广东省揭阳市2016-2017学年高一下学期期末联考数学(理)试题含答案

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数
m＞ n＞ 3，使得 g（）的定义域为 [n ，m]，值域为
[n 2， m2] ？若存在，求出 m、 n 的值；若不存在，请说明理由．
高一理数参考答案及解析
一、选择题
(1)B (2)B (3)C (4)D (5)A (6)A (7)D (8)C (9)A (10)D (11)C (12)C
（ A） 2
（ B）﹣ 1
（ C） 1
（ D）0
(4) 利用计算机在区间（ 是
1
， 2）内产生随机数
3
a，则不等式 ln （ 3a﹣ 1）＜ 0 成立的概率
（ A） 1 2
（ B） 1 3
(5) 函数 y=2cos 2（+ 3 ） -1 是 4
（ A）最小正周期为 π 的奇函数
（ C） 1 4
（ D） 1 5
∴二面角 A-DF-B 的大小为 60° .
（ 12 分）
（ 21）解：（Ⅰ）设圆 C 的标准方程为（﹣ a） 2+（ y ﹣ b） 2=r 2.
∵圆 C 被直线 m： 3﹣ 2y=0 平分， ∴圆心 C（a， b）在直线 m上，可得 3a﹣ 2b=0. ① 又∵点 A（1， 3）， B（ 2， 2）在圆 C 上，
(12
分)
42
（ 20）解：（Ⅰ）记 AC与 BD的交点为 O,连接 OE,如图，
∵ O、 M分别是 AC、 EF 的中点 ,ACEF 是矩形 , ∴四边形 AOEM是平行四边形 . ∴ AM∥ OE. ∵ OE 平面 BDE,AM 平面 BDE, ∴ AM∥平面 BDE.
（Ⅱ）在平面 AFD中，过 A 作 AS⊥DF 于 S, 连接 BS, 如图，
下列说法正确的是
(A) 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
(B) 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
(C) 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变 (D) 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
(3) 若直线 l 1：m﹣ 3y﹣ 2=0 与直线 l 2：（ 2﹣ m）﹣ 3y+5=0 互相平行，则实数 m的值为
；②在区间 [ ﹣ ， ]
4
63
的一个函数为
x
（ A） y=cos（ + ）
26
x
（ B） y=sin （ + ）
26
（ C） y=sin （ 2﹣ ）
6
（D） y=cos （2﹣ ）
6
(12) 定义在区间（ 1， +∞）内的函数 f （）满足下列两个条件：
①对任意的∈（ 1， +∞），恒有 f （ 2） =2f （）成立；
（ A） m与 n 是异面直线
（ B） m⊥ n
（ C） m与 n 是相交直线
（ D） m∥ n
(2) 已知数据 1，2， 3，…， n 是普通职工 n（ n≥ 3， n∈ N*）个人的年收入，设这 n 个数据的
中位数为， 平均数为 y ，方差为， 如果再加上世界首富的年收入 n+1，则这 n+1 个数据中，
(A)
(B)
(C)
(D)
(10) 如果圆 2+y2 +2m(+y)+2 m2-8=0 上总存在到点 (0,0) 的距离为 2 的点，则实数 m的取值
范围是
（ A） [ ﹣1， 1]
（ B）（﹣ 3， 3）
（ C）（﹣ 3，﹣ 1）∪（ 1， 3）
（ D） [ ﹣ 3，﹣ 1] ∪ [1 ， 3]
(11) 同时具有性质： ①图象的一个零点和其相邻对称轴间的距离是 上是增函数
（4 分）
∵ AB⊥ AF，AB⊥ AD， AD∩ AF=A， ∴ AB⊥平面 ADF, ∴ AS是 BS在平面 ADF上的射影 , 由三垂线定理得 BS⊥ DF，
∴ BSA是二面角 A-DF-B 的平面角 .
在 Rt △ ASB中, AS
6 , AB
2,
3
∴ tan ASB = 3 , ASB=60° ,
②当∈（ 1， 2] 时， f （） =2﹣ .
