2021-2022学年四川省达州市渠县中学八年级(上)期中数学试卷(解析版)

2021-2022学年四川省达州市渠县中学八年级第一学期期中数学
试卷
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5 毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用2B 铅笔画出，确定后必须用0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分.）
1．下列各数中是无理数的是（）
A．3.5B．C．D．
2．下列几组数中的勾股数是（）
A．0.3，0.5，0.4B．﹣3，4，5
C．6，8，12D．24，7，25
3．在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（1，2），四号暗堡坐标为（﹣3，2），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（）
A．A处B．B处C．C处D．D处
4．下列各式中，正确的是（）
A．＝﹣5B．＝5C．＝﹣4D．＝±2
5．若点P在第二象限，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，点P的坐标是（）A．（﹣4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）6．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝
8，AB＝4，则DE的长为（）
A．3B．4C．5D．6
7．下列计算或说法：①±3都是27的立方根；②＝a；③的立方根是2；④＝±4，其中正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（）
A．1+B．2+C．2﹣1D．2+1
10．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）
A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，满分18分）
11．的相反数是，它的绝对值是．
12．对于任意实数a，b，定义一种运算“&”如下：a&b＝a（a﹣b）+b（a+b），如：3&2＝3×（3﹣2）+2×（3+2）＝13，那么&＝．
13．将点A（3，2）沿x轴负方向向左平移4个单位长度后得到点A′，则点A'关于x轴的对称点的坐标是．
14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为cm2．
15．若实数a，b满足，则代数式a2020+b2021＝．
16．如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．请用含x的代数式表示AC+CE的长，根据上述方法，求出的最小值为．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）（x+1）2﹣0.01＝0；
（2）（3x+2）3﹣1＝．
19．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°．试求：（1）∠BAD的度数．
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）
20．已知5a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根为2
（1）求a与b的值；
（2）求2a+4b的平方根．
21．“新冠肺炎”疫情牵动着14亿中华儿女的心，渠县人民政府积极响应国家号召，及时对广大人民群众进行疫情防控宣传．如图，一笔直公路MN，村庄A到公路MN的距离为600m，若在宣传车P方圆1000m以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时：
（1）村庄能否听到宣传？请说明理由．
（2）如果能听到，已知宣传车的速度是200m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
22．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A（﹣4，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的各顶点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
23．已知x＝﹣1，y＝+1．
（1）求x2+xy+y2；
（2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线L是第一、三象限的角平分线．（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′、C′；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，直接写出坐标面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为；
（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线L上画出点Q，使△QDE的周长最小，并求△QDE周长的最小值．
25．定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长；
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN＝45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．
请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；
（3）在（2）的问题中，若∠ACM＝15°，AM＝1，CM＝+1．求BM的长．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）
参考答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列各数中是无理数的是（）
A．3.5B．C．D．
【分析】根据无理数的定义（无理数是指无限不循环小数）逐个判断即可．
