高中数学第一章坐标系二第二课时极坐标和直角坐标的互化优化练习新人教A版选修4_42018080415

二 第二课时 极坐标和直角坐标的互化
[课时作业] [A 组 基础巩固]
1．将极坐标⎝
⎛⎭⎪⎫2，3π2化为直角坐标为( )
A ．(0,2)
B ．(0，－2)
C ．(2,0)
D ．(－2,0)
解析：由题意可知，x ＝2cos 3π2＝0，y ＝2sin 3π
2＝－2.
答案：B
2．把点的直角坐标(3，－4)化为极坐标(ρ，θ)(限定ρ≥0,0≤θ＜2π)，则( ) A ．ρ＝3，θ＝4 B ．ρ＝5，θ＝4 C ．ρ＝5，tan θ＝4
3
D ．ρ＝5，tan θ＝－4
3
解析：由公式得ρ＝ x 2
＋y 2
＝ 32
＋－2
＝5，
tan θ＝y x ＝－4
3
，θ∈[0,2π)．
答案：D
3．在极坐标系中，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6之间的距离为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：方法一 点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6的直角坐标分别为(3，1)与(3，－1)， 于是|AB |＝
3－3
2
＋＋1
2
＝2.
方法二 由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6与B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6知， |OA |＝|OB |＝2，∠AOB ＝π
3
，
于是△AOB 为等边三角形，所以|AB |＝2. 答案：B
4．若A ，B 两点的极坐标为A (4,0)，B ⎝
⎛⎭⎪⎫4，π2，则线段AB 的中点的极坐标为( )
A.⎝
⎛⎭⎪⎫22，π4
B.⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π4
D.⎝
⎛⎭⎪⎫2，π4
解析：由题易知点A ，B 的直角坐标分别为(4,0)，(0,4)，则线段AB 的中点的直角坐标为(2,2)．
由ρ2
＝x 2
＋y 2
，得ρ＝2 2.
因为tan θ＝22＝1，且点(2,2)在第一象限，所以θ＝π
4
.故线段AB 的中点的极坐标为
⎝
⎛⎭⎪⎫22，π4.
答案：A
5．在极坐标系中，点A ⎝
⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
22
，2π3，则线段AB 中点的极坐标为( )
A.⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，5π12
B.⎝
⎛⎭⎪⎫1，5π12
C.⎝
⎛⎭⎪⎫
22，5π12 D.⎝
⎛⎭
⎪⎫
22，π3 解析：由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π6，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫
22
，2π3知，∠AOB ＝π2，于是△AOB 为等腰直角三角形，
所以|AB |＝
2
2
×2＝1， 设线段AB 的中点为C ，
则|OC |＝12，极径OC 与极轴所成的角为5π
12
，
所以线段AB 中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，5π12.
答案：A
6．极坐标系中，直角坐标为(1，－3)的点的极角为________． 解析：直角坐标为(1，－3)的点在第四象限， tan θ＝－3，所以θ＝2k π－π
3(k ∈Z)．
答案：2k π－π
3
(k ∈Z)
7．极坐标系中，点⎝
⎛⎭⎪⎫6，7π3的直角坐标为________．
解析：∵x ＝ρcos θ＝6cos 7π
3
＝3，
y ＝ρsin θ＝6sin
7π
3
＝33， ∴点的极坐标⎝
⎛⎭⎪⎫6，7π3化为直角坐标为(3,33)．
答案：(3,33)
8．平面直角坐标系中，若点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ，则极
坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于________．
解析：因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，7π2经过伸缩变换⎩
⎪⎨⎪⎧
x ′＝2x ，y ′＝13y 后的点为Q ⎝
⎛⎭
⎪⎫6，
7π6，则极坐标系中，极坐标与Q 的直角坐标相同的点到极轴所在直线的距离等于6|sin 7π
6
|＝3.
答案：3
9．已知点的极坐标分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2π3，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－π，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π2，求它们的直角坐标．
解析：根据x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得A ⎝
⎛⎭⎪⎫322，－322，B (－1，－3)，C ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－32，0，D (0，－4)．
10．分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． (1)(－1,1)；(2)(4，－43)； (3)⎝
⎛⎭⎪⎫3π2
，3π2；(4)(－6，－2)．
解析：(1)∵ρ＝－
2
＋12
＝2，
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)，
由于点(－1,1)在第二象限，所以θ＝3π
4
，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫
2，
3π4. (2)∵ρ＝42
＋－43
2
＝8，
tan θ＝－43
4＝－3，θ∈[0,2π)，
由于点(4，－43)在第四象限． 所以θ＝5π
3
，
∴直角坐标(4，－43)化为极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫8，5π3.
(3)∵ρ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫3π22＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π22＝32π2， tan θ＝3π2
3π2＝1，θ∈[0,2π)，
由于点⎝
⎛⎭⎪⎫3π2
，3π2在第一象限，
所以θ＝π
4，
∴直角坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，3π2化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32π2
，π4.
(4)∵ρ＝
－6
2
＋－2
2
＝22，
tan θ＝－2－6＝3
3，θ∈[0,2π)，
由于点(－6，－2)在第三象限， 所以θ＝7π
6
，
∴直角坐标(－6，－2)化为极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫22，7π6. [B 组 能力提升]
1．在极坐标系中，若A ⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，7π6，求△ABO 的面积(O 为极点)为( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析：由题意可知，在△ABO 中，OA ＝3，OB ＝4，∠AOB ＝7π6－π3＝5π
