安庆市怀宁县第二中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题理

安徽省安庆市怀宁县第二中学2020—2021学年高二数学上学期期中试题理一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1．过点A(3,－4），B(－2,m)的直线l的斜率为－2，则m的值为
A．6B．1C．2D．4 2．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是
A．（1，－2),5 B．（1,－2），错误!C．(－1,2），5
D．(－1，2),错误!
3．在空间直角坐标系O。

xyz中，点A在z轴上，它到点(22，错误!，1）的距离是错误!,则点A的坐标是
A．（0,0，－1）B．（0,1,1) C．（0,0,1）D．(0，0,13)
4．过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．x－2y＋3＝0
5．若直线l1和l2是异面直线,l1在平面α内,l2在平面β内，l是
平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是
- 1 -
A．l与l1，l2都不相交B．l与l1,l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交
6．若点P（2，－1)为圆（x－1）2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
7.圆锥的轴截面是等腰直角三角形,侧面积是16错误!π，则圆锥的体积是
A．错误!B．错误!C．64πD．128错误!π
8．直线l：y＝kx－1与曲线y－2
x－1＝错误!不相交，则k的取值是
A。

错误!或3 B。

错误!C．3 D.错误!
9．在正三棱柱ABC。

A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则点A到平面A1BC的距离为
A。

错误! B.错误!C。

错误! D.错误!
- 2 -
10．过点P(－2,4）作圆（x－2）2＋(y－1）2＝25的切线l,直线l1：ax＋3y＋2a＝0与l平行，则l1与l间的距离是
A。

错误!B。

错误! C.错误!
D.错误!
11．若圆C:x2＋y2＋2x－4y＋3＝0关于直线2ax＋by＋6＝0对称，则由点（a，b）所作的圆的切线长的最小值是
A．2 B．3 C．4
D．6
12．如图，在△ABC中，AB＝BC＝错误!，∠ABC＝90°, 点D 为AC的中点，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，使PC＝PD，连接PC, 得到三棱锥P。

BCD，若该三棱锥的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是A．πB．3πC．5πD．7π二、填空题（本大题共4小题，每小题5分,共20分）
13．若直线l1:ax＋y＋2a＝0与l2：x＋ay＋3＝0互相平行，则实数a＝________。

14．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点,则|AB｜＝________。

15．若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r>0)相交于A,B 两点，
- 3 -
且∠AOB＝120°（O为坐标原点），则r＝________。

16．将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A.BD。

C，有如下三个结论．
①AC⊥BD；
②△ACD是等边三角形；
③AB与平面BCD成60°的角．
说法正确的命题序号是________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．(本小题满分10分）已知两条直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0,试确定m、n的值,使
(1)l1与l2相交于点(m,－1);
（2）l1∥l2;
（3)l1⊥l2,且l1在y轴上的截距为－1.
18．（本小题满分12分）如图，长方体ABCD。

A1B1C1D1中，AB ＝16，BC＝10，AA1＝8，点E，F分别在A1B1，D1C1上,A1E＝D1F
- 4 -
＝4。

过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
(1)在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；
（2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．
19．(本小题12分)如图,在直三棱柱ABC。

A1B1C1中，已知AC⊥BC,BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.求证:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)BC1⊥AB1.
20．（本小题满分12分)已知直线x－y＋1＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋m＝0交于A，B两点．
(1）求线段AB的垂直平分线的方程;
(2)若|AB|＝2错误!，求m的值;
(3）在(2）的条件下，求过点P（4，4)的圆C的切线方程．
- 5 -
21．（本小题满分12分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示．
(1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由)；
（2)判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；
(3)证明：直线DF⊥平面BEG.
22．（本小题满分12分）已知以点C错误!（t∈R，t≠0）为圆心的圆过原点O。

(1）设直线3x＋y－4＝0与圆C交于点M,N，若｜OM｜＝|ON|,求圆C的方程；
- 6 -
（2)在(1）的条件下，设B（0，2），且P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，求｜PQ|－｜PB|的最大值及此时点P的坐标．
- 7 -
2020—2021学年度第一学期期中考试
高二数学试题（理科)答案
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 解析：选A由题意知k AB＝错误!＝－2，∴m＝6。

2．解析:选D圆的方程化为标准方程为（x＋1）2＋(y－2）2＝5，其圆心是（－1，2)，半径为错误!。

3．解析：选C由点A在z轴上，可设A(0,0,z)，∵点A到点（2错误!，错误!，1）的距离是错误!，∴(2错误!－0)2＋（错误!－0）2＋（z －1)2＝13，解得z＝1，故A的坐标为（0,0,1)，故选C。

