2017年普通高等学校招生全国统一考试全国I卷及参考答案

2021年普通高等学校招生全国统一测试(全国I卷)
理科数学
一、选择题：此题共12小题,每题5分洪60分.在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的.
1.集合A={x|x<1}, B={x3x<1},那么()
A. AQB =：xx <0?
B. AUB =R
C. A|jB=[xx.1)
D. AH B =
{x x<1 }, B ={x|3x<1} = {x x<0}.\ Ap B ={x| x<0}, AlJ B ={x x<1},选A
2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部位于
正方形的中央成中央对称,在正方形内随机取一点,那么此点取自黑色局部的概率是(
【解析】A =
1 A. 一
4
兀
B.-
8
1
C.-
2
兀
D.—
4
【解析】设正方形边长为2,那么圆半径为1那么正方形的面积为2M2 =4,圆的面积为启12兀,图中黑色部
分的概率为』那么此点取自黑色局部的概率
为2
3 .设有下面四个命题()
1
P1：假设复数z满足—u R,那么z三R ; P2 :假设复数z
满足
Z
z2w R,那么z W R ; P3:假设复数Z i , z2满足
A. P i , P3
B. P1 , P4
C. P
2 , P
3 D. P2,P4
… , 1 1 a -bi
【解析】①：设z =a +bi,那么—二 --- =- ----- 2=R得到b =0,所以zW R .故P1正确;
z a bi a b
P2 ：假设Z2= —1,满足z2ER ,而z =i ,不满足z2WR ,故P2不正确；P3 ：假设乙=1, z2 =2,那么取2=2,满足取2 w R ,而
它们实部不相等,不是共轲复数,故P3不正确；
P4：实数没有虚部,所以它的共轲复数是它本身 ,也属于实数,故P4正确；
4 .记S n为等差数列
A.1 Q}的前n项和,假设a4 +a5 =24, S =48,那么匕口}的公差为()
B.2
C.4
D.8
【解析】
_ _ _ _ 6 5
a4 +a5 =a[十3d +a〔+4d =24 S6 =6& +-------- d =48联立求得
2
j2a1 +7d =24 ①
[6a1 15d =48 ②①父3—②得(21 —15户=24 6d =24 ：d =4选C
5 .函数
是( f (x )在(-00,
十°°
)A. 1-2, 2】
)单调递减,且为奇函数.假设f (1 )=-1,那么满足-1&f(x-2)< 1的x的取值范围
C. b, 4]
【解析】由于f(x )为奇函数,所以f (―1)=-f (1 )=1,于是—14f(x —2丹1等价于
f (1 月f (x-2 尸f(—1 )|又f (x )在(.\ + 8坤调递减.-.-K x-2< 1,1WxW3应选D
1
6
一一,. c
6 . 1 2+x 〕展开式中x 2的系数为
对 m <1 +x 6的x 2项系数为C 6=15, x 2的系数为15+15 =30应选C
x
7 .某多面体的三视图如下图,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成 长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有假设干是梯形
S 梯=〔2 +4 J<2-2 =6 电梯=6 父2 =12应选 B
8 .右面程序框图是为了求出满足 3n -2n >1000的最小偶数n ,那么在 O 和
可以分别填入
A. 15
B. 20 6 6 1 x =1 1 x F
C. 30
6 6 2
(1+x /〞1+x )的x 2项系数为C2 =
D. 35
6 5
——=15 2
,正方形的边
,这些梯形的面积之和为
A. 10
【解析】由三视图可画出立体图
D. 16
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
两个空白框中,
A. A >1000 和 n =n +1
B. A >1000 和 n =n +2
C. AW1000 和 n =n +1
D. Aw 1000 和 n = n +2 解 由于要求A 大于1000时输出,且框图中在“否〞时输出,« <二>"中不能输入A >1000
排除A 、B 又要求n 为偶数,且n 初始值为0,
中n 依次加2可保证其为偶应选 9 曲线 G ：y=cosx ,C 2：y=sin 2X 型 2X 3
,那么下面结论正确的选项是〔
〕
A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向右平移 工个单位长度,得到曲线 6
C 2
B.把C 上各点的横坐标伸长到原来的
2倍,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向左平移 万个单位长度,得到曲线
【解析】1 + C. 14
1输出打/
_ 1 .、 .. .. ........ 一,一,r ........ .... ................................................................... 兀
* 、,,、,•一,r
C.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的万倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移吊个单位长度,得到曲线C2
TT ,i
D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的
2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移五个单位长度,得到曲线C2
【答案】D
2兀
【解析】G：y=cosx,C2: y =sin I2x 一
3
首先曲线C i、C2统一为一三角函数名,可将C i：y=cosx用诱导公式处理.
