工程力学-位移法计算超静定结构
高等工程力学1 超静定结构内力计算
M i 、Qi、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在 要求位移的截面上的；
—RK—基本体系支座k在单位力作用下的反力；
cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M
第八章位移法
8
r22
Z2 1
2
M1 图
2 令EI=4
解： n 2
iAB 1.6
iBC 2
iBD iCE 1
50
60 50
60
R1 p
120
R2 P
R1=0 R2=0
r11Z1 r12 Z 2 R1 p 0 r21Z1 r22 Z 2 R2 p 0
M P图
r11 6i
R1 p 24
代入（8-4）式可得
4 Z1 i
4.计算基本未知量
4 Z1 i
（实际为转角 A ）
M M1Z1 M P
5.采用叠加法绘最后内力图 3i r11
A B
120
96
A
Z1 1
R1P
C
C
96
M p图
B
160
3i
M1 图
108
4 M BA 3i 96 108kN m i 4 M BC 3i 120 108kN m i
两端固定的情况
M AB 4i A 2i B M BA
一端固定一端铰支情况
6i F AB M AB l 6i F 2i A 4i B AB M BA l
F F M AB M BA ------固端弯矩
A
B
6i Fl M BA 2i A 4i B AB 0 l 8 1 3i 1 F B ( A AB M BA ) 2 l 2i
基本结构
EI
n4
EI
n3
B A
C
D
G
F
n6 E
(整理)力法求解超静定结构的步骤：.
第八章力法本章主要内容1）超静定结构的超静定次数2）力法的解题思路和力法典型方程（显然力法方程中所有的系数和自由项都是指静定基本结构的位移，可以由上一章的求位移方法求出（图乘或积分））3）力法的解题步骤以及用于求解超静定梁刚架桁架组合结构（排架）4）力法的对称性利用问题，对称结构的有关概念四点结论5）超静定结构的位移计算和最后内力图的校核6）§8-1超静定结构概述一、静力解答特征：静定结构：由平衡条件求出支反力及内力；超静定结构的静力特征是具有多余力，仅由静力平衡条件无法求出它的全部（有时部分可求）反力及内力，须借助位移条件（补充方程，解答的唯一性定理）。
二、几何组成特征：（结合例题说明）静定结构：无多余联系的几何不变体超静定结构：去掉其某一个或某几个联系（内或外），仍然可以是一个几何不变体系，如桁架。
即：超静定结构的组成特征是其具有多余联系，多余联系可以是外部的，也可能是内部的，去掉后不改变几何不变性。
多余联系（约束）：并不是没有用的，在结构作用或调整结构的内力、位移时需要的，减小弯矩及位移，便于应力分布均匀。
多余求知力：多余联系中产生的力称为三、超静定结构的类型（五种）超静定梁、超静定刚刚架、超静定桁架、超静定拱、超静定组合结构四、超静定结构的解法综合考虑三个方面的条件：1、平衡条件：即结构的整体及任何一部分的受力状态都应满足平衡方程；2、几何条件：也称变形条件、位移条件、协调条件、相容条件等。
即结构的变形必须符合支承约束条件（边界条件）和各部分之间的变形连续条件。
3、物理条件：即变形或位移与内力之间的物理关系。
精确方法：力法（柔度法）：以多余未知力为基本未知量位移法（刚度法）：以位移为基本未知量。
力法与位移法的联合应用：力法与位移法的混合使用：混合法近似方法：力矩分配法、矩阵位移法、分层总和法、D值法、反弯点法等本章主要讲力法。
五、力法的解题思路（结合例子）把不会算的超静定结构通过会算的基本结构来计算。
浅析超静定结构计算中力法与位移法的异同
浅析超静定结构计算中力法与位移法的异同作者：赵浩楠来源：《科学与财富》2019年第17期摘要：力法和位移法是结构力学中计算超静定结构的两种基本方法，这两种计算方法既有相同之处，又有不同之处，本文从二者的基本原理、基本未知量、基本体系及典型方程等方面对比分析力法与位移法在结构计算中的异同。
关键词：超静定结构；力法；位移法；异同在实际工程计算中，大多数结构都是超静定的，结构力学计算通常包括两个部分：内力计算和位移计算，力法和位移法在结构力学中是计算超静定结构的两种基本方法，二者既有相同的地方也有许多不同之处。