6
，
所以△ABO 的面积为S ＝12|OA |·|OB |·sin∠AOB ＝12×3×4×sin 5π6＝12×3×4×1
2＝3.
答案：B
2．已知A ，B 的极坐标分别是⎝
⎛⎭⎪⎫3，π4和⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13π12，则A 和B 之间的距离等于( )
A.
18＋6
2 B.
18－6
2 C.36＋32
2
D.
36－32
2
解析：A ，B 两点在极坐标系中的位置，如图．
则由图可知∠AOB ＝13π12－π4＝5π
6.
在△AOB 中，|AO |＝|BO |＝3， 所以由余弦定理得
|AB |2＝|OB |2＋|OA |2
－2|OB |·|OA |·cos 5π6＝9＋9－2×9×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32
＝18＋93＝92(1＋3)2
.
所以|AB |＝36＋32
2.
答案：C
3．已知点P 的直角坐标按伸缩变换⎩⎨
⎧
x ′＝2x ，
y ′＝3y
变换为点P ′(6，－3)，限定ρ＞
0,0≤θ＜2π时，则点P 的极坐标为________．
解析：设点P 的直角坐标为(x ，y )，由题意得⎩⎨
⎧
6＝2x ，
－3＝3y ，
解得⎩⎨
⎧
x ＝3，y ＝－ 3.
∵点P 的直角坐标为(3，－3)， ∴ρ＝ 32
＋－3
2
＝23，tan θ＝－3
3
.
∵0≤θ＜2π，点P 在第四象限， ∴θ＝11π6
，
∴点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6. 答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫23，11π6
4．在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为⎝
⎛⎭⎪⎫3，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6，则△AOB (其中O
为极点)的面积为________．
解析：如图所示，|OA |＝3，|OB |＝4，∠AOB ＝π3－π6＝π6，所以S △AOB ＝1
2|OA |·|OB |·sin
∠AOB ＝12×3×4×1
2
＝3.
答案：3
5．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6.判断M ，N ，P 三点是
否共线？说明理由．
解析：将极坐标M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3，N (2,0)，P ⎝
⎛⎭⎪⎫23，π6分别化为直角坐标，得M (1，－3)，
N (2,0)，P (3，3)．
方法一 因为k MN ＝k PN ＝3，所以M ，N ，P 三点共线．
方法二 因为MN →＝NP →＝(1，3)．所以MN →∥NP →
，所以M ，N ，P 三点共线．
6．已知点M 的极坐标为⎝
⎛⎭⎪⎫4，π6，极点O ′在直角坐标系xOy 中的直角坐标为(2,3)，极
轴平行于x 轴，极轴的方向与x 轴的正方向相同，两坐标系的长度单位相同，求点M 的直角坐标．
解析：以极点O ′为坐标原点，极轴方向为x ′轴正方向，建立新
直角坐标系x ′O ′y ′，设点M 的新直角坐标为(x ′，y ′)，于是x ′＝4cos π6＝23，y ′＝4sin π
6
＝2，
由O ′(x ′，y ′)＝O ′(0,0)，
O ′(x ，y )＝O ′(2,3)，
易得O ′(x ′，y ′)与O ′(x ，y )的关系为
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝x ′＋2，y ＝y ′＋3，于是点M (x ，y )为
⎩⎨
⎧
x ＝23＋2，y ＝2＋3＝5，
所以点M 的直角坐标为(23＋2,5)．
精美句子
1、善思则能“从无字句处读书”。

读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。

读大海，读出了它气势磅礴的豪情。

读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。

2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。

幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。

幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。

幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。

幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。

幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。

3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。

4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。

鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。

矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。

蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。

航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。

5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。

井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。

笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。

山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。

水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。

空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。

空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。

地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了
6、朋友是什么？
朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。

朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。

7、一粒种子，可以无声无息地在泥土里腐烂掉，也可以长成参天的大树。

一块铀块，可以平庸无奇地在石头里沉睡下去，也可以产生惊天动地的力量。

一个人，可以碌碌无为地在世上厮混日子，也可以让生命发出耀眼的光芒。

8、青春是一首歌，她拨动着我们年轻的心弦；青春是一团火，她点燃了我们沸腾的热血；青春是一面旗帜，她召唤着我们勇敢前行；青春是一本教科书，她启迪着我们的智慧和心灵。