福建省厦门市同安区2018-2019学年八年级(下)期中数学试卷(含解析)

2018-2019学年福建省厦门市同安区八年级（下）期中数学试卷一．选择题（共10小题，满分40分）
1．要使式子有意义，则x的值可以是（）
A．2B．0C．1D．9
2．化简的结果是（）
A．2B．2C．﹣2D．±2
3．如图，在△ABC中∠A＝90°，则三条边长a，b，c之间数量关系满足（）
A．a+b＝c B．b+c＝a C．b2+c2＝a2D．a2+b2＝c2
4．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）
A．5：2：2：5B．5：5：2：2C．2：5：2：5D．2：2：5：5 5．矩形的一边长是4cm，一条对角线的长是4cm，则矩形的面积是（）A．32cm2B．32cm2C．16cm2D．8cm2
6．下列性质中矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．每条对角线平分一组对角
7．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）
A．78 cm2B．cm2
C．cm2D．cm2
8．若＝a，＝b，则等于（）
A．ab B．C．0.1a+0.1b D．0．lab
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
10．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为P A，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；
②△P AB的周长；
③△PMN的面积；
④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（）
A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．化简：（）2＝，＝．
12．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题．
13．已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，若BD＝3cm，则AC＝．14．计算：＝．
15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝25，大正方形的面积为13，
则小正方形的面积为．
16．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P、Q分别为AC、AD上的动点，连接DP、PQ，则DP+PQ的最小值为．
三．解答题（共9小题，满分86分）
17．计算：2
18．先化简，再求值：（m﹣）（m+）﹣m（m﹣6），其中m＝．
19．如图，在▱ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数．
20．将▱ABCD放在平面直角坐标系中，对角线AC，BD交于坐标原点O，B（﹣4，﹣3），C（0，﹣3），请根据要求画出图形，并求出▱ABCD的面积和周长．
21．如图，已知正方形CDEF的面积为169cm2，且AC⊥AF，AB＝3cm，BC＝4cm，AF＝12cm，试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
22．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，判断四边形EFGH是何种特殊的四边形，并说明你的理由．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b 满足b＝++16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．
25．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
2018-2019学年福建省厦门市同安区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．要使式子有意义，则x的值可以是（）
A．2B．0C．1D．9
【分析】根据二次根式的性质意义，被开方数大于等于0，即可求得．
【解答】解：依题意得：x﹣5≥0，解得：x≥5．
观察选项，只有选项D符合题意．
故选：D．
2．化简的结果是（）
A．2B．2C．﹣2D．±2
【分析】根据二次根式的性质化简．
【解答】解：＝＝2，故选B．
3．如图，在△ABC中∠A＝90°，则三条边长a，b，c之间数量关系满足（）
A．a+b＝c B．b+c＝a C．b2+c2＝a2D．a2+b2＝c2
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵在△ABC中∠A＝90°，
∴b2+c2＝a2，
故选：C．
4．在▱ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（）
A．5：2：2：5B．5：5：2：2C．2：5：2：5D．2：2：5：5【分析】根据平行四边形的对角相等即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴A、B、D不正确，C正确；
故选：C．
5．矩形的一边长是4cm，一条对角线的长是4cm，则矩形的面积是（）A．32cm2B．32cm2C．16cm2D．8cm2
【分析】由矩形的性质得出∠BAD＝90°，AC＝BD＝4，由勾股定理求出BC，矩形的面积＝AB×AD，即可得出结果．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AB＝4cm，BD＝AC＝4cm，
∴AD＝＝4
∴矩形ABCD的面积＝4×4＝16cm2，
故选：C．
6．下列性质中矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）
A．对角线互相平分
B．对角线相等
C．对角线互相垂直
D．每条对角线平分一组对角
【分析】举出平行四边形的性质和矩形的性质，再进行比较，即可得出选项．
【解答】解：∵平行四边形的性质有：①平行四边形的对边平行且相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分；
矩形的性质有：①矩形的对边平行且相等；②矩形的对角相等，且四个角都是直角；③矩形的对角线互相平分且相等；
∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：B．
7．如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）
A．78 cm2B．cm2
C．cm2D．cm2
【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案．
【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm2和48cm2的两个小正方形，
大正方形的边长是+＝+4，
留下部分（即阴影部分）的面积是（+4）2﹣30﹣48＝8＝24（cm2）．故选：D．
8．若＝a，＝b，则等于（）
A．ab B．C．0.1a+0.1b D．0．lab