相同之处在于二者的分析依据相同，并且最终目的都是为了求解出结构的内力和支座反力；不同之处主要是在于两者的基本原理、基本未知量、基本体系和典型方程不同。
1 力法与位移法对比分析之同1.1 分析依据超静定结构计算中，力法和位移法是常用的两种计算方法。
所谓的超静定结构即指具有多余约束的几何不变体系、基于静力平衡条件不能唯一确定内力和反力的结构。
力法和位移法不仅考虑静力平衡条件，还考虑了变形协调条件及物理条件，从而对超静定结构进行求解。
1.2 目的力法和位移法都是综合利用静力平衡条件、变形协调的几何条件、应力与应变间本构关系的物理条件，根据各自的简单基本结构和关于基本未知量的基本方程，先求解出基本未知量，再求出剩余未知量，最终求解出实际工程中常见的超静定结构各截面的内力和支座反力。
力法和位移法都是综合利用静力平衡条件、变形协调及物理关系三个方面的条件，使各自基本体系与原结构的受力、变形情况一致，从而应用基本体系建立相应的典型方程以达到分析原结构的目的。
2 力法与位移法对比分析之异2.1 基本原理结构在一定的荷载作用下，其内力与位移有一定的关系，简单来说，在分析超静定结构时，力法是先求出结构内力，然后计算其相应的位移；而位移法是先确定位移，再根据位移求出结构内力。
力法的基本原理是：通过撤除多余约束把多余未知力作为基本未知量，将分析超静定结构转化为分析相应的基本结构，然后根据多余约束处的变形协调条件（位移条件）建立力法基本方程，求出基本未知量后即可通过静力平衡条件求出结构的全部内力。
结构力学_11超静定结构-位移法
§11.3 位移法的基本未知量和基本体系
1、结点角位移数：
结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
2、结构独立线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
（1）忽略轴向力产生的轴向变形 （2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
C
C
D
D
A
B
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的
基本方法 （手算）
机算
力法
位移法
矩阵 力法
力矩分配法
矩阵 位移法
力法几次9超次静定?
位移法几1次次超静定?
§11.1
P C θA
θA
位移法的基本概念
B
A
附加
刚臂 C
P B
附加刚臂限制结
点位移，荷载作
A 用下附加刚臂上
产生附加力矩
C θA
B
θA
施加力偶使结点产 生的角位移，以实
A 现结点位移状态的
一致性。
D
2
C
F22
A
D
A
D
Fk1111
2i B
1 =1
i
A
C
kF2211
Fk122
B
i
D
A
建立基本方程
F11+F12+F1P=0………………(1a) F21+F22+F2P=0………………(2a)
k111 + k122 +F1P =0………..(1) k211 + k222 +F2P =0………..(2)
土木工程力学网上形考专业04全部选择题和判断计算
土木工程力学作业04任务一、单项选择题（共10 道试题，共30 分。
）1. 位移法典型方程实质上是(A ）A。
平衡方程B。
位移条件C。
物理关系D。
位移互等定理2 用位移法计算超静定结构时，独立的结点角位移数等于（ B ）A。
铰结点数B。
刚结点数C。
多余约束数D。
不确定3。
用位移法解超静定结构其基本未知量的数目（ A )A。
与结构的形式有关B。
与多余约束的数目有关C。
与结点数有关D. 与杆件数有关4。
用位移法计算超静定结构时，其基本未知量为（D ）A. 多余未知力B。
杆端内力C。
杆端弯矩D。
结点位移5。
在位移法计算中规定正的杆端弯矩是（A )A。
绕杆端顺时针转动 B. 绕结点顺时针转动C。
绕杆端逆时针转动D。
使梁的下侧受拉6位移法典型方程中的系数代表在基本体系上产生的( C）A. B. C. 第i个附加约束中的约束反力 D. 第j个附加约束中的约束反力7 位移法基本方程中的自由项，代表荷载在基本体系作用下产生的( C )A. B. C. 第i个附加约束中的约束反力 D。
