北师大版八年级数学下册《完全平方公式》PPT课件

(2) -x2 + 4xy - 4y2.
分析：(1)中 16x2 = (4x)2，9 = 3²；(2)中首项有负号，一
24x = 2×4x·3；所以16x2+24x+9 般先利用添括号法则，
是一个完全平方式，即 16x2 + 将其变形为 - (x2 - 4xy
24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + (3)2. + 4y2 )，然后再利用公
(2) 原式＝(a2＋4)2 - (4a)2
要检查每一个多项 式的因式，看能否
继续分解
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4 - 4a)
＝(a＋2)2(a - 2)2.
例4 把下列完全平方公式分解因式：
本题利用完全平方
(1) 1002 - 2×100×99＋99²；
公式分解因式，可
(2) 342＋34×32＋162.
分析：(1) 中有公因式 3a，应先提出公因式，再进一 步分解因式； (2) 中将 a + b 看成一个整体，则原式也是个完全平 方式. 解：(1) 原式 = 3a(x2 + 2xy + y2) = 3a(x + y)2.
(2) 原式 = (a + b)2 - 2·(a + b) ·6 + 62 = (a + b - 6)2.
D．x2－5y
2. 把多项式 4x2y－4xy2－x3 分解因式的结果是 ( B )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3. 若 m ＝ 2n＋1，则 m2－4mn＋4n2 的值是___1__． 4. 若关于 x 的多项式 x2－8x＋m2 是完全平方式，则 m
(2) 原式＝ 1 (x2 - 6x＋9)＝ 1 (x - 3)2.
3
3
8. (1) 已知 a－b＝3，求 a(a－2b)＋b2 的值； (2) 已知 ab＝2，a＋b＝5，求 a3b＋2a2b2＋ab3 的值. 解：(1) 原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2. 当 a－b＝3 时，原式＝32＝9. (2) 原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2. 当 ab＝2，a＋b＝5 时， 原式＝2×52 ＝ 50.
的值为__±__8__. 解析：由于16 = (±4)2，故 -m = 2×(±4)，m = ±8.
方法总结：本题要熟练掌握完全平方公式的结构特 征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已 知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程 中，要注意积的 2 倍的符号，避免漏解．
例2 分解因式： (1) 16x2 + 24x + 9；
∴x－2＝0，y－5＝0. ∴x＝2，y＝5. ∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
几个非负式的和 为 0，则这几个 非负式都为 0.
＝112＝121.
方法总结：此类问题一般情况是通过配方将原 式转化为非负式的和的形式，然后利用非负式 性质解答问题．
例6 已知 a，b，c 分别是△ABC 三边的长，且 a2＋2b2＋ c2－2b(a＋c) ＝ 0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．
概念学习
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式， 完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式 的方法叫做公式法.
针对训练 因式分解：
有公因式要先
(1) -3a2x2＋24a2x - 48a2； (2) (a2＋4)2 - 16a2.
提公因式
解：(1) 原式＝-3a2(x2 - 8x＋16) ＝-3a2(x - 4)2.
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4； 是 （3）4b2 + 4b - 1； 不是 （5）x2 + x + 0.25. 是
（2）1 + 4a²； 不是 （4）a2 + ab + b2； 不是
分析：（2）因为它只有两项； （3）4b²与 -1 的符号不统一； （4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
公式
完全平方 公式分解
因式
完全平 方式
a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2
（1）要求多项式有三项； （2）其中两项是两数(或两式) 的平方和，另一项则是这两数 (或式)的乘积的 2 倍，符号可 正可负.
a2 +2ab + b2 式分解因式.
解：(1) 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2 = (4x + 3)2.
(2) -x2 + 4xy - 4y2 = -(x2 - 4xy + 4y2) = -(x - 2y)2.
例3 把下列各式分解因式： (1) 3ax2 + 6axy + 3ay2； (2) (a + b)2 - 12(a + b) + 36.
完全平方式的特点： 1. 必须是三项式 (或可以看成三项的)； 2. 有两个数或式的平方和； 3. 有两底数之积的 ±2 倍.
简记口诀：
首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式.
将它写成完全平方的形式，
便实现了因式分解.
两个数的平方和加上
a2
± 2ab
+ b2
=
(a
±
以简化计算.
解：(1) 原式 = (100 - 99)²
= 1. (2) 原式 = (34＋16)2
= 2500.
例5 已知 x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求 x2y2＋2xy＋1 的值.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
观察这两个式子： a2 + 2ab + b2
a2 - 2ab + b2
（1）每个多项式有几项？ 三项
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？ 这两项都是数或式的平方，并且符号相同
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？ 是第一项和第三项底数的积的 ±2 倍
完全平方式： a 2 2ab b2
第四章 因式分解
4.3 公式法
第2课时 完全平方公式
复习引入 1. 因式分解： 把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
2. 我们已经学过哪些因式分解的方法？ (1) 提公因式法 (2) 平方差公式 a2 - b2 = (a + b)(a - b)
用完全平方公式分解因式
你能把下面 4 个图形拼成一个正方形，并求出 你拼成的图形的面积吗？
= (4a + 2b - 1)2. (3) 原式 = ( y + 1)²- x²
= (y + 1 + x)( y + 1 - x).
6. 计算：(1) 38.92－2×38.9×48.9＋48.92； (2)20242 2024 4046 20232.
解：(1) 原式 = (38.9－48.9)2 = 100.
典例精析
例1 如果 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，那么 N = ( B )
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x = 2x×(-3)， 故可知 N = (-3)2 = 9.
变式训练 如果 x2 -mx + 16 是一个完全平方式，那么 m
拼出图形为：
a a² a
ab a ab a b²b
b
b
b
这个大正方形的面积可以怎么求？ b ab b²
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
a
将上面的等式逆过来写，能得到：
a² ab
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a
b
我们把 a²+ 2ab + b²和 a²- 2ab + b²这样的式子叫做 完全平方式.
(2) 原式 (2024)2 2 2024 2023 (2023)2 (2024 2023)2
1.
7. 分解因式：(1) 4x2＋4x＋1；(2) 1 x2 - 2x＋3. 小聪和小明的解答过程如下： 3
小聪:
小明:
×
×
他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.
解：(1) 原式＝(2x)2＋2×2x • 1＋1＝(2x＋1)2.
解：由 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，得 a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即 (a－b)2＋(b－c)2＝0， ∴ a－b＝0，b－c＝0，∴ a＝b＝c. ∴△ABC 是等边三角形.
1. 下列四个多项式中，能因式分解的是 ( B )
A．a2＋1
B．a2－6a＋9
C．x2＋5y
b)²
(或减去) 这两个数的 积的 2 倍，等于这两
首2 ±2× + 尾2 首×尾
(首±尾)2
个数的和 (或差) 的平 方.
对照 a²±2ab＋b²= (a±b)²，填空： 1. x²+ 4x + 4 = ( x )²+ 2·(x )·( 2 ) + ( 2 )²= ( x + 2 )² 2. m²- 6m + 9 = ( m)²- 2·(m) ·( 3) + ( 3 )²= (m - 3 )² 3. a²+ 4ab + 4b²= (a )²+ 2·( a ) ·( 2b ) + ( 2b)²= ( a + 2b )²
多项式因式分解.
(1) x2 - 12x + 36； (3) y2 + 2y + 1 - x2.
(2) 4(2a + b)2 - 4(2a + b) + 1；
解：(1) 原式 = x2 - 2·x·6 + (6)2
= (x - 6)2. (2) 原式 = [ 2(2a + b) ]²- 2·2(2a + b)·1 + ( 1 )²