解：A、3.5是小数，即分数，属于有理数；
B、是分数，属于有理数；
C、﹣是无理数；
D、＝2，是整数，属于有理数；
故选：C．
2．下列几组数中的勾股数是（）
A．0.3，0.5，0.4B．﹣3，4，5
C．6，8，12D．24，7，25
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数解答即可．解：A、不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
B、（﹣3）2+42＝52，但不是正整数，不是勾股数，不符合题意；
C、62+82≠122，不是勾股数，不符合题意；
D、72+242＝252，是勾股数，符合题意．
故选：D．
3．在大型爱国主义电影《长津湖》中，我军缴获了敌人防御工程的坐标地图碎片（如图），若一号暗堡坐标为（1，2），四号暗堡坐标为（﹣3，2），指挥部坐标为（0，0），则敌人指挥部可能在（）
A．A处B．B处C．C处D．D处
【分析】根据一号暗堡和四号暗堡的横纵坐标分别确定x轴和y轴的大致位置，然后画出直角坐标系即可得到答案．
解：∵一号暗堡的坐标为（1，2），四号暗堡的坐标为（﹣3，2），
∴它们的连线平行于x轴，
∵一号暗堡和四号暗堡的纵坐标为正数，四号暗堡离y轴要远，如图，
∴B点可能为坐标原点，
∴敌军指挥部的位置大约是B处．
故选：B．
4．下列各式中，正确的是（）
A．＝﹣5B．＝5C．＝﹣4D．＝±2
【分析】分别写出每个题的正确的答案即可确定正确的选项．
解：A、＝5，故错误；
B、＝5，正确；
C、负数没有平方根，故错误；
D、＝2，故错误，
故选：B．
5．若点P在第二象限，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，点P的坐标是（）A．（﹣4，3）B．（4，﹣3）C．（﹣3，4）D．（3，﹣4）
【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度结合第二象限内点的坐标特征解答．
解：∵点P在第二象限，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标是﹣3，纵坐标是4，
∴点P的坐标为（﹣3，4）．
故选：C．
6．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（）
A．3B．4C．5D．6
【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．
解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD＝C′D＝AB＝8，∠C＝∠C′＝90°，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，
∴∠ABE＝∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE的长为5．
故选：C．
7．下列计算或说法：①±3都是27的立方根；②＝a；③的立方根是2；④＝±4，其中正确的个数是（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据立方根的定义得到﹣3是27的立方根，＝a，可对①②进行判断，先计算，＝，然后根据立方根的定义对③④进行判断．
解：3是27的立方根，所以①错误；
由于＝a，所以②正确；
＝8，8的立方根为2，所以③正确；
＝＝4，所以④错误．
故选：B．
8．如图，将△ABC放在正方形网格中（图中每个小正方形边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么∠ABC的度数为（）
A．90°B．60°C．45°D．30°
【分析】根据勾股定理求出各个边的长度，根据勾股定理的逆定理得出三角形是直角三角形，再得出三角形的等腰直角三角形，即可得出角的度数．
解：由勾股定理得：AC2＝12+22＝5，BC2＝12+32＝10，AB2＝12+22＝5，
∴AB＝AC，AC2+AB2＝BC2，
∴△ACB是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
故选：C．
9．在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A，B两点对应的实数分别是和﹣1，则点C所对应的实数是（）
A．1+B．2+C．2﹣1D．2+1
【分析】根据两点关于中点对称，可得线段的中点，根据线段中点的性质，可得答案．解：设C点坐标为x，
由点B与点C关于点A对称，得
AC＝AB，即x﹣＝+1，
解得x＝2+1．
故选：D．
10．如图，在平面直角坐标系中，A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2）．把一条长为2012个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A﹣B﹣C﹣D﹣A﹣…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（）
A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣2）D．（1，﹣2）
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1﹣（﹣2）＝3，CD＝1﹣（﹣1）＝2，DA＝1﹣（﹣2）＝3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3＝10，
2012÷10＝201…2，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第2个单位长度的位置，
即点B的位置，点的坐标为（﹣1，1）．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，满分18分）
11．的相反数是3﹣，它的绝对值是3﹣．
【分析】分别根据相反数、绝对值的概念即可求解．
解：根据相反数的概念有的相反数是﹣（）即3﹣；
根据绝对值的定义：的绝对值是．
12．对于任意实数a，b，定义一种运算“&”如下：a&b＝a（a﹣b）+b（a+b），如：3&2＝3×（3﹣2）+2×（3+2）＝13，那么&＝5．
【分析】直接利用运算法则将原式变形，进而得出答案．
