函数展开成幂级数PPT课件

n0
n0
x
(
0
an xn )dx
n0
n0
x 0
(an
x
n
)
d
x
x(R, R)
2
第2页，共25页。
二、幂级数和函数的求法
• 求部分和式的极限
•逐项求导或求积分法 （在收敛区间内）
anxn
n0
难
逐项求导或求积分
(an xn )
n0
求和
S(x)
对和式积分或求导
S*(x)
3
第3页，共25页。
第五节
18
第18页，共25页。
例3 将 f (x) 1
展开成x的幂级数.
x2 5x 6
解
1
1 x x2 x3
xn，x (1,1)
1 x
n0
f (x) 1 1 1 ，
(2 x)(3 x) 2 x 3 x
1 2
x
1 1 2 1 x
1 2
(
n0
x )n， 2
xx((2,21),1) 2
f (n)(0) n!
x n 又称为麦克劳林级数
.
待解决的问题 :
？ f (x)
n0
f
(n)( x0 n!
)(
x
x0
)n
f (x)
n
n0
f
(n) ( x0 n!
)(
x
x0
)n
Rn
(
x)
9
第9页，共25页。
3.泰勒级数的收敛定理:
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
例如:
ex 1 x 1 x2 1 x3 , x 2! 3!
ln(1 x) x x2 x3 , 1 x 1 23
5
第5页，共25页。
函数能展开成幂级数的定义:
给定函数
如果能找到一个幂级数，使得
它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数
则称函数在该区间内能展开成幂级数
问题:
n0 n!
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn
2! 3!
n!
第14页，共25页。
, x (, )
14
例2. 将
解: f (n) (x)
展开成 x 的幂级数.
f (n) (0) xn
n0 n!
f (n) (0)
0,
(1)k ,
n 2k
n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
f (x)
an xn
n0
1.如果能展开, an 是什么?
2.展开式是否唯一?
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
6
第6页，共25页。
函数能展开成幂级数的定义:
给定函数
如果能找到一个幂级数，使得
它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数
则称函数在该区间内能展开成幂级数
f (x)
例如:
an xn
n0
,
x
(,
)
n0
16
第16页，共25页。
2. 间接展开法 根据唯一性, 利用已知的函数展开式, 通过变量
代换, 四则运算, 恒等变形, 逐项求导, 逐项积分等方法,
将所给函数展开成幂级数.
函数 转化 已知展开式的新函数
例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
1 1 x x2 x3
(1)n xn , x (1 , 1 )
第15页，共25页。
x ( , )
15
常用函数的幂级数展开式（要求牢记！）
(1)
1 1 x x2 x3
xn , x (1, 1)
1 x
n0
(2)
1 1 x x2 x3
(1)n xn , x (1,1)
1 x
n0
(3) ln(1 x) x x2 x3 x4 (1)n1 xn , x (1, 1]
ln(1
3 2
x)
(1) n
n1
(
3 2
x)
n
(
2 3
x
32)
n1
f (x) ln 2 xn
n1 n
n1
(1)n1 n
( 23
x)n
ln(1
lnx2) (11[1)n1 nn11n n
(xn23,
x)n]
(xn1
,
1
]
(
2 3
x
32)
22
第22页，共25页。
例7. 将下列函数展开成 x 的幂级数
函数展开成幂级数
1
第1页，共25页。
复习
1.幂级数和函数的分析运算性质:
定理 若幂级数
的收敛半径
S( x) an xn n0 则其和函
在收敛域上连续； 且在收敛区间内可逐项求导与
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同，即
lim
x x0
n0
an
xn
n0
lim
x x0
(an
xn
)
x 收敛域
( an xn ) (an xn ) x (R , R )
lim
n
f
(x)
Sn1(x)
0
,
x (x0 )
10
第10页，共25页。
4.系数的惟一性定理:
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
惟一的 , 且
an
1 n!
f
(n) (0)，(n
0,1, 2,
)，
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
则
a0 f (0)
f (x) a1 2a2 x nan xn1 ; a1 f (0)
8
第8页，共25页。
2.泰勒级数定义:
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
为f
(x)
f
的泰勒级数
(n) (x0 ) (x n!
.
x0 )n
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
当x0
=
0
时,
泰勒级数 n0
4
4
sin cos( x ) cos sin( x )
4
4
4
4
1 cos( x ) sin( x )
2
4
4
(1)n
n0
1 (2n)!
(
x
4
)2n
n0
(1)n
1 (2n1)!
(
x
4
)2n1
1 2
1
(
x
4
)
1 2!
(
x
4
)2
1 3!
(
x
4
)3
20
第20页，共25页。
x
f ( x) (0 f ( x)dx)
sin x或cos x
5)反三角函数： 先求导化为有理函数，再积分
24
第24页，共25页。
n0 n!
思考：将 f ( x) x5e2x 展开成x的幂级数.
x5e2x x5
1 (2x)n
1 (2)n x ， n5
x (,)
n0 n!
n!
将 f ( x) 2x 展开成x的幂级数.
f (x) exln2
ff((xx)) (ln1 2()xnlxnn2,)n ,x x((,, )) nn00 nn! !
