高二数学上册 7.3《等比数列的前N项和》教案(2) 沪教版

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7.3(4)等比数列的前n项和(2)

一、教学内容分析

7.3(3)主讲等比数列求和公式的推导方法及基本应用,7.3(4)重点讲公式的应用,突出求和公式在生活实际中的应用.

公式的回顾,从等比数列定义出发,挖掘等比数列的特点,强化错位相减的目的性,渗透“类比”、“方程”等数学思想方法;补充例1,加强公式的灵活运用,引导学生探究题目内在的特征,并进行归纳、推广;补充例2把握准阅读理解,实施文字语言向数学语言的转化,突破数学建模这一难关,使学生认识到数学源于实际,用于实际,不断提高学习数学的兴趣.

二、教学目标设计

1.准确、熟练、灵活运用等比数列前n项和的公式,并能运用公式解决实际问题;

2.形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数

学思想方法;

3.营造探究的气氛,激发求知的欲望,逐步养成严谨的思维习惯.

三、教学重点及难点

等比数列前n项和公式的应用

实际问题数学化

四、教学用具准备

多媒体

五、教学流程设计

六、教学过程设计

1.公式回顾

(1

① 错位相减(突出错项相减的目的性)

② 方程思想111()n n n n S a qS a q S a -=+=+- (突出构造方程的思想)

③ 定义出发运用等比定理(突出转化思想)

(2)公式的再认识 111(1)11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩

①公式的形式(分类思想)

②公式的应用(方程思想)

(3)巩固练习 ①求和1111393

n ++++ (突出项数变化) ②求和2335(21)n x x x n x +++

- (培养观察的意识,突出分类思想)

2.公式应用 例1.已知等比数列{}n a 中, 4820,1640S S =-=-,求12S .

设问1:能否根据条件求1a 和q ? 如何求? 一定要求q 吗?(基本量的确定)

设问2:等比数列中每隔4项的和组成什么数列? (探究等比数列内在的联系)

设问3:若题变: 数列{}n a 是等比数列,且2,,(0)n n S a S b ab ==≠求3n S

22

2322,()()n n n n n n n n n S S b a b a a ab b q S S S S q b b a S a a a

----+===+-=+-= 引导学生归纳:若{}n a 是等比数列,公比为q,则每隔n 项的和组成一个首项为n S ,公比为n q 的等比数列.(学生类比等差数列相关结论)

[说明]解题首先考虑的是通法,先确定基本量1,a q 然后再求和,其次分析题目的特点、内

在结构,探索规律,并从特殊向一般推广,注意培养学生思维的严谨性.

例2.某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定,购买时先支付货款的3

1,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为0.5%

(1) 到第一个月底,货主在第一次还款之前,他欠商店多少元?

(2) 假设货主每月还商店a 元,写出在第i(i=1,2, 36)个月末还款后,货主

对商店欠款数的表达式.

(3) 每月的还款额为多少元(精确到0.01)?

引导学生,认真阅读题目,理解题意,

月底等额还款,即每月末还款数一样,

第i 个月底还款后的欠款数i y 与第i-1个月底还款后的欠款数1i y -的关系是1(10.05%)i i y y a -=+-,(学生分析)

三年内还清转化为数学语言是: 360y =

解(1)因为购买电脑时,货主欠商店32的货款,即60003

2⨯=4000(元),又按月利率0.5%到第一个月底的欠款数应为4000(1+0.5%)=4020(元).即到第一个月底,欠款余额为4020元.

(2)设第i 个月底还款后的欠款数为y i ,则有

y 1=4000(1+0.5%)-a

y 2=y 1(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)2-a (1+0.5%)-a

y 3=y 2(1+0.5%)-a

=4000(1+0.5%)3-a (1+0.5%)2-a (1+0.5%)-a

y i =y 1-i (1+0.5%)-a =4000(1+0.5%)i -a (1+0.5%)

1-i -a (1+0.5%)

2-i - -a ,

整理得 y i =4000(1+0.5%)i -%5.01%)5.01(-+i a .(i =1,2,, 36) (3)因为y 36=0,所以

4000(1+0.5%)36-%5.01%)5.01(36-+a =0 即每月还款数

a =69.1211

%)5.01(%5.0%)5.01(40003636≈-+⋅+(元) 所以每月的款额为121.69元.

[说明] 解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读,准确理解题意,尤其是一些关键词:”等额还款”,”月利率”,”第i 个月末还款后欠款表达式”等;

理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化,建立数学模型,再用数学知识解决问题,并

使原问题得到尽可能圆满的解答.

3.课堂练习

1.如果将例4的还款期限从三年改为一年,其他条件不变,那么每次付款额a 将是多少?

2.一套住房的建筑面积为100平方米,房价为9000元/平方米.买房者若先付房价的31,其余款进行商业贷款,次月开始还贷款,按每月等额还款的方式十年还清欠款,贷款十年的月利率是0.54%.按月结息,买房者每月应还款多少元?(精确到元)

数学建模的方法;

关注学生解题的规范性,准确度及速度.

4.课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)

(1)主要内容:公式的灵活运用,求和公式解决应用问题;

(2)数学思想方法:分类讨论、方程、转化与化归等.

5.作业

习题7.3 A 组 11 12

习题7.3 B 组 9 10

七、教学设计思想

数列求和问题中,蕴涵着许多重要数学思想方法.如方程思想,函数思想,递推,归纳,分类讨论等.数学教学既要使学生获得知识,更重要的是通过知识获得的过程来发展学生的思维能力.等比数列前n 项和公式第(1)节课主要是公式的推导和基本应用,第(2)节课侧重于公式的灵活应用及应用公式解决实际问题,该节内容是发展学生应用能力、渗透数学思想方法的很好素材.

公式的回顾主要再现公式推导思路,强化方法,巩固练习突出项数变化,分类讨论思想,补充的例1可以用通法先确定基本量再求和,但根据该题的结构特点,教师为学生探究学习创设平台,鼓励学生发现规律,推广结论,严格推理,使学生的思维向深层次发展;例2较抽象, 教师设计了三个设问,教学生如何理解题意,把文字语言转化为数学语言,把实际问题抽象成数学问题,把复杂问题转化成简单问题,强化学生应用的意识.

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