经典傅里叶变换讲解ppt课件

)dt
t2 t1
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
6
或
f
(t )
a0 2
(an
n 1
cos n1t
bn
sin n1t)
傅里叶级数的 三角展开式
2
an t2 t1
t2 t1
f (t )cos(n1t )dt
同上式
另一种形式
f
(t )
a0 2
cn
n 1
cos(n1t
n )
t
T 4
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 4
Sa( n
4
)
第一个过零点为n =4 。 Fn 在 2π/ 有 4值1（谱线）
T
f (t)
1
2
o
2
谱线间隔 2π T
1 Fn
4
2
O
T
t
第一个过零点：
Sa(
2
)
0
π 2
2π
23
情况2：
T 8
,
Fn
T
Sa( n
T
)
1 8
Sa( n
8
)
第一个过零点n=8
2
)
21
（2）双边频谱：
1
Fn T
/2
e jn1 tdt
1
e jn1 t
/2
2
sin
n1 2
b
b2 4ac
/ 2
T jn1 / 2 T n1
2a
T
sin
n1 2
n1
2
T
Sa( n1
2
),
n 0, 1, 2,
包络线
频谱图随参数的变化规律： 1）期T不变，脉冲宽度变化
22
情况1：
（2）f (t在) 区间内有有限个间断点；
（3）f (t在) 区间内有有限个极值点。
Direchlet条件
傅里叶级数存 在的充要条件
8
3.2.2 傅里叶级数的复指数形式
1. 从三角函数形式的傅里叶级数推导
利用欧拉公式:
cos(n1t
n )
ej(n1t n )
e j(n1t n ) 2
f
(t )
称为傅里叶级数
系
an
f t2
t1 t2
t1
(t) cos(n1t)dt cos2 (n1t)dt
t2
t2
2 t1 1 t1
t2 t1
f
(t) cos(n1t)dt,
t2 f (t)dt , n 0
t1
n0
数
bn
t2 t1
f (t) sin(n1t)dt
2
t2 t1
sin
2
(n1t
脉冲宽度缩小一倍
f (t) 1
T
2
o
2
T
t
谱线间隔不变 2π
T
Fn
1 8
幅值减小一倍 第一个过零点增加一倍
o 2π
24
情况3：
T, 16
Fn
T
Sa( n
T
)
1 16
Sa( n )
16
第一个过零点为n =16。
脉冲宽度再缩小一倍
f (t)
1
T
2
o
2
谱线间隔不变 2π
T
1 Fn
16
示意图
f (t )cos(n1t )dt
j2 T
t2 t1
f (t )sin(n1t )dt
2 T
t2 t1
f (t)[cos(n1t ) jsin(n1t)]dt
2 T
t2 f (t )e jn1tdt
t1
2. 直接从复变正交函数集推导 将原函数 f (t)在复变正交函数空间
{ej(n1t) n 1, 2, }中展开，有
(t)
1 T0
2 T0
cos n0t
n1
12
例 求下图中三角波的三角傅里叶级数。
解 （1）将周期函数 f (t)在 t [0,T0 ]内的函数记为
f1
(t
)
(
A
A T0
t
)
u
(t
)
u(t
T0
)
f (t)
A
则 f (t) 为 f1(t) 的周期延拓，即
-T0 O T0 2T0 t
f
(t)
n
f1(t
表示信号含有的各个频率分量 的相位。其横坐标为频率；纵坐 标对应各频率分量的相位 （n 单 位常用度或弧度）。
20
例
f
(t
)
1,
kT t kT
2
2
，求频谱
0,
其它
f (t) 1
T
2
o 2
T
t
解 （1）单边频谱：
An
4
n1T
sin( n1
2
),
2 ,
T
n 0
n0
2
T
Sa( n1
1. 周期矩形脉冲信号 (1) 周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解
设周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1
f (t)
E
T1
/ 2 o / 2
T1 t
f (t) E[u(t ) u(t )], T1 t T1
2
2
2
2
32
f (t)是偶函数
a0
E
T1
,
bn 0,
周期信号 非周期信号；离散频谱 连续频谱
30
3.4.2 常见周期信号的频谱
典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅 里叶变换。典型周期信号如下：
1. 周期矩形脉冲信号 2. 周期对称方波信号 3. 周期锯齿脉冲信号 4. 周期三角脉冲信号 5. 周期半波余弦信号 6. 周期全波余弦信号
31
Fn
e
jn t
1
a0
an
cos(n t 1
)
bn
sin(n 1
t
)
nN
n1
n1
用MATLAB的符号积分函数int()可表示上式。格式为： （1）intf=int(f,v) ； 给出符号表达式f对指定变量v的 （不带积分常数）不定积分； （2）intf=int(f,v,a,b) ； 给出符号表达式f对指定变量v 的定积分。
nT0 )
n
[ A
A T0
(t
nT0 )][u(t
nT0 )
u(t
(n
1)T0 )]
将 f (t) 去除直流分量，则仅剩交流分量 fAC (t)
13
fAC (t)
f
(t)
A [u(t
T n 0
nT0 ) u(t
(n 1)T0 )]
n
[
A
A T0
(t
nT0
)]{
(t
nT0
备正交函数的三个条件：
1. 归一化：
t2 t1
fi (t) fi*(t)dt
1
2. 归一正交化：
t2 t1
fi
(t)
f
* j
(t
)dt
0，
i
j
3. 归一化完备性：可以用其线性组合表示任意信号
3
3.2.1 傅里叶级数的三角形式
设三角函数的完备函数集为：
{1, cos1t,sin 1t, cos 21t,sin 21t, , cos k1t,sin k1t, }
n=1
n>1
直流分量 基波分量 n次谐波分量
7
式中，n
arctan
bn an
cn
an2
bn2
Opposite Hypotenuse
为n次谐波初始相位。 为n次谐波振幅。
！ 并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开！
f (t)可展开为傅里叶级数的条件：
（1）f (t绝) 对可积，即：t2 f (t) dt t1
1 2
[cne j(n1t n ) ]
n
1 2
[ Ane j(n1t ) ]
n
式中
An cne jn an2 bn2 (cosn jsinn ) 复指数
幅度 cn an2 bn2
n
arctan( bn an
)