【分析】根据：＝a，＝b，可得：a2＝3，b2＝30，所以a2b2＝90，据此求出等于多少即可．
【解答】解：∵＝a，＝b，
∴a2＝3，b2＝30，
∴a2b2＝90，
∴＝＝＝0.1ab．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）
A．5个B．4个C．3个D．2个
【分析】首先过A作AE⊥BC，当D与E重合时，AD最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE＝EC，进而可得BE的长，利用勾股定理计算出AE长，然后可得AD的取值范围，进而可得答案．
【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB＝AC，
∴EC＝BE＝BC＝4，
∴AE＝＝3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD＝3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故选：C．
10．如图，点A，B为定点，定直线l∥AB，P是l上一动点，点M，N分别为P A，PB的中点，对下列各值：
①线段MN的长；
②△P AB的周长；
③△PMN的面积；
④直线MN，AB之间的距离；
⑤∠APB的大小．
其中会随点P的移动而变化的是（）
A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN＝AB，从而判断出①不变；再根据三角形的周长的定义判断出②是变化的；确定出点P到MN的
距离不变，然后根据等底等高的三角形的面积相等确定出③不变；根据平行线间的距离相等判断出④不变；根据角的定义判断出⑤变化．
【解答】解：∵点A，B为定点，点M，N分别为P A，PB的中点，
∴MN是△P AB的中位线，
∴MN＝AB，
即线段MN的长度不变，故①错误；
P A、PB的长度随点P的移动而变化，
所以，△P AB的周长会随点P的移动而变化，故②正确；
∵MN的长度不变，点P到MN的距离等于l与AB的距离的一半，
∴△PMN的面积不变，故③错误；
直线MN，AB之间的距离不随点P的移动而变化，故④错误；
∠APB的大小点P的移动而变化，故⑤正确．
综上所述，会随点P的移动而变化的是②⑤．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
11．化简：（）2＝5，＝．
【分析】直接利用二次根式的性质化简得出答案．
【解答】解：（）2＝5，＝＝．
故答案为：5，．
12．写出“全等三角形的面积相等”的逆命题面积相等的三角形全等．【分析】首先分清题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，把题设与结论互换即可得到逆命题．
【解答】解：“全等三角形的面积相等”的题设是：两个三角形全等，结论是：面积相等，因而逆命题是：面积相等的三角形全等．
故答案是：面积相等的三角形全等．
13．已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是斜边AC的中点，若BD＝3cm，则AC＝6cm．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AC＝2BD．
【解答】解：∵D是斜边AC的中点，
∴AC＝2BD＝2×3＝6cm．
故答案为：6cm．
14．计算：＝2018．
【分析】先根据完全平方公式得到原式＝，然后根据二次根式的性质计算．【解答】解：原式＝
＝
＝2019﹣1
＝2018．
故答案为2018．
15．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝25，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为1．
【分析】观察图形可知，小正方形的面积＝大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2＝25，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：
∵（a+b）2＝25，
∴a2+2ab+b2＝25，
∵大正方形的面积为13，
∴2ab＝25﹣13＝12，
∴小正方形的面积为13﹣12＝1，
故答案为：1．
16．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，P、Q分别为AC、AD上的动点，连接DP、PQ，则DP+PQ的最小值为．
【分析】如图作DM⊥AB于M．首先利用面积法求出DM的值，作点Q关于直线AC的对称点Q′，则PQ＝PQ′，推出PD+PQ＝PD+PQ′，推出当D、P、Q′共线时，且垂直AB时，DP+PQ′的值最小，最小值＝DM；
【解答】解：如图作DM⊥AB于M．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝4，OB＝OD＝3，
∴AB＝＝5，
∵•AB•DM＝•BD•AO，
∴DM＝＝，
作点Q关于直线AC的对称点Q′，则PQ＝PQ′，
∴PD+PQ＝PD+PQ′，
∴当D、P、Q′共线时，且垂直AB时，DP+PQ′的值最小，最小值＝DM＝，故答案为．
三．解答题（共9小题）
17．计算：2
【分析】首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式．
【解答】解：原式＝4﹣2+3＝5．
18．先化简，再求值：（m﹣）（m+）﹣m（m﹣6），其中m＝．【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘以多项式运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝m2﹣3﹣（m2﹣6m）
＝m2﹣3﹣m2+6m
＝6m﹣3，
当m＝时，
原式＝6﹣3．
19．如图，在▱ABCD中，DB＝CD，∠C＝70°，AE⊥BD于点E．试求∠DAE的度数．
【分析】要求∠DAE，就要先求出∠ADB，要求出∠ADB，就要先求出∠DBC．利用DB ＝DC，∠C＝70°即可求出．
【解答】解：∵DB＝DC，∠C＝70°，
∴∠DBC＝∠C＝70°，
由AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DBC＝70°，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
那么∠DAE＝90°﹣∠ADE＝20°
故∠DAE的度数为20°．
20．将▱ABCD放在平面直角坐标系中，对角线AC，BD交于坐标原点O，B（﹣4，﹣3），C（0，﹣3），请根据要求画出图形，并求出▱ABCD的面积和周长．
【分析】根据B（﹣4，﹣3），C（0，﹣3）得到BC＝4，OC＝3，根据平行四边形的性质得到OA＝OC＝3，AD＝BC＝4，AB＝CD，于是得到▱ABCD的面积＝BC×AC＝4×6＝24；由勾股定理得到AB＝＝2，于是求得▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝4+8．
【解答】解：如图所示，∵B（﹣4，﹣3），C（0，﹣3）
∴BC＝4，OC＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝3，AD＝BC＝4，AB＝CD，