y=cosx=cos. x+]—2 J=sin . x+2卜横坐标变换需将切=1变成@ = 2 ,
f C[上各点横坐标缩短它原来1 f y f \
即y =sin !x 21y=sin l2x —=sin2l x»
.2 . 2 4
2兀兀
——y =sin! 2x —=sin2!x —.
3 . 3
注意切的系数,在右平移需将曰=2提到括号外面,这时x +」平移至x +」,
4 3,
根据“左加右减〞原那么,“x才到“x ;需加上if,即再向左平移12
9.F为抛物线C : y2=4x的交点,过F作两条互相垂直l i,I2,直线l i与C交于A、B两点,直线I2
与C交于D , E两点,AB十DE的最小值为〔〕
A.i6
【答案】A
【解析】
B. i4
C. i2
D. i0
设AB倾斜角为9 .作AK i垂直准线,AK2垂直x轴
f
!AF| cos6 +|GF| = AK i 〔几何关系〕
易知?AKi|=AF| 〔抛物线特性〕
GP =P—.1—P]=P
2 2
|AF|cose+p= AF同理|AF|=—
i - cos 二BF
P
i cos 二
：AB 二与,
2 2'
i -cos 二sin f
一 .一.............. 兀,n 又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为鼻十日
DE _ 2P _ 2P
sin2,三十g ] cos28 而y2=4x,即P =2 .
2
... AB DE =2P -—^- =4sin ] co s' =-2 .4 2
sin 1 cos 【 sin ?coS 二 sin icos 二
. TT >16,当日=—取等号 4 即|AB [DE 最小值为16,应选A
10.设x , y , z 为正数,且 2x =3y =5z ,那么0
A. 2x ：： 3y ：：； 5z
B. 5z ：： 2x ：： 3y
C. 3y ：： 5z ：：；2x
D. 3y ：： 2x ：： 5z
【答案】D
x l n 3 3 【答案】 取对数：xln2 =yln3 =ln5 .
—=——>- 2x>3y y l n 2 2
一.x l n 5 5
xln2 =zln5
贝U — =——<-
:2x <5z : 3y < 2x< 5做选 D
z l n 2 2
11.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了 “解数学题获取软
件激活码〞的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案
：数列
1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,…,其中第一项为哪一项20,接下来的两项是20,21,在接下 来的三项式
26,21,22,依次类推,求满足如下条件的最小整数 N ： N >100且该数列的前N 项和为2 的整数哥.那么该款软件
的激活码是〔 〕
A. 440
B. 330
C. 220
D. 110
【答案】A
【解析】设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第 3组,以此类推.
