-4[（1-a）2+（a+2b）2]=0，即（1-a）2+（a+2b）2=0．从而得出1-a=0，所以a=1；a+2b=0，解出b=-0.5．
34．2≤b≤6．提示：方法一Δ=（a-8）2-4（12-2b）≥0，即a2+4a（b-4）+16≥0．因为对于任意a值上式均大于等于零，且二次项系数大于0．所以关于a的二次三项式中的判别式应小于等于零，即[4（b-4）]2-4×16≤0，即有b2-8b+12≤0，解之2≤b≤6．
方法二Δ=（a-8）2-4（12-2b）=a2+4a（b-4）+16
={a2+2a[2（b-4）]+[2（b-4）]2}-[2（b-4）]2+16
=[a+2（b-4）]2-4[（b-4）2-4]≥0．
因此只能（b-4）2-4≤0，由此得-2≤b-4≤2，所以2≤b≤6．
35．m的最大整数值为零．提示：由m-1≠0且Δ=（2m）2-4
k的最大整数值为2．
40．-4．
41．b=1．提示：Δ=（a+1）2+8（3a2-4a+b）=25a2-30a+8b+1．由于25a2-30a+8b+1应为a 的完全平方式．所以（-30）2-4×25×（8b+1）=0，所以b=1．
42．（1）-1＜k＜0或k＞0；（2）k=-1；（3）k＜-1．
43．（1）（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2≥0，即Δ≥0；
（2）a-b=0，b-c=0，c-a=0，则a=b=c．
44．提示：Δ=[2（b2-c2）]2-4（c2+a2）（c2-b2）=4（b2-c2）（b2-c2+a2+c2）=4（b+c）（b-c）（b2+a2）．由方程有两个相等实根．故而Δ= 0，即4（b+c）（b-c）（b2+a2）=0．因为a，b，c是三角形的三边，所以b+c≠0，a2+b2≠0，只有b-c=0，解出b=c．
45．提示：Δ=（-2r1）2-4（r22+r1d-r2d）=0，即4r21-4r22-4r1d+4r2d=0，（r21-r22）-d（r1-r2）=0，（r1-r2）（r1+r2-d）=0，所以r1=r2或r1+r2=d．
46．提示：原方程化为x2-（2a+b）x+（a2+ab-1）=0，Δ=[-（2a+b）]2-4（a2+ab-1）=4a2+4ab+b2-4a2-4ab+4=b2+4，即Δ＞0．代
47．提示：因为方程x2+2x+1+m=0无实根，所以Δ=4-4（1+m）=4-4-4m＜0，推知m＞0．而方程x2+（m-2）x-（x+3）=0的Δ=（m-2）2+4（m+3）＞0．
48．提示：Δ=（a2+c2-b2）2-4a2c2=（a2+c2-b2+2ac）（a2+c2-b2-2ac）=[（a+c）2-b2]×[（a-c）2-b2]=（a+c+b）×（a+c-b）×（a-c+b）×（a-c-b）．因为a，b，c是三角形的三边，所以a+b+c＞0，a+c-b＞0，a-c+b＞0，a-c-b＜0，推知Δ＜0．
49．提示：原方程化为：（b-c）x2+4（b-a）x-4（b-c）=0，Δ=16（b-a）2+16（b-c）2＞0．所以（b-a）与（b-c）不全为0，a，b，c不全相等，因此△ABC不是等边三角形．50．（1）k＞2；（2）k=2；（3）k＜2．
51．k的最大值为0，提示：原方程化为：
（k2+1）x2+（4k-4）x+4=0．
因为x是实数，所以
Δ=（4k-4）2-4×4（k2+1）=16（k2-2k+1-k2-1）=-32k≥0．
所以k≤0，即k的最大值是0．
x+（k+4）=0的Δ＞0，故而方程有实数根．54．m=1．。