相位
9
An 的具体求法如下：
2
An an jbn T
t2 t1
！ 利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将
其直流分量去掉，以免发生误判。
18
例 已知奇谐函数：
解
f (t) E
2
f (t) E
2
f (t)
E
cos(1t
T1 2
)
2
T1
o
T1
t
2
E2
f (t)
2
f (t T1 )
2
T1
o
2
sin1t
E 2
T1 t
T1
o
2 sin(1t
T1 2
)
2
cos1t
16
3.3 周期信号的对称性
1．纵轴对称性 （1）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有 直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。 （2）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有
正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。
定义：
奇谐函数
偶谐函数
满足 f (t T / 2) f (t) 的周期为T 的 函数；即平移半个周期后的信号与原 信号关于横轴对称。
)
(t
(n
1)T0
)}
A T0
A
n
(t
nT0
)
A T0
A( 1 T0
2 T0
cos n0t)
n1
2A T0
cos n0t
n1
fAC (t)
2A T0
n1
t
cos n0 d
A π
n1
sin n0t
n
fD A / 2
故
f (t) A A sin n0t
2 π n1 n
T
t
幅值再减小一倍
o
2π
第一个过零点再增加一倍
25
结论
• 由大变小，Fn 第一过零点频率增大，即
所以
称为信号的带宽， 确定了带宽。
• 由大变小，频谱的幅度变小。
• 由于 T 不变，谱线间隔不变，即 2π /T 不变。
26
2）脉冲宽度不变, 周期T变化
情况 1：
时，谱线间隔
第一个过零点
谱线间隔 2π π
其中
1
2π T
2π t2 t1
三角函数集也可表示为：
周期的终点
周期的起点 周期 基频
{cos(n1t),sin(n1t) n 0,1, 2, }
4
满足： （1）正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有
t2 t1
cos(n1t) sin(m1t)dt
0
t2
t1
t2
t1
cos(n1t) cos(m1t)dt 0 sin(n1t) sin(m1t)dt 0
,
mn
（2）“单位”常数性，即当 n 0时，有
t2 t1
cos2 (n1t)dt
t2 t1
sin
2
(n1t
)dt
T 2
t2
t1 2
t2 1dt t1
T
t2
t1
5
可以将“任意”周期函数f (t) 在这个正交函数集中展开为
f (t) a0 (an cos n1t bn sin n1t) n1
满足 f (t T / 2) f (t) 的周期为T 的 函数；即平移半个周期后信号与原信 号重合。
17
2．横轴对称性 （1）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。 （2）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。
如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那 么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分 量也包含有偶次谐波分量。
傅里叶的两个最主要的贡献：
（1）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的 加权和”;
（2）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表
示”.
2
3.2 周期信号的傅里叶分析
三角函数 1, cost,sin t, cos 2t,sin 2t, , cos kt,sin kt, 就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完
第3章 傅里叶变换
重点：
1.傅里叶级数定义及适用条件 2.常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱 3.傅里叶变换的定义及适用条件及性质 4.周期信号的傅里叶变换 5.抽样定理 6.功率频谱与能量频谱 7.系统频域分析法 8.希尔伯特变换
1
3.1 傅里叶变换的产生
傅里叶1768年生于法国,1807年提 出“任何周期信号都可用正弦函数 级数表示”, 1822年在“热的分析 理论”一书中再次提出。1829年 狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。 傅里叶变换得到大规模的应用，则 是到了上世纪60年代之后。
14
（2）利用直接法求解
10 A
A
a0 T0
tdt
T T0
0
2
an 0
bn
2 T0
0 T0
A T0
t
sin
n0tdt
A nπ
故
f (t) A A sin n0t
2 π n1 n
15
3.2.3 傅里叶级数的MATLAB仿真实现
常称为f(t)的截断傅里叶级数表示式。
N
N
N
f (t)
周期T再扩展一倍
f (t) 1
2T
T
2
o
2
谱线间隔再减小一倍
Fn
11 1 68
Fn
示意图
T
2T t
幅值再减小一倍
0 0
2π
2
第一个过零点不变
29
结论
• 不变，Fn 的第一个过零点频率不变，即
带宽不变。
• T 由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。 • T 时，谱线间隔 0 ，这时：
E 2
T1 t 2
f (t) E
2
f (t) E 2
T1
o
2
E
sin 21t 2
T1 t 2
T1
o
T1
t
2
E2
cos 21t
2
19
3.4 常见周期信号的频谱
3.4.1 频谱的概念
振幅频谱
频 （幅频特性图） 谱 图
相位频谱
（相频特性图）
表示信号含有的各个频率分量 的幅度值。其横坐标为频率 （单位为赫兹），纵坐标对应各 频率分量的幅度值 。Fn
T 2
f (t) 1
T
2
o
2
T
示意图
t
1 4
Fn
幅值:
F0
T
Sa(0)
1 4
0
2π
第一个过零点
27
情况 2：
时，谱线间隔
第一个过零点
周期T扩展一倍
f (t)
1
T 谱线间隔减小一倍
o
2
1
F2n
4
1
Fn
8