设第n 组的项数为n ,那么n 组的项数和为 也已〕
2
由题,N >100,令 叱 +
n
〕>100 f n > 14且n w N *,即N 出现在第13组之后 2
第n 组的和为 =2n —1 n 组总共的和为 41- 2〕_n =2n _2.n
假设要使前N 项和为2的整数哥,那么N —n-^项的和2k -1应与-2-n 互为相反数
2
即 2k -1=2+n 〔k W N*,n >14〕 k =log 〔n + 3 f n=29,k=5 那么 N =
29*'1 2
'5= 44 0 应选 A
2
二、 填空题 沐题共4小题,每小:5分,:20分. 12.向量1,b 的夹角为60 °, a =2 ,b'=1,那么a +2b =. 【答案】2.3
[角军析】：+2b 2 =〔：+2：〕2 =|：'2+2
2b cos60口+〔2b 〕 =22+2父2M 2M ；+22 =4+4+4 =12
.•・ a +2b =屈=2 点
1 .2c.
sin 2-i 4 '
16 2
sin 2
271 13.设x , y 满足约束条件
_|_x 2y <1
不等式组W2x +y 2」表示的平面区域如下图
x -y M0
由z =3x —2y 得y =?x
,求z 的最小值,即求直线y =-x --的纵截距的最大值 2 2 2 2
当直线y=|x —|过图中点A 时,纵截距最大
2x y - -1 由J
解得A 点坐标为(―1,1),此时z =3x(—1)—2父1 =-5
x 2y =1
2
2
x y
14 .双曲线C: -
,( a>0 , b>0 )的右顶点为 A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C
a b
的一条渐近线交于 M , N 两点,假设/MAN =60 0,那么C 的离心率为
15 .如图,圆形纸片的圆心为 O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形 ABC 的中央为O ,D 、E 、F 为元O 上的
点,ADBC/ECA /FAB 分别是一 BC ,CA , AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以
BC , CA , AB 为折痕折起 △ DBC , △ ECA , △ FAB ,使得D , E , F 重合彳导到三棱锥.当△ ABC 的边长 变化时,所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为 .
【答案】4 15
【解析】 由题,连接OD,交BC 与点G ,由题,OD _LBC
3 Q …… …、… r
OG = —BC ,SP OG 的长度与BC 的长度或成正比
6 设 OG =x ,那么 BC =2.3x , DG =5-x
三棱锥的高 h =、；DG 2 -OG 2 =125-10x x 2 -x f 25-10x
如图,OA =a, AN =|AM|=b
••• /MAN =60°,
AP =
OP =J OA 『 T|PA 『
a 2-3
b 2
4
tan 二二
AP
OP
—b 2
a 2 -3
b 2
又•: tan 二=
「7 23
I = ----------- 3 3
• • e = 1
-
1 — 0 - 1 9 . _
S A ABC =2g 3x
=343x 2,那么 V =-S A ABC h =43x 2 ,拉5—10x =第；25x 4 -10x 5 2 3
令 f x =25x 4-10x 5, x (0,5), f x =100x 3-50x 4
令 f '(x )>0,即 x 4 -2x 3<0, x<2,那么 f(x 尸 f (2 ) = 80 那么V W 73M 闻=45,
：体积最大值为4#5cm 3
解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第 生都
必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要求作答. 〔一〕必考题：共60分. 16.
4ABC 的内角A , B ,C 的对边分别为a
, b ,c
,4ABC 的面积为
(1)求 sin BsinC ；
(2)假设 6cos B cosC =1, a =3 ,求 AABC 的周长.
【解析】此题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等根底知识的综合应用
a 2 1 ...
(1) . AABC 面积 S = ---------- .且 S =-bcsin A
3sinA 2
,a 2 1
2
3
2
A
. . -------- =—bcsinA , a =-bcsin A
3sinA 2
2
2
3 _ 2
..由正弦7E 理得 sin A =—sin BsinCsin A , 2 , 「 2 由 sin A # 0 得 sin Bsin C =—.