第j个附加约束中的约束反力8 图示超静定结构结点角位移的个数是（ C ）A。
2 B。
3 C。
4 D. 59. 图示超静定结构结点角位移的个数是( B )A。
2 B。
3 C. 4 D。
510. 图示超静定结构，结点线位移（独立）的个数是( B ）A。
0 B. 1 C. 2 D。
311。
图示超静定结构独立结点角位移的个数是（B)A。
2 B。
3 C。
4 D。
512. 用位移法求解图示结构时，基本未知量的个数是( B)A。
8 B. 10 C。
11 D。
1213。
用位移法求解图示结构时，基本未知量个数是( B )A. 1 B。
2 C. 3 D。
414。
图示结构位移法方程中的系数＝（D ）A. 11B. 5C. 9 D。
815 图示结构位移法方程中的系数＝( C )A. 3 B。
8 C。
15 D。
1316。
图示结构位移法方程中的自由项=（ B ）A。
结构力学 超静定结构计算)
0 0
(0)
(0)
0
00
0
绘M 图
17.67
3.17
(12)
D
A
B
C
1.9
M 图(kN·m)
21.6
【例】试用力矩分配法作图示刚架的弯矩图。
M
A
B
M/2
解：运算过程如图所示
运算过程
M图(kN·m)
本节小结
一、转动刚度S：
远端固定：S = 4i 远端铰支：S = 3i 远端滑动 S = i 远端自由 S = 0
锁住1结点，用单结点 的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分 配。
第八章渐近线法及其他算法简述
§1 力矩分配法的基本概念 §2 多结点的力矩分配 §3 对称结构的计算 §4 无剪力分配法 §5 力矩分配法与位移法联合应用
渐近法有力矩分配法、无剪力分配法、迭代法等，它们 都是位移法的变体，其共同的特点是避免了组成和解算 典型方程，也不需要计算结点位移，而是以逐次渐近的 方法来计算杆端弯矩，计算结果的精度随计算轮次的增 加而提高，最后收敛于精确解。这些方法的物理概念生 动形象，每轮计算都是按相同步骤进行，易于掌握，适 合手算，并可不经过计算结点位移而直接求得杆端弯矩。 因此，在结构设计中得到广泛应用。在连续梁及无侧移 刚架中应用十分广泛。
超静定结构的计算方法: 力法、位移法
力法计算步骤
位移法计算步骤
1、选取基本体系
1、设基本未知量
2、列力法方程
2、列杆端弯矩方程
3、计算系数及自由项 3、列位移法方程
4、解方程 5、作内力图
4、解方程 5、求杆端弯矩
6、做内力图
为避免解力法和位移法方程，引入一种近似的计 算方法，这种方法是位移法的延伸，在计算过程 中进行力矩的分配与传递。
超静定结构内力计算.pptx
μ
MBC= 0.429×(－24) = －10.3kNm
传递弯矩：
c MCB= 0
c
MAB= 0.5×(－13.7) = －6.85kNm
最后杆端弯矩：
MCB= 0
MAB= MFAB＋ MCAB = －66.85kNm
MBA= MFBA＋ MμBA = 46.3kNm
MBC= MFBC＋ MμBC = －46.3kNm
M
f AB
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
P A
3 Pl 16
B
M
f BA
3 16
Pl
1 ql2 8
A
B
M
f AB
1 8
ql 2
M
f BA
1 8
ql 2
第17页/共24页
1、计算各杆的固端 弯矩Mf
MfAB=0
M
f BA
1 8
ql 2=1/8×4×62=18
MfBC=-1/8PL=-1/8×30×6=-22.5 MfCB=1/8PL=1/8×30×6=22.5
所以，结点角位移的数目 等于该结构的刚结点数！
由于A、B、C为固定端支座，所以 其位移均已知为零，不需作为未知量； 而同一刚结点处各杆的杆端转角相等， 所以每个刚结点处只有一个独立的结 点转角未知量。故上图刚架只有一个 结点转角未知量。
第5页/共24页
2、独立结点线位移
在微弯状态下，假定受弯直杆两端之间距离在变形 前后保持不变，即杆长保持不变。
