第六章专题强化水平面内的圆周运动的临界问题

专题强化水平面内的圆周运动的临界问题
[学习目标] 1.知道水平面内的圆周运动的几种常见模型，并会找它们的临界条件(重点)。

2.掌握圆周运动临界问题的分析方法(重难点)。

物体做圆周运动时，若物体的线速度大小、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。

1．水平面内的圆周运动常见的临界问题：
(1)物体恰好(没有)发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。

(2)物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。

(3)绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。

(4)绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。

2．解题关键：
(1)在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。

(2)分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。

例1如图所示，A、B、C三个物体放在旋转的水平圆盘上，物体与盘面间的最大静摩擦力均是其重力的k倍(最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，三物体的质量分别为2m、m、m，它们离转轴的距离分别为R、R、2R。

当圆盘旋转时，若A、B、C三物体均相对圆盘静止，则下列说法正确的是()
A．A的向心加速度最大
B．B和C所受摩擦力大小相等
C．当圆盘转速缓慢增大时，C比A先滑动
D．当圆盘转速缓慢增大时，B比A先滑动
答案C
解析A、B、C三物体角速度相同，a n＝ω2r，则物体C的向心加速度最大，选项A错误；摩擦力提供向心力，F fB＝mω2R，F fC＝mω2·(2R)，物体B所受摩擦力小于物体C所受摩擦力，
，故滑动的临界角速度与质量无关，选项B错误；物体恰好滑动时，kmg＝mω2r，ω＝kg
r
r越大，临界角速度越小，故物体C先滑动，A、B同时滑动，选项C正确，D错误。

例2如图所示，水平转盘上放有一质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：(重力加速度为g)
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度；
(2)当角速度为3μg
2r时，绳子对物体拉力的大小。

答案(1)μg
r(2)
1
2μmg
解析(1)当恰好由最大静摩擦力提供向心力时对应绳子拉力为零时的最大角速度，设此时转
盘转动的角速度为ω0，根据牛顿第二定律有μmg＝mω02r，得ω0＝μg
r。

(2)当ω＝3μg
2r
时，ω＞ω0，所以绳子的拉力F和最大静摩擦力共同提供向心力，
此时，F＋μmg＝mω2r
解得F＝1
2μmg。

例3质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的A点和B点，如图所示，若两绳均伸直，绳b水平且长为l，绳a与水平方向成θ角。

当轻杆绕竖直轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动，下列说法正确的是(重力加速度为g)()
A．a绳的张力可能为零
B．a绳的张力随角速度ω的增大而增大
C．当角速度ω>
g
l tan θ时，b绳中有弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的张力一定发生变化
答案C
解析小球做匀速圆周运动，在竖直方向上的合力为零，水平方向上的合力提供向心力，所以a绳在竖直方向上的分力与重力相等，可知a绳的张力不可能为零，故A错误；根据竖直
方向上受力平衡得F a sin θ＝mg ，解得F a ＝mg
sin θ，可知a 绳的张力不变，故B 错误；当b 绳
拉力为零时，有mg
tan θ
＝mlω2，解得ω＝
g l tan θ
，可知当角速度ω>g
l tan θ
时，b 绳中有弹力，故C 正确；由于b 绳可能没有弹力，故b 绳突然被剪断，a 绳的张力可能不变，故D 错误。

例4 如图所示，一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角θ＝60°，一条长度为L 的绳(质量不计)，一端固定在圆锥体的顶点O 处，另一端拴着一个质量为m 的小球(可看成质点)，小球以角速度ω绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动，重力加速度为g 。

求：
(1)小球静止时所受拉力和支持力大小； (2)小球刚要离开锥面时的角速度； (3)小球以ω1＝
3g
L
的角速度转动时所受拉力和支持力的大小。

答案 (1)12mg 3
2
mg (2)
2g
L
(3)3mg 0 解析 (1)对小球受力分析可知 F T ＝mg cos θ＝1
2mg
F N ＝mg sin θ＝
32
mg (2)小球刚要离开锥面时F N ＝0，由重力和拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，有 mg tan θ＝mrω02 r ＝L sin θ 解得ω0＝g
L cos θ＝2g L (3)因为ω1＝
3g
L
>ω0＝2g L
说明小球已离开锥面，F N ＝0
设绳与竖直方向的夹角为α，如图所示
则有F T1sin α＝mω12L sin α，
解得F T1＝3mg。

专题强化练
1．(2023·南通市高一期末)一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则()
A．杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B．杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心
C．杯子离转盘中心越近越容易做离心运动
D．若给杯子中加水，杯子更容易做离心运动
答案B
解析杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力，向心力不是物体的实际受力，故A错误；杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故B正确；杯子做匀速圆周运动F n＝F f＝mω2r，离转盘中心越近，所需摩擦力越小，越不容易达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误；根据F f＝mω2r≤μmg可知，给杯子中加水，杯子不会更容易做离心运动，故D错误。