3
,
3
2 1
(2)由(1)得 sin B sin C =一,cosB cosC =—,
/A + B + C =K
3 6
1
:cosA =cos( u-B -C )=—cos(B +C )=sin BsinC-cosBcosC =— 3 1
又.— =(0,n),：A=60 , sinA= —, cosA = —
2 2
由余弦定理得a 2 =b 2 +c 2 -bc =9 ①
由正弦定理得 b =-a — si nB c =—a — sinC s i nA ,
sin A
2
. a
… bc=-2— sin BsinC =8
②
sin 2 A
由①②得 b +c =V 33
a +
b +
c =3 +7^3即 ^ABC 周长为 3 +V 33
17-21题为必'考题,每个试题考
2
a 3sin A
如图,在四棱锥 P -ABCD 中,AB // CD 中,且 /BAP =/CDP =90..
(x , y , z )为平面PBC 的法向量
PB =0
2x 2y -.2z
-,得
_
BC =0
-2 . 2x =0
令y=1,那么z=J2, x=0,可得平面PBC 的一个法向量n=(0 ,1,五) •••幺PD =90 ；. PD _LPA
又知AB _L 平面PAD , PD 仁平面PAD • PD _ AB ,又 PAriAB =A PD _L 平面 PAB
—
T !- L
即PD 是平面PAB 的一个法向量,PD=(T /2 ,0 ,72 ) cos PD , n
3 由图知二面角 A-PB 弋 为钝角,所以它的余弦值为 -出
(1)证实：平面PAB ,平面PAD ; (2)假设 PA = PD =AB =DC , Z APD =90 2求二面角 【解析】(1)证实：.一/BAP =/CDP =90. PA _AB , PD _CD 又•: AB II CD ,.二 PD _L AB
又•: PD I^PA =P ,PD 、PA U 平面 PAD AB _L 平面 PAD ,又 AB U 平面 PAB
• •・平面PAB _L 平面PAD
(2)取AD 中点O , BC 中点E ,连接PO , OE • •• AB 起CD
• •・四边形ABCD 为平行四边形 A-PB -C 的余弦值.
1 -
OE .ZAB
由(1)知,AB _L 平面PAD
OE _L 平面 PAD ,又 PO 、AD U 平面 PAD OE _PO , OE _ AD 又 「 PA =PD ,.•. PO _ AD PO 、OE 、AD 两两垂直
以O 为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系
O -xyz
PA -I
PD =2 ,,•, D (W 2 ,0,0 )、B (e,2,0 卜 P (0,0,&)、C (-V 2,2,0
= (/,0, —J 2 )、PB =(J 2,2,—J 2 )、BC =(-2&,0,0)
E y
为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态2分布N(N,仃).
(1)假设生产^态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(N-3仃,卜+3仃)之外的零件
数,求P(X >1 / X的数学期望；
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(N-3仃,N+3仃)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产
过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性：
(II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 1 0. 1 29.96 9. 9610.01 9.92 9. 9 8 1 0. 04
10.26 9.91 1 0. 1 310.02 9.22 10.04 10.05 9. 9 5
16~r~^ 2 1 ~16
经计算得x =£X i =9.97, s= —£(x -x ) = J—^2-16x2L0.212,其中x 为抽取的第i 个i1 :16 - ;16
零件的尺寸,i =1, 2, HI, 16.
用样本平均数x作为N的估计值巴用样本标准差s作为.的估计值口,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除(？-3仅,？+39)之外的数据,用剩下的数据估计N和.(精确到
0.01).
附:假设随机变量Z服从正态分布N(N,仃2),那么P(R—3J<Z<N+3CJ) = 0.9974. 16
0.997 4 0.9592 , ., 0.008 0.09 .
【解析】(1)由题可知尺寸落在(H一3仃,R+3CT)之内的概率为0.9974落在(N—30 ,卜+3仃)之外的概率为0.0026
P(X =0 产C；6(1 -0.9974 0 0.997416之0.9592
P X _1 =1 -P X =0 ： 1 -0.9592 =0.0408
由题可知X ~ B06 , 0.0026), E(X )=16父0.0026 =0.0416
(2)(i)尺寸落在(N—3仃,N+3.)之外的概率为0.0026
由正态分布知尺寸落在(N-3仃,N+3.)之外为小概率事件,
因此上述监控生产过程的方法合理.