A
SAB = 3 i
B
A
SAB = i
θ =1
= B
A
B
当θ ≠ 1时: MAB = SAB θ
结构力学位移法
P A
MAB0
B MBA0
2、剪力：QAB表示AB杆A端的剪力。正负号规定同 “材力”。 P A
QAB0
B QBA0
静超静定结构计算——位移法
3、固端弯矩、固端剪力：单跨超静定梁仅由于荷载作 用所产生的杆端弯矩称为固端弯矩，相应的剪力称为固端 剪力。用MAB、MBA、QAB、QBA表示。
EI EI EI f 三、两端固定梁的转角位移方程 M AB 4 A 2 B 6 M AB
A D
B
C
1、写出杆端力的表达式( Z1 B , Z2 c ) ：
M AB 2 M BA M BC EI 30 6 Z1 l 8 EI 30 6 4 Z1 l 8 EI EI 4 Z1 2 Z2 l l
M CB 2 M CD M DC EI EI Z1 4 Z2 l l EI 10 6 2 3 Z2 l 8 0
2 EI 4 EI Z Z 2 22.பைடு நூலகம் 0 1 3 3 2 EI Z 7 EI Z 45 0 1 2 6 3
28.56 Z 1 EI Z 46.73 2 EI
解方程，求得
静超静定结构计算——位移法 2、根据平衡条件列位移法方程 ：
MCB C MCD 30kN B QBA
C QCD
M CB M CD 0 QBA QCD 30 0
即：
3i ( 3 iZ ) ( 4 iZ Z2 ) 0 1 1 2 ( 3i Z 30) ( 3i Z 3i Z ) 0 1 2 16 2 2 4
4、确定线位移的方法
（1）由两个已知不动点所引出的不共线的两杆交点也 是不动点。
位移法1
EI
EA
Δ2
l
EI l FP
F2
Δ1
F1
12i/l
k21
3i/l
Δ1 1
FP
2EI
12i/l 3i/l
k11
M1
l
k22
8i
F1 k11 Δ1 k12 Δ2 F1P 0 Δ2 1 F2 k 21 Δ1 k 22 Δ2 F2 P 0
2
F2P k12 FP
Δ1
ql
q
Δ2
F2P
kij = kji 反力互等
FiP 荷载系数
刚度系数, 体系常数
ql
F1P
ql
l/2 l/2
9 23
q
ql
65 184 139 184
q Δ2
F2 F1
Δ2 1
Δ1
F1=0 F2=0
ql
EI=常数
ql
F1 k11 Δ1 k12 Δ2 F1P 0 F2 k 21 Δ1 k 22 Δ2 F2 P 0
F1P
MP
Δ1 1 k11
F1P 3ql 2 / 2
Δ1 3ql / 16i
2
k11
3i
ql 2 / 2
F1P
ql 2 / 2
M M 1 Δ1 M P
3 / 16 12 / 16 M
i
4i
9 / 16 6 / 16
ql 2
练习: 作M图，EI=常数. F1=0
FP l l l l/2 l FP/2 l l/2
1
位移法基本未知量
EI
位移法求解过程: 1)确定基本体系和基本未知量 2)建立位移法方程 3)作单位弯矩图和荷载弯矩图 4)求系数和自由项 5)解方程 6)作弯矩图
超静定结构的解法
力法的基本思路
超静定计算简图 解除约束转 化成静定的 基本结构承受荷 载和多余未知力
基本体系受力、变形解法已知
力法的基本思路
用已掌握的方法，分析单个基本未 知力作用下的受力和变形
位移包含基本未知力Xi
同样方法分析 “荷载”下的 受力、变形
为消除基本结构与原结构差别，建立位移协调条件
11 12 1P 1 21 22 2 P 2
11 X 1 1n X n 1 P 1 X X nn n nP n n1 1
或写作矩阵方程
δ X P
(3) 作基本结构在单位未知力和荷载（如果 有）作用下的弯矩（内力）图 M i , M P (4) 求基本结构的位移系数
小结：力法的解题步骤
(1) 确定结构的超静定次数和基本结构(体系)
超静定次数 = 基本未知力的个数
= 多余约束数
= 变成基本结构所需解除的约束数
（3 次）
或
（14 次）
或
(1 次）
(6 次)
(4 次)