2
1 1 1 3 x 3 1 x
1 3
n0
(
x 3
)n，
x
x(3,(3) 1,1) 3
3
f ( x) 1 ( x )n 2 n0 2
1 3
(
n0
x )n 3
1 ( 2n1
n0
1 3n1
)x n .
第19页，共25页。
x (2, 2);
19
例4. 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin ( x )
)
2)幂级数的展开式是唯一的.
3）f ( x)
n0
f
(n) ( x0 )( x n!
x0
)n
lim
n
Rn
(
x)
0，
？ 问题: 1.如果能展开, an 是什么?
2.展开式是否唯一?
f (x)
an xn
n0
3.在什么条件下才能展开成幂级数?
12
第12页，共25页。
二、函数展开成幂级数
直接展开法 — 利用泰勒公式 展开方法
3!
n!
an
n0
f (n)(0) n!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
lim x n1 0， n (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x
( 在0与x 之间)
(n 1)!
lim
n
Rn
(
x
)
0.
e x 1 xn , x (, )
间接展开法 — 利用已知其级数展开式的函数展开
1. 直接展开法 由泰勒级数理论可知,
函数 f (x) 展开成幂级数的步 骤如下 :
第一步
第二步 半径 R ;
求 an
f (n)( x0 ) ; n!
写出泰勒级数
n0
f
(n)( x0 ) ( x n!
x0 )n ,
并求出其收敛
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内
( x 1)n1
4 x
4 x n0
3n1
x1 3
( x 1)n的系数为 1 3n
于是
f
(n) (1) n!
1 3n
,
故
f
(n) (1)
n! 3n
.
21
第21页，共25页。
例6. 将
在x = 0处展为幂级数.
解:
因此
ln(1
x)
n1
xn n
2 x 3x2 (1 x)(2 3x) (1 x 1)
第九章
函数展开成幂级数
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
直接展开法 展开方法
间接展开法
4
第4页，共25页。
函数能展开成幂级数的定义:
给定函数
如果能找到一个幂级数，使得
它在某区间内收敛，且其和恰好就是给定的函数
则称函数在该区间内能展开成幂级数
f (x)
an xn
n0
1 x
n0
把 x 换成 x2 , 得
(1)n x2n ( 1 x 1 ).
n0
17
第17页，共25页。
例2 将 f ( x) e2x 展开成x的幂级数.
解 e x 1 x x2 x3 1 xn , x (, )
2! 3!
n0 n!
将-2x代入上式中x的位置，即得
e2x 1 (2x)n , x (,)
f (x)
(1)n x2n1 ,
x [1, 1]
4 n0 2n 1
23
第23页，共25页。
注意： 把函数展开为幂级数的间接展开法实际上就是转化
函数 转化 展开式已知的新函数
经验：
1)有理函数 2)指数函数
3)对数函数
4)三角函数
转化 转化
转化
转化
1或1 1 x 1 x
ex
ln(1 x)
x
f ( x) f (0) 0 f ( x)dx
解:
(1)n x2n , x (1,1)
n0
1
xn，x (1,1)
1 x n0
x
f ( x) f (0) 0 f ( x)dx
(1)n
x x2n d x
(1)n x2n1 x (1,1 )
0 n0
n0 2n 1
x＝±1 时, 此级数条件收敛,
f (0) , 因此
4
条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:
lim
n
Rn
(
x
)
0
.
证明:
f (x)
n0
f (n)( x0 )( x n!
x0 )n
,
x (x0 )
泰勒级数 收敛于f(x)
n
令Sn1(x)
k 0
f
(k ) ( x0 k!
) (x
x0
)k
f (x) Sn1(x) Rn (x)
lim
n
Rn (x)
f (x)
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)
2
f
(n) (x0 n!
)
(x
x0
)n
Rn (x)
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中
Rn (x)
f
(n1) (
(n 1)!
)
(
x
x0
) n 1
( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
lim
n
Rn
(
x
)是否为
0.
若
lim
n
Rn
(
x
)
0，
则
f (x)
n0
f (n)( x0 )( x n!
x0 )n
.
13
第13页，共25页。
例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f
故得级数
(n) (x) ex, f
1 x 1 x2
2!
(n) (0) 1 (n 0,1,),
1 x3 1 xn
234
n1 n
(4) e x 1 x x2 x3 1 xn , x (, )
2! 3!
n0 n!
(5) sin x x x3 x5 3! 5!
(1)n
1 (2n1)!
x 2n1 ,
x
(,
)
n0
(6) cos x 1 x2 x4
2! 4!
(1)n
1 (2n)!
x2n
f (x) 2!a2 n(n 1)an xn2 ;
a2
1 2!
f
(0)
f (n) (x) n!an ;
an
1 n!
f
(n) (0)
显然结论成立 . 11 第11页，共25页。
说明：
1）用f
( x)可构造 an( x
n0
x0 )n，其中an
1 n!
f
(n) ( x0 )，(n
0,1, 2,
例5 将f ( x) x 1 在x 1处展开成泰勒级数 4 x
(展开成x 1的幂级数)并求f (n)(1).
解 1 1
1
1
( x 1)n
4 x 3 ( x 1) 3(1 x 1) 3 n0 3
n0
( x 1)n 3n1
3 x1 3
x 1 ( x 1) 1
ex 1 x 1 x2 1 x3 , x 无穷级数 2! 3!