已知函数 y=f （）的图象与直线 m-y-m=0 恰有两个交点，则实数 m的取值范围是
(A)[1 ，2）
(B)
（ 1， 2]
(C) [ 4 ， 2） 3
(D)
（ 4 ，2]
3
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分。
(13) 设某总体是由编号为 01，02，…， 39，40 的 40 个个体组成的，利用下面的随机数表
（Ⅰ）求圆 C 的方程； （Ⅱ）若过点 D（ 0， 1），且斜率为的直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、N．
(i) 求实数的取值范围；
(ii) 若 OM ? ON =12，求的值．
(22) （本小题满分 12 分）
1
已知函数 f （） =（ ） .
3
（Ⅰ）当∈ [ ﹣ 1， 1] 时，求函数 y=[f （） ] 2﹣ 2af （） +3 的最小值 g（a）；
所以 S POQ
1 | cos | | 3 cos
2
sin
|
1 |
cos2
2
sin cos |
1 | 3 3 cos 2 1 sin 2 | 1 | 3 sin( 2 ) |
22 2
2
22
3
13
|
1|
3 1．
22
42
因为 ( , ), 所以当 22
时，取等号，
12
所以△ OPQ面积的最大值为 3 1 ．
.
(15) 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
．
1
(16) 已知 cos sin(
)
，则 cos(2
)=
．
63
3
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(17) （本小题满分 10 分）
如图，在△ ABC中，已知点 D， E 分别在边 AB， BC上，且 AB=3AD， BC=2BE．
CD， Y, 共 7 种情况．
7
所以 P（ F）= ．
15
（ 12 分）
(19) 解：（Ⅰ）因为 sin
1
，且
3
( , ), 所以 cos 22
22
．
3
所以 cos POQ cos(
) cos cos sin sin
3
3
3
2 2 3. 6
（5 分）
（Ⅱ）由三角函数定义，得 P（ cosα ， sin α ），从而 Q (cos , 3 cos ) ，
(1 a) 2 (3 b) 2 r 2 ,
∴
②
(2 a)2 (2 b )2 r 2,
将①②联立，解得 a=2，b=3， r=1 ．
∴圆 C 的方程是（﹣ 2）2+（ y﹣ 3） 2=1.
(4
分)
（Ⅱ） (i) 过点 D（ 0， 1）且斜率为的直线 l 的方程为 y=+1 ，即﹣ y+1=0.
∵直线 l 与圆 C 有两个不同的交点 M、 N，
（ 4 分）
（Ⅱ）由题意可知，第 4 组共有 4 人，记为 A， B， C，D，第 5 组共有 2 人，记为， Y．
从竞赛成绩是 80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取 2 名同学，则有 AB， AC， AD， BC，
BD， CD， A， AY， B， BY， C，CY， D， DY， Y，共 15 种情况 .
计．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图所示）解决
下列问题：
频率分布表
组别
分组
频数
频
率
第 1 组 [50 ， 60）
8
0.1
6
第 2 组 [60 ， 70）
a
▓
第 3 组 [70 ， 80）
20
0.4
0
第 4 组 [80 ， 90）
▓
0.0
8
第 5 组 [90 ，100]
（Ⅰ）用向量 AB ， AC 表示 DE ；
（Ⅱ）设 AB=6， AC=4，A=60°，求线段 DE的长．
(18) （本小题满分 12 分）
某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生都参加了这次竞赛．为了了解本次竞赛的
成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为
100 分）作为样本进行统
二、填空题
(13)09 (14)
三、解答题
26 (15) 2 (16) 7
3
9
(17) 解：（Ⅰ）△ ABC中，点 D， E 分别在边 AB， BC上，且 AB=3AD， BC=2BE,
2
1
1
∴ DB AB , BE BC ( AC AB),
3
2
2
2
1
1
1
∴ DE DB BE AB ( AC AB) AB AC .