4．解析：选A结合图形可知，所求直线为过点(1,2)且与原点
和点(1,2）连线垂直的直线，其斜率为－1
2，直线方程为y－2＝
－错误!(x－1)，即x＋2y－5＝0.
5．解析：选D由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行,故l1，l2中至少有一条与l相交．
6．解析：选A设圆心为C(1,0)，则AB⊥CP，∵k CP＝－1，∴k AB＝1，∴直线AB的方程是y＋1＝x－2，即x－y－3＝0。

7.解析:选A［(1)设圆锥的底面半径为r,母线长为l，
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形,∴2r＝l2＋l2，即l＝错误!r，
- 8 -
由题意得，侧面积S侧＝πr·l＝错误!πr2＝16错误!π，∴r＝4。

∴l＝4错误!，高h＝错误!＝4。

∴圆锥的体积V＝错误!Sh＝错误!π×42×4＝错误!π,故选A. 8．解析：选A曲线错误!＝错误!表示直线x－2y＋3＝0(去掉点(1，2）），则直线l:y＝kx－1与曲线错误!＝错误!不相交，即直线l与x －2y＋3＝0平行或直线l过点（1，2）,所以k的取值为错误!或3。

9．解析：选B因为ABC-A1B1C1是正三棱柱,AB＝2,所以底面三角形ABC的面积为错误!，所以VA1-ABC＝错误!×错误!×1＝错误!。

如图，在△A1BC中,A1B＝A1C＝错误!＝错误!，所以BC边上的高为错误!＝2,所以S△A1BC＝错误!×2×2＝2。

设点A到平面A1BC的距离为h，所以错误!·S△A1BC·h＝VA1。

ABC，解得h＝错误!.
10．解析：选B直线l1的斜率k＝－错误!，l1∥l,
又l过P（－2,4)，∴l的直线方程为y－4＝－错误!（x＋2）,
即ax＋3y＋2a－12＝0。

又直线l与圆相切，∴错误!＝5，∴a＝－4，∴l1与l的距离为d＝错误!.
11．解析:选C将圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0化为标准方程为（x＋1）2＋(y－2）2＝2,∴圆心C（－1，2），半径r＝ 2.∵圆C 关于直线2ax＋by＋6＝0对称，∴直线2ax＋by＋6＝0过圆心，
将x＝－1，y＝2代入直线方程得－2a＋2b＋6＝0，即a＝b＋3。

- 9 -
∵点（a，b）与圆心的距离d＝错误!,∴由点（a，b）向圆C所作切线长l＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!≥4，当且仅当b＝－1时切线长最小,最小值为4。

12．D[由题意得该三棱锥的面PCD是边长为错误!的正三角形，且BD⊥平面PCD, 设三棱锥P.BDC外接球的球心为O，△PCD 外接圆的圆心为O1,则OO1⊥平面PCD，所以四边形OO1DB为直角梯形，由BD＝错误!，O1D＝1，及OB＝OD，得OB＝错误!, 所以外接球半径为R＝错误!，所以该球的表面积S＝4πR2＝4π×错误!＝7π。

]
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．解析：由两直线平行的条件A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0得错误!得a＝±1。

答案：±1
14．解析:由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C（0,－1)，半径r＝2.圆心C（0，－1）到直线x－y ＋1＝0的距离d＝错误!＝错误!,
∴|AB|＝2错误!＝2错误!＝2错误!。

答案：22
15．解析：由直线与圆的位置及圆的性质，可求得圆心（0,0）到直线3x－4y＋5＝0的距离为错误!，∴错误!＝错误!，∴r＝2.
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答案：2
16．解析:如图所示，①取BD中点E，连接AE，CE，则BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，∴BD⊥平面AEC，AC⊂平面AEC，故AC⊥BD，故①正确．
②设正方形的边长为a,则AE＝CE＝错误!a.由①知∠AEC是直二面角A-BD。

C的平面角，∴∠AEC＝90°，∴AC＝a，∴△ACD 是等边三角形，故②正确．③由题意及①知，AE⊥平面BCD,故∠ABE是AB与平面BCD所成的角,而∠ABE＝45°，所以③不正确．
答案：①②
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解：（1)因为l1与l2相交于点(m,－1），
所以点(m，－1）在l1、l2上,将点（m，－1）代入l2，得2m －m－1＝0,解得m＝1.
又因为m＝1，把（1,－1)代入l1，所以n＝7.
故m＝1，n＝7。