确定超静定次数时应注意： (a) 切断弯曲杆次数3、链杆1，刚结变单铰1， 拆开单铰2。总次数也可由计算自由度得到。 (b) 一个超静定结构可能有多种形式的基本 结构，不同基本结构带来不同的计算工作量。 因此，要选取工作量较少的基本结构。 (c) 可变体系不能作为基本结构 (2) 建立力法典型方程
将未知问题转化为 已知问题，通过消除已 知问题和原问题的差别， 使未知问题得以解决。 这是科学研究的 基本方法之一。
由于从超静定转化为静定，将什么 约束看成多余约束不是唯一的，因此 力法求解的基本结构也不是唯一的。
1超静定结构的解法
1超静定结构的解法超静定结构是指结构的支座反力数目多于静力平衡方程的数目，即结构的自由度多余零，不能通过直接求解静力平衡方程得到结构的内力、位移等参数。
因此，需要使用超静定结构的解法来求解结构的响应。
超静定结构的解法主要有两种：力法和位移法。
在这里，我将分别介绍这两种方法的基本原理。
1.力法力法是指通过引入虚功原理，利用未知内力的线性平衡方程组与已知荷载、位移或位移力系数之间的关系，构建方程并求解未知内力的方法。
使用力法解决超静定结构的基本步骤如下：（1）确定支座反力。
根据结构的约束条件，计算支座反力数目；（2）选择剪力或弯矩作为未知内力。
在超静定结构中，选择剪力或弯矩作为未知内力比较常见；（3）建立线性平衡方程组。
将剪力或弯矩作为未知量，根据结构的几何条件和约束条件，建立线性平衡方程组；（4）引入荷载、位移或位移力系数。
根据结构的受力情况，将已知荷载、位移或位移力系数引入线性平衡方程组；（5）求解未知内力。
通过求解线性平衡方程组，得到未知内力。
2.位移法位移法是指通过引入位移的概念，利用位移与剪力/弯矩之间的关系，将超静定结构的内力求解问题转化为线性代数方程组的求解问题。
使用位移法解决超静定结构的基本步骤如下：（1）确定支座反力。
根据结构的约束条件，计算支座反力数目；（2）选择支座位移为未知量。
在超静定结构中，支座位移比较容易确定；（3）建立位移-力关系方程。
根据结构的几何条件和材料性质，建立位移-力关系方程，将剪力或弯矩表示为位移的函数；（4）引入荷载或位移。
根据结构的受力条件，将已知荷载或位移引入位移-力关系方程；（5）求解未知位移。
通过求解位移-力关系方程，得到未知位移；（6）求解未知内力。
将未知位移代入位移-力关系方程，求解出未知内力。
需要注意的是，在力法和位移法中，由于超静定结构的自由度数目大于零，未知内力或未知位移存在无穷多个解。
因此，需要加入合理的边界条件，如位移边界条件、力边界条件等，来确定唯一的解。
位移法
位移法定义：以结点位移(角位移和线位移)为未知量以求解静不定结构反力和内力的基本方法。
所属学科：水利科技（一级学科）；工程力学、工程结构、建筑材料（二级学科）；工程力学（水利）（三级学科）简介位移法 displacement method位移法是计算超静定结构的另一种基本的、也是有效的方法，不仅如此，对于静定结构，位移法也是一种计算方法。
力法从未知力/缀余力入手，力法的基本原理，是对于超静定结构中任意两点的相对变形都是0，也就说所有的力在该位置上产生的变形之和为0，因此力法可以称之为位移协调法。
位移法与之相对应，即对于处于平衡状态下的结构体系来讲，结构中的任意一点获任意组成部分也是处于平衡状态的，因此该点或部分必然存在内力的平衡，以内力平衡为基础所构建的线性方程组来求解结构内力，也是一种极佳的方法。
因为结构的内力与变形之间存在着必然的、确定的联系，因此结构的内力平衡一般从位移为未知量来入手，最终求得结构内力。
这种以位移为初始未知数求解结构内力的方法称为位移法。
位移法的基本计算假定位移法的计算要以以下基本假定为前提：忽略轴力产生的轴向变形的影响，杆件变形前的直线长度与变形后的曲线长度相等。
弯曲变形是微小，并忽略剪切变形的影响，杆件变形后的曲线长度与弦线长度相等。
因此可以得到：推论1：尽管杆件产生弯曲变形，但直杆件两端点之间的沿杆的轴线方向的距离变形前后仍保持不变。
推论2：直杆的一端不变动而杆发生弯曲变形时，杆的另一端的线位移与杆原轴线相垂直。
（与杆原轴线夹角）便是该点横截面的转角。
推论3：杆件轴挠曲线上某点之切线的倾角位移法计算法种类典型方程法位移法可按两种思路求解结点位移和杆端弯矩：典型方程法和平衡方程法。
下面给出典型方程法的解题思路和解题步骤。