(ii)
'' -3' -9.97 -3 0.212 =9.334
.二+3；.- -9.97 3 0.212 =10.606 (N—3仃,N+3.)=(9.334, 10.606 )
7 9.22正(9.334 , 10.606 ),二需对当天的生产过程检查
因此剔除9.22
9 97 16 -9 22 剔除数据之后:二二9.22
:10.02.
15
2 2 2 2 2 2
二二[9.95 -10.02 i「10.12-10.02 i「9.96 -10.02 i「9.96-10.02 i r10.01-10.02
2 2 2 2 2
9.92 -10.02 i r998 -10.02 ：i 何10.04-10.02 ) -1：10.26-10.02 ：i)：9.91-
10.02
2 2 2 2 2
10.13 -10.02 i F10.02 -10.02 i -[10.04 -10.02 i F10.05 -10.02 i f 9.95 -10.02 ]
■0.008口15
19. (12 分)
椭圆C 上. (1)求C 的方程；
(2)设直线l 不经过B 点且与C 相交于A 、B 两点,假设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为_1,证实：l 过定点. 【解析】(1)根据椭圆对称性,必过P 3、P 4
又R 横坐标为1,椭圆必不过P ,所以过B , P 3 , P 4三点 3 点), __________
将2(0,1),月.-1,三代入椭圆方程得 「1 X
3 ,解得 a 2 =4, b 2 =1,
_L +Z _1 ~十尸—1 且 b
2
.♦・椭圆C 的方程为：—+y 2 =1.
4
(2)①当斜率不存在时,设l ：x=m, A(m , y A ), B(m , -y A ) k P 2
A k P 2
B =7
得m=2,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. ②当斜率存在时,设l ： y =kx +b (b 01 )
A . , y 1 }
B 4,y 2 )
y=kx»b …
联立 4 2 2
,整理得(1+4k J x +8kbx +4b —4=0
x 2 4y 2 -4 =0
那么 k P 2
A k P
B 二"二 三 J kx1b -X 2 x1 4 b ^1
2 2
x 1 x 2
x x 2
8kb 2 -8k -8kb 2 8kb
8k b -1
J = -1,又 b #1 4(b +1'(b —1) 乂 b
।
2
1 4k
=b=-2k-1,此时A = -64k,存在k 使得△:>0成立. ・,・直线l 的方程为y=kx —2k —1 当x = 2时,y =-1 ,所以l 过定点(2 , -1 ).
20. (12 分)
函数 f x =ae 2x , a -2 e x -x . (1)讨论f (x )的单调性；
(2)假设f (x 冶两个零点,求a 的取值范围.
2
2
椭圆C ： J L
a 2
b 2
=1 (a >b >0),四点 R (1, 1), P2(0, 1), P3 1—1,咚 j, P4 \ -
中恰有三点在
X i X 2 =
-8kb
4b 2 -4
1 4k 4b
2 -4
【解析】(1)由于 f (x )=ae 2x +(a -2 p x -x
故 f x )=2ae 2x a -2 e x -1 =]ae x -1 2e x 1
①当a 宅0时,ae x _1 <0, 2e x 十1 >0.从而f '(x 户0恒成立.
f (x )在R 上单调递减
f x x 综上,当a E0时,f (x)在R 上单调递减；
当a>0时,f (x)在(-℃,-ln a)上单调递减,在(-ln a,收)上单调递增 (2)由(1)知, 当a M0时,f (x )在R 上单调减,故f (x )在R 上至多一个零点,不满足条件.
1 -
当 a A0时,f min = f (-ln a )=1 —— 十ln a .