如图，在平面直角坐标系 Oy 中，点 P 是单位圆上的动点，过点 P 作轴的垂线与射线 y= 3
（≥ 0）交于点 Q，与轴交于点 M．记∠ MOPα= ，且 α∈（﹣ ， ）．
22 （Ⅰ）若 sin α = 1 ，求 cos ∠ POQ；
3
（Ⅱ）求△ OPQ面积的最大值．
(20) （本小题满分 12 分）
2016 2017 学年度高一级第二学期期末联考
理数试题
满分： 150 分 考试时间： 120 分钟
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
(1) 已知两直线 m、 n 和平面 α ，若 m⊥α ， n∥ α ，则直线 m、 n 的关系一定成立的是
（ B）最小正周期为 的奇函数
2
（ C）最小正周期为 的偶函数
2
（ D）最小正周期为 π 的偶函数
(6) 已知程序框图如图所示，如果上述程序运行的结果为
判断框中应填入
(A)<11 ？
（ B）＜ 12？
(C)<13 ？
（ D）＜ 14？
S=132，那么
(7) 已知函数 f （）的图象是连续不断的，有如下的， f （）的对应表：
依次选取 4 个个体，选取方法是从随机数表第一行的第三列数字开始从左到右依次
选取两个数字，则选出的第 4 个个体的编号为
．
0618 0765 4544 1816 5809 7983 8619
7606 8350 0310 5923 4605 0526 6238
(14) 设 m∈ R，向量 a =（m+1， 3）， b =（ 2，﹣ m），且 a ⊥ b ，则 | a + b |=
1
2
3
4
5
6
f （）
-8
2
﹣3
5
6
8
则函数 f （）存在零点的区间有
（ A）区间 [2 ， 3] 和 [3 ， 4]
（B）区间 [3 ，4] 、 [4 ， 5] 和 [5 ， 6]
（ C）区间 [2 ， 3] 、 [3 ， 4] 和 [4 ， 5]
（ D）区间 [1 ， 2] 、 [2 ，3] 和 [3,4]
如图，已知正方形 ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直， AB= 2 ， AF=1， M是线段
EF 的中点． （Ⅰ）求证： AM∥平面 BDE； （Ⅱ）求二面角 A﹣ DF﹣B 的大小 .
(21) （本小题满分 12 分） 已知圆 C经过点 A（ 1，3）， B（ 2，2），并且直线 m： 3﹣ 2y=0 平分圆 C．
(8) 函数 y ln( x2 2x 3) 的单调递减区间是
（ A）（ 1，+∞）
（ B）（﹣ 1， 1]
（ C） [1 ， 3）
（ D）（﹣∞， 1）
(9) 若函数 f （） =3a﹣+1（ a＞ 0，且 a≠ 1）过定点（ 2，4），且 f （）在定义域 R 内是增函
数，则函数
g（） =log a（- ）的图象是
(5
分)
3
2
6
2
（Ⅱ）若 AB=6， AC=4， A=60°，
21
2
11
12
则 DE
AB 2
AB AC AC
36
62
4
= 1 × 62+ 1 ×6× 4×cos60° + 1 × 42=7，
36
6
4
∴ | DE | 7 ，
即线段 DE的长为 7 ．
（10 分）
(18) 解：（Ⅰ）由题意可知， a=16， b=0.04 ， =0.032 ， y=0.004 ．
∴点 C（ 2， 3）到直线 l 的距离小于半径 r ，
| 2k
即
3 1|
1 ，解得 4
7
k2 1
3
k
47
.
3
∴实数的取值范围是 ( 4 7 , 4 7 ) .
3
3
y kx 1,
(ii)
由 ( x 2)2
( y 3)2
消去 y ，得（ 1+2） 2﹣（ 4+4） +7=0．
1
（8 分）
4 4k
7
设 M（ 1， y 1）、 N（ 2， y2），可得 1+2=
2
b
合计
▓
▓
（Ⅰ）写出 a， b，， y 的值；
（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是
80 分以上（含 80 分）的同学中随机抽取
到广场参加环保知识的志愿宣传活动．
(i) 求所抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学自第 5 组的概率；
(ii) 求所抽取的 2 名同学自同一组的概率．
2 名同学
(19) （本小题满分 12 分）
（ 6 分）
（ⅰ）设“随机抽取的 2 名同学中至少有 1 名同学自第 5 组”为事件 E，
则事件 E 包含 A， AY， B，BY， C， CY， D，DY， Y，共 9 种情况 . 所以随机抽取的 2 名同学中
至少有 1 名同学自第 5 组的概率是 P（ E）= 9
3
．（ 9 分）
15 5
（ⅱ）设“随机抽取的 2 名同学自同一组”为事件 F，则事件 F 包含 AB，AC，AD，BC，BD，