1、位移法典型方程的建立：欲用位移法求解图a所示结构，先选图b为基本体系。
然后，使基本体系发生与原结构相同的结点位移，受相同的荷载，又因原结构中无附加约束，故基本体系的附加约束中的约束反力（矩）必须为零，即：R1=0，R2=0。
05-3结构力学 第五章 超静定结构的内力和位移计算(5.2节 位移法)ok
如： 1 2
3
1 2
1
3
这样即可使12、13杆 成为单跨超静定梁
2、附加链杆支座约束：为使杆件两端相对线位移被约束而在结点上附加的约 束阻止结点移动的装置。
如：1
3
用“
” 表示
2 1 3
结构变形时，显然13杆可沿水平方向移动， 同时刚结点1也可能发生转角，要使各杆独立成为 单跨超静定梁。 需在1结点上附加刚臂约束 同时还需加附加链杆支座以阻止13杆的水平线 位移。
r11Z 1+ r12Z 2+ · · · · + r1nZ n+R1P=0
位移法 – 刚度法
ri j=rj i
反力互等定理
位移法典型方程，简称为位移法方程 – 结构的刚度方程
主系数，rii>0 r12 ...... r1n Z1 R1P r11 r Z R r ...... r 2P 22 2n 2 21 ri j=rj i 反力互等定理 0 ...... ...... ...... ...... rn 2 ...... rnn Z n RnP rij=rji，Rip，>0，=0，<0 rn1
F M AB ql 2 / 12 F M BA ql 2 / 12
F A l/2 l/2 B
Fl/8 A
Fl/8
F M AB Fl / 8
B
F M BA Fl / 8
q
ql2/8 B A B
F M AB ql 2 / 8
A
F A l/2 l/2 B
3Fl/16 A B
EI=
Z1 Z2
EI=
结构力学 位移法
B
3 2l
3i M AB l 3i FQAB FQBA 2 l
B 不独立，可不作为基本未知量
故，其杆端弯矩和杆端剪力为
3、远端滑动（ B FQAB FQBA 0 ） 如图（e）所示，由弯曲杆件的刚度方程，并令
B FQAB FQBA 0
基本线位移未知量2个 (a) (b)
三、基本方程举例
(a) (b)
3
2 1
基本未知量：3个刚结点D、E、F 增加3根支座链杆 对应于θ 三个刚结点，分别建立其力矩平衡条件
3个角位移
D , E , F
(c)
3个线位移 1 , 2 , 3
D、θ E、θ F3个角位移，应截取D、E、F
QAB= QBA
θ =1
B
4i
1
2i
6i
1 2i
l
6i
3i
l
6i
0
l
l2
A A
θ =1
B B
3i
3i
l
1 θ =1
B
3i
i
l
0
l2
A
－i
0
四、常用荷载情况下的固端弯矩和固端剪力
1、两端固定梁 ①
P A l/ 2 l/ 2
B
M
F AB
Pl / 8
F FQAB P / 2 F FQBA P / 2
平衡方程
M AG M AB M AD 0 M BA M BC 0
基本方程
所以，该刚架利用位移法计算时的基本未知量为 A和 B 。
根据铰结点C的力矩为零的条件，可以把 C 表示成 A B 的函数关系式， 与
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l3 3 EI
D1P
1 EI
1 3
ql 2 2
l
3l 4
ql 4 8 EI
X1=－Δ1P / δ11 =3ql/8
各种单跨超静定梁在各 种荷载作用下的杆端力均可 按力法计算出来，这就制成 了载常数表11-2（P241）
q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
mAB
l，EI
• 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
由形常数作Mi (Di 1引起的弯矩图)，由载常数作M P (荷载引起 的弯矩图)；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截 面投影平衡求附加支杆中的约束力。
12
28 30 16
33 NAB
∑X=0 ∑Y=0
B 31.5
0 0 NBD NAB=0 NBD=－64.5