（2)要使l1∥l2，则有错误!
解得错误!或错误!
(3)要使l1⊥l2,则有m·2＋8·m＝0，得m＝0。

则l1为y＝－错误!，由于l1在y轴上的截距为－1,
所以－错误!＝－1，即n＝8.
故m＝0，n＝8。

18．解：（1)交线围成的正方形EHGF如图所示．
- 11 -
（2)作EM⊥AB，垂足为M，则AM＝A1E＝4，EB1＝12,EM ＝AA1＝8。

因为EHGF为正方形，所以EH＝EF＝BC＝10.
于是MH＝EH2－EM2＝6，AH＝10，HB＝6。

故S四边形A1EHA＝错误!×（4＋10)×8＝56，
S四边形EB1BH＝错误!×（12＋6)×8＝72.
因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,
所以其体积的比值为错误!错误!。

19．证明：(1）∵B1C1CB为正方形，∴E为B1C的中点，又D为AB1中点,∴DE为△B1AC的中位线，∴DE∥AC,又DE⊄平面A1C1CA，AC⊂平面A1C1CA,∴DE∥平面AA1C1C.
（2）在直三棱柱中，平面ACB⊥平面B1C1CB，又平面ACB∩平面B1C1CB＝BC，AC⊂平面ABC,且AC⊥BC，
∴AC⊥平面B1C1CB，
∴AC⊥BC1，
又B1C1CB为正方形，
∴B1C⊥BC1，AC∩B1C＝C，
∴BC1⊥平面ACB1，又AB1⊂平面ACB1，∴BC1⊥AB1. 20．解：（1)由题意,线段AB的垂直平分线经过圆心(2，1）,斜率
- 12 -
为－1，
∴该直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0。

（2）圆x2＋y2－4x－2y＋m＝0可化为(x－2）2＋(y－1)2＝－m＋5。

∵｜AB|＝2错误!，
∴圆心到直线的距离为错误!＝错误!.
∵圆心(2，1）到直线的距离为d＝错误!＝错误!，
∴错误!＝错误!，
∴m＝1。

(3）由题意，知圆C:x2＋y2－4x－2y＋1＝0，即(x－2）2＋(y －1）2＝4.则点P(4,4）在圆外，过点P的圆C的切线有两条．
①当所求切线的斜率存在时,设切线方程为y－4＝k（x－4)，即kx－y－4k＋4＝0.
由圆心到切线的距离等于半径，得错误!＝2，
解得k＝错误!，所以所求切线的方程为5x－12y＋28＝0。

②当所求切线的斜率不存在时,切线方程为x＝4.
综上,所求切线的方程为x＝4或5x－12y＋28＝0。

21．解：（1)点F,G，H的位置如图所示．
(2)平面BEG∥平面ACH.证明如下：
- 13 -
因为ABCD-EFGH为正方体，所以BC∥FG，BC＝FG.
又FG∥EH，FG＝EH，所以BC∥EH，BC＝EH，
于是四边形BCHE为平行四边形，
所以BE∥CH.
又CH⊂平面ACH，BE⊄平面ACH,
所以BE∥平面ACH。

同理BG∥平面ACH.
又BE∩BG＝B，
所以平面BEG∥平面ACH.
（3)证明：连接FH，与EG交于点O，连接BD.
因为ABCD。

EFGH为正方体，
所以DH⊥平面EFGH。

因为EG⊂平面EFGH，所以DH⊥EG.
又EG⊥FH，DH∩FH＝H，所以EG⊥平面BFH D。

又DF⊂平面BFHD,所以DF⊥EG.
同理DF⊥BG。

又EG∩BG＝G，
所以DF⊥平面BEG。

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22．解：(1）∵｜OM|＝｜ON｜,
∴原点O在线段MN的垂直平分线上．
设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴C，H，O三点共线．
∵直线MN的方程是3x＋y－4＝0，
∴直线OC的斜率k＝错误!＝错误!＝错误!，解得t＝3或t＝－3，∴圆心为C(3,1)或C（－3,－1)．
∴圆C的方程为（x－3）2＋（y－1)2＝10或(x＋3)2＋（y＋1）2＝10。

由于当圆的方程为（x＋3）2＋(y＋1）2＝10时，圆心到直线3x＋y－4＝0的距离d＞r,此时不满足直线与圆相交,故舍去．∴圆C的方程为（x－3)2＋（y－1)2＝10。

（2)由题意可知|PQ|－｜PB|≤｜BQ|，当B，P，Q三点共线时,等号成立．
又B，C，Q三点共线且｜BQ|＝｜BC|＋｜CQ|时｜BQ｜最大，
此时｜BQ｜＝|BC|＋10＝2错误!。

∵B（0，2），C(3,1）,∴直线BC的方程为y＝－错误!x＋2，
∴直线BC与直线x＋y＋2＝0的交点的坐标为(－6，4）．
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故|PQ｜－｜PB|的最大值为210，此时点P的坐标为（－6,4)．
- 16 -。