解：∵3&2＝3×（3﹣2）+2×（3+2）＝13，
∴&＝×（﹣）+×（+）
＝3﹣++2
＝5．
故答案为：5．
13．将点A（3，2）沿x轴负方向向左平移4个单位长度后得到点A′，则点A'关于x轴的对称点的坐标是（﹣1，﹣2）．
【分析】直接利用平移规律结合关于x轴对称点的性质得出对应点坐标．
解：∵点A（3，2）沿向左平移4个单位长度得到点A′，
∴A′（﹣1，2），
∴点A′关于x轴对称的点的坐标是：（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
14．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为49cm2．
【分析】根据正方形的面积公式，连续运用勾股定理，发现：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积．
解：由图形可知四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积，
故正方形A，B，C，D的面积之和＝49cm2．
故答案为：49cm2．
15．若实数a，b满足，则代数式a2020+b2021＝2．【分析】根据二次根式的非负性、偶次方的非负性、有理数的乘方解决此题．
解：∵，（a+b）2≥0，
∴当，则a+1＝0，a+b＝0．
∴a＝﹣b＝﹣1．
∴b＝1．
∴a2020+b2021＝（﹣1）2020+12021＝1+1＝2．
故答案为：2．
16．如图，C为线段BD上一动点，分别过B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB＝5，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．请用含x的代数式表示AC+CE的长+，根据上述方法，求出的最小值为13．
【分析】由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；若点C 不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；于是可作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED ⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式
的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可求得AE的值．
解：AC+CE＝+；
当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；
如右图所示，作BD＝12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB＝2，ED＝3，连接AE交BD于点C，设BC＝x，则AE的长即为代数式的最小值．
过点A作AF∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，
则AB＝DF＝2，AF＝BD＝12，EF＝ED+DF＝3+2＝5，
所以AE＝＝＝13，
即的最小值为13，
故代数式的最小值为13．
故答案为：+；13．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先分母有理化，再利用平方差公式，然后合并即可．
解：原式＝3﹣3﹣2+5
＝8﹣5；
（2）原式＝2+4﹣3﹣3
＝﹣+1．
18．解方程：
（1）（x+1）2﹣0.01＝0；
（2）（3x+2）3﹣1＝．
【分析】（1）根据平方根的定义去求；
（2）根据立方根的定义去求．
解：（1）∵（x+1）2＝0.01，
∴x+1＝±0.1，
∴x＝﹣0.9或﹣1.1；
（2）∵（3x+2）3＝+1，
∴（3x+2）3＝，
∴3x+2＝，
∴x＝﹣．
19．已知：如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝1，CD＝，AD＝1，且∠B＝90°．试求：（1）∠BAD的度数．
（2）四边形ABCD的面积（结果保留根号）
【分析】（1）连接AC，由勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，进而可求出∠BAD的度数；
（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，再根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．
解：（1）连接AC，
∵AB＝BC＝1，∠B＝90°
∴AC＝
又∵AD＝1，DC＝
∴（）2＝12+（）2
即CD2＝AD2+AC2
∴∠DAC＝90°
∵AB＝BC＝1
∴∠BAC＝∠BCA＝45°
∴∠BAD＝135°；
（2）由（1）可知△ABC和△ADC是Rt△，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝1×1×+1××
＝+．
20．已知5a﹣1的算术平方根是3，3a+b﹣1的立方根为2
（1）求a与b的值；
（2）求2a+4b的平方根．
【分析】（1）根据算术平方根与立方根定义得出5a﹣1＝32，3a+b﹣1＝23，解之求得a、b的值；
（2）由a、b的值求得2a+4b的值，继而可得其平方根．
解：（1）由题意，得5a﹣1＝32，3a+b﹣1＝23，
解得a＝2，b＝3．
（2）∵2a+4b＝2×2+4×3＝16，
∴2a+4b的平方根＝±4．
21．“新冠肺炎”疫情牵动着14亿中华儿女的心，渠县人民政府积极响应国家号召，及时对广大人民群众进行疫情防控宣传．如图，一笔直公路MN，村庄A到公路MN的距离为600m，若在宣传车P方圆1000m以内能听到广播宣传，那么宣传车P在公路MN上沿MN方向行驶时：
（1）村庄能否听到宣传？请说明理由．
（2）如果能听到，已知宣传车的速度是200m/min，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，即可判断；
（2）假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，利用勾股定理求出BP的长度，即可求出时间．
解：（1）村庄能听到宣传，理由如下：过点A作AB⊥MN于B，
∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米
∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶Q点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，
∴BP＝PQ＝＝＝800（米），
∴PQ＝BP+BQ＝800+800＝1600（米），
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8（分钟），
∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
22．如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中，A（﹣4，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）写出△A1B1C1的各顶点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【分析】（1）先根据轴对称的定义作出各顶点的对应点，再顺次连接可得；
（2）由图形可得点的坐标；
（3）利用割补法求解可得．
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）由图知，A1（4，5），B1（2，1），C1（1，3）；
（3）△ABC的面积为3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×2×3＝4．23．已知x＝﹣1，y＝+1．
（1）求x2+xy+y2；
（2）若a是x的小数部分，b是y的整数部分，求的值．【分析】（1）x2+xy+y2变形为＝（x﹣y）2+3xy代入即可；
（2）先根据题意求出a、b的值，再代入求出结果即可．
解：（1）∵x＝﹣1，y＝+1．
∴x2+xy+y2
＝（x﹣y）2+3xy
＝（﹣1﹣﹣1）2+3（﹣1）（+1）
＝4+6
＝10；
（2）∵0＜﹣1＜1，2＜+1＜3
∴a＝﹣1，b＝2，
∴＝﹣＝﹣．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线L是第一、三象限的角平分线．
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（﹣2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出他们的坐标：B′（3，5）、C′（5，﹣2）；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，直接写出坐标面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为（b，a）；
（3）已知两点D（1，﹣3）、E（﹣1，﹣4），试在直线L上画出点Q，使△QDE的周长最小，并求△QDE周长的最小值．
【分析】（1）借助网格，根据轴对称的定义画出各点关于直线的对称点，即可解答．（2）由（1）中坐标得出规律，即可求出P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标．
（3）作出D点的对称点D′，连接D′E，与直线L的交点即为所求点Q，利用勾股定理可得周长．
解：（1）如图，由点关于直线y＝x轴对称可知：B'（3，5），C'（5，﹣2），
故答案为：（3，5）、（5，﹣2）
（2）由（1）的结果可知，坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P′的坐标为（b，a），
故答案为：（b，a）；
（3）由（2）得，D（1，﹣3）关于直线l的对称点D'的坐标为（﹣3，1），连接D'E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小，
D'E＝＝，DE＝＝，
∴△QDE周长的最小值+．
25．定义：如图①，点M、N把线段AB分割成AM、MN和BN，若以AM、MN、BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点．
（1）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，若AM＝2，MN＝3，求BN的长；
（2）如图②，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点M、N为边AB上两点，满足∠MCN＝45°，求证：点M、N是线段AB的勾股分割点；阳阳同学在解决第（2）小题时遇到了困难，陈老师对阳阳说：要证明勾股分割点，则需设法构造直角三角形，你可以把△CBN绕点C逆时针旋转90°试一试．
请根据陈老师的提示完成第（2）小题的证明过程；
（3）在（2）的问题中，若∠ACM＝15°，AM＝1，CM＝+1．求BM的长．（提示：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．）
【分析】（1）①当MN为最大线段时，由勾股定理求出BN；②当BN为最大线段时，由勾股定理求出BN即可．
（2）只要证明△MCN≌△MCN'以及∠NAM＝90°即可．
（3）如图，过N作于NH⊥CM于H．结合图中相关线段的和差关系和直角三角形的性质求得MN＝2．由（2）得结论BN2+AM2＝MN2，BN＝．则BM＝BN+MN．
【解答】（1）解：①当MN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN＝＝＝；
②当BN为最大线段时，
∵点M、N是线段AB的勾股分割点，
∴BN＝＝＝，
综上所述：BN＝或；
（2）①证明：连接MN′，
∵∠ACB＝90°，∠MCN＝45°，
∴∠BCN+∠ACM＝45°，
∵∠ACN'＝∠BCN，
∴∠MCN'＝∠ACN′+∠ACM＝∠BCN+∠ACM＝45°＝∠MCN，在△MCN和△MCN′中，
，
∴△MCN≌△MCN'（SAS），
∴MN'＝MN，
∵∠CAN′＝∠CAB＝45°，
∴∠MAN′＝90，AN′2+AM2＝MN′2，即BN2+AM2＝MN2，
∴点M、N是线段AB的勾股分割点；
（3）如图，过N作于NH⊥CM于H．
则∠NHM＝90°，∠NMH＝60°，
设HM＝x，则MN＝2x，HN＝x．得
x+x＝+1，
∴x＝1，
∴MN＝2．由（2）得结论BN2+AM2＝MN2，BN＝．∴BM＝BN+MN＝2+．。