2.如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是()
A．A、B都有沿切线方向且向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C．盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．若B相对圆盘先滑动，则A、B间的动摩擦因数μA小于盘与B间的动摩擦因数μB
答案C
解析把A、B当成一个整体，在水平方向上只受摩擦力作用，所以，摩擦力即物块所受合外力，提供向心力，摩擦力方向指向圆心，物块有沿径向向外滑动的趋势，故A错误；物块
做匀速圆周运动，向心力F＝m v2
R
，A、B质量相同，一起做匀速圆周运动的角速度、半径也相等，所以，两者运动所需的向心力相等，故B错误；由受力分析可知B对A的摩擦力等于F，盘对B的摩擦力等于2F，故C正确；若B相对圆盘先滑动，则2μB mg－μA mg＜μA mg，即μB＜μA，故D错误。

3.某同学用硬塑料管和铁质螺丝帽研究匀速圆周运动。

如图所示，该同学将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平面内做半径为r的匀速圆周运动。

假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。

下列分析正确的是()
A．若塑料管转动速度增大，螺丝帽受到的摩擦力越大
B．当螺丝帽恰好不下滑时，手转动塑料管的角速度ω＝μg r
C．若塑料管的转动速度持续增大，螺丝帽最终会沿塑料管上滑
D．若塑料管的转动速度持续增大，地面对人的支持力始终不变
答案D
解析若塑料管转动速度增大，螺丝帽受到的摩擦力不变，等于重力，螺丝帽不会沿塑料管上滑，A、C错误；对螺丝帽根据牛顿第二定律得F N＝mω2r，根据平衡条件得μF N＝mg，解
得ω＝g
μr
，B错误。

因系统无竖直方向加速度，无论转速多大，地面对人的支持力等于系统总重力，D正确。

4.如图所示，底面半径为R的平底漏斗水平放置，质量为m的小球置于底面边缘紧靠侧壁，漏斗内表面光滑，侧壁的倾角为θ，重力加速度为g。

现给小球一垂直于半径向里的某一初速度v0，使之在漏斗底面内做圆周运动，则()
A ．小球一定受到两个力的作用
B ．小球可能受到三个力的作用
C ．当v 0<gR tan θ时，小球对底面的压力为零
D ．当v 0＝gR tan θ时，小球对侧壁的压力为零 答案 B
解析 对小球，由牛顿第二定律，有 F N2sin θ＝m v 02
R
F N1＋F N2cos θ＝mg
可知侧壁对小球的支持力F N2不可能为零，底面对小球的支持力F N1可能为零。

所以小球可能受到三个力的作用，也可能受到两个力的作用。

由牛顿第三定律可知，小球对侧壁的压力不可能为零，所以A 、D 错误，B 正确；当v 0<gR tan θ时，F N1＝mg －m v 02
R tan θ>0，由牛顿第
三定律可知，当v 0<gR tan θ时，小球对底面的压力不为零，故C 错误。

5.如图所示，正方形框ABCD 竖直放置，两个完全相同的小球P 、Q 分别穿在方框的BC 、CD 边上，当方框绕AD 轴匀速转动时，两球均恰与方框保持相对静止且位于BC 、CD 边的中点，已知两球与方框之间的动摩擦因数相同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则两球与方框间的动摩擦因数为( )
A.12
B.22
C.14
D.24 答案 B
解析 设方框边长为l ，小球质量为m ，对P 球，根据牛顿第二定律可得μmω2l ＝mg ，对Q 球，根据牛顿第二定律可得μmg ＝mω2l 2，联立解得μ＝2
2
，故选B 。

6.如图为某游乐设施，水平转盘中央有一根可供游客抓握的绳子，质量为m 的游客，到转轴
的距离为r，游客和转盘间的动摩擦因数为μ，设游客受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g。

(1)当游客不抓握绳子时，为保证游客不滑动，转盘的角速度最大不能超过多少？
(2)当转盘的角速度ω＝5μg
3r时，游客抓住绳子可使自己不滑动，则人拉绳的力至少是多大？
答案(1)μg
r(2)
2
3μmg
解析(1)当游客受到的摩擦力达到最大静摩擦力时恰好不滑动
μmg＝mω02r
得ω0＝μg
r
(2)由题意有F T＋μmg＝mω2r
得F T＝2
3μmg
由牛顿第三定律得：F T′＝F T＝2
3μmg。

7．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用水平细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，质量均为m，与圆心距离分别为R A＝r，R B＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。