14
位移法计算步骤可归纳如下：（P22）
1）确定基本未知量； 2）确定位移法基本体系； 3）建立位移法典型方程； 4）画单位弯矩图、荷载弯矩图; 5)由平衡求系数和自由项； 6）解方程，求基本未知量； 7）按 M=∑Mi·Δi+MP 叠加最后弯矩图。 8）利用平衡条件由弯矩图求剪力；由剪力图求轴力。 9）校核平衡条件。
•由已知的弯矩图求剪力： •校QA核B ： M A∑B lMMBB=A0QA0B28 B 30
↓↓↓1↓5↓k↓N↓/↓m28
16 4
15 2
448k2N7k
N
2
27 QBC
30 4
42864.531.51k6N.5
QB∑A Y==20278+46146.5+11526.45－ 1353×kN4+48
①杆端转角θA、θB ，弦转角
β＝Δ/l都以顺时针为正。
QAB
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
β θA
对结点或支座以逆时针为正。 2、形常数：
MAB>0
由单位杆端位移引起的杆端力
用力法求解 i=EI/l
1
M AB 4i, M BA 2i
4i
θB
QBA MBA
MBA<0
2i M
4
Δ
5
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表11-1）。
位移法基本概念 等截面直杆的杆端力 位移法基本未知量 位移法之典型方程法 无侧移刚架、有侧移刚架算例 位移法之直接平衡法 位移法计算对称结构 支座移动和温度改变时的计算
1
§11-1 位移法的基本概念
1、超静定结构计算的总原则: 欲求超静定结构先取一个基本体系,然
后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。
l
ql2/2
M1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
X1=1
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M图
m ql2
AB
8
m 0 BA 7
4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：
M 4i 2i 6i D
AB
A
B
l
+mAB
M 2i 4i 6i D
BA
A
B
l
+mBA
↓↓↓↓↓↓↓↓
在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程， 得到位移法方程； 4）解方程，求基本未知量； 5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到 杆端力； 6）按杆端力作弯矩图。
21
22
23
h1 h2 h3
作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。
解：仅1）使基两本端未发知生量单只位有侧Δ移时需在两 Δ
2）各柱的端杆施端加剪的力杆端剪力。
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
30 i
M图
Δ1 30
2i
48kN
i
4m
15kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
F1
Δ1
48kN
当F1=0
基本体系
(kN.m) 4m
2m 2m
20 15kFN1/mP 36
↓↓↓↓↓↓↓↓
48kN
4i k11 Δ1=1 i
+ F1P=－16 20
MP
2i k11 =8i
3i M1
20 36
§11-9 用直接平衡 法建立位移法方程
1、转角位移方程：
⑴两端刚结或固定的等直杆
M
AB
4i
A
2i B
6i
D l
+mAB
M
BA
2i
A
4i B
6i
D l
+mBA
⑵一端铰结或铰支的等直杆
M
AB
3i A
3i
D l
mAB
M BA 0
⑶一端为滑动支承的等直杆
M AB i A iB mAB M BA iB i A mBA
M图 (kN.m)
16
17
5）解方程，求基本未知量；