∴AC＝6，
∵BC⊥AC，
∴▱ABCD的面积＝BC×AC＝4×6＝24；
∵AB＝＝2，
∴▱ABCD的周长＝2（AB+BC）＝4+8．
21．如图，已知正方形CDEF的面积为169cm2，且AC⊥AF，AB＝3cm，BC＝4cm，AF＝12cm，试判断△ABC的形状，并说明你的理由．
【分析】首先根据正方形的面积求出FC的长，再在Rt△ACF中利用勾股定理求出AC 的长，然后根据勾股定理逆定理证明．
【解答】解：△ABC是直角三角形，理由如下：
∵正方形CDEF的面积是169 cm2，
∴FC＝13 cm，
在Rt△ACF中，由勾股定理得，
AC2＝CF2﹣AF2＝132﹣122＝25，
在△ABC中，
∵AB2+BC2＝32+42＝25＝AC2，
∴△ABC是直角三角形．
22．如图，四边形ABCD中，AD＝BC，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，判断四边形EFGH是何种特殊的四边形，并说明你的理由．
【分析】根据三角形中位线定理得到GH∥AD，GH＝AD，EF∥AD，EF＝AD，EH ＝BC，根据菱形的判定定理证明结论．
【解答】解：四边形EFGH是菱形，
理由如下：在△ACD中，G、H分别是CD、AC的中点，
∴GH∥AD，GH＝AD，
在△ABD中，E、F分别是AB、BD的中点，
∴EF∥AD，EF＝AD，
∴GH∥EF，GH＝EF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
在△ABC中，E、H分别是AB、AC的中点，
∴EH＝BC，
∵AD＝BC，
∴EF＝EH，
∴四边形EFGH是菱形．
23．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；
（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE＝x，则DE＝x，AE＝6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，
∴x2＝42+（6﹣x）2，
解得：x＝，
∵BD＝＝2，
∴OB＝BD＝，
∵BD⊥EF，
∴EO＝＝，
∴EF＝2EO＝．
24．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b 满足b＝++16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C 运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．
【分析】（1）根据二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；
（2）由题意得：QP＝2t，QO＝t，PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，根据平行四边形的判定可得21﹣2t＝16﹣t，再解方程即可；
（3）①当PQ＝CQ时，122+t2＝（16﹣t）2，解方程得到t的值，再求P点坐标；②当PQ＝PC时，由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，进而得到方程t＝16﹣2t，再解方程即可．【解答】解：（1）∵b＝++16，
∴a＝21，b＝16，
故B（21，12）C（16，0）；
（2）由题意得：AP＝2t，QO＝t，
则：PB＝21﹣2t，QC＝16﹣t，
∵当PB＝QC时，四边形PQCB是平行四边形，
∴21﹣2t＝16﹣t，
解得：t＝5，
∴P（10，12）Q（5，0）；
（3）当PQ＝CQ时，过Q作QN⊥AB，
由题意得：122+t2＝（16﹣t）2，
解得：t＝，
故P（7，12），Q（，0），
当PQ＝PC时，过P作PM⊥x轴，
由题意得：QM＝t，CM＝16﹣2t，
则t＝16﹣2t，
解得：t＝，2t＝，
故P（，12），Q（，0）．
25．已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF＝BC﹣CD．
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝45°，再根据正方形的性质可得AD＝AF，∠DAF＝90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD＝∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB＝90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD＝CF，从而求出CF＝BC﹣CD；
（2）与（1）同理可得BD＝CF，然后结合图形可得CF＝BC+CD；
（3）①与（1）同理可得BD＝CF，然后结合图形可得CF＝CD﹣BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB＝45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD＝135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD＝∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF＝∠ABD，再求出∠FCD＝90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC＝DF，再根据正方形的对角线相等求出OC＝OA，从而得到△AOC是等腰三角形．
【解答】（1）证明：①∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝90°，
∠DAF＝∠CAF+∠DAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝45°，
∴∠ACF+∠ACB＝90°，
∴BD⊥CF；
②由①△BAD≌△CAF可得BD＝CF，
∵BD＝BC﹣CD，
∴CF＝BC﹣CD；
（2）与（1）同理可得BD＝CF，
所以，CF＝BC+CD；
（3）①与（1）同理可得，BD＝CF，
所以，CF＝CD﹣BC；
②∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
则∠ABD＝180°﹣45°＝135°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝∠BAF+∠CAF＝90°，
∠DAF＝∠BAD+∠BAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
在△BAD和△CAF中，，∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠ABD＝180°﹣45°＝135°，∴∠FCD＝∠ACF﹣∠ACB＝90°，
则△FCD为直角三角形，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴OC ＝DF，
∵在正方形ADEF中，OA ＝AE，AE＝DF，
∴OC＝OA，
∴△AOC是等腰三角形．
21。