当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法正确的是()
A．此时绳子张力为F T＝4μmg
B．此时圆盘的角速度为ω＝2μg r
C．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
D．若此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动答案B
解析 A 和B 随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则F ＝mω2R ，B 的运动半径比A 的半径大，所以B 所需向心力大，细线拉力相等，所以当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，B 的静摩擦力方向沿半径指向圆心，A 的最大静摩擦力方向沿半径指向圆外，对物体A 、B ，根据牛顿第二定律分别得：F T －μmg ＝mω2r ，F T ＋μmg ＝mω2·2r ，解得：F T ＝3μmg ，ω＝
2μg
r
，此时A 所需的向心力大小为F nA ＝mω2r ＝2μmg ，B 所需的向心力大小为F nB ＝mω2·2r ＝4μmg ，若此时烧断细线，A 、B 的最大静摩擦力均不足以提供物体所需向心力，则A 、B 均做离心运动，故B 正确，A 、C 、D 错误。

8．如图所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO ′重合。

转台以一定角速度匀速转动，一质量为m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和O 点的连线与OO ′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g 。

求转台转动的角速度。

答案
2g R
解析 对小物块受力分析，如图所示：设此时的角速度为ω0，由支持力和重力的合力提供向心力，有：mg tan θ＝mRω02sin θ，
解得：ω0＝
g tan θ
R sin θ
＝g
R cos θ
＝2g R。

9.(2022·南通市高一期末)如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，物块到转轴的距离为
r 。

一段绳的一端与物块相连，另一端系在圆盘中心上方4
3r 处，绳恰好伸直，物块和转盘间
的动摩擦因数为μ，设物块受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，已知重力加速度为g 。

(1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，求ω1的值； (2)当水平转盘以角速度ω2匀速转动时，物块恰好离开转盘，求ω2的值。

答案 (1)
μg
r
(2)3g 4r
解析 (1)当水平转盘以角速度ω1匀速转动时，绳上恰好有张力，静摩擦力达到最大值，则此时物块所需向心力恰好完全由最大静摩擦力提供，则μmg ＝mrω12，解得：ω1＝μg r。

(2)物块恰好离开转盘，则F N ＝0，物块只受重力和绳的拉力，如图所示，
mg tan θ＝mω22r tan θ＝34
联立解得：ω2＝
3g 4r。

10．(2023·南通市高一统考期末)如图所示，一质量为m 的小球用长度均为L 的两轻绳a 、b 连接，绳a 的另一端固定在竖直细杆的P 点，绳b 的另一端固定在杆上距P 点为L 的Q 点。

当杆绕其竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动。

不计空气阻力，重力加速度为g 。

(1)当绳b 刚好拉直(无弹力)时，求小球的线速度大小v ；
(2)若两绳能承受的最大拉力均为4mg ，求小球绕杆做圆周运动的最小周期T 。

答案(1)6gL
2(2)π
2L
3g
解析(1)圆周运动的半径r＝L cos 30°
小球的合力提供向心力mg tan 60°＝m v2
r
解得v＝6gL
2
(2)竖直方向F a sin 30°＝F b sin 30°＋mg
水平方向F a cos 30°＋F b cos 30°＝m4π2
T2r
当小球做圆周运动的周期减小时，a绳先达到最大拉力F a＝4mg
解得T＝π2L
3g。

11．(2023·苏州市高一统考期中)如图甲所示，一半径为R＝0.5 m的水平转盘可以绕着竖直轴OO′转动，水平转盘中心O处有一个光滑小孔，用一根长为L＝1 m的细线穿过小孔将质量分别为m A＝0.2 kg、m B＝0.5 kg的小球A和小物块B连接。

现让小球和水平转盘各以一定的角速度在水平面内转动起来，小物块B与水平转盘间的动摩擦因数μ＝0.3，且始终处于水平转盘的边缘处与转盘相对静止，取g＝10 m/s2，求：
(1)若小球A的角速度ω＝5 rad/s，细线与竖直方向的夹角θ；
(2)在满足(1)中的条件下，通过计算给出水平转盘角速度ωB的取值范围，并在图乙中画出F f －ω2图像(假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，且规定沿半径指向圆心为正方向)。

(可能使用到的数据：sin 30°＝1
2，cos 30°＝
2
2，
sin 37°＝3
5，cos 37°＝
4
5)
答案(1)37°(2)2 rad/s≤ωB≤4 rad/s
见解析图
解析(1)对小球A受力分析，由牛顿第二定律得
m A g tan θ＝m AωA2r A
由几何关系知r A＝L
2sin θ
解得cos θ＝4
5
即θ＝37°
(2)绳子拉力F T＝m A g
cos θ
＝2.5 N
当物块B受到的最大静摩擦力指向圆心时，转盘ωB最大F T＋μm B g＝m B RωBmax2
解得ωBmax＝4 rad/s
当物块B受到的最大静摩擦力背离圆心时，转盘ωB最小F T－μm B g＝m B RωBmin2
解得ωBmin＝2 rad/s
水平转盘角速度ωB的取值范围为
2 rad/s≤ωB≤4 rad/s。