D110D11 .125D2 1.7 0
D22D1 49.D829 41.7 0
3i
2i
A 3i B 4i
C
40 4210.k7N/m 41.7
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
B
C
E D
F
D MP
M1 E 1.5i
F
A
B
2i
Δ
MAB QAB
β θA
θB
转角位移方程
QBA MBA
5、已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为分离体建立矩平衡方程：
QAB
M
AB
l
M
BA
QA0B
注：1、MAB,MBA绕杆端顺时 针转向为正。
2、
Q0 AB
是简支梁的剪力。
MAB QAB
MAB
Q’‘ AB
Q0 AB
P
MBA
+
P
QBA MBA
Q’‘ BA
MAB QAB
θA
↓↓↓↓↓↓↓↓
β
θA
θB
Δ
QBA MBA
↓↓↓↓↓↓↓↓BMAB AθA
MAB A
↓↓↓↓↓↓↓↓
MBA B
θB
(4)已知杆端弯矩求剪力
QAB
M
AB
M l
BA
QA0B
20
位移法计算步骤可归纳如下：
1）确定基本未知量； 2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式； 3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，
40 43.5 46.9
24.5 14.7
62.5
E
A
B 3.4
C 9.8 D
4i
2i C 3i
D
M2
Fi
4m 2m
M图(kN.M)
E 1.7
4.9F
4m
5m
4m
k22=4i+3i+2i= 9i k21=2i
18
3kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
§11-6 位移法计算有侧移刚架
Δ2
Δ2
2i
4.42 F1
Δ2
F2=0
k21D1 k22D2 F2P 0
•F11、F21(k11、k21) ── 基本体系在Δ1(=1)单独作
用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F12、F22(k12、k22) ── 基本体系在Δ2(=1)单独作用
时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F1P、F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加约
Δ
P
Δ
Δ
θC
2、基本体系的确定：
即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。
结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。 =刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。
9
位移法基本未知量
结点转角 数目=刚3 结点的数目 独立结点线位移 数目=铰结体系的自由度
2 =矩形框架的层数 在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。
kn1D1 kn2D2 knnDn FnP 0
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；
• 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
MBA
2i
6i l
0 0
－i
QAB= QBA
6i l
12i l2
3i l 3i
l2
0
6
3、载常数:由跨中荷载引 起的固端力
Δ1=δ11X1 + Δ1P=0
d 11
1 EI
l2 2
2l 3
1
结点转角的数目：7个
相应的铰接体系的自由度=3 独立结点线位移的数目：3个
也等于层数 3
结点转角的 数目：3个
独立结点线位移的数目：2个 不等于层数 1
10
§11-4 位移法典型方程
Δ2
F1 Δ2
Δ1
Δ1
F1=0 F2=0
Δ1
Δ1