1 . —ln a . a 1
1 1 -+lna a >0 1那么g'(a )==十一 >0.从而g a 用(.,+如)上单倜增,而 a a a
0 <a <1 时,g (a )<0 .当 a =1时 g(a )=0 .当 a >1 时 g(a )>0
, 3 ,, …,
应.Tn a , ln -一-1 上有一个头根. a 应, 一此a )上单调减,在(-ln a , +比)单调增,故f (x )在R 上至多两个实根.
3
城(—1 , -ln a )及—ln a , ln . - -1上均至少有一个实数根,故f ( x )在R 上恰有两个
a
实根.
综上,0 ：二 a :二 1.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做
,那么按所做的第一题计分.
21 .［选彳4-4:坐标系与参考方程］
_______ __________ _ .......... ......... x=3cos6, 一
在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数万程为械加日,步为参数卜直线1的参数万程为令 g a =1 令 g a i-1 - g (1 )=0.故当 a >1,那么 f min a =1 ,那么 f min 1 二1 一一 In a a 1 =1 ——In a =g (a )>0 ,故f (x )>0恒成立,从而f (x )无零点,不满足条件.
=0,故f (x )=0仅有一个实根x=—lna = 0,不满足条件. 0<a <1,那么 1 a a 2 f min =1 ------- +lna <0,注息到一ln a >0 . f (_1 +1 —> 0 a e e e 3 , . 1 . f (x 胫(-1, -ln a )上有一个实根,而又 ln . 一 -1 Aln —=—ln a . a a
f 11n(- -1) =e In ln a e +a -2,ln . 3 -1 I
J la J
3-1 二9-1 -ln §-1 ,— . ...
-1 . 0 a a a 0.
jx =a +4t,
y =1 -t, (t 为参数).
(1)假设a = —1,求C 与l 的交点坐标；
(2)假设C 上的点到l 距离的最大值为 用,求a .
【解析】(1) a=—1时,直线l 的方程为x+4y —3=0.
2
曲线C 的标准方程是 2+y 2
=1 9
x 4y —3 =0 c x =3 I
联立万程4x 2工2 .,解得：L n 或?
§7=1 y =. 那么C 与l 交点坐标是(3, 0)和 (2)直线l 一般式方程是x+4y -4-a =0 .
设曲线C 上点p(3cos 9, sin 0 )
mtt
刈…二十 |3cos0 +4sin 0 -4 -al 5sin (0 )-4-a m 3 那么 P 至1 l 距离 d ---------- = ------------ 1 = ------- 3 ----------- ,其中 tan 邛=—.
17 ,17 4 依题意得：d max =57,解得a = -16或a =8
21 x = -- 25 24 y = 25
22 .［选彳4-5:不等式选讲］
函数 f (x 尸-x2+ax +4 , g (x )=| x +1 +|x -1 .
(1)当a =1时,求不等式f (x卢g(x)的解集;
(2)假设不等式f (x卢g (x)的解集包含1-1, 1 ］,求a的取值范围.
2 1 【解析】(1)当a =1时,f (x )=—x +x+4,是开口向下,对称轴x=q的二次函数.
“2x , x >1
I
g (x )=|x +1 +|x -1| = ^| 2, -1 < x < 1,
-2x, x ：：：-1
当x W (1,F 时,令_x2+x +4 =2x ,解得x = "17 -1
2
g(x昨(1, +8)上单调递增,f(x)在(1, +s)上单调递减
一< 而-11
,此时f (x户g(x评集为1, 2—.
当x W ［」,1］时,g(x )=2, f(x . f (-1 )=2.
当x w(q, -1)时,g(x)单调递减,f (x )单调递增,且g(-1尸f (-1 )=2 .
」, …一'717-11
综上所述,f (x产g(x)解集厂1,七二.
(2)依题意得：_x2 +ax +4 > 2在〔―1,1】恒成立.
即x2 -ax — 2 w 0在1-1,1】恒成立.
:2
1 -a 1 -
2 < 0
那么只须22,解出：—1Wa01.
-1 -a -1 -2< 0
故a取值范围是1-1, 1].。