生物统计学第九章单因素方差分析

E(MSA )
=
σ2 +
n a1
a i=1
a
2 i
=
σ2 +
n a1
a i=1
(μi -μ)2
即 MSA 除了代表随机误了σ2 外， 还，还有效应，
也就是说MS
是代表了各处理间的差异．
A
4. 统计量
当零假设 H0 : α1 = α2 = = αa成=立0 时，处理效
应的方差为零，亦即各处理观察值总体均数i (i=1， 2，…，a) 相等时，处理间均方MSA与处理内均方 一样，也是误差方差2的估计值。
❖ 在计算处理间平方和时，各处理均数要受
a
(xi -x)2 0 这一条件的约束，故处理间自由度
i 1
为处理数减1，即a-1。 处理间自由度记为dft ，则dft= a-1。
在计算处理内平方和时，要受a个条件的约束， n
即 (xij -x，i )i=01,2,...a。故处理内自由度为资料中观 j 1
… Xi …
χi1
χa1
χi2
χa2
χi3
χa3
…
j
ห้องสมุดไป่ตู้xχ11j xχ22j xχ33j
n
xχ11n x 2χ2n x3χ3n
合计 μ1 μ2 μ3
平均数 a1 a2 a3
xχi ij
xχaaj x
x iχin
x aχan x
μi
μa μ
ai
aa
符号
a n
xij n
xi. xij
j 1
xi.
1 n
方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。
二 固定模型fixed model
因素固定、效应也固定，反应到线性模型中即
a为i 常数．可要求
1. 假设
a
α。i = 0
i =1
固定模型的零假设为：H0 : α1 = α2 = = αa = 0 备择假设为：HA : αi ≠0
2. 平方和与自由度的剖分
a
n
a
a
n
所以 (xij -x..)2 n (xi.-x..)2
(xij -xi .)2
i1 j 1
i 1
i1 j 1
a
an
SSA n (xi. - x..)2; SSe
(xij - xi. )2
i 1
i1 j1
a
SSA n (xi. - x..)2，为各处理平均数xi 与总平均数x 的 i 1
7
7
xi2j x12j =1319 x22j =9254 x32j =5152 x42j =3670 x52j =5710
25105
这是一个单因素试验，处理数a =5,重复数n=5。
第一步：计算一级数据（见表）；
第二步：计算SS e、SSA、 dfe 、 dfA x..2 an 7572 25 22921.96
离均差平方和与重复数n的乘积，
反映了重复n次的处理间变异；
an
SSe
(xij - xi.)2，为各处理内离均差平方和的和，
i1 j1
反映了各处理内的变异，即误差的大小．
SST = SS A +SSe
三种平方和的简便计算公式如下：
①
等重复时： C
矫正项 C=x2../an/（5×5）=22921.96
总平方和
SST
xi2j C 25105- 22921.96 2183.04
处理间平方和
SS A
1 n
xi2 -C
=248274-2291.96=1905.44
处理内平方和 SS e=SST -SSA=2183.04－1905.44 =277.60=20
第九章 单因素方差分析
One-factor analysis of variance
方差分析 analysis of variance－ANOVA
由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出。 方差分析是一种特殊的假设检验，是用来判断 多组数据之间平均数差异显著性的。
它不同于t检验之处在于：它把所有数据放 在一起，一次比较就对所有各组间是否有差异做 出判断，如果没有显著性差异，则认为各组平均 数相同；如果发现有差异，再进一步比较是哪组 数据与其它数据不同。
MSe
=
SS e df e
各部分平方和除以各自的自由度便得到总均方、 处理间均方和处理内均方,分别记为： MST(或ST2 )、 MSA(或SA2 )和MSe(或Se2 ),即
MST= ST2 =SST/dfT; MSt= St2 =SSt /dft; MSe= Se2 =Sse /dfe 注意： 在方差分析中不涉及总均方的数值，所 以一般不必计算； ❖总均方一般不等于处理间均 方加处理内均方。
第三步：提出假设
= 24零假设为： H0:各处理组小鼠存活天数差异不显著
备择假设为： HA:各处理组小鼠存活天数差异显著
第四步：计算统计量
F=MSA/MSe=476.36/13.88=34.32** 第五步：查表
根据df1=dft=4，df2=dfe=20 查附表7，得F0.01(4,20)=4.43
（三）因素水平 level of factor 试验因素所处的某些特定状态或数量等级称
为因素水平，简称水平。比如：不同的温度；溶 液不同浓度等。 （四）重复 repeat
在试验中，将一个处理实施在两个或两个以 上的试验单位上，称为处理有重复；某一处理实 施的试验单位数称为该处理的重复数。
本章主要内容
=
x2 ..
(校正项(correct oi n)
an
a
an
x SS T = n (xij-x ..)2 =
2-C;
ij
i =1
i=1 j=1
SS A
=
a i =1
n
(xi. -x ..)2
j=1
=
1 n
a
x
2 i.
i =1
-C
SS e = SS T -SS A
2
an
x .. x ②
不等重复时：C =
第一节 单因素方差分析的基本原理
第二节 单因素方差分析的基本步骤
教学重点：
单因素方差分析的方法
教学要求：
1. 掌握方差分析的概念、作用、基本原理与步骤 2. 掌握单因素试验资料的方差分析方法
第一节 单因素方差分析的基本原理
一、线性模型 二、固定线性模型 三、随机线性模型 四、多重比较 五、基本假定
总自由度
dfT =an-1=25-1=24=5 ×5-1=24
处理间自由度 dfA=a-1=5-1=4=4
处理内自由度 dfe =dfT- dfA=24-4=20 =
处理间均方 MSA=SSt /dfA = 1905.44 /4=476.36
处理内均方 MSe=SSe /dfe = 277.60 /20=13.88
N
;SS T =
i=1 j=1
2-C;
ij
SS A
=
a i =1
x
2 i.
ni
- C;SS e = SS T -SS A
总自由度的拆分
在计算总平方和时，资料中的各个观察值要受
an
(xij -x) 0 这一条件约束，总自由度等于资料
中i观1 j察1 值的总个数减一，即an-1。 总自由度记为dfT，则 dfT = an-1 。
3. 期望均方 expected mean squares EMS
若A是B的无偏估计，则称B是A的数学期望。
处理内均方MSe是误差方差2的无偏估计值，即2 称为MSe 的数学期望。
E(MSe ) = σ2 ，即 MSe 的期望是σ2 ，是随机 误是ε的方差，
说 MSe 是随机误随机误差的一量；
an
[(xi. -x..)2 2(xi. -x..)(xij -xi. ) (xij -xi. )2 ]
i1 j 1
a
a
n
an
n (xi.-x..)2 2 [(xi.-x..) (xij -xi.)]
(xij -xi .)2
i 1
i 1
j 1
i1 j 1
a
其中 (xi. -x..)2 0 i 1
方差分析就是通过MSA 与MSe的比较来推断各
处理平均数 间i 差异的大小．
F= MSA2/ MSe2 F具有两个自由度：df1=dfA=a-1;
df2=dfe=a(n-1)。
F F 查附表7: 0.05(df1,df2 ) 0.01(df1,df2 )
若F＜ F0.05(d，f1,d即f2 ) P＞0.05，不能否定H0，可认为
平均x
2 i
A1 15 16 15 17 18 81 6561
A2 45 42 50 38 39 214 45796
A3 30 35 29 31 35 160 25600
A4 31 28 20 25 30 134 17956
A5 40 35 31 32 30 168 28224
合计
x..=75 12413
可xij以分解为
xij = μi + εij
表示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的
影响μi 大小，将 再进行分解，
μi
令 μ
=
1 a
a i =1
μi
a i = μi -μ
则 xij = μ+ a i + εij
其中μ表示全试验观测值的总体平均数(overall mean)，
a生是i 的第影i个响处。理的效应(treatment effect),表示处理i对试验结果产
εij 是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。
该式称为单因素试验的线性统计模型或数学模型。 （二） 方差分析的基本思路
将a个处理的观测值作为一个整体看待， 把观察值 总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的 平方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差估 计值；通过计算这些估计值的适当比值，就能检验各样 本所属总体均值是否相等。
故an个观察值的总变异可分解为处理间的变 异和处理内的变异两部分。
全部观察值的总变异可以用总均方来度量， 处理间变异和处理内变异分别用处理间均 方和处理内均方来度量。
总平方和的拆分
an
2
an
SST
(xij -x..)
[(xi. -x..) (xij -xi. )]2
i1 j 1
i1 j 1
方差分析中常用基本概念 （一）试验指标 experimental index
为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在 试验中具体测定的性状或观测的项目。 （二）试验因素 experimental factor
试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验
因素，常用大写字母A、B、C、…等表示。
单因素试验与两因素或多因素试验。 固定因素与随机因素：是否可控制。
察值的总个数减a ，即an- a 。
处理内自由度记为dfe，则dfe= an-a= a(n-1)。 因为 na -1=(a-1)+(na-a)=(a -1)+ a(n-1)
所以 dfT= dfA+ dfe 综合以上各式得：
dfT an-1 dfA a-1 dfe dfT -dfA
总均方的拆分是通过将总均方的分子──称为总
离均差平方和，简称为总平方和(SST) ，剖分成处理 间平方和(SSA)与处理内平方和(SSe)两部分；将总均 方的分母──称为总自由度 ，剖d分fT 成处理间自由度
与处理内d自fA由度 两部分来实d现fe 的。
处理间均方（处理均方，MSA ）
处理内均方（误差均方，MSe ）
MSA
=
SS A df A
【例9.1】 某试验研究不同药物对腹水癌的治疗效果，将 患腹水癌的25只小白鼠随机分为5组，每组5只。其中A1
组不用药作为对照，A2、A3为两个不同的用中药组，A4、
A5为两个不同的西药组。各组小白鼠的存活天数如表7— 2所示。表9—2 用不同药物治疗腹水癌小白鼠的结果
药物 各小鼠存活天数（xij） 合计xi.
一、线性模型
（一）线性模型 linear statistical model 假设某单因素试验有a个处理，每个处理有
n次重复，共有na个观测值。这类试验资料的 数据模式如表9-1所示。
表9-1 单因素方差分析的典型数据模式
合计 Xa 1 2 3 … …
X1
X2
X3
χ11 χ21 χ31 χ12 χ22 χ32 χ13 χ23 χ33 … ……
xi.
an
x.. xij i1 j1
x.. 1 x.. an
Si2.
1 n-1
a i 1
(xij -xi. )2
文字表述
因素水平数 每一水平的重复数 第i水平的第j次观察值 第i水平所有观察值的 和
第i水平均值
全部观察值的和
总平均值
第i水平上的子样方差
各处理总和、 平均数、大总 和、总平均数 是计算的一级 数据，在本章 我们采用了黑 点符号体系法 表示，要注意 熟悉和掌握。
各处理间差异不显著；
＜ 若 F ≤F 0.05(df1,df2 )
，F0.即01(d0f1.,0df12 )＜P≤0.05,
否定H0，接受HA，认为各处理间差异显著，标记
“*” ;
若F≥ F0.01(，df1,即df2 )P≤0.01，否定H0，接受HA， 认为
各处理间差异